Winkelmoment der Teilchen 4 Buchstaben. VII. Impulsmoment eines Teilchens und eines Teilchensystems

Teilchendrehimpuls(materieller Punkt) relativ zum Punkt O heißt Vektorgröße gleich:

L- axialer Vektor. Die Richtung des Drehimpulsvektors L wird so bestimmt, dass die Drehung um den Punkt O in Richtung des Vektors p um die durch den Punkt O verlaufende Achse der rechten Schraubenregel gehorcht. Die Vektoren r, p und L bilden ein Rechtsschraubensystem. Im SI-System hat der Drehimpuls eine Maßeinheit: [L]=1 kg m 2 / s.

Betrachten Sie zwei Beispiele für die Berechnung des Drehimpulses eines Teilchens relativ zum Punkt O.

Beispiel 1 . Das Teilchen bewegt sich entlang einer geradlinigen Bahn, Teilchenmasse-m, Impuls-p. Finde L und ½ L½ . Machen wir eine Zeichnung.

aus Formel (22.4.) folgt, dass der Drehimpulsmodul nur durch Änderung des Geschwindigkeitsmoduls geändert werden kann, da wenn Sie sich auf einem geraden Weg bewegen, die Schulter l bleibt konstant.

Beispiel 2 . Ein Teilchen der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit V auf einem Kreis vom Radius R. Finden Sie L und ½ L½ . Machen wir eine Zeichnung.

Abb. 22.3 Die Richtung des Impulsvektors eines Teilchens, das sich mit einer Geschwindigkeit V auf einem Kreis mit dem Radius R bewegt.

Der Drehimpuls wird relativ zum Punkt C betrachtet. Aus Formel (22.6.) folgt, dass sich der Betrag des Drehimpulses nur durch Änderung des Geschwindigkeitsbetrages ändern kann. Trotz der kontinuierlichen Richtungsänderung des Vektors p bleibt die Richtung des Vektors L konstant.

Neben der Impuls- und Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen bleibt noch eine weitere physikalische Größe erhalten – der Drehimpuls. Betrachten Sie zunächst das Vektorprodukt der Vektoren und (Abb. 32).

Ein Vektorprodukt von Vektoren heißt ein solcher Vektor, dessen Betrag gleich ist:

wo ist der Winkel zwischen den Vektoren und .

Die Richtung eines Vektors wird durch die Gimlet-Regel bestimmt, wenn er auf dem kürzesten Weg von nach gedreht wird.

Es gibt einen Ausdruck zur Bestimmung des Kreuzprodukts:

1. Kraftmoment um einen Punkt und um eine Achse.

Führen wir zunächst den Begriff des Kraftmoments ein. Auf ein Teilchen, dessen Position mit Hilfe des Radiusvektors bestimmt wird, soll eine bestimmte Kraft relativ zum Ursprung des Punktes 0 wirken (Abb. 33).

Nennen wir das Kraftmoment um den Punkt 0 eine Vektorgröße:

In diesem Fall ist der Vektor des Kraftmoments senkrecht zur Figurenebene auf uns gerichtet. Aus der Abbildung folgt, dass der Wert von . Nennen wir es die Schulter des Moments der Kraft. Die Schulter des Kraftmoments ist der Abstand vom Bezugspunkt 0 zur Wirkungslinie der Kraft.

Das Kraftmoment um eine durch den Punkt 0 verlaufende Achse ist die Projektion des Vektors des Kraftmoments um den Punkt 0 auf diese Achse.

2. Moment eines Kräftepaares. Eigenschaften des Moments eines Kräftepaares.

Betrachten Sie zwei parallele, gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte, die nicht entlang einer geraden Linie wirken (Abb. 34). Solche Kräfte nennt man Kräftepaar. Der Abstand zwischen den geraden Linien, entlang denen diese Kräfte wirken, wird als Schulter des Paares bezeichnet.

Folgende Bezeichnungen werden hier eingeführt:

Radiusvektor des Kraftangriffspunktes,

Der Radiusvektor des Kraftangriffspunkts relativ zum Kraftangriffspunkt .

Das Gesamtmoment dieses Kräftepaares ist definiert als:

Da die Kräfte ein Paar bilden, gilt also:

Es ist ersichtlich, dass das Moment eines Kräftepaares nicht von der Wahl des Ursprungs der Kraftangriffspunkte abhängt.

3.Moment des Partikelimpulses relativ zur Achse und relativ zum Punkt.

Wenden wir uns nun dem Begriff des Drehimpulses zu. Ein Teilchen der Masse m, dessen Position durch den Radiusvektor relativ zum Ursprung des Punktes 0 bestimmt wird, bewege sich mit Geschwindigkeit (Abb. 35).

Wir führen den Vektor ein, den wir den Drehimpuls des Teilchens in Bezug auf den Punkt 0 nennen. Wir nennen den Wert die Schulter des Drehimpulses in Bezug auf den Punkt 0.

Der Drehimpuls um die durch den Punkt 0 verlaufende Achse ist die Projektion des Drehimpulses um den Punkt auf diese Achse.

1. Betrachten Sie eine Bewegung entlang einer geraden Linie. In einer Höhe h fliegt ein Flugzeug der Masse m horizontal mit einer Geschwindigkeit V (Abb. 36).

Lassen Sie uns den Drehimpuls des Flugzeugs relativ zu einem Punkt 0 finden. Der Modul des Drehimpulses ist gleich dem Produkt aus dem Impuls und seinem Arm. In diesem Fall ist der Impulsarm gleich h. Somit:

2. Betrachten Sie die Bewegung im Kreis. Ein Teilchen der Masse m bewegt sich mit konstanter Modulo-Geschwindigkeit V auf einem Kreis vom Radius R (Abb.37). Finden Sie den Drehimpuls des Teilchens um den Kreismittelpunkt 0.

Der Drehimpuls des Teilchens M== ðR=const.

4. Teilchenmomentgleichung

Per Definition ist der Drehimpuls eines Teilchens relativ zu einem Punkt 0:

Finden wir die zeitliche Ableitung des rechten und linken Teils dieses Ausdrucks:

Der erste Term verschwindet gemäß der Vektorproduktregel. Endlich haben wir:

Dieser Ausdruck wird Teilchenmomentgleichung genannt.

