Jak řešit přirozené logaritmické rovnice. Rovnice řešené logaritmickou metodou

Algebra třída 11

Téma: « Metody řešení logaritmické rovnice »

Cíle lekce:

vzdělávací: vytváření znalostí o různých způsobech řešení logaritmických rovnic, schopnost je aplikovat v každé konkrétní situaci a zvolit si libovolnou metodu řešení;

rozvíjející se: rozvoj dovedností pozorovat, porovnávat, aplikovat znalosti v nové situaci, identifikovat vzorce, zobecňovat; formování dovedností vzájemné kontroly a sebekontroly;

vzdělávací: výchova odpovědného přístupu k výchovné práci, pečlivé vnímání látky v hodině, přesnost vedení záznamů.

Typ lekce : lekce seznamování s novým materiálem.

"Vynález logaritmů tím, že zkrátil práci astronoma, prodloužil jeho život."
Francouzský matematik a astronom P.S. Laplace

Během vyučování

I. Stanovení cíle lekce

Prostudovaná definice logaritmu, vlastnosti logaritmů a logaritmické funkce nám umožní řešit logaritmické rovnice. Všechny logaritmické rovnice, bez ohledu na to, jak složité jsou, se řeší pomocí stejných algoritmů. Tyto algoritmy budeme zvažovat dnes v lekci. Je jich málo. Pokud je zvládnete, pak bude pro každého z vás proveditelná jakákoli rovnice s logaritmy.

Napište si do sešitu téma lekce: "Metody řešení logaritmických rovnic." Zvu všechny ke spolupráci.

II. Aktualizace základních znalostí

Připravme se na studium tématu lekce. Každou úlohu vyřešíte a odpověď zapíšete, podmínku napsat nemůžete. Pracovat v párech.

1) Pro jaké hodnoty x má funkce smysl:

A)

b)

v)

E)

(Odpovědi jsou kontrolovány pro každý snímek a jsou vytříděny chyby)

2) Shodují se grafy funkcí?

a) y = x a

b)a

3) Přepište rovnosti jako logaritmické rovnosti:

4) Zapište čísla jako logaritmy se základem 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítejte :

6) Pokuste se obnovit nebo doplnit chybějící prvky v těchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Výpis se zobrazí na obrazovce:

"Rovnice je zlatý klíč, který odemyká veškerý matematický sezam."
Moderní polský matematik S. Koval

Pokuste se formulovat definici logaritmické rovnice. (Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem logaritmu ).

Zvážitnejjednodušší logaritmická rovnice: log A x = b (kde a>0, a ≠ 1). Protože logaritmická funkce roste (nebo klesá) na množině kladných čísel a nabývá všech reálných hodnot, pak z kořenové věty plyne, že pro libovolné b má tato rovnice navíc pouze jedno řešení, a to kladné.

Pamatujte na definici logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je exponent, na který musí být základ a zvýšen, abychom dostali číslo x ). Z definice logaritmu okamžitě vyplývá, žeA v je takové řešení.

Napište název:Metody řešení logaritmických rovnic

1. Podle definice logaritmu .

Takto vypadají nejjednodušší rovnice tvaru.

Zvážitč. 514(a ): Vyřešte rovnici

Jak to navrhujete řešit? (Podle definice logaritmu )

Řešení . , tedy 2x - 4 = 4; x = 4.

Odpověď: 4.

V této úloze 2x - 4 > 0, od> 0, takže se nemohou objevit žádné cizí kořeny aověření není nutné . Podmínku 2x - 4 > 0 v této úloze není nutné vypisovat.

2. Potenciace (přechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Zvážitč. 519(g): log 5 ( X 2 +8)- log 5 ( X+1)=3 log 5 2

Jaké funkce jste si všimli?(Základy jsou stejné a logaritmy obou výrazů jsou stejné) . co se dá dělat?(potenciovat).

V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že jakékoli řešení je obsaženo mezi všemi x, pro které jsou logaritmické výrazy kladné.

Řešení: ODZ:

X 2 +8>0 nerovnost navíc

log 5 ( X 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( X+1)

log 5 ( X 2 +8)= log 5 (8 X+8)

Zesilujte původní rovnici

X 2 +8= 8 X+8

dostaneme rovniciX 2 +8= 8 X+8

Pojďme to vyřešit:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Odpověď: 0; osm

Obecněpřechod na ekvivalentní systém :

Rovnice

(Systém obsahuje nadbytečnou podmínku – jednu z nerovností lze ignorovat).

