Рационалната функция е част от формата, чийто числител и знаменател са полиноми или произведения на полиноми.

Пример 1 Стъпка 2

Умножаваме неопределените коефициенти по полиноми, които не са в тази отделна дроб, но които са в други получени дроби:

Отваряме скобите и приравняваме числителя на получения първоначален интегрант към получения израз:

И в двете части на равенството търсим членове със същите степени на x и съставяме система от уравнения от тях:

Отменяме всички x и получаваме еквивалентна система от уравнения:

По този начин, окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 2 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Сега започваме да търсим несигурни коефициенти. За да направим това, приравняваме числителя на оригиналната дроб в израза на функцията към числителя на израза, получен след намаляване на сумата от дроби до общ знаменател:

Сега трябва да създадете и решите система от уравнения. За да направим това, приравняваме коефициентите на променливата до подходящата степен в числителя на оригиналния израз на функцията и подобни коефициенти в израза, получен в предишната стъпка:

Решаваме получената система:

И така, от тук

Пример 3 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Започваме да търсим несигурни коефициенти. За да направим това, приравняваме числителя на оригиналната дроб в израза на функцията към числителя на израза, получен след намаляване на сумата от дроби до общ знаменател:

Както в предишните примери, ние съставяме система от уравнения:

Намаляваме x и получаваме еквивалентна система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме следните стойности на несигурни коефициенти:

Получаваме окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 4 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Как да приравним числителя на първоначалната дроб на израза в числителя, получен след разлагане на дроба в сбора от прости дроби и намаляване на тази сума до общ знаменател, вече знаем от предишните примери. Следователно, само за контрол, ние представяме получената система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме следните стойности на несигурни коефициенти:

Получаваме окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 5 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Ние независимо привеждаме тази сума към общ знаменател, приравняваме числителя на този израз към числителя на първоначалната дроб. Резултатът трябва да бъде следната система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме следните стойности на несигурни коефициенти:

Получаваме окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 6 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Извършваме същите действия с тази сума, както в предишните примери. Резултатът трябва да бъде следната система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме следните стойности на несигурни коефициенти:

Получаваме окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 7 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

След известни действияс получената сума трябва да се получи следната система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме следните стойности на несигурни коефициенти:

Получаваме окончателното разширение на интегралната функция в сумата от прости дроби:

Пример 8 Стъпка 2На стъпка 1 получихме следното разширение на оригиналната дроб в сумата от прости дроби с неопределени коефициенти в числителите:

Нека направим някои промени в действията, които вече са доведени до автоматизация, за да получим система от уравнения. Има изкуствен трик, който в някои случаи помага да се избегнат ненужни изчисления. Привеждайки сбора от дроби до общ знаменател, получаваме и приравнявайки числителя на този израз към числителя на оригиналната дроб, получаваме.

Поздрави на всички, скъпи приятели!

Е, честито! Безопасно стигнахме до основния материал в интегрирането на рационалните дроби - метод на неопределените коефициенти. Велик и могъщ.) Какво е неговото величие и сила? И се крие в неговата универсалност. Има смисъл да се знае, нали? Предупреждавам ви, че ще има няколко урока по тази тема. Тъй като темата е много дълга, а материалът е изключително важен.)

Веднага трябва да кажа, че в днешния урок (и следващите също) ще се занимаваме не толкова с интеграцията, колкото ... системно решение линейни уравнения! Да да! Така че тези, които имат проблеми със системите, повторете матрици, детерминанти и метода на Крамер. А за тези другари, които трудно се справят с матриците, призовавам в най-лошия случай да си опреснят паметта поне "училищните" методи за решаване на системи - метода на заместване и метода на събиране/изваждане член по член.

За да започнем запознанството си, превъртаме филма малко назад. Нека се върнем накратко към предишните уроци и да анализираме всички онези дроби, които сме интегрирали преди. Директно, без никакъв метод на неопределени коефициенти! Ето ги, тези фракции. Подредих ги в три групи.

Група 1

В знаменателя - линейна функция или самостоятелно или до степента. С една дума, знаменателят е произведението идентичнискоби на формуляра (ха).