Die Änderungsrate des Drehimpulses ist gleich dem Moment der Kräfte.

5. Impulsmoment des Teilchensystems.
Das Gesetz der Änderung und Erhaltung des Drehimpulses eines Teilchensystems.

Stellen Sie sich ein System von miteinander wechselwirkenden Teilchen vor, auf das äußere Kräfte einwirken. Stellen wir die Position der Teilchen dieses Systems im Raum ein, indem wir Radiusvektoren relativ zu einem Ursprung 0 verwenden. Schreiben wir den Gesamtdrehimpuls dieses Systems relativ zu dem Punkt:

Finden Sie die Änderung im Gesamtmoment:

Schreiben wir dieses Gleichungssystem:

…………………………………..

Lassen Sie uns den linken und den rechten Teil dieses Systems summieren und betrachten Sie paarweise Summen im ersten Term rechts.

Nach dem dritten Newtonschen Gesetz verschwinden auch alle anderen paarweisen Summen. Folglich ist das Gesamtmoment aller inneren Wechselwirkungskräfte zwischen Teilchen gleich Null. Dann bleibt es:

Der Drehimpuls eines Teilchensystems verändert das Moment äußerer Kräfte. Für ein geschlossenes Teilchensystem ist der Drehimpulserhaltungssatz erfüllt.

6. Umlaufbahn und Eigenimpuls des Teilchensystems.

Betrachten wir ein System von N Teilchen, deren Position durch Radiusvektoren relativ zu einem Referenzpunkt 0 festgelegt wird (Abb. 38).

Die Lage des Schwerpunkts C dieses Systems sei mit dem Radiusvektor bestimmt. Dann ist die Position des i-ten Teilchens relativ zum Ursprung 0 definiert als:

Schreiben wir den Gesamtdrehimpuls des Teilchensystems relativ zum Ursprung 0:

Der erste Term heißt Bahndrehimpuls des Systems:

Der zweite Term wird als Eigenmoment des Systems bezeichnet:

Dann hat der Gesamtdrehimpuls des Systems relativ zum Bezugspunkt 0 die Form:

7. Bewegung im zentralen Kräftefeld.

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich in einem zentralen Kraftfeld bewegt. Denken Sie daran, dass in einem solchen Feld die auf ein Teilchen wirkende Kraft nur von der Entfernung zwischen dem Teilchen und dem Ursprung abhängt. Außerdem ist die Kraft immer entlang des Radiusvektors des Teilchens gerichtet.

Es ist leicht zu verstehen, dass in diesem Fall das Moment der Zentralkraft gleich Null ist und damit der Erhaltungssatz des Drehimpulses relativ zum Ursprung erfüllt ist.

Da liegt dann die Flugbahn des Teilchens immer in der Ebene, in der die Kraftvektoren und der Radiusvektor liegen. Im Zentralfeld bewegen sich Teilchen auf flachen Bahnen.

Während der Zeit dt beschreibt der Radiusvektor des Teilchens die Fläche dS (Abb. 39).

Diese Fläche ist gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms, das auf dem Radiusvektor und dem elementaren Verschiebungsvektor aufgebaut ist. Wie Sie wissen, ist die Fläche eines solchen Parallelogramms gleich dem Modul des Kreuzprodukts. Somit können wir nun schreiben:

Nennen wir den Wert - sektorielle Geschwindigkeit, und dafür erhalten wir den Ausdruck:

weil im Zentralfeld M = const, so bleibt folglich die Sektorgeschwindigkeit konstant.

Fazit: Wenn sich ein Teilchen in einem zentralen Kraftfeld bewegt, beschreibt sein Radiusvektor in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.

Diese Aussage ist Keplers zweites Gesetz.

8. Das Problem der zwei Körper.

Das Problem der Teilchenbewegung in einem zentralen Kraftfeld hat viele Anwendungen. Betrachten Sie das Problem der Bewegung zweier Körper. Stellen Sie sich zwei Teilchen vor, die nur miteinander wechselwirken. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich der Schwerpunkt eines solchen Systems verhält. Aus dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes eines geschlossenen Systems können wir schließen, dass es entweder ruht oder sich geradlinig und gleichmäßig bewegt.

Wir werden das Problem zweier Körper im System ihrer Schwerpunkte lösen. Der Radiusvektor des Massenmittelpunkts des Systems wird bekanntlich mit dem Ausdruck bestimmt:

Aus dem Impulserhaltungssatz eines solchen abgeschlossenen Systems folgt:

Führen wir einen Radiusvektor ein, der die Position des zweiten Teilchens relativ zum ersten bestimmt (Abb. 40):

Dann ist es möglich, Ausdrücke für die Beziehung der Radiusvektoren, die die Position der Teilchen relativ zu ihrem gemeinsamen Massenschwerpunkt bestimmen, mit dem Radiusvektor ihrer relativen Position zu erhalten:

Betrachten wir dieses Problem nun aus energetischer Sicht. Lassen Sie uns mit und - die Geschwindigkeiten der Teilchen relativ zu ihrem Massenschwerpunkt und mit - die Geschwindigkeit des zweiten Teilchens relativ zum ersten bezeichnen. Dann können aus dem Impulserhaltungssatz eines Teilchensystems die folgenden Ausdrücke erhalten werden:

Schreiben wir die gesamte mechanische Energie dieses Teilchensystems:

Dabei ist U(r 21) die eigene potentielle Energie des Systems.

Dieser Ausdruck kann wie folgt transformiert werden:

wo die folgende Bezeichnung eingeführt wird - die reduzierte Masse.

Aus energetischer Sicht verhält sich dieses Teilchensystem wie ein einzelnes Teilchen mit reduzierter Masse, das sich mit relativer Geschwindigkeit bewegt. Das Problem zweier Körper wird auf das Problem der Bewegung eines Körpers reduziert.

Ist die Abhängigkeit bekannt, kann auch das Hauptproblem gelöst werden, d.h. Abhängigkeiten finden und .

Lassen Sie uns die Bewegungsgleichung (zweites Newtonsches Gesetz) für jedes der Teilchen im zentralen Feld schreiben:

Auf der rechten Seite der zweiten Gleichung steht ein Minuszeichen, weil .