Otázka do třídy : Které z těchto tří řešení se vám nejvíce líbilo? (Diskuse o metodách).

Máte právo se jakýmkoli způsobem rozhodnout.

3. Zavedení nové proměnné .

Zvážitč. 520(g) . .

čeho sis všiml? (to kvadratická rovnice vzhledem k log3x) Tvoje návrhy? (Zavést novou proměnnou)

Řešení . ODZ: x > 0.

Nechat, pak rovnice bude mít tvar:. Diskriminant D > 0. Odmocniny podle Vietovy věty:.

Zpět k výměně:nebo.

Řešením nejjednodušších logaritmických rovnic dostaneme:

; .

Odpovědět : 27;

4. Logaritmus obou stran rovnice.

Řešte rovnici:.

Řešení : ODZ: x>0, vezmeme logaritmus obou stran rovnice v základu 10:

. Použijte vlastnost logaritmu stupně:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Nechť lgx = y, pak (y + 3)y = 4

, (D > 0) kořeny podle Vietovy věty: y1 = -4 a y2 = 1.

Vraťme se k nahrazení, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to následovně: pokud jedna z funkcí y = f(x) zvyšuje a další y = g(x) klesá na intervalu X, pak rovnice f(x)=g(x) má nejvýše jeden kořen na intervalu X .

Pokud existuje kořen, lze jej uhodnout. .

Odpovědět : 2

„Správné aplikaci metod se lze naučit,
pouze jejich aplikací na různé příklady.
Dánský historik matematiky G. G. Zeiten

já proti. Domácí práce

S. 39 zvažte příklad 3, řešte č. 514 (b), č. 529 (b), č. 520 (b), č. 523 (b)

V. Shrnutí lekce

Jaké metody řešení logaritmických rovnic jsme v lekci uvažovali?

V dalších lekcích se podíváme na složitější rovnice. K jejich řešení jsou užitečné studované metody.

Zobrazuje se poslední snímek:

„Co je víc než cokoli na světě?
Prostor.
Co je nejmoudřejší?
Čas.
Co je nejpříjemnější?
Dosáhni toho, co chceš."
Thales

Chci, aby každý dosáhl toho, co chce. Děkujeme za spolupráci a pochopení.

V této lekci si zopakujeme základní teoretická fakta o logaritmech a zvážíme řešení nejjednodušších logaritmických rovnic.

Připomeňme si centrální definici – definici logaritmu. Souvisí to s rozhodnutím exponenciální rovnice. Tato rovnice má jeden kořen, nazývá se logaritmus b k základu a:

Definice:

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, na který musí být základ a zvýšen, aby se dostalo číslo b.

Odvolání základní logaritmickou identitu.

Výraz (výraz 1) je kořenem rovnice (výraz 2). Dosadíme hodnotu x z výrazu 1 místo x ve výrazu 2 a dostaneme základní logaritmickou identitu:

Vidíme tedy, že každé hodnotě je přiřazena hodnota. Označíme b pro x (), c pro y, a tak dostaneme logaritmickou funkci:

Například:

Připomeňme si základní vlastnosti logaritmické funkce.

Věnujme pozornost ještě jednou, protože pod logaritmem může být přísně kladný výraz jako základ logaritmu.

Rýže. 1. Graf logaritmické funkce pro různé báze

Graf funkce at je zobrazen černě. Rýže. 1. Pokud se argument zvětší z nuly do nekonečna, funkce se zvětší z mínus do plus nekonečna.

Graf funkce at je znázorněn červeně. Rýže. jeden.

Vlastnosti této funkce:

Doména: ;

Rozsah hodnot: ;

Funkce je monotónní v celé své definiční oblasti. Pro monotónní (přísné) zvýšení, větší hodnotu argument odpovídá větší hodnotě funkce. Když monotónně (striktně) klesá, větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Vlastnosti logaritmické funkce jsou klíčem k řešení různých logaritmických rovnic.

Uvažujme nejjednodušší logaritmickou rovnici; všechny ostatní logaritmické rovnice jsou zpravidla redukovány do tohoto tvaru.

Protože jsou základy logaritmů a samotné logaritmy stejné, jsou si rovny i funkce pod logaritmem, ale nesmíme ztratit definiční obor. Pod logaritmem může stát pouze kladné číslo, máme:

Zjistili jsme, že funkce f a g jsou si rovny, takže stačí zvolit libovolnou nerovnost, aby byla dodržena ODZ.