Например:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

И така нататък. Между другото, не позволявайте на скобите да ви заблуждават. (4x+5)или (2x+5) 3с коефициент квътре. Това е същото, по същество, скоби на формата (ха). Защото това е най-много кот такива скоби винаги могат да бъдат извадени.

Като този:

Това е всичко.) И няма значение какво точно има в числителя - просто dxили някакъв полином. Винаги сме разширявали числителя в степени на скоби (x-a), превърна голяма част в сбор от малки, донесе (където е необходимо) скоба под диференциала и интегрира.

Група 2

Какво е общото между тези дроби?

И общото е, че във всички знаменатели е квадратен трином брадва 2 + bx+ ° С. Но не само, а именно в един екземпляр. И тук няма значение дали дискриминантът е положителен или отрицателен.

Такива дроби винаги са били интегрирани по един от двата начина - или чрез разширяване на числителя по степени на знаменателя, или чрез вземане на пълен квадрат в знаменателя и след това промяна на променливата. Всичко зависи от конкретния интегрант.

Група 3

Това бяха най-лошите фракции за интегриране. Знаменателят е неразложим квадратен трином и дори в степента н. Но отново в един екземпляр. Защото освен тричлена в знаменателя няма други фактори. Такива фракции се интегрират върху . Или директно, или намалено до него, след като изберете пълния квадрат в знаменателя и след това промените променливата.

Но, за съжаление, цялото богато разнообразие от рационални дроби не се ограничава само до тези три разглеждани групи.

Но какво ще стане, ако знаменателят е различнискоби? Например нещо като:

(x-1)(x+1)(x+2)

Или в същото време скоба (ха)и квадратен трином, нещо подобно (x-10)(x 2 -2x+17)? А в други подобни случаи? Тук точно в такива случаи идва на помощ. метод на неопределените коефициенти!

Трябва да кажа веднага: за момента ще работим само с правилнофракции. Тези, при които степента на числителя е строго по-малка от степента на знаменателя. Как да се справим с неправилните дроби е описано подробно във дроби. Необходимо е да се избере цялата част (полином). Чрез разделяне на ъгъла на числителя на знаменателя или чрез разширяване на числителя - както желаете. И дори примерът е разглобен. И някак си интегрираш полинома. Вече не е малко.) Но ще решаваме и примери за неправилни дроби!

Сега нека се опознаем. За разлика от повечето учебници по висша математика, ние няма да започнем запознаването си със суха и тежка теория за основната теорема на алгебрата, теоремата на Безут, за разширяването на рационална дроб в сбора от най-простите (повече за тези дроби по-късно) и друга досада, но ще започнем с прост пример.

Например, трябва да намерим следния неопределен интеграл:

Първо погледнете интегралната функция. Знаменателят е продукт на трискоби:

(x-1)(x+3)(x+5)

И всички скоби различни. Следователно нашата стара технология с разширяване на числителя в степени на знаменателя този път не работи: коя скоба трябва да бъде подчертана в числителя? (x-1)? (x+3)? Не е ясно ... Изборът на пълния квадрат в знаменателя също не е в касата: има полином третистепен (ако умножите всички скоби). Какво да правя?

При гледане на нашата фракция възниква напълно естествено желание... Направо неустоимо! От нашата голяма фракция, която неудобноинтегрирайте, някак си направете три малки. Поне така:

Защо трябва да се търси този тип? И всичко това, защото в тази форма нашата начална фракция вече е удобнода интегрирам! Добавете знаменателя на всяка малка дроб и напред.)

Възможно ли е изобщо да се получи такова разлагане? Новината е добра! Съответната теорема на математиката гласи − да, можеш! Такова разлагане съществува и е уникално.

Но има един проблем: коефициентите НО, ATи ОТние чаоние не знаем. И сега основната ни задача ще бъде справедлива дефинирайте ги. Разберете на какво са равни нашите букви НО, ATи ОТ. Оттук и името, методът несигуренкоефициенти. Да започнем нашето приказно пътешествие!