Teilen wir die erste Gleichung durch m 1 und die zweite durch m 2, erhalten wir:

Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:

Dann endlich:

Von hier aus können Sie die Abhängigkeit finden.

9. Bewegung künstlicher Satelliten. Raumgeschwindigkeiten.

Betrachten Sie die Bewegung eines künstlichen Satelliten der Erde nahe seiner Oberfläche. Da auf den Satelliten nur eine Kraft wirkt - die Anziehungskraft der Gravitation auf die Erde, können wir die Bewegungsgleichung in einen Kreis schreiben:

wobei m die Masse des Satelliten ist, M die Masse der Erde ist, Rz der Radius der Erde ist.

Von hier aus können Sie die Geschwindigkeit des Satelliten abrufen:

Durch Einsetzen der entsprechenden Werte erhalten wir die Geschwindigkeit V 1 = 8 km/s.

Diese Geschwindigkeit wird aufgerufen erster Raum(die Geschwindigkeit, die dem Körper mitgeteilt werden muss, damit er ein Satellit der Erde in der Nähe seiner Oberfläche wird).

Wir haben den einfachsten Fall eines Satelliten betrachtet, der sich auf einer Kreisbahn bewegt. Wie die Theorie zeigt, sind jedoch beim Zweikörperproblem auch andere Bewegungsbahnen eines Teilchens relativ zu einem anderen möglich - Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Elliptische Bahnen entsprechen dem negativen Wert der gesamten mechanischen Energie des Systems, hyperbolische Bahnen entsprechen dem positiven Wert der gesamten mechanischen Energie und parabolische Bahnen entsprechen dem Wert der gesamten mechanischen Energie gleich Null.

Finden wir das sogenannte zweite Raumgeschwindigkeit. Dies ist die Geschwindigkeit, die dem Körper verliehen werden muss, damit er ein Satellit der Sonne wird, während sich der Körper entlang einer parabolischen Flugbahn bewegen muss.

Schreiben wir die gesamte mechanische Energie des Satelliten-Erde-Systems auf, wenn wir die Erde als bewegungslos betrachten:

Wenn wir die gesamte mechanische Energie gleich Null setzen, erhalten wir die zweite kosmische Geschwindigkeit:

Durch Einsetzen der entsprechenden Werte erhalten wir V 2 = 11,2 km/s.

FESTKÖRPER-MECHANIK

VIII. Starre Körperkinematik

1. Absolut solide. Ebene Bewegung eines starren Körpers und ihre Zerlegung in Translation und Rotation..

Bisher haben wir einen materiellen Punkt als physikalisches Modell verwendet, aber nicht alle Probleme können in dieser Näherung gelöst werden. Wenden wir uns nun den sog absolut starre Körper. Ein absolut starrer Körper ist ein Körper, bei dem sich der Abstand zwischen den Teilchen, aus denen er besteht, nicht ändert. Mit anderen Worten, es ist absolut kein verformbarer Körper.

Wir werden überlegen flache Bewegung starrer Körper, bei dem während der Bewegung jeder seiner Punkte in einer der parallelen Ebenen bleibt. Bei einer ebenen Bewegung liegen die Bahnen aller Punkte eines starren Körpers in derselben Ebene, und die Ebenen aller Bahnen fallen entweder zusammen oder sind parallel.

Jede komplexe Bewegung eines starren Körpers kann als Summe einfacherer Bewegungen dargestellt werden: Translation und Rotation . Übersetzung wird eine solche Bewegung eines starren Körpers genannt, bei der eine Linie, die zwei beliebige Punkte des Körpers verbindet, ihre Richtung im Raum beibehält. Die Translationsbewegung ist nicht unbedingt linear, zum Beispiel eine Kabine in einem Riesenrad (Abb. 41).

rotierend wird eine solche Bewegung genannt, bei der die Bahnen aller Punkte eines starren Körpers konzentrische Kreise sind, deren Mittelpunkt auf der Rotationsachse liegt. Ein auf einem Tisch rollender Zylinder führt sowohl eine Translationsbewegung als auch eine Rotationsbewegung um seine Symmetrieachse aus.

Lassen Sie uns zeigen, wie eine ebene Bewegung in Translation und Rotation zerlegt werden kann (Abb. 42).

Aus der Figur ist ersichtlich, dass der Körper von Position 1 zu Position 2 erst translatorisch in Position und dann rotatorisch um die Achse 10 in Position 2 bewegt werden kann. Eine solche Aufteilung in Translations- und Rotationsbewegung kann auf unendlich viele Arten erfolgen, die Rotation erfolgt jedoch immer um denselben Winkel .

Somit kann eine ebene Bewegung als translatorisch mit der gleichen Geschwindigkeit für alle Punkte des Körpers und als rotatorisch mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit dargestellt werden. Für lineare Geschwindigkeiten von Punkten eines starren Körpers kann dies geschrieben werden als:

Hier ist der Radiusvektor eines beliebigen Punktes des starren Körpers.

Beispielsweise kann das Rollen eines Zylinders auf einer horizontalen Fläche (Abb. 43) als Translationsbewegung aller Punkte mit einer Geschwindigkeit V 0 und eine Rotation um eine mit seiner Symmetrieachse 0 zusammenfallende Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit dargestellt werden. , oder als Translationsbewegung mit einer Geschwindigkeit und Rotation mit derselben Winkelgeschwindigkeit, aber um die Achse.

Die Bewegung eines starren Körpers kann nur als eine Menge von Drehungen um die sogenannte Momentanachse dargestellt werden. Diese Achse kann entweder innerhalb des starren Körpers selbst oder außerhalb davon liegen. Die Position der momentanen Achse ändert sich mit der Zeit. Bei einem rollenden Zylinder fällt die Momentanachse mit der Berührungslinie zwischen dem Zylinder und der Ebene zusammen.

Lassen Sie uns in Abb. darstellen. 44 die Richtung der Momentangeschwindigkeiten einiger Punkte des Zylinders relativ zum festen Bezugssystem. Die Geschwindigkeit von Punkt A ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null, weil. es ist die Summe der translatorischen Geschwindigkeit und der linearen Geschwindigkeit, die im Absolutwert gleich sind. Die Geschwindigkeit von Punkt C ist doppelt so hoch und so weiter.

