Есть такая наука, она называется логикой, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. Как человек, не знающий правил арифметики и грамматики, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать.
Человеку, занимающемуся математикой, очень часто приходится определять понятия, выяснять связи между ними, рассматривать, на какие группы (виды) могут быть подразделены фигуры, числа, уравнения функции. Но особенно часто в математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила и доказывать теоремы. Не случайно находились такие математики, которые думали, что математика – это наука «о производстве необходимых умозаключений». Такой взгляд на математику односторонен, но верно то, что без логики не может быть математики. А это значит, что для успешного изучения математики надо настойчиво учиться правильно рассуждать. Это значит также, что само изучение математики очень полезно для овладения правилами и законами мышления. Не без оснований называют иногда математику «оселком для ума».
Логика – абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.
Исследование всевозможных логических цепочек (силлогизмов) привело к обнаружению знаменитых парадоксов и софизмов. Парадокс – ситуация, когда в теории доказываются два взаимно исключающие друг друга суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами.
Простой категорический силлогизм – рассуждение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на большую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения).
Пример силлогизма:
Всякий человек смертен (большая посылка)
Сократ – человек (меньшая посылка)
Сократ смертен (заключение)
Цель работы: в этой работе я продолжу развивать мысль своей прошлой работы. Я рассмотрю более подробно софизмы, познакомлю вас с логическими цепочками и с великим человекам, открывшие нам их законы. Изучу несколько новых парадоксов. А также опровергну или найду подтверждения своей гипотезе.
Гипотеза: при решении софизмов и парадоксов используется логика.
Логика ведет своё происхождение от ораторского искусства. Убедить собеседника невозможно, если оратор сам себе противоречит (уж если ты сказал, что снег белый, не следует ссылаться на его черноту). В Древней Греции, где важнейшие вопросы решались на советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель или литератор старался строить речь так, чтобы она была доходчива и разумна. В античном мире чрезвычайно ценилось умение высказываться точно, кратко и остроумно.
Любовь к точной фразе привела древнегреческих философов к логике. Что из чего следует и почему? Можно ли, например, утверждать, что Сократ смертен, если дано, что все люди смертны и Сократ человек? Можно. А если дано, что все люди смертны и Сократ тоже смертен, верно ли, что Сократ человек? Неверно: вдруг Сократом зовут не только греческого мудреца, но и, скажем, его собаку?
Законы логики, правила вывода верных утверждений из заданных посылок наиболее полно исследовал великий древнегреческий философ Аристотель.
АРИСТОТЕЛЬ (384-322 до н. э.)
В 366 году до нашей эры в Академии Платона появился новый ученик. Он был родом из Стагира, и было ему 18 лет. Ученика звали Аристотель.
Почти 20 лет провел Аристотель в Академии. Из ученика он превратился в мудреца-философа, соперничавшего в знаниях и глубокомыслии с самим Платоном. Это соперничество подчас становилось весьма острым, но ни разу научные споры Платона с Аристотелем не переросли в личную вражду.
Вскоре после смерти Платона Аристотель покинул Академию. Македонский царь Филипп пригласил его воспитывать царевича Александра. В 335г. до н. э. Аристотель вернулся из Македонии в Афины, где основал собственную школу. Её название – Ликей – вошло впоследствии в латинский и во многие другие языки, изменившись на одну букву: лицей.
Вслед за Платоном, Аристотель считал, что достоверное знание может и должно быть выведено из исходных, несомненных истин – аксиом – при помощи логических рассуждений. Но Аристотель пошел дальше Платона: он описал законы логики, которые позволяют переходить от одного истинного суждения к другому без риска совершить ошибку.
Вот несколько законов, сформулированных Аристотелем. Сякое суждение либо истинно, либо ложно. Ни одно суждение не может быть истинным и ложным одновременно. Из общих утверждений следуют частные (например, из того, что все люди смертны, следует, что Сократ тоже смертен). В течение многих веков научный авторитет Аристотеля был непререкаем.