И така, имаме равенство, от което започваме да танцуваме:

Нека доведем трите дроби вдясно до общ знаменател и добавим:

Сега можете спокойно да изхвърлите знаменателите (защото са еднакви) и просто да изравните числителите. Всичко е както обикновено

Следваща стъпка отворете всички скоби(коефициенти НО, ATи ОТ чаопо-добре остави навън)

И сега (важно!) Изграждаме цялата си структура отдясно по старшинство: първо събираме всички членове с x 2 в купчина, след това - само с x и накрая събираме безплатни членове. Всъщност ние просто даваме подобни и групираме термините според степените на x.

Като този:

И сега разбираме резултата. Вляво е нашият оригинален полином. Втора специалност. Числителят на нашия интегрант. Точно също някакъв полином от втора степен.нос неизвестни коефициенти.Това равенство трябва да е валидно за всички валидни x стойности. Дробите отляво и отдясно бяха еднакви (според нашето условие)! Това означава, че техните числители (т.е. нашите полиноми) също са еднакви. Така че коефициентите със същите степени на хтези полиноми трябва да имат бъдете равни!

Започваме с най-високата степен. От площада. Да видим какви коефициенти имаме х 2 ляво и дясно. Вдясно имаме сбора от коефициентите A+B+C, а отляво - двойка. Така че имаме първото уравнение.

Записваме:

A+B+C = 2

Има. Първото уравнение е направено.)

След това тръгваме по намаляваща траектория - разглеждаме членове с x в първа степен. Вдясно при x имаме 8A+4B+2C. Добре. И какво имаме с x отляво? Хм... Вляво изобщо няма термин с Х! Има само 2x 2 - 3. Как да бъдем? Много просто! Това означава, че коефициентът при x отляво имаме равно на нула!Можем да напишем лявата си страна така:

И какво? Имаме пълно право.) Оттук второто уравнение изглежда така:

8 А+4 Б+2 ° С = 0

Е, практически, това е всичко. Остава да приравним свободните условия:

15A-5B-3C = -3

С една дума, изравняването на коефициентите при едни и същи степени на x се извършва по следната схема:

И трите наши равенства трябва да бъдат изпълнени едновременно.Следователно, ние събираме система от нашите писмени уравнения:

Системата не е най-трудната за един усърден ученик – три уравнения и три неизвестни. Решете както желаете. Можете да използвате метода на Крамер чрез матрици с детерминанти, можете да използвате метода на Гаус, можете дори да използвате обичайното заместване на училището.

Като начало ще реша тази система по начина, по който студентите по култура обикновено решават такива системи. А именно методът на Крамер.

Започваме решението с компилиране на системната матрица. Напомням ви, че тази матрица е просто таблица, съставена от коефициенти за неизвестни.

Ето я:

На първо място, ние изчисляваме детерминанта на системната матрица.Или накратко, системен идентификатор.Обикновено се обозначава с гръцката буква ∆ („делта“):

Страхотно, системният детерминант не е нула (-48≠0) . От теорията на системите от линейни уравнения този факт означава, че нашата система е последователна и има уникално решение.

Следващата стъпка е да изчислите детерминанти на неизвестните ∆A, ∆B, ∆C. Припомням, че всяка от тези три детерминанта се получава от главния детерминант на системата, като колоните с коефициенти за съответните неизвестни се заменят с колона със свободни членове.

Така че съставяме детерминантите и разглеждаме:

Тук няма да обяснявам подробно техниката за изчисляване на детерминантите от трети ред. И не питай. Това вече е доста отклонение от темата ще бъде.) Който е в темата, той разбира за какво става дума. И може би вече се досещате как точно изчислих тези три детерминанта.)

Това е всичко и готово.)

Така културните ученици обикновено решават системите. Но... Не всички ученици са приятели с детерминантите. За жалост. За някои тези прости понятия от висшата математика завинаги остават китайска буква и мистериозно чудовище в мъглата...

