نمونه های ریشه درجه n برای تصمیم گیری شخصی. ریشه دوم

درس و ارائه با موضوع: "ویژگی های ریشه درجه n. قضایا"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 10-11 "لگاریتم"

خواص ریشه درجه n. قضایا

قضیه 1. ریشه n ام حاصل ضرب دو عدد غیر منفی برابر است با حاصلضرب ریشه nام این اعداد: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $.

بیایید قضیه را ثابت کنیم.
اثبات بچه ها، برای اثبات قضیه، بیایید متغیرهای جدیدی را معرفی کنیم، نشان می دهد:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
باید ثابت کنیم که $x=y*z$.
توجه داشته باشید که هویت های زیر نیز وجود دارد:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
سپس هویت زیر نیز برقرار است: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
درجات دو عدد غیر منفی و توان آنها با هم برابر است، سپس پایه های خود درجات برابر هستند. از این رو $x=y*z$، که باید ثابت شود.

قضیه 2. اگر $a≥0$، $b>0$ و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 باشد، برابری زیر برقرار است: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

یعنی ریشه n ضریب برابر با ضریب ریشه n ام است.

اثبات
برای اثبات این موضوع از یک طرح ساده به شکل جدول استفاده می کنیم:

نمونه هایی از محاسبه ریشه n

مثال.
محاسبه: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
تصمیم گیری بیایید عبارت رادیکال را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
بیایید از قضیه 2 استفاده کنیم: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2) دلار.

مثال.
محاسبه:
الف) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
ب) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
تصمیم:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
ب) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

قضیه 3. اگر $a≥0$، k و n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 باشند، برابری درست است: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

برای بالا بردن ریشه به یک قدرت طبیعی کافی است که بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.

اثبات
بیایید در نظر بگیریم مورد خاصبرای k=3$. بیایید از قضیه 1 استفاده کنیم.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
برای هر مورد دیگری هم می توان همین را ثابت کرد. بچه ها، برای موردی که $k=4$ و $k=6$ است، خودتان آن را ثابت کنید.

قضیه 4. اگر $a≥0$ b n,k اعداد طبیعی بزرگتر از 1 باشند، برابری درست است: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

برای استخراج ریشه از یک ریشه کافی است که نماهای ریشه ها را ضرب کنیم.

اثبات
اجازه دهید دوباره به طور خلاصه با استفاده از جدول ثابت کنیم. برای اثبات این موضوع از یک طرح ساده به شکل جدول استفاده می کنیم:

مثال.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

قضیه 5. اگر شاخص های ریشه و عبارت ریشه در یک عدد طبیعی یکسان ضرب شوند، مقدار ریشه تغییر نمی کند: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

اثبات
اصل اثبات قضیه ما مانند نمونه های دیگر است. بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (طبق تعریف).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (طبق تعریف).
آخرین برابری را به توان p می آوریم
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
بدست آورد:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
یعنی $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ که قرار بود ثابت شود.

مثال ها:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (تقسیم بر 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (تقسیم بر 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ضرب در 3).

مثال.
اکشن‌ها را اجرا کنید: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
تصمیم گیری
توان ریشه ها اعداد متفاوتی هستند، بنابراین نمی توانیم از قضیه 1 استفاده کنیم، اما با اعمال قضیه 5 می توانیم توان های مساوی بدست آوریم.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ضرب در 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ضرب در 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

وظایف برای راه حل مستقل

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خصوصیات فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در علائم ریشه فرموله و اثبات می شوند.

قضیه 1. ریشه درجه نهم(n=2, 3, 4,...) از حاصل ضرب دو تراشه غیر منفی برابر با حاصلضرب است. ریشه های n امدرجه از این اعداد:

اظهار نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر یک, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، سپس تساوی است

قضیه 1 به ما اجازه می دهد m را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با توان یکسان.