«ИЛИ», «И», «ЕСЛИ» И «НЕ»
Всякое высказывание может быть истинным или ложным. Третий вариант трудно себе представить, поэтому древнегреческие философы и пользовались «принципом исключенного третьего» - считали, что не может утверждение быть и не истинным, и не ложным. Вслед за ними так считаем и мы. Логика без принципа «исключенного третьего» упоминается разве лишь в фантастических романах, да и то в шутку
А теперь попробуем собрать одно высказывание из двух частей. Как мы часто это делаем, соединим две фразы словечком «или». «В углу шуршит мышь или крокодил». Верно ли это высказывание? Зависит от того, кто на самом деле шуршит в углу. Если это и вправду мышь, фраза верна. Если (как ни трудно себе такое представить) это крокодил, опять же высказывание верно. Если в углу дружно шуршат мышь с крокодилом, она верна снова! И лишь если в углу нет ни мыши, ни крокодила, а шуршит сбежавший из клетки хомяк, высказывание оказывается ложным. Это – свойство, присущее именно «или»: два утверждения, связанные этим словом, составляют верное высказывание, если хотя бы одно из утверждений справедливо, и ложное, если оба утверждения неверны. А теперь составим маленькую табличку (здесь И – «истинное утверждение», Л – «ложное»):
И или И = И,
И или Л = И,
Л или И = И.
Л или Л = Л.
Сравним теперь, как себя ведет связка «и». Разберем пример: «Мимо окна летят воробей и летающая тарелка». Если за окном нет ни воробья, ни тарелки, это высказывание ложно. Если воробей есть, а тарелки нет – оно все равно ложно. Если есть тарелка, но нет воробья – то же самое. И лишь одновременное присутствие обоих означает. Что фраза истинна. Вот таблица истинности для словечка «и»:
Фраза, связанная этим словом, верна в том единственном случае, когда верна в том единственном случае, когда верны обе части!
В этом тексте несколько раз употреблялась конструкция фразы «если так, то будет эдак». Посмотрим, когда верно утверждение такого типа? Оно верно, если верна первая часть (посылка) и одновременно верна вторая (заключение). Оно неверно, если верна посылка, но неверен вывод: несомненно ложным является высказывание «если разбить чашку, то будет землетрясение». А если посылка неверна? Может показаться невероятным, но в этом случае высказывание истинно. Из ложной посылки следует что угодно! На самом деле ничего удивительного в этом нет: вам самим случалось, и не раз, употреблять фразы вроде «если 2х2=5, то я папа римский». Попробуйте доказать, что такое утверждение ложно! Оно означает лишь, что 2х2 не равно пяти, и вы не папа римский, следовательно, оно истинно. Получим такую таблицу истинности:
«И» и «или» - это элементарные действия логики, так же как сложение и умножение – это действия арифметики. Между логическими и арифметическими операциями есть некоторое сходство, и сейчас мы его продемонстрируем. Пусть у нас только две цифры, 0 и 1. Будем обозначать истину единицей, а ложь – нулем. Тогда наша табличка истинности для «или» напоминает таблицу двоичного сложения: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1, и только для «сложения» двух истин (1+1=1) мы получим не тот ответ, который дает нам двоичная арифметика (там 1+1=10), но по большому счету он не слишком сильно отличается от арифметического, ибо нуля мы не получим все равно. Результат же логического умножения – «и» - полностью совпадает с арифметическим: 0х0=0, 1х0=0, 0х1=0, 1х1=1.
Аналога операции «если» на первый взгляд в арифметике нет. Но если ввести ещё одно логическое действие, не рассмотренное нами подробно – «не», отрицание, устроенное чрезвычайно просто (не истина есть ложь, не ложь есть истина, т. е. в чистом виде закон исключенного третьего), - оказывается, можно выразить «если» через «или», «и» и «не». Самом деле, конструкция «А и В, или не А» ведет себя точно так же, как «если А, то В». Если А истинно, то не А ложно, и истинность всего высказывания зависит от истинности В; если же А ложно, то не А истинно, и независимо от истинности или ложности В высказывание будет верным.