Е, специално за такива некултурни студенти, предлагам по-познат начин за решаване - метод за последователно елиминиране на неизвестни.Всъщност това е усъвършенстван "училищен" метод на заместване. Само ще има още стъпки.) Но същността е същата. На първо място, ще изключа променливата ОТ. За това ще изразя ОТот първото уравнение и го заменете с второто и третото:

Ние опростяваме, даваме подобни и получаваме нова система, вече с двенеизвестен:

Сега, в това нова система, една от променливите може да бъде изразена и чрез другата. Но най-внимателните ученици вероятно ще забележат, че коефициентите пред променливата Б – противоположно. Две и минус две. Следователно ще бъде много удобно да се съберат двете уравнения заедно, за да се елиминира променливата ATи оставете само писмото НО.

Добавяме лявата и дясната част, умствено намаляваме 2Ви -2Bи решаване на уравнението само по отношение на НО:

Има. Първи открит коефициент: A = -1/24.

Определете втория коефициент AT. Например от горното уравнение:

От тук получаваме:

Отлично. Вторият коефициент също се намира: Б = -15/8 . Все още остава писмо ОТ. За да го определим, използваме най-горното уравнение, където го изразяваме чрез НОи AT:

Така:

Добре, всичко свърши сега. Намерени са неизвестни коефициенти! Няма значение дали е чрез Cramer или чрез заместване. Основното нещо, правонамерено.)

И така, нашето разширяване на голяма част в сбор от малки ще изглежда така:

И не позволявайте на получените дробни коефициенти да ви объркват: в тази процедура (метод на неопределените коефициенти) това е най-често срещаното явление. :)

И сега е много желателно да проверим дали сме намерили правилно нашите коефициенти А, Би ОТ. Така че сега вземаме чернова и си спомняме осми клас - събираме обратно и трите ни малки дроби.

Ако получим оригиналната голяма фракция, тогава всичко е наред. Не, това означава да ме победиш и да търсиш грешка.

Общият знаменател очевидно ще бъде 24(x-1)(x+3)(x+5).

Отивам:

Да!!! Вземете оригиналната дроб. Което трябваше да се провери. Всичко е наред. Така че, моля, не ме удряйте.)

И сега се връщаме към нашия първоначален интеграл. През това време не е станало по-лесно, да. Но сега, когато нашата фракция е разложена на сбор от малки, интегрирането й се превърна в истинско удоволствие!

Вижте сами! Вмъкваме нашето разширение в оригиналния интеграл.

Получаваме:

Използваме свойствата на линейността и разбиваме нашия голям интеграл на сбор от малки, изваждаме всички константи извън знаците на интеграла.

Получаваме:

И получените три малки интеграла вече лесно се вземат .

Продължаваме интеграцията:

Това е всичко.) И не ме питайте в този урок откъде идват логаритмите в отговора! Който се сети, той е в темата и ще разбере всичко. И който не помни - вървим по връзките. Не ги слагам просто.

Краен отговор:

Ето такава красива троица: три логаритма - страхливец, опитен и глупав. :) И опитайте, познайте такъв хитър отговор веднага! Помага само методът на неопределените коефициенти, да.) Всъщност ние проучваме за тази цел. Какво, как и къде.

Като тренировъчно упражнение ви предлагам да практикувате метода и да интегрирате следната фракция:

Практикувайте, намерете интеграла, не го приемайте за работа! Трябва да получите такъв отговор:

Методът на неопределените коефициенти е мощно нещо. Спестява дори и в най-безнадеждна ситуация, когато все пак преобразувате дроба и т.н. И тук някои внимателни и заинтересовани читатели може да имат редица въпроси:

- Ами ако полиномът в знаменателя изобщо не се разлага на множители?

- КАК трябва да се търси разлагането на всяка голяма рационална дроб в сбор от малки? Под каквато и да е форма? Защо в това, а не в това?

- Ами ако има множество фактори в разширяването на знаменателя? Или скоби в степени като (x-1) 2? В каква форма да търсим разлагане?

- Ами ако освен простите скоби с формата (x-a), знаменателят едновременно съдържа и неразложим квадратен трином? Да кажем x 2 +4x+5 ? В каква форма да търсим разлагане?

Е, време е да разберем напълно откъде растат краката. в следващия урок.)