Tak jsme dostali smíšený systém, ve kterém je rovnice a nerovnost:

Nerovnici zpravidla není nutné řešit, stačí vyřešit rovnici a dosadit nalezené kořeny do nerovnosti a tím provést kontrolu.

Formulujme metodu pro řešení nejjednodušších logaritmických rovnic:

Vyrovnat základy logaritmů;

Rovnocenné sublogaritmické funkce;

Proveďte kontrolu.

Podívejme se na konkrétní příklady.

Příklad 1 - vyřešte rovnici:

Základy logaritmů jsou zpočátku stejné;

Příklad 2 - vyřešte rovnici:

Tato rovnice se liší od předchozí v tom, že základy logaritmů jsou menší než jedna, ale to nijak neovlivňuje řešení:

Najdeme kořen a dosadíme jej do nerovnosti:

Dostali jsme nesprávnou nerovnost, což znamená, že nalezený kořen nesplňuje ODZ.

Příklad 3 - vyřešte rovnici:

Základy logaritmů jsou zpočátku stejné;

Najdeme kořen a dosadíme jej do nerovnosti:

Je zřejmé, že pouze první kořen splňuje ODZ.

Logaritmické výrazy, řešení příkladů. V tomto článku se budeme zabývat problémy souvisejícími s řešením logaritmů. Úkoly nastolují otázku hledání hodnoty výrazu. Je třeba poznamenat, že koncept logaritmu se používá v mnoha úlohách a je nesmírně důležité porozumět jeho významu. Pokud jde o USE, logaritmus se používá při řešení rovnic, v aplikovaných úlohách a také v úlohách spojených se studiem funkcí.

Zde jsou příklady pro pochopení samotného významu logaritmu:

Základní logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmů, které si musíte vždy pamatovat:

*Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů faktorů.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) se rovná rozdílu logaritmů faktorů.

* * *

* Logaritmus stupně se rovná součinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Přechod na novou základnu

* * *

Další vlastnosti:

* * *

Počítání logaritmů úzce souvisí s využitím vlastností exponentů.

Uvádíme některé z nich:

Podstatou této vlastnosti je, že při převodu čitatele na jmenovatele a naopak se znaménko exponentu změní na opačné. Například:

Důsledek této vlastnosti:

* * *

Při zvýšení mocniny na mocninu zůstává základ stejný, ale exponenty se násobí.

* * *

Jak vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavní věc je, že je potřeba dobrá praxe, která dává určitou dovednost. Znalost vzorců je určitě povinná. Pokud není vytvořena dovednost v transformaci elementárních logaritmů, pak při řešení jednoduché úkoly je snadné udělat chybu.

Cvičte, řešte nejprve nejjednodušší příklady z matematického kurzu, poté přejděte ke složitějším. V budoucnu určitě ukážu, jak se řeší „ošklivé“ logaritmy, u zkoušky takové nebudou, ale je o ně zájem, nenechte si to ujít!

To je vše! Hodně štěstí!

S pozdravem Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.

Logaritmické rovnice. Nadále zvažujeme úkoly z části B jednotné státní zkoušky z matematiky. Řešení některých rovnic jsme již zvažovali v článcích "", "". V tomto článku se budeme zabývat logaritmickými rovnicemi. Hned musím říct, že při řešení takových rovnic na USE nedojde k žádným složitým transformacím. Jsou jednoduché.

Stačí znát a rozumět základní logaritmické identitě, znát vlastnosti logaritmu. Věnujte pozornost skutečnosti, že po rozhodnutí je POVINNÉ provést kontrolu - dosadit získanou hodnotu do původní rovnice a vypočítat, ve výsledku by měla být získána správná rovnost.

Definice:

Logaritmus čísla a k základu b je exponent,na kterou musí být b zvýšeno, aby se dostalo a.

Například:

Log 3 9 = 2, protože 3 2 = 9

Vlastnosti logaritmů:

Speciální případy logaritmů:

Řešíme problémy. V prvním příkladu provedeme kontrolu. Proveďte následující kontrolu sami.

Najděte kořen rovnice: log 3 (4–x) = 4

Protože log b a = x b x = a, pak

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Zkouška:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Správně.