Мы не зря упомянули здесь арифметическую аналогию логических операций. Поскольку можно (с некоторыми поправками) выразить цифрами и арифметическими знаками истинность или ложность высказываний, то можно научить логике вычислительную машину. Ей будут доступны все логические рассуждения, сколь угодно сложные – нужно лишь выразить их через «и», «или» и «не».
ПАРАДОКСЫ.
Парадокс (от греческого para – протии и doxa – мнение) – противоречивое высказывание.
В широком смысле парадокс – неочевидное высказывание, истинность которого устанавливается трудно; в этом смысле парадоксальными принято называть любые неожиданные противоречивые высказывания, особенно если неожиданность их смысла выражена в остроумной форме.
В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т. е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь.
Парадоксы, как правило, свидетельствуют о недостатках рассматриваемой теории, о её внутренней противоречивости. В науке очень часто обнаружение парадокса в рамках данной теории приводило к существенной перестройке всей теории и служило стимулом для дальнейших более глубоких исследований. В математике анализ парадоксов способствовал как пересмотру взглядов на проблему обоснования, так и развитию многих современных идей и методов. Этими вопросами занимается наука, называемая математической логикой.
СОБАКА И ЗАЯЦ
На охоте собака погналась за зайцем, находившимся от неё на расстоянии 100 сажен, но не догнала его. Охотники были весьма огорчены подобной неудачей, но вот один из них и говорит: «Эх, господа, стоит ли расстраиваться из-за такого пустяка? Да и стоит ли вообще гонять собак за зайцами? Всё равно собака его никогда догнать не сможет, даже в том случае, если побежит со скоростью в 10 раз большею. »
Как так?! – изумились охотники. – Что за вздор?
Какой там вздор, господа! Вовсе не вздор! И я вас уверяю, что всегда так будет!
Ну, что за чепуха! - сказали слушавшие. – Объясните, пожалуйста, как это может случиться?
А вот как1 Положим, например, что собаку вначале отделяет от зайца расстояние в 100 сажен. Если даже собака будет бежать в 10 раз скорее зайца, то когда она пробежит эти 100 сажен, заяц успеет пробежать ещё 10 сажен. Когда собака пробежит и эти 10 сажен, заяц пробежит ещё 1 сажень, и все-таки будет впереди собаки; когда собака пробежит и эту сажень, то заяц пробежит снова 1/10 сажени и т. д. Таким образом, заяц всегда будет впереди собаки, хотя бы на небольшое расстояние. Следовательно, собака никогда не догонит зайца. Этот парадокс известен очень давно и носит название «парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».
КУЧА ПЕСКА
Два приятеля однажды вели такой разговор. «Видишь кучу песка?» - спросил первый. «Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле». Первый удивился: «Почему?» -Очень просто,- ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. Этот парадокс носит название «парадокс кучи».
ПАРАДОКС «ЛЖЕЦ»
Наиболее известным и самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец». «Я – лжец» - говорит некто и впадает в неразрешимое противоречие! Ведь если он действительно лжец, он солгал, говоря, что он лжец, и, следовательно, он не лжец; но если он не лжец, он сказал правду и, следовательно, он лжец.
Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит даже легенда, что некий Филлит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.
Софизмом называется умышленное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
Чем же полезны софизмы для изучающих математику?
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. Рассмотрим некоторые софизмы.
СОФИЗМ «РОГАТЫЙ»
То, что ты не потерял, ты имеешь; ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь.
Ошибка здесь состоит в неправильном переходе от общего правила к частному случаю, который этим правилом не предусмотрен. Действительно, начало первой фразы: «То, что ты не потерял» подразумевает под словом «то» - всё, что ты имеешь, и ясно, что в него не включены «рога». Поэтому заключение «ты имеешь рога» неправомерно.
РАВЕН ЛИ ПОЛНЫЙ СТАКАН ПУСТОМУ?
Оказывается, что да. Действительно, проведем следующее рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно написать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.
ПОСЛЕДНИЕ ГОДЫ НАШЕЙ ЖИЗНИ КОРОЧЕ, ЧЕМ ПЕРВЫЕ.