قضیه 3. اگر ,k یک عدد طبیعی و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 و سپس تساوی است

به عبارت دیگر برای بالا بردن ریشه به قوه طبیعی کافی است که بیان ریشه را به این قوه برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، برای مثال، برای k = 3 ما دریافت می کنیم

قضیه 4. اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 و سپس تساوی هستند

به عبارت دیگر، برای استخراج ریشه از یک ریشه کافی است که نماهای ریشه ها را ضرب کنیم.
مثلا،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما در مورد جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، شما نمی توانید به جای Indeed بنویسید، اما واضح است که

قضیه 5. اگر نشانگرهای ریشه و عبارت ریشه در یک عدد طبیعی یکسان ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 2محاسبه
تصمیم گیریعدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 )، ما گرفتیم:

مثال 3محاسبه:

تصمیم گیریهمانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آن را در شکل نشان داد و برعکس، می تواند با عبارت جایگزین شود. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این موضوع، بیایید محاسبات را انجام دهیم.

باید با خواص این عملیات آشنا شویم که در این قسمت انجام خواهیم داد.

تمام خصوصیات فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در علائم ریشه فرموله و اثبات می شوند.

اثباتاجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: باید ثابت کنیم که برای اعداد غیرمنفی x، y، z برابری x-yz برقرار است.
مانند
بنابراین، اما اگر درجات دو عدد غیر منفی مساوی و توانها مساوی باشند، آنگاه پایه ها نیز برابر هستند. درجه; از این رو، از برابری x n \u003d (yz) p نتیجه می شود که x-yz، و این باید ثابت شود.

ما گزارش مختصری از اثبات قضیه را ارائه می دهیم.

یادداشت:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.
2. قضیه 1 را می توان با استفاده از ساختار "اگر... آنگاه" (همانطور که برای قضایا در ریاضیات مرسوم است) فرمول بندی کرد. اجازه دهید فرمول مربوطه را ارائه دهیم: اگر a و b اعداد غیرمنفی باشند، برابری درست است. قضیه زیر دقیقاً به این صورت است.

یک فرمول کوتاه (البته نادرست) که در عمل راحت تر است: ریشه کسریبرابر کسری از ریشه است.

اثباتما گزارش مختصری از اثبات قضیه 2 ارائه می دهیم و شما سعی می کنید نظرات مناسبی را مشابه آنچه در اثبات قضیه 1 ارائه شده است ارائه دهید.

شما، البته، متوجه شد که دو خاصیت ثابت شده است ریشه های nدرجه تعمیم خصوصیات ریشه های مربعی است که از درس جبر کلاس هشتم برای شما شناخته شده است. و اگر خواص دیگر ریشه درجه نهمنبود، پس همه چیز ساده خواهد بود (و خیلی جالب نیست). در واقع چندین ویژگی جالب و مهم دیگر نیز وجود دارد که در این پاراگراف به آنها خواهیم پرداخت. اما ابتدا به چند نمونه از استفاده از قضایای 1 و 2 می پردازیم.

مثال 1محاسبه
تصمیم گیریبا استفاده از اولین ویژگی ریشه ها (قضیه 1)، به دست می آوریم:

تبصره 3.البته می‌توانید این مثال را متفاوت حل کنید، مخصوصاً اگر یک ریزمحاسبه در دست دارید: اعداد 125، 64 و 27 را ضرب کنید و سپس ریشه مکعب را از محصول حاصل استخراج کنید. اما، می بینید، راه حل پیشنهادی "هوشمندتر" است.
مثال 2محاسبه
تصمیم گیریعدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
ما با استفاده از خاصیت دوم ریشه ها (قضیه 2) دریافت می کنیم:

مثال 3محاسبه:
تصمیم گیریهمانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آن را در شکل نشان داد و برعکس، می تواند با عبارت جایگزین شود. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این موضوع، بیایید محاسبات را انجام دهیم:

مثال 4اجرای اقدامات:
تصمیم گیریالف) داریم:
ب) قضیه 1 به ما اجازه می دهد که فقط ریشه های هم درجه را ضرب کنیم. فقط ریشه هایی با توان یکسان. در اینجا همچنین پیشنهاد شده است که ریشه درجه 2 از عدد a در ریشه درجه 3 همان عدد ضرب شود. چگونه این کار را انجام دهیم، ما هنوز نمی دانیم. بعداً به این مشکل باز خواهیم گشت.
اجازه دهید به مطالعه خواص رادیکال ها ادامه دهیم.