Odpověď: - 77

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 2 (4 - x) = 7

Najděte kořen log 5 rovnice(4 + x) = 2

Používáme základní logaritmickou identitu.

Protože log a b = x b x = a, pak

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x=21

Zkouška:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Správně.

Odpověď: 21

Najděte kořen rovnice log 3 (14 - x) = log 3 5.

Probíhá následující vlastnost, její význam je následující: máme-li na levé a pravé straně rovnice logaritmy se stejným základem, pak můžeme dát rovnítko mezi výrazy pod znaménky logaritmů.

14 - x = 5

x=9

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 9

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice log 5 (5 - x) = log 5 3.

Najděte kořen rovnice: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 6

Najděte kořen rovnice log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13-64

x = -51

Proveďte kontrolu.

Malý dodatek - zde je nemovitost využívána

stupeň().

Odpověď: - 51

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 1/7 (7 - x) = - 2

Najděte kořen rovnice log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Proměňme pravou stranu. použít nemovitost:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Proveďte kontrolu.

Odpověď: - 21

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Vyřešte rovnici log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jestliže log c a = log c b, pak a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 2,75

Rozhodněte se sami:

Najděte kořen rovnice log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Řešte rovnici log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Na pravé straně rovnice musíte získat výraz ve tvaru:

log 2 (......)

Představuje 1 jako logaritmus základu 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Dostaneme:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Jestliže log c a = log c b, pak a = b, pak

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Proveďte kontrolu.

Odpověď: 0.4

Rozhodněte se sami: Dále musíte vyřešit kvadratickou rovnici. Mimochodem,

kořeny jsou 6 a -4.

Kořen "-4" není řešení, protože základ logaritmu musí být větší než nula a s "– 4" se rovná " – 5". Řešením je root 6.Proveďte kontrolu.

Odpověď: 6.

R jíst sám:

Řešte rovnici log x –5 49 = 2. Pokud má rovnice více než jeden kořen, odpovězte na menší.

Jak vidíte, žádné složité transformace pomocí logaritmických rovnicNe. Stačí znát vlastnosti logaritmu a umět je aplikovat. V POUŽÍVEJTE úkoly související s transformací logaritmických výrazů, jsou prováděny vážnější transformace a jsou vyžadovány hlubší dovednosti v řešení. Takové příklady zvážíme, nenechte si to ujít!Přeji ti úspěch!!!

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.

Úvod

Logaritmy byly vynalezeny, aby urychlily a zjednodušily výpočty. Myšlenka logaritmu, tedy myšlenka vyjádřit čísla jako mocninu stejného základu, patří Michailu Stiefelovi. Ale v době Stiefela nebyla matematika tak rozvinutá a myšlenka logaritmu nenašla svůj vývoj. Logaritmy vynalezli později současně a nezávisle skotský vědec John Napier (1550-1617) a Švýcar Jobst Burgi (1552-1632). Napier byl první, kdo dílo publikoval v roce 1614. s názvem „Popis úžasné tabulky logaritmů“ byla Napierova teorie logaritmů uvedena v poměrně úplném svazku, metoda výpočtu logaritmů byla uvedena nejjednodušším způsobem, takže Napierovy zásluhy na vynálezu logaritmů jsou větší než zásluhy Burgiho. Burgi pracoval na tabulkách ve stejné době jako Napier, ale dlouho je tajil a zveřejnil je až v roce 1620. Napier zvládl myšlenku logaritmu kolem roku 1594. ačkoli tabulky byly zveřejněny o 20 let později. Nejprve nazval své logaritmy „umělá čísla“ a teprve potom navrhl nazvat tato „umělá čísla“ jedním slovem „logaritmus“, což v řečtině znamená „korelovaná čísla“, převzaté jedno z aritmetické posloupnosti a druhé z geometrická progrese speciálně vybraná pro to. První tabulky v ruštině byly zveřejněny v roce 1703. za účasti pozoruhodného učitele 18. stol. L. F. Magnitského. Ve vývoji teorie logaritmů velká důležitost měl dílo petrohradského akademika Leonharda Eulera. Jako první považoval logaritmus za převrácenou hodnotu umocňování, zavedl termíny "základ logaritmu" a "mantisa" Briggs sestavil tabulky logaritmů se základem 10. Desetinné tabulky jsou pro praktické použití výhodnější, jejich teorie je jednodušší než to Napierových logaritmů. Desetinným logaritmům se proto někdy říká brigy. Termín „charakteristický“ zavedl Briggs.