Известно старое изречение: в молодости время идёт медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек в течение тридцатого года проживает 1/30 часть своей жизни, в течение сорокового года – 1/40 часть, в течение пятидесятого – 1/50 часть, в течение шестидесятого – 1/60 часть. Совершенно очевидно, что
1/30>1/40>1/50>1/60, откуда ясно, что последние годы нашей жизни короче первых.
Не подвела ли математика?
Действительно, верно, что 1/30>1/40>1/50>1/60. Но неверно утверждение, что в течение тридцатого года человек проживает 1/30 часть своей жизни, он проживает 1/30 только той части жизни, которую он к этому моменту прожил, но именно части, а не всей жизни. Нельзя сравнивать между собой части различных отрезков времени.
ДВАЖДЫ ДВА РАВНО ПЯТИ.
Напишем тождество 4:4=5:5. Вынеся их каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4∙ (1:1) = 5∙ (1:1) или (2 ∙2) ∙ (1:1) = 5∙ (1:1).
Так как 1:1=1, то 2∙2=5.
Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4 ≠ 4∙(1:1).
ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАВНО НУЛЮ.
Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение 3х2-3ах+а2=0. Перепишем его следующим образом: 3х2-3ах=-а2. Умножая обе части его на –а, получим уравнение -3х2а+3а2х=а3. Прибавляя к обеим частям этого уравнения х3-а3, получаем уравнение х3-3ах2+3а2х-а3=х3 или (х-а)3=х3, откуда х-а=х, т. е. а=0.
При а≠0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3х2-3ах+а2=0. Это следует из того, что дискриминант этого квадратного уравнения D= -3а2
В ходе работы моя гипотеза подтвердилась: софизмы и парадоксы строятся исключительно по законам логики.
Рассмотренные парадоксы и софизмы – это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы.
С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И не в том, что с ними смирились. Поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались локализованными. Они обрели своё определенное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость – это в принципе недостижимый идеал.
О многом шла речь в этой работе. Ещё больше интересных и важных тем осталось за её пределами. Логика – это особый, самобытный мир со своими законами, условностями, традициями, спорами. То, о чем говорит эта наука, знакомо и близко каждому. Но войти в её мир, почувствовать его внутреннюю согласованность и динамику, проникнуться его своеобразным духом непросто.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ
1. Что такое парадокс
В широком смысле парадокс - это положение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, «ортодоксальными» мнениями.
Парадокс в более узком и специальном значении - это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.
Наиболее резкая форма парадокса - антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.
Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках - математике и логике. И это не случайно.
Логика - абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит, в конечном счете, из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический, нерасчлененный характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.
Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.
Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?
Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящейо внутренней противоречивости теории. Этим и объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.
Специальная литература на тему парадоксов практически неисчерпаема. Достаточно сказать, что только об одном из них - парадоксе лжеца - написано более тысячи работ.
Внешне логические парадоксы, как правило, просты и даже наивны. Но в своей лукавой наивности они подобны старому колодцу: с виду лужица, а дна не достанешь.
Большая группа парадоксов говорит о том круге вещей, к которому они сами относятся. Их особенно сложно отделить от утверждений, по виду парадоксальных, но на самом деле не ведущих к противоречию.
Возьмем, к примеру, высказывание «Из всех правил имеются исключения». Само оно является, очевидно, правилом. Значит, из него можно найти, по крайней мере, одно исключение. Но это означает, что существует правило, не имеющее ни одного исключения. Высказывание содержит ссылку на само себя и отрицает само себя. Есть ли здесь логический парадокс, замаскированное и утверждение, и отрицание одного и того же? Впрочем, ответить на этот вопрос довольно просто.
Можно задуматься также над тем, не является ли внутренне непоследовательным мнение, будто всякое обобщение неверно, ведь само это мнение - обобщение. Или совет - никогда ничего не советовать? Или максима «Не верьте ничему!», относящаяся и к самой себе? Древнегреческий поэт Агафон как-то заметил: «Весьма правдоподобно, что совершается много неправдоподобного». Не оказывается ли здесь правдоподобное наблюдение поэта само неправдоподобным событием?