Методът е приложим за минимизиране на функциите на логическата алгебра на произволен брой променливи.

Помислете за случая на три променливи. Булева функция в DNF може да бъде представена под формата на всички възможни конюнктивни членове, които могат да бъдат включени в DNF:

където kн(0,1) са коефициенти. Методът се състои в подбор на коефициентите по такъв начин, че полученият DNF да е минимален.

Ако сега зададем всички възможни стойности на променливи от 000 до 111, тогава получаваме 2 n (2 3 =8) уравнения за определяне на коефициентите к:

Като се имат предвид множествата, на които функцията приема нулева стойност, определете коефициентите, които са равни на 0, и ги изтрийте от уравненията, от дясната страна на които е 1. От останалите коефициенти във всяко уравнение, един коефициент се равнява на един, който определя конюнкцията на най-малкия ранг. Останалите коефициенти се равняват на 0. И така, единични коефициенти копределят съответната минимална форма.

Пример. Минимизирайте дадена функция

ако са известни стойности:
;
;
;
;
;
;
;
.

Решение.

След изтриване на нулеви коефициенти получаваме:

=1;

=1.

Приравнете на единство коефициента , съответстваща на конюнкцията на най-малкия ранг и превръщайки последните четири уравнения в 1, а в първото уравнение е препоръчително коефициентът да се приравни на 1 . Останалите коефициенти са настроени на 0.

Отговор: вид минимизирана функция.

Трябва да се отбележи, че методът на несигурните коефициенти е ефективен, когато броят на променливите е малък и не надвишава 5-6.

Многоизмерен куб

Помислете за графично представяне на функция под формата на многомерен куб. Всеки връх н-размерният куб може да се постави в съответствие с единичната съставна част.

Подмножеството от маркирани върхове е съпоставяне на н-размерен куб на булевата функция от нпроменливи в SDNF.

За показване на функцията от нпроменливи, представени във всеки DNF, е необходимо да се установи съответствие между неговите минитерми и елементи н- размерен куб.

Минитерм (n-1)-ти ранг
може да се разглежда като резултат от залепването на две минитерми н-ти ранг, т.е.

На н-размерен куб, това съответства на замяна на два върха, които се различават само по координатни стойности х исвързване на тези върхове с ръб (казва се, че ръбът покрива инцидентните му върхове).

По този начин минитерми ( н-1)-ти ред съответстват на ръбовете на n-мерния куб.

По същия начин кореспонденцията на минитерми ( н-2)-ти порядък лица н-размерен куб, всеки от който покрива четири върха (и четири ръба).

Елементи н-размерен куб, характеризиращ се с Ссе наричат измервания С- кубчета.

И така, върховете са 0-кубове, ръбовете са 1-кубове, лицата са 2-куба и т.н.

Обобщавайки, можем да кажем, че минитермът ( n-S) ранг в DNF за функцията нсе показват променливи С-куб и всеки С-cube обхваща всички онези кубове с по-ниско измерение, които са свързани само с неговите върхове.

Пример. На фиг. дадено картографиране

Тук минитерми
и
отговарят на 1-кубчета ( С=3-2=1) и минитерм х 3 картографиран на 2-куба ( С=3-1=2).

И така, всеки DNF се съпоставя с н- размерен комплект куб С-кубове, които покриват всички върхове, съответстващи на съставните части на единиците (0-куб).

Съставни части. За променливи х 1 ,х 2 ,…х низразяване
се нарича съставна част на единицата и
- съставната част на нула ( означава или , или ).

Този компонент на единица (нула) се превръща в единица (нула) само с един набор от стойности на променливи, съответстващи на него, което се получава, ако всички променливи се вземат равни на единица (нула), а техните отрицания - на нула (едно) .

Например: съставна единица
съответства на множеството (1011) и нулевата съставна част
- комплект (1001).

Тъй като SD(K)NF е дизюнкция (конюнкция) на съставните части на единицата (нула), може да се твърди, че булевата функция, която представлява е(х 1 , х 2 ,…, х н) става единица (нула) само за набори от стойности на променливи х 1 , х 2 ,…, х нсъответстващи на тези копия. При други набори тази функция се превръща в 0 (едно).