V oněch vzdálených dobách, kdy mudrci poprvé začali uvažovat o rovnosti obsahujících neznámá množství, pravděpodobně ještě neexistovaly žádné mince ani peněženky. Ale na druhou stranu byly haldy, stejně jako hrnce, košíky, které se perfektně hodily do role kešek-obchodů obsahujících neznámý počet předmětů. Ve starověkých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Řecka vyjadřovaly neznámé veličiny počet pávů v zahradě, počet býků ve stádě, souhrn věcí zohledněných při dělení majetku. Dobře vyškolení písaři, úředníci a zasvěcenci ve vědě o počítání tajné znalosti kněží se s takovými úkoly docela úspěšně vypořádali.

Zdroje, které se k nám dostaly, naznačují, že starověcí vědci měli nějaké obecné metody pro řešení problémů s neznámými veličinami. Avšak ani jeden papyrus, ani jedna hliněná tabulka nepodává popis těchto technik. Autoři své numerické výpočty jen občas doplnili zlými komentáři jako: "Podívejte se!", "Udělejte to!", "Našli jste to správně." V tomto smyslu je výjimkou "Aritmetika" řeckého matematika Diophanta z Alexandrie (III. století) - sbírka úloh pro sestavování rovnic se systematickou prezentací jejich řešení.

Dílo bagdádského učence z 9. století se však stalo prvním manuálem pro řešení problémů, který se stal všeobecně známým. Muhammad bin Musa al-Chwarizmi. Slovo "al-jabr" z arabského názvu tohoto pojednání - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kniha restaurování a kontrastu") - se postupem času změnilo ve slovo "algebra", všem dobře známé, a samotná práce al-Khwarizmiho sloužila jako výchozí bod ve vývoji vědy o řešení rovnic.

Logaritmické rovnice a nerovnice

1. Logaritmické rovnice

Rovnice obsahující neznámou pod znaménkem logaritmu nebo na jeho základně se nazývá logaritmická rovnice.

Nejjednodušší logaritmickou rovnicí je rovnice tvaru

log A X = b . (1)

Prohlášení 1. Pokud A > 0, A≠ 1, rovnice (1) pro jakékoli reálné b má jediné řešení X = a b .

Příklad 1. Řešte rovnice:

a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Řešení. Pomocí příkazu 1 získáme a) X= 2 3 nebo X= 8; b) X= 3 -1 nebo X= 1/3; C)

Uvádíme hlavní vlastnosti logaritmu.

P1. Základní logaritmická identita:

kde A > 0, A≠ 1 a b > 0.

R2. Logaritmus součinu kladných faktorů se rovná součtu logaritmů těchto faktorů:

log A N jeden · N 2 = log A N 1 + log A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentář. Pokud N jeden · N 2 > 0, pak vlastnost P2 nabývá tvaru

log A N jeden · N 2 = log A |N 1 | +log A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N jeden · N 2 > 0).

P3. Logaritmus podílu dvou kladných čísel se rovná rozdílu mezi logaritmy dividendy a dělitele

Komentář. Pokud

P4. Logaritmus mocniny kladného čísla se rovná součinu exponentu a logaritmu tohoto čísla:

log A N k = k log A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentář. Pokud k- sudé číslo ( k = 2s), pak

log A N 2s = 2s log A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Vzorec pro přesun na jinou základnu je:

zejména pokud N = b, dostaneme

Pomocí vlastností P4 a P5 je snadné získat následující vlastnosti

a pokud v (5) C- sudé číslo ( C = 2n), dochází

Uvádíme hlavní vlastnosti logaritmické funkce F (X) = log A X :

1. Definičním oborem logaritmické funkce je množina kladných čísel.

2. Rozsah hodnot logaritmické funkce je množina reálných čísel.

3. Kdy A> 1 logaritmická funkce je striktně rostoucí (0< X 1 < X 2 log A X 1 < logA X 2) a na 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 log A X 1 > log A X 2).

4 log A 1 = 0 a log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Pokud A> 1, pak je logaritmická funkce záporná pro X(0;1) a je kladné pro X(1;+∞), a pokud 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) a je záporné pro X (1;+∞).

6. Pokud A> 1, pak je logaritmická funkce konvexní směrem nahoru a jestliže A(0;1) - konvexní dolů.

Následující výroky (viz například ) se používají při řešení logaritmických rovnic.