2. Парадокс лжеца
Парадоксы не всегда легко отделить от того, что только напоминает их. Еще труднее сказать, откуда возник парадокс, чем не устраивают нас самые естественные, казалось бы, допущения и многократно проверенные способы рассуждения.
С особой выразительностью это показывает один из наиболее древних и, пожалуй, самый знаменитый из логических парадоксов - парадокс лжеца. Он относится к выражениям, говорящим о самих себе. Открыл его Евбулид из Милета, придумавший многие интересные, до сих пор вызывающие полемику задачи. Но подлинную славу Евбулиду принес именно парадокс лжеца.
В простейшем варианте этого парадокса человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно».
Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
В Средние века распространенной была такая формулировка: «Сказанное Платоном - ложно, говорит Сократ. - То, что сказал Сократ, - истина, говорит Платон».
Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто - ложь?
А вот современная перефразировка данного парадокса. Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны только слова: «На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание». Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны либо обнаружить обещанное, либо нет. Если высказывание написано на обороте, то оно является либо истинным, либо нет. Однако на обороте стоят слова: «На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание» - и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным, и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге - парадокс.
Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Крон, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.
В Средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.
В Новое время «лжец» долго не привлекал никакого внимания. За ним не видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся употребления языка. И только в наше так называемое Новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах.
Теперь «лжец» нередко именуется «королем логических парадоксов». Ему посвящена обширная научная литература.
И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.
Итак, существуют высказывания, говорящие о своей собственной истинности или ложности. Идея, что такого рода высказывания не являются осмысленными, очень стара. Еe отстаивал еще древнегреческий логик Хрисипп.
В средние века английский философ и логик У. Оккам заявил, что утверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, поскольку оно говорит в числе прочего и о своей собственной ложности. Из этого утверждения прямо следует противоречие. Если всякое высказывание ложно, то это относится и к самому данному утверждению, но то, что оно ложно, означает, что не всякое высказывание является ложным. Аналогично обстоит дело и с утверждением «Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным и также ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истинным является и отрицание самого этого высказывания, то есть высказывание, что не всякое высказывание истинно.
Почему, однако, высказывание не может осмысленно говорить о своей собственной истинности или ложности?
Уже современник Оккама, французский философ Ж. Буридан, не был согласен с его решением. С точки зрения обычных представлений о бессмысленности выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» вполне осмысленны. О чем можно подумать, о том можно высказаться - таков общий принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложение написано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность?
Сам Буридан считал высказывание «Я лгу» не бессмысленным, а ложным. Он обосновывал это так. Когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно истинно. Если же предложение говорит о себе, что оно само является ложным, то оно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и свою истинность, и свою ложность. Это выражение противоречиво и, следовательно, ложно. ^ оно никак не бессмысленно.
Аргументация Буридана и сейчас иногда считается убедительной.
По идее польского логика А. Тарского, высказанной в 30-х гг. прошлого века, причина парадокса лжеца в том, что на одном и том же языке говорится как о предметах, существующих в мире, так и о самом этом «предметном» языке. Язык с таким свойством Тарский назвал «семантически замкнутым». Естественный язык, очевидно, семантически замкнут. Отсюда неизбежность возникновения в нем парадокса. Чтобы устранить его, надо строить своеобразную лесенку, или иерархию языков, каждый из которых используется для вполне определенной цели: на первом говорят о мире предметов, на втором - об этом первом языке, на третьем - о втором языке и т. д. Ясно, что в этом случае утверждение, говорящее о своей собственной ложности, уже не может быть сформулировано и парадокс исчезнет.
Это разрешение парадокса не является, конечно, единственно возможным. Одно время оно было общепринятым, но сейчас былого единодушия уже нет. Традиция устранять парадоксы такого типа путем «расслаивания» языка осталась, но наметились и другие подходы.
Как видим, проблемы, которые на протяжении веков связывались с «лжецом», радикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или как выражение, внешне представляющееся осмысленным, но по своей сути бессмысленное, или же как образец смешения языка и метаязыка. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы.