Mal sehen, wie die Geschwindigkeit relativ zum festen Bezugssystem eines beliebigen Punktes des Zylinders orientiert ist. Dazu schreiben wir die Bedingung eines absolut starren Körpers für zwei beliebige Punkte in folgender Form:

Unterscheide zeitlich die rechte und linke Seite:

Wir verbinden Punkt A mit der momentanen Rotationsachse, dann und . Daher haben wir:

Diese Bedingung impliziert die Rechtwinkligkeit der entsprechenden Vektoren, d.h. .

Eine Analyse des Verhaltens von Systemen zeigt, dass es neben Energie und Impuls noch eine weitere mechanische Größe gibt, die ebenfalls mit dem Erhaltungssatz verbunden ist, die sog Drehimpuls. Sie verwenden auch die Begriffe Impulsmoment, Rotationsmoment, Drehimpuls oder einfach Impuls.

Was ist diese Größe und welche Eigenschaften hat sie?

Nehmen wir zuerst ein Teilchen. Sei der Radiusvektor, der seine Position relativ zu einem Punkt charakterisiert Ö ausgewähltes Referenzsystem und - seine Eigendynamik in diesem System. Teilchendrehimpuls SONDERN relativ zum Punkt Ö(Abb. 6.1) nenne den Vektor gleich dem Vektorprodukt der Vektoren und:

Aus dieser Definition folgt, dass es sich um einen axialen Vektor handelt. Seine Richtung ist so gewählt, dass die Rotation um den Punkt erfolgt Ö in Richtung des Vektors ein Rechtsschraubensystem bilden. Der Betrag des Vektors ist

,

(6.2)

wo ist der Winkel zwischen den Vektoren und Schulter des Vektors relativ zum Punkt Ö(Abb. 6.1).

Lassen Sie uns eine Gleichung herleiten, die die zeitliche Änderung des Vektors beschreibt. Sein Name ist Momentengleichung. Für die Schlussfolgerung ist es notwendig herauszufinden, welche mechanische Größe für die Änderung des Vektors in einem gegebenen Fall verantwortlich ist

Referenzsystem. Differenzieren wir Gleichung (6.1) nach der Zeit:

Seit dem Punkt Ö bewegungslos ist, dann ist der Vektor gleich der Geschwindigkeit des Teilchens, d.h. er fällt in Richtung mit dem Vektor zusammen, also

Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes erhalten wir wo die Resultierende aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte ist. Somit,

Die Größe auf der rechten Seite dieser Gleichung wird aufgerufen Moment der Kraft relativ zum Punkt Ö(Abb. 6.2). Wir bezeichnen es mit dem Buchstaben , wir schreiben

Der Vektor ist wie , axial. Der Betrag dieses Vektors ist ähnlich wie in (6.2) gleich

Diese Gleichung heißt Momentengleichung. Beachten Sie, dass wenn der Bezugssystem nicht träge ist, das Kraftmoment sowohl das Moment der Wechselwirkungskräfte als auch das Moment der Trägheitskräfte um denselben Punkt umfasst Ö.

Aus der Momentengleichung (6.5) folgt insbesondere wenn dann . Mit anderen Worten, wenn relativ zu einem Punkt O des gewählten Bezugssystems das Moment aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte während des uns interessierenden Zeitintervalls gleich Null ist, dann bleibt relativ zu diesem Punkt der Drehimpuls des Teilchens konstant während dieser Zeit.

Beispiel 1. Ein Planet A bewegt sich und das Gravitationsfeld der Sonne C (Abb. 6.3). Relativ zu welchem ​​Punkt des heliozentrischen Bezugssystems bleibt der Drehimpuls eines gegebenen Planeten zeitlich erhalten?

Um diese Frage zu beantworten, muss zunächst festgestellt werden, welche Kräfte auf Planet A wirken. In diesem Fall ist dies nur die Schwerkraft

von der Seite der Sonne. Seit wann bewegt sich der Planet, die Richtung dieser Kraft

die ganze Zeit durch das Zentrum der Sonne geht, dann ist letzteres der Punkt, bezüglich dessen das Kraftmoment immer gleich Null ist und der Drehimpuls des Planeten konstant bleibt. Der Impuls des Planeten wird sich dann ändern.

Beispiel 2. Scheibe A, die sich entlang einer glatten horizontalen Ebene bewegt, prallt elastisch von einer glatten vertikalen Wand ab (Abb. 6.4, Draufsicht). Finden Sie den Punkt, um den herum der Drehimpuls des Pucks bei diesem Vorgang konstant bleibt.

Auf den Puck wirkt die Schwerkraft, die Reaktionskraft von der Seite der horizontalen Ebene, die Reaktionskraft von der Seite der Wand im Moment des Aufpralls darauf ein. Die ersten beiden Kräfte gleichen sich aus, die Kraft bleibt. Sein Impuls ist relativ zu jedem Punkt, der auf der Wirkungslinie des Vektors liegt, gleich Null, was bedeutet, dass relativ zu jedem dieser Punkte der Drehimpuls des Pucks bei diesem Vorgang konstant bleibt.

Beispiel 3. Auf einer horizontalen glatten Ebene gibt es einen festen vertikalen Zylinder und eine Unterlegscheibe A, die durch ein Gewinde AB mit dem Zylinder verbunden ist (Abb. 6.5, Draufsicht). Dem Puck wurde eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben, wie in dieser Figur gezeigt. Gibt es hier einen Punkt, um den herum der Drehimpuls des Pucks während der Bewegung konstant bleibt?

In diesem Fall ist die einzige unkompensierte Kraft, die auf die Unterlegscheibe A wirkt, die Spannkraft von der Seite des Gewindes. Es ist leicht einzusehen, dass es keinen Punkt gibt, bezüglich dessen das Kraftmoment im Bewegungsvorgang immer gleich Null wäre. Folglich gibt es keinen Punkt, relativ zu dem der Drehimpuls des Pucks konstant bleiben würde. Dieses Beispiel zeigt, dass es nicht immer einen Punkt gibt, um den herum der Drehimpuls eines Teilchens konstant bleiben würde.