به عبارت دیگر برای بالا بردن ریشه به قوه طبیعی کافی است که بیان ریشه را به این قوه برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، برای مثال، برای k = 3 ما دریافت می کنیم

به عبارت دیگر، برای استخراج ریشه از یک ریشه کافی است که نماهای ریشه ها را ضرب کنیم.
مثلا،
اثباتهمانطور که در قضیه 2، ما گزارش مختصری از اثبات ارائه می دهیم، و شما می توانید سعی کنید نظرات مناسب را خودتان، مشابه آنچه در اثبات قضیه 1 ارائه شده است، ارائه دهید.

تبصره 4.بیا یه نفس بکشیم از قضایای اثبات شده چه آموخته ایم؟ ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما در مورد جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه. ما در این مورد در کلاس هشتم در مورد عملیات استخراج ریشه مربع صحبت کردیم.

به عنوان مثال، شما نمی توانید به جای Indeed بنویسید، اما بدیهی است که مراقب باشید!
شاید جالب ترین ویژگی ریشه ها همان ویژگی باشد که در قضیه بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت. با توجه به اهمیت ویژه این ویژگی، ما این اختیار را می‌پذیریم که سبک خاصی از صورت‌بندی‌ها و براهین ایجاد شده در این بخش را زیر پا بگذاریم تا صورت‌بندی قضیه 5 کمی «نرم‌تر» و اثبات آن قابل درک‌تر شود.

مثلا:

(شاخص های بیان ریشه و ریشه تقسیم بر 4)؛

(شاخص های بیان ریشه و ریشه تقسیم بر 3)؛

(شاخص های بیان ریشه و رادیکال در 2 ضرب شد).

اثباتاجازه دهید سمت چپ برابری را که باید با حرف ثابت شود نشان دهیم سپس با تعریف ریشه، برابری

سمت راست هویت را که با حرف y ثابت می شود مشخص کنید:

سپس با تعریف ریشه، برابری

اجازه دهید هر دو بخش آخرین برابری را به توان یکسان p برسانیم. ما گرفتیم:

بنابراین (به مساوات (1) و (2) مراجعه کنید)،

با مقایسه این دو برابری به این نتیجه می رسیم که x np = y np و از این رو x = y که باید ثابت می شد.
قضیه اثبات شده به ما اجازه می دهد تا مشکلی را که در بالا هنگام حل مثال 5 با آن مواجه شدیم، حل کنیم، جایی که لازم بود ضرب ریشه ها را با توان های مختلف انجام دهیم:

معمولاً در چنین مواردی اینگونه استدلال می شود.
1) با توجه به قضیه 5 در عبارت، می توان هم شاخص ریشه (یعنی عدد 2) و هم شاخص عبارت ریشه (یعنی عدد 1) را در یک عدد طبیعی ضرب کرد. با استفاده از این، هر دو شاخص را در 3 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:
2) طبق قضیه 5، در عبارت می توان هم شاخص ریشه (یعنی عدد 3) و هم شاخص عبارت ریشه (یعنی عدد 1) را در یک عدد طبیعی ضرب کرد. با استفاده از این، هر دو شاخص را در 2 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

3) از آنجایی که ما ریشه های همان درجه 6 را به دست آوردیم، می توانیم آنها را ضرب کنیم:

تبصره 5.آیا فراموش کرده اید که تمام خصوصیات ریشه هایی که در این پاراگراف مورد بحث قرار گرفتیم توسط ما فقط برای مواردی در نظر گرفته می شود که متغیرها فقط مقادیر غیر منفی بگیرند؟ چرا مجبور شدید چنین محدودیتی ایجاد کنید؟ زیرا ریشه n امدرجه از یک عدد منفی همیشه معنی ندارد - فقط برای مقادیر فرد n تعریف می شود. برای چنین مقادیری از توان ریشه، خواص در نظر گرفته شده ریشه ها در مورد عبارات رادیکال منفی نیز صادق است.

A.G. جبر موردکوویچ درجه 10

موضوع: تابع توان. ریشه nthدرجه

هدف:

تکرار مطالب تحت پوشش در طول بازی، جذب آگاهانه این موضوعات.

آموزش مسئولیت پذیری، توجه، آموزش حافظه.

توسعه نبوغ، تدبیر. برای ترویج توسعه علاقه شناختی به ریاضیات.