Финский логик и философ Г. фон Вригт пишет о своей работе, посвященной «лжецу», что данный парадокс ни в коем случае не должен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным движением мысли. «Лжец» затрагивает многие наиболее важные темы логики и семантики; это и определение истины, и истолкование противоречия и доказательства, и целая серия важных различий: между предложением и выражаемой им мыслью, между употреблением выражения и его упоминанием, между смыслом имени и обозначаемым им объектом.
3. Три неразрешимых спора
В основе другого знаменитого парадокса лежит небольшое происшествие, случившееся две с лишним тысячи лет назад и не забытое до сих пор.
У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до новой эры, был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс; от него ему уже не удалось бы отвертеться. Свое требование Протагор обосновал так: «Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно решению суда».
Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору: «Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора».
Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате». К сожалению, оно, как и большая часть написанного Протагором, не дошло до нас. Тем не менее нужно отдать должное Протагору, сразу почувствовавшему за простым судебным казусом проблему, заслуживающую специального исследования.
Немецкий философ Г. В. Лейбниц, юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» он пытался показать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Еватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить, однако, за ним право потребовать уплаты денег Еватлом позже, а именно после первого выигранного им процесса.
Было предложено много других решений данного парадокса.
Ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что, не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение именно по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, a значит и труд Протагора, должен быть оплачен. Но ведь известно, что этот принцип всегда имел исключения, тем более в рабовладельческом обществе. К тому же он просто неприложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае неудачи в первом процессе своего ученика.
Иногда рассуждают так. И Протагор и Еватл - оба правы частично, и ни один из них в целом. Каждый из них учитывает только половину возможностей, выгодную для себя. Полное или всестороннее рассмотрение открывает четыре возможности, из которых только половина выгодна для одного из спорящих. Какая из этих возможностей реализуется, это решит не логика, а жизнь. Если приговор судей будет иметь большую силу, чем договор, Еватл должен будет платить, только если проиграет процесс, то есть в силу решения суда. Если же частная договоренность будет ставиться выше, чем решение судей, то Протагор получит плату только в случае проигрыша процесса Еватлу, то есть в силу договора с Протагором.
Эта апелляция к «жизни» окончательно все запутывает. Чем, если не логикой, могут руководствоваться судьи в условиях, когда все относящиеся к делу обстоятельства совершенно ясны? И что это будет за «руководство», если Протагор, претендующей на оплату через суд, добьется ее, лишь проиграв процесс?
Впрочем, и решение Лейбница, кажущееся поначалу убедительным, только немногим лучший совет суду, чем неясное противопоставление «логики» и «жизни». В сущности, Лейбниц предлагает изменить задним числом формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора. Мысль глубокая, но не имеющая отношения к конкретному суду. Если бы в исходной договоренности была такая оговорка, необходимость в судебном разбирательстве вообще бы не возникла.
Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл платить Протагору или нет, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются, так сказать, уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации, так как ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор.
Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых средств логики. С помощью этих же средств можно также показать, что договор, несмотря на его вполне невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение и вместе с тем не платить.
В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери.
«Крокодил выхватил у женщины, стоявшей на берегу реки, ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:
Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.
Подумав, мать ответила:
Ты не отдашь мне ребенка.
Ты его не получишь, - заключил крокодил. - Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, - правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное - неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.
Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.
Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой».
Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка, или, напротив, чтобы не отдавать его?
И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво и, таким образом, невыполнимо в силу законов логики.