Die Momentengleichung (6.5) erlaubt die Beantwortung zweier Fragen:

1) Finden Sie das Kraftmoment relativ zu dem für uns interessanten Punkt O in irgendein Zeit t, wenn die Zeitabhängigkeit des Drehimpulses des Teilchens relativ zum gleichen Punkt bekannt ist;

2) Bestimmen Sie die Zunahme des Drehimpulses des Teilchens relativ zum Punkt O für eine beliebige Zeitspanne, wenn die Zeitabhängigkeit des auf dieses Teilchen wirkenden Kraftmoments relativ zum selben Punkt O bekannt ist.

Die Lösung der ersten Frage reduziert sich darauf, die zeitliche Ableitung des Impulsmoments zu finden, die also nach (6.5) gleich dem gesuchten Kraftmoment ist.

Die Lösung der zweiten Frage reduziert sich auf die Integration von Gleichung (6.5). Wenn wir beide Teile dieser Gleichung mit dt multiplizieren, erhalten wir - einen Ausdruck, der das elementare Inkrement des Vektors bestimmt. Wenn wir diesen Ausdruck über die Zeit integrieren, finden wir das Inkrement des Vektors über ein endliches Zeitintervall t:

(6.6)

Der Wert auf der rechten Seite dieser Gleichung ist Schwung genannt Moment der Kraft. Als Ergebnis wurde die folgende Aussage erhalten: Das Inkrement des Drehimpulses eines Teilchens für eine beliebige Zeitspanne ist gleich dem Impuls des Kraftmoments für dieselbe Zeit. Betrachten wir zwei Beispiele.

Beispiel 1. Der Drehimpuls eines Teilchens relativ zu einem Punkt ändert sich mit der Zeit t gemäß dem Gesetz wobei und einige konstante, zueinander senkrechte Vektoren sind. Finden Sie das Kraftmoment, das auf das Teilchen wirkt, wenn der Winkel zwischen den Vektoren und gleich 45° ist.

Nach (6.5) gilt jene. Vektor, stimmt in Richtung immer mit dem Vektor überein. Lassen Sie uns die Vektoren und einen Moment t darstellen (Abb. 6.6). Aus dieser Abbildung ist ersichtlich, dass der Winkel = 45° in dem Moment ist, in dem Daher und .

Beispiel 2. Ein Stein A der Masse m wurde mit einer Anfangsgeschwindigkeit schräg zum Horizont geworfen. Finden Sie unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes die Zeitabhängigkeit des Drehimpulses des Steines relativ zum Wurfpunkt O (Abb. 6.7).

Für ein Zeitintervall dt der Drehimpuls des Steins relativ zum Punkt

Oh, erhalten Sie eine Erhöhung . Als dann Durch die Integration dieses Ausdrucks unter Berücksichtigung der Tatsache, dass im Moment wir bekommen . Dies zeigt, dass die Richtung des Vektors während der Bewegung unverändert bleibt (der Vektor ist über die Ebene hinaus gerichtet, Abb. 6.7.

Betrachten Sie nun die Begriffe Drehimpuls und Kraftmoment um die Achse. Wählen wir eine beliebige feste Achse in einem Trägheitsbezugssystem. Bezogen auf einen Punkt O auf der Achse seien der Drehimpuls des Teilchens A und das auf das Teilchen wirkende Kraftmoment .

Der Drehimpuls relativ zur z-Achse ist die Projektion des relativ zu einem beliebigen Punkt um diese Achse definierten Vektors auf diese Achse (Abb. 6.8). In ähnlicher Weise wird der Begriff des Kraftmoments um die Achse eingeführt. Sie

Lassen Sie uns die Eigenschaften dieser Größen herausfinden. Projiziert man (6.5) auf die z-Achse, erhält man

d.h. die zeitliche Ableitung des Drehimpulses des Teilchens um die z-Achse ist gleich dem Kraftmoment um diese Achse. Insbesondere wenn dann. Mit anderen Worten, wenn das Kraftmoment um eine feste Achse z gleich Null ist, dann bleibt der Drehimpuls des Teilchens um diese Achse konstant. In diesem Fall kann sich der Vektor selbst ändern.

Beispiel: Ein kleiner, an einem Faden aufgehängter Körper der Masse m bewegt sich unter der Wirkung der Schwerkraft gleichmäßig auf einem horizontalen Kreis (Abb. 6.9), wobei der Drehimpuls des Körpers – der Vektor – in Bezug auf den Punkt O ist gleiche Ebene mit der z-Achse und dem Gewinde. Wenn sich ein Körper bewegt, dreht sich der Vektor ständig unter der Wirkung des Schwerkraftmoments, dh er ändert sich. Die Projektion bleibt konstant, da der Vektor senkrecht steht

Lassen Sie uns nun analytische Ausdrücke für und finden. Es ist leicht zu sehen, dass dieses Problem darauf reduziert wird, Projektionen auf die z-Achse von Vektorprodukten und zu finden.

Verwenden wir das zylindrische Koordinatensystem und verknüpfen mit dem Teilchen A (Abb. 6.10) die Einheitsvektoren, die in Richtung der Erhöhung der entsprechenden Koordinaten gerichtet sind. In diesem Koordinatensystem werden Radius-Vektor und Teilchenimpuls wie folgt geschrieben:

wo sind die Projektionen des Vektors auf die entsprechenden Orte. Aus der Vektoralgebra ist bekannt, dass das Vektorprodukt dargestellt werden kann

bestimmend

Dies zeigt sofort, dass der Drehimpuls des Teilchens um die z-Achse

wo ist die Projektion der Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Radiusvektor des Teilchens dreht.

Analog (6.8) schreibt man auch das Kraftmoment um die z-Achse:

wo ist die Projektion des Kraftvektors auf den Ort

Beachten Sie, dass die Projektionen und nicht wirklich von der Wahl des Punktes O auf der z-Achse abhängen, relativ zu dem die Vektoren und definiert sind. Außerdem ist klar, dass und algebraische Größen sind, deren Vorzeichen den Vorzeichen der Projektionen und entsprechen.

Die Grundgleichung der Dynamik der Rotationsbewegung eines materiellen Punktes- Die Winkelbeschleunigung eines Punktes während seiner Drehung um eine feste Achse ist proportional zum Drehmoment und umgekehrt proportional zum Trägheitsmoment.