Обратното твърдение също е вярно, на което начин за представяне като формула произволенбулева функция, дефинирана от таблица.

За да направите това, е необходимо да напишете дизюнкциите (конюнкциите) на съставните части на едно (нула), съответстващи на наборите от стойности на променливи, на които функцията приема стойност, равна на единица (нула).

Например функцията, дадена от таблицата

отговарят

Получените изрази могат да бъдат преобразувани в друга форма въз основа на свойствата на алгебрата на логиката.

Обратното твърдение също е вярно: ако някои множество С-cubes обхваща множеството от всички върхове, съответстващи на единичните стойности на функцията, след което дизюнкцията, съответстваща на тези С-cubes of miniterms е изразът на дадената функция в DNF.

Казват, че такъв комплект С-cubes (или минитерми, съответстващи на тях) образува покритие на функцията. Желанието за минимална форма интуитивно се разбира като търсене на такава корица, числото С-кубовете, от които биха били по-малки, и тяхното измерение С- Повече ▼. Покритието, съответстващо на минималната форма, се нарича минимално покритие.

Например за функцията в=
покритие отговаря на неминималната форма:

ориз а) в=,

a покрития на фиг. б) в=
, ориз в) в=
минимален.

Ориз. Покритие на функциите в=:

а) неминимални; б), в) минимум.

Функционалното картографиране е включено н-размерни ясно и просто с н3. Четириизмерен куб може да бъде изобразен, както е показано на фиг., което показва функциите на четири променливи и неговото минимално покритие, съответстващо на израза в=

Използването на този метод за н>4 изисква толкова сложни конструкции, че губи всичките си предимства.

Метод на неопределени коефициенти

Методът е приложим за минимизиране на функциите на логическата алгебра на произволен брой променливи.

където kО(0,1) са коефициенти. Методът се състои в подбор на коефициентите по такъв начин, че полученият DNF да е минимален.

Пример. Минимизирайте дадена функция

ако са известни стойности: ; ; ; ; ; ; ; .

Решение.

След изтриване на нулеви коефициенти получаваме:

=1;

=1.

Нека приравним на единица коефициента, съответстващ на конюнкцията на най-малкия ранг и преобразувайки последните четири уравнения в 1, а в първото уравнение е препоръчително да приравним коефициента на 1. Останалите коефициенти са настроени на 0.

Отговор: вид минимизирана функция.

Многоизмерен куб

Подмножеството от маркирани върхове е съпоставяне на н-размерен куб на булевата функция от нпроменливи в SDNF.

Минитермът от (n-1)-ти ранг може да се разглежда като резултат от слепването на два минитерма н-ти ранг, т.е.

На н-размерен куб, това съответства на замяна на два върха, които се различават само по координатни стойности x iсвързване на тези върхове с ръб (казва се, че ръбът покрива инцидентните му върхове).

По този начин минитерми ( н-1)-ти ред съответстват на ръбовете на n-мерния куб.

Елементи н-размерен куб, характеризиращ се с Ссе наричат измервания С- кубчета.

И така, върховете са 0-кубове, ръбовете са 1-кубове, лицата са 2-куба и т.н.

Пример. На фиг. дадено картографиране

Тук минитермите и съответстват на 1-кубове ( С=3-2=1) и минитерм х 3картографиран на 2-куба ( С=3-1=2).

Съставни части. За променливи х 1,х 2,…x nизразяване се нарича съставна част на единицата и - съставната част на нула (означава или , или ).

Например: съставната единица съответства на множеството (1011), а съставната нула - комплект (1001).

Тъй като SD(K)NF е дизюнкция (конюнкция) на съставните части на единицата (нула), може да се твърди, че булевата функция, която представлява е(x 1 ,x 2 ,…,x n) става единица (нула) само за набори от стойности на променливи x 1 ,x 2 ,…,x nсъответстващи на тези копия. При други набори тази функция се превръща в 0 (едно).

Например функцията, дадена от таблицата