زمان سازماندهی

زنگ به صدا درآمد. بچه ها سر جای خود نشستند. معلم از دانش‌آموزان سؤال می‌پرسد و آنها با بالا بردن دست به سؤالات پاسخ می‌دهند:

میشه لطفا به ما بگید که در چند درس اخیر چه مطالعه ای داشته ایم؟ ( موضوع این درس بچه ها خودشان را نام می برند)

به نظر شما هدف از درس امروز ما چیست؟ ( بچه ها سعی می کنند هدف درس را خودشان تدوین کنند، معلم فقط آن را تصحیح می کند)

به کشور خوش آمدید"ریاضیات "! به کشور لگاریتم ها، محاسبات ساده، ریشه ها، نعوظ ها و معادلات! سفر در سراسر کشورریاضیدانان "2 دستور ارسال می شود:" ROOT "," DEGREE "، سفر با شعار (از قبل روی تابلو نوشته شده است ): "کتاب یک کتاب است، و مغز خود را حرکت دهید" (V.V. Mayakovsky). اعضای تیم برای پاسخ های صحیح "کارت قرمز" دریافت خواهند کرد.

1. تیم سازی

هر دانش آموز در ورودی دفتر کارتی دریافت کرد که روی آن فرمول تابع نوشته شده است (هرکسی متفاوت است). هر دانش آموز تعیین می کند که چه عملکردی دارد، زوج یا فرد، اگر زوج - دستور "ROOT"، فرد - "DEGREE".

گزینه های عملکرد:f(ایکس)= , f(ایکس)=

f(x)=
، f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

f(x)=
f(x)=

f(x)= ، f(x)=

f(x)=
f(x)=

f(ایکس)= f(ایکس)=

f(ایکس)= f(ایکس)=

2. انتخاب فرمانده هر تیم

وظیفه: پاسخ خود را حل کنید و از آن دفاع کنید (فرمانده باید بتواند سریع فکر کند و مسئول همه چیز باشد). برای کدام مقادیر متغیر عبارت منطقی است ( عبارات از قبل روی تابلو نوشته می شوند) :

|

پاسخ: -8≤ x پاسخ: -11≤ x

3. دست گرمی بازی کردن

برای هر پاسخ صحیح - 1 کارت ( تیم ها شروع به گلزنی می کنند). معلم تکلیف را می خواند، دانش آموزان پاسخ می دهند.

حسابی من امضا می کنم

در کتاب مشکل، من را در بسیاری از خطوط خواهید یافت.

فقط "o" را در کلمه وارد می کنید، با دانستن اینکه چگونه،

و من یک نقطه جغرافیایی هستم. (+، قطب)

من عددی کمتر از ده هستم

پیدا کردن من برای شما آسان است.

اما اگر دستور دهید حرف "من" در کنار شما بایستد،

من همه چیز هستم - پدر، شما، پدربزرگ، و مادر. (هفت، خانواده)

4. به سفر ادامه می دهیم و در راه دیواری عظیم وجود دارد که روی آن تکلیف نوشته شده است (از قبل یک پوستر به شکل دیوار تهیه کنید ): محاسبه:
برای غلبه بر این دیوار، باید این کار را حل کنید، کدام تیم تصمیم می گیرد که امتیاز کسب کند.(0,7+0,3=1)

1) ویژگی های یک تابع توان با n - زوج.

2) ویژگی های یک تابع توان با n - فرد.

6. آزمون بعدی برای ما مسابقه "خودت را نشان بده" خواهد بود. شرایط مسابقه: هر یک از اعضای تیم به نوبه خود به هیئت مدیره می رود و هر کار را به انتخاب خود حل می کند، اولین تیمی که وظایف را انجام می دهد برنده می شود.

مقایسه کنید:

1)

2)

3)

معادله را حل کنید:

4)

6)

محاسبه:

7)

8)

9)

7. تیم ها برای یکدیگر سوالاتی را آماده می کنند. برای پاسخ صحیح و اصالت امتیاز دریافت کنید.

8. نتیجه. جایزه. هر تیم یک کلمه نهایی را آماده می کند که سؤالات زیر را نشان می دهد: درس امروز برای هر تیم و نمایندگان فردی مفید بود، نظرات در مورد درس و معلم. درجه بندی با نظرات (برای چه فعالیتی و چرا).