M = E*J oder E=M/J

Wenn wir den resultierenden Ausdruck mit dem zweiten Newtonschen Gesetz mit einem Translationsgesetz vergleichen, sehen wir, dass das Trägheitsmoment J ein Maß für die Trägheit des Körpers bei einer Rotationsbewegung ist. Die Menge ist wie die Masse additiv.

Trägheitsmoment dünner Ring:

Trägheitsmoment

Um das Trägheitsmoment zu berechnen, müssen wir den Körper gedanklich in ausreichend kleine Elemente unterteilen, deren Punkte als gleich weit von der Rotationsachse entfernt angesehen werden können, und dann das Produkt der Masse jedes Elements mit dem Quadrat finden seines Abstands von der Achse und summieren schließlich alle resultierenden Produkte. Offensichtlich ist dies eine sehr mühsame Aufgabe. Zum Zählen
Trägheitsmomente von Körpern regelmäßiger geometrischer Form, in einigen Fällen können die Methoden der Integralrechnung verwendet werden.
Das Finden der endlichen Summe der Trägheitsmomente der Elemente des Körpers wird durch die Summierung einer unendlichen Anzahl von Trägheitsmomenten ersetzt, die für infinitesimale Elemente berechnet werden:

lim ich = 1 ∞ ΣΔm ich r ich 2 = ∫r 2 dm. (beim ∆m → 0).

Berechnen wir das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe oder eines Vollzylinders mit einer Höhe h um seine Symmetrieachse

Teilen wir die Scheibe in Elemente in Form dünner konzentrischer Ringe mit Mittelpunkten auf der Symmetrieachse. Die resultierenden Ringe haben einen Innendurchmesser r und extern r + dr, und die Höhe h. Als DR<< r , dann können wir annehmen, dass der Abstand aller Punkte des Rings von der Achse ist r.
Für jeden einzelnen Ring das Trägheitsmoment

i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,

Woher ΣΔm ist die Masse des gesamten Rings.
Klingeltonlautstärke 2prhdr. Wenn die Dichte des Plattenmaterials ρ , dann die Masse des Rings

ρ2prhdr.

Ringträgheitsmoment

i = 2πρh 3dr.

Ich = 2πρh 0 R ∫r 3dr,

I = (1/2)πρhR 4.

Aber die Masse der Scheibe m = ρπhR 2, somit,

I = (1/2)mR2.

Wir geben (ohne Berechnung) die Trägheitsmomente für einige Körper mit regelmäßiger geometrischer Form aus homogenen Materialien an

 1. Das Trägheitsmoment eines dünnen Rings um eine Achse, die senkrecht zu seiner Ebene durch seinen Mittelpunkt verläuft (oder eines dünnwandigen Hohlzylinders um seine Symmetrieachse):

Ich = mR 2.

 2. Trägheitsmoment eines dickwandigen Zylinders um die Symmetrieachse:

Ich = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)

Woher R1− interne und R2− Außenradien.
 3. Das Trägheitsmoment der Scheibe um eine Achse, die mit einem ihrer Durchmesser zusammenfällt:

I = (1/4)mR2.

 4. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders um eine Achse, die senkrecht zur Erzeugenden steht und durch ihre Mitte geht:

Ich \u003d m (R 2/4 + h 2/12)

Woher R− Radius der Basis des Zylinders, h ist die Höhe des Zylinders.
 5. Das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes um eine durch seine Mitte verlaufende Achse:

Ich = (1/12) ml 2,

Woher l ist die Stablänge.
 6. Das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes um eine Achse, die durch eines seiner Enden verläuft:

Ich = (1/3) ml 2

7. Das Trägheitsmoment der Kugel um eine Achse, die mit einem ihrer Durchmesser zusammenfällt:

I = (2/5)mR 2.

Ist das Trägheitsmoment eines Körpers um eine durch seinen Massenmittelpunkt verlaufende Achse bekannt, so kann das Trägheitsmoment um jede andere Achse parallel zur ersten auf der Grundlage des sogenannten Huygens-Steiner-Theorems ermittelt werden.
Trägheitsmoment des Körpers ich relativ zu jeder Achse ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers Ist um eine Achse, die parallel zu der gegebenen ist und durch den Massenmittelpunkt des Körpers geht, zuzüglich der Masse des Körpers m mal dem Quadrat der Entfernung l zwischen den Achsen:

Ich \u003d Ich c + ml 2.

Als Beispiel berechnen wir das Trägheitsmoment einer Kugel mit Radius R und Gewicht m an einem Faden der Länge l aufgehängt, bezogen auf die durch den Aufhängepunkt verlaufende Achse Ö. Die Masse des Fadens ist klein im Vergleich zur Masse der Kugel. Da das Trägheitsmoment der Kugel um die durch den Massenmittelpunkt verlaufende Achse Ic = (2/5)mR2, und die Entfernung
zwischen den Achsen ( l + r), dann das Trägheitsmoment um die durch den Aufhängepunkt verlaufende Achse:

I = (2/5)mR2 + m(l + R)2.

Dimension des Trägheitsmoments:

[I] = [m] × = ML 2.

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In jedem Teilchensystem gibt es einen bemerkenswerten Punkt Mit- Massezentrum, oder Schwerpunkt, das eine Reihe interessanter und wichtiger Eigenschaften hat. Der Massenmittelpunkt ist der Angriffspunkt des Impulsvektors des Systems, da der Vektor jedes Impulses ein Polarvektor ist. Punktstellung Mit relativ zum Anfang Ö eines gegebenen Bezugssystems ist durch einen Radiusvektor gekennzeichnet, der durch die folgende Formel definiert ist:

Es ist zu beachten, dass der Massenmittelpunkt des Systems mit seinem Schwerpunkt zusammenfällt. Diese Aussage gilt zwar nur für den Fall, dass das Gravitationsfeld innerhalb des gegebenen Systems als homogen betrachtet werden kann.

Finden wir die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts im gegebenen Bezugssystem. Differenziert man (4.8) nach der Zeit, erhält man

jene. Der Impuls des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Wir erhalten die Bewegungsgleichung des Massenmittelpunkts. Das Konzept des Schwerpunkts erlaubt es, Gleichung (4.4) eine andere Form zu geben, die sich oft als bequemer herausstellt. Dazu genügt es, (4.10) in (4.4) einzusetzen und zu berücksichtigen, dass die Masse des Systems als solches ein konstanter Wert ist. Dann bekommen wir

wobei die Resultierende aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte ist. Das ist es Bewegungsgleichung des Massenschwerpunktes Systeme - eine der wichtigsten Gleichungen der Mechanik. Nach dieser Gleichung ist Wenn sich ein Teilchensystem bewegt, bewegt sich sein Trägheitszentrum, als ob die gesamte Masse des Systems an diesem Punkt konzentriert wäre und alle äußeren Kräfte darauf einwirken würden auf das System einwirken. Dabei ist die Beschleunigung des Trägheitszentrums völlig unabhängig von den Angriffspunkten äußerer Kräfte.

Auf diese Weise, Bewegt sich der Massenmittelpunkt des Systems gleichförmig und geradlinig, so bedeutet dies, dass sein Impuls erhalten bleibt im Bewegungsablauf. Natürlich gilt auch die Umkehrung.

Gleichung (4.11). fällt formal mit der Grundgleichung der Dynamik eines materiellen Punktes zusammen und ist seine natürliche Verallgemeinerung auf ein System von Teilchen: Die Beschleunigung des Systems als Ganzes ist proportional zur Resultierenden aller äußeren Kräfte und umgekehrt proportional zur Gesamtmasse das System. Erinnern Sie sich daran, dass in nicht-trägheitsbezogenen Bezugsrahmen die Resultierende aller äußeren Kräfte sowohl die Wechselwirkungskräfte mit den umgebenden Körpern als auch die Trägheitskräfte umfasst.

Betrachten Sie eine Reihe von Beispielen zur Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems.

Beispiel 1. Lassen Sie uns zeigen, wie Sie das Problem mit einem Mann auf einem Floß (S. 90) auf andere Weise lösen können, indem Sie das Konzept des Massenschwerpunkts verwenden.

Da der Wasserwiderstand vernachlässigbar ist, ist die Resultierende aller auf das Mann-Floß-System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null. Und das bedeutet, dass sich die Position des Trägheitszentrums dieses Systems während der Bewegung einer Person (und eines Floßes) nicht ändert, d.h.

.

wobei und Radiusvektoren sind, die die Positionen der Schwerpunkte einer Person und eines Floßes relativ zu einem bestimmten Punkt am Ufer charakterisieren. Aus dieser Gleichheit finden wir den Zusammenhang zwischen den Inkrementen der Vektoren und

Unter Berücksichtigung, dass die Inkremente und die Bewegung der Person und des Floßes relativ zum Ufer darstellen, finden wir die Bewegung des Floßes:

Beispiel 2. Eine Person springt von einem Turm ins Wasser. Die Bewegung des Jumpers hat im allgemeinen Fall einen sehr komplexen Charakter. Wenn der Luftwiderstand jedoch vernachlässigbar ist, können wir sofort behaupten, dass sich das Trägheitszentrum des Springers entlang einer Parabel bewegt, wie ein materieller Punkt, auf den eine konstante Kraft einwirkt, in der sich die Masse einer Person befindet.

Beispiel 3. Eine geschlossene Kette, die durch einen Faden mit dem Ende der Achse einer Zentrifugalmaschine verbunden ist, dreht sich gleichmäßig mit Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse (Abb. 4.4). Dabei bildet das Gewinde einen Winkel mit

vertikal. Wie verhält sich das Trägheitszentrum der Kette?

Zunächst einmal ist klar, dass sich bei gleichförmiger Rotation das Trägheitszentrum der Kette nicht in vertikaler Richtung bewegt. Das bedeutet, dass die vertikale Komponente der Kraft T der Fadenspannung die Schwerkraft kompensiert (Abb. 4.4, rechts). Die horizontale Komponente der Zugkraft ist betragsmäßig konstant und immer auf die Drehachse gerichtet.

Daraus folgt, dass sich der Massenmittelpunkt der Kette - Punkt C - entlang eines horizontalen Kreises bewegt, dessen Radius leicht mit Formel (4.11) gefunden werden kann, indem man ihn in die Form schreibt

wo ist die masse der kette. In diesem Fall liegt der Punkt C immer zwischen der Rotationsachse und dem Gewinde, wie in Abb. 4.4.

In den häufig vorkommenden Fällen, in denen wir nur an der Relativbewegung von Teilchen innerhalb eines Systems interessiert sind und nicht an der Bewegung dieses Systems als Ganzes, ist es am zweckmäßigsten, ein Bezugssystem zu verwenden, in dem sich der Massenmittelpunkt befindet sich ausruhen. Dadurch können sowohl die Analyse des Phänomens als auch die Berechnungen erheblich vereinfacht werden.

Ein Bezugssystem, das starr mit dem Massenmittelpunkt eines gegebenen Teilchensystems verbunden ist und sich in Bezug auf Inertialsysteme translatorisch bewegt, wird als Bezugssystem bezeichnet Schwerpunktsystem oder kurz C-System(Die Bezeichnung des Systems ist dem Anfangsbuchstaben des lateinischen Wortzentrums zugeordnet). Eine Besonderheit dieses Systems ist, dass der Gesamtimpuls des darin enthaltenen Teilchensystems gleich Null ist - dies folgt direkt aus Formel (4.10). Mit anderen Worten, jedes Teilchensystem ruht als Ganzes in seiner - C-System.

Für ein geschlossenes Teilchensystem ist es Mit-System ist träge, für nicht geschlossen - im Allgemeinen nicht träge.

Finden wir den Zusammenhang zwischen den Werten der mechanischen Energie des Systems in K und Mit Bezugssysteme. Beginnen wir mit der kinetischen Energie des Systems. Teilchengeschwindigkeit ein K-System kann als Summe von Geschwindigkeiten dargestellt werden, wobei und die Geschwindigkeit dieses Teilchens in ist Mit-System und die Geschwindigkeit des Schwerpunktsystems relativ zu K-Referenzsysteme bzw. Dann kannst du schreiben.

Neben Energie und Impuls gibt es noch eine weitere physikalische Größe. Mit dem das Erhaltungsgesetz verbunden ist - das ist der Drehimpuls. Der Drehimpuls eines Teilchens relativ zum Punkt O heißt Vektor gleich
,-Radius; -Impuls.

Jene. ist ein??? Vektor. Seine Richtung ist so gewählt, dass die Drehung um O in Richtung und Vektor bildet ein rechtes Schraubensystem. Modul
Winkel dazwischen und

Vektor Schulter bezüglich o.

Lassen Sie uns herausfinden, welcher Wert mit der Änderung des Vektors verbunden ist rechtzeitig:

.

T .dazu ist es dann bewegungslos ist gleich der Teilchengeschwindigkeit, d.h. fällt zusammen mit , d.h.
. Weiter
- Newtons zweites Gesetz und
; Wert
- Axialvektor des Kraftmoments.
,-Schulterstärke bezüglich.

Damit ist die Ableitung bzgl Drehimpuls Partikeln bezüglich einiger t.O des gewählten Bezugssystems gleich dem Moment der resultierenden Kraft ist über diesen Punkt
. Diese Gleichung wird Momentengleichung genannt.

Wenn der Bezugssystem nicht träge ist, dann im Moment der Kraft beinhaltet sowohl das Moment der Interaktionskräfte als auch das Moment der Trägheitskräfte (relativ zu demselben t.O). Aus der Momentengleichung folgt wenn
, dann
- Gleichmäßige Drehbewegung. Jene. wenn das Moment aller Kräfte relativ zu t.O des Bezugssystems gleich O ist, während der für uns interessierenden Zeit
, dann bleibt der Drehimpuls des Teilchens um diesen Punkt konstant.

Die Momentgleichung ermöglicht es Ihnen, zu finden
Punkte relativ zu O jederzeit, falls bekannt
Teilchen relativ zu einem Punkt. Dazu genügt es, die Gleichung zu differenzieren
. Außerdem, wenn die Beziehung bekannt ist
, dann kannst du das Inkrement des Drehimpulses des Teilchens relativ zu t.O für einen beliebigen Zeitraum finden. Dazu ist es notwendig, die Gleichung zu integrieren
, dann

Ausdruck -Impuls Moment der Kraft wie , d.h. das Inkrement des Drehimpulses des Teilchens für eine beliebige Zeitspanne ist gleich dem Impuls des Kraftmoments für e

diese Zeit.

4.3. Impulsmoment und Kraftmoment um die Achse.

BEIM Nehmen wir den Bezugsrahmen an, an dem wir interessiert sind, eine beliebige feste Achse . Sei relativ zu einer t.O-Achse der Drehimpuls des Teilchens ist , und das Moment der Kräfte
. Winkeldrehimpuls heißt Projektion auf diese Achse des Vektors , definiert in Bezug auf einen beliebigen Punkt O der gegebenen Achse. In ähnlicher Weise wird der Begriff des Kraftmoments um die Achse eingeführt
. Die Momentengleichung um die Achse
jene. Derivat von verhältnismäßig entspricht
um diese Achse. Besonders wenn

. Jene. wenn das Moment des Schlicks um eine Achse ist dann gleich 0 um diese Achse bleibt konstant. In diesem Fall der Vektor verändert sich.

4.4. Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses des Systems.

Stellen Sie sich ein System vor, das aus 2 Teilchen besteht, auf die ebenfalls Kräfte einwirken und . Der Drehimpuls ist eine additive Größe. Für ein System ist es gleich der Vektorsumme des Drehimpulses einzelner Teilchen in Bezug auf denselben Punkt
.

Wir wissen das
- das Moment aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte und die Änderung des Moments des Systems
, dann
;
;

- das Gesamtmoment aller auf die Teilchen wirkenden Schnittkräfte.

- das Gesamtmoment aller auf die Teilchen einwirkenden äußeren Kräfte.

Also für zwei Teilchen:

Das Gesamtmoment der inneren Kräfte relativ zu jedem Punkt ist 0. Die Kräfte der Wechselwirkung zwischen Partikeln
Jeweils 3 Mu Das Newtonsche Gesetz wirkt in einer geraden Linie, was bedeutet, dass sie dieselbe Schulter haben, sodass das Moment jedes Paars von inneren Kräften 0 ist.

Dass.
; jene. Systeme verändern sich unter dem Einfluss äußerer Kräfte
. Wenn es keine äußeren Kräfte gibt
,
ist dann eine additive Erhaltungsgröße. Jene. der Drehimpuls eines geschlossenen Teilchensystems bleibt konstant, ändert sich nicht mit der Zeit. Dies gilt für jeden Punkt im Trägheitsbezugssystem:
jene. Schwung einzelner Teile ein Teil des Systems entsteht durch den Verlust ein anderer Teil (relativ zu einem Punkt).

Das Gesetz gilt auch in einem nicht-trägen Bezugssystem in den Fällen, in denen das Gesamtmoment aller äußeren Kräfte einschließlich der Trägheitskräfte gleich Null ist.

W Das Gesetz spielt die gleiche Rolle wie das Gesetz zur Erhaltung der Impulsenergie. Es ermöglicht Ihnen, verschiedene Probleme zu lösen, ohne die Details interner Prozesse zu berücksichtigen. Beispiel: übertakten????

Drehimpuls
;
jene. sinkt als . Dieser Effekt wird häufig von Turnern, Eiskunstläufern usw. hier interessieren uns Wechselwirkungskräfte usw. in nicht geschlossenen Systemen darf es nicht erhalten bleiben , und seine Projektion auf eine feste Achse . Es passiert wann
alle äußeren Kräfte.

;
;

In der Physik wird der Drehimpulsbegriff auf nicht-mechanische Systeme (mit elektromagnetischer Strahlung, in Atomen, Kernen etc.) ausgedehnt, wo die Newtonschen Gesetze nicht gelten. Hier ist der Drehimpulserhaltungssatz nicht mehr eine Folge der Newtonschen Gesetze, sondern schon unabhängig ist eine Verallgemeinerung experimenteller Tatsachen und neben den Energie- und Impulserhaltungssätzen eines der Grundgesetze.