Данный парадокс обыгрывается в «Дон Кихоте» М. Сервантеса. Санчо Панса сделался губернатором острова Баратария и вершит суд. Первым к нему является какой-то приезжий и говорит: «Сеньор, некое поместье делится на две половины многоводной рекой... Через эту реку переброшен мост, и тут же с краю стоит виселица и находится нечто вроде суда, в нем обыкновенно заседает четверо судей, и судят они на основании закона, изданного владельцем реки, моста и всего поместья. Закон составлен таким образом: „Всякий проходящий по мосту через реку должен объявить под присягою: куда и зачем он идет. Кто скажет правду, тех пропускать, а кто солжет, тех без всякого снисхождения отправлять на виселицу и казнить“. С того времени, когда этот закон был обнародован, многие успели пройти через мост, и как только судьи удостоверялись, что прохожие говорят правду, то пропускали их. Но однажды некий человек, приведенный к присяге, поклялся и сказал, что он пришел за тем, чтобы его вздернули вот на эту самую виселицу, и ни за чем другим. Эта клятва привела судей в недоумение, и они сказали: „Если позволить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, это будет означать, что он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же его повесить, то ведь он клялся, что пришел только за тем, чтобы его вздернули на виселицу, следовательно, клятва его не ложна, и на основании того же самого закона надлежит пропустить его“. Я вас спрашиваю, сеньор губернатор, что делать судьям с этим человеком, ибо они до сих пор недоумевают и колеблются.
Санчо предложил, пожалуй, не без хитрости: ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, которая соврала, пусть повесят, и таким образом правила перехода через мост будут соблюдены по всей форме».
Этот отрывок интересен в нескольких отношениях. Прежде всего, он является наглядной иллюстрацией того, что с описанным в парадоксе безвыходным положением вполне может столкнуться - и не в чистой теории, а на практике - если не реальный человек, то хотя бы литературный герой.
Выход, предложенный Санчо Пансой, не был, конечно, решением парадокса. Но это было именно то решение, к которому только и оставалось прибегнуть в его положении.
Когда-то Александр Македонский, вместо того чтобы развязать хитрый гордиев узел, чего еще никому не удалось сделать, просто разрубил его. Подобным же образом поступил и Санчо. Пытаться решить головоломку на ее собственных условиях было бесполезно - она попросту неразрешима. Оставалось отбросить эти условия и ввести свое.
Сервантес этим эпизодом явно осуждает непомерно формализованный, пронизанный духом схоластической логики масштаб средневековой справедливости. Но какими распространенными в его время - а это было около четырехсот лет назад - были сведения из области логики! Не только самому Сервантесу известен данный парадокс. Писатель находит возможным приписать своему герою, безграмотному крестьянину, способность понять, что перед ним неразрешимая задача!
И наконец, одна из современных перефразировок спора Протагора и Еватла.
Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Они разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием: если это высказывание окажется истинным, они его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что следует сказать миссионеру?
Разумеется, он должен сказать: «Вы зажарите меня». Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину и, значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным и его следует зажарить. Выхода у людоедов не будет: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот.
4. Некоторые современные парадоксы
Самое серьезное воздействие не только на логику, но и на математику оказал парадокс, обнаруженный английским логиком и философом прошлого века Б. Расселом.
Рассел придумал такой популярный вариант своего парадокса - «парадокс парикмахера». Допустим, что совет какой-то деревни так определил обязанности деревенского парикмахера: брить всех мужчин, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя?
Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам; но тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том, и только в том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
В исходной версии парадокс Рассела касается множеств, т. е. совокупностей, в чем-то сходных друг с другом объектов. Относительно произвольного множества можно задать вопрос: является оно своим собственным элементом или нет? Так, множество лошадей не есть лошадь, и потому оно не собственный элемент. Но множество идей есть идея и содержит само себя; каталог каталогов - это опять-таки каталог. Множество всех множеств также есть собственный элемент, поскольку оно - множество. Разделив все множества на те, которые являются собственными элементами, и те, которые не таковы, можно спросить: множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, содержит себя в качестве элемента или нет? Ответ, однако, оказывается обескураживающим: это множество есть свой элемент только в том случае, когда оно не является таким элементом.
Данное рассуждение опирается на допущение, что есть множество всех множеств, не являющихся собственными элементами. Полученное из этого допущения противоречие означает, что такое множество не может существовать. Но почему столь простое и ясное множество невозможно? В чем заключается различие между возможными и невозможными множествами?
На эти вопросы исследователи отвечают по-разному. Открытие парадокса Рассела и других парадоксов математической теории множеств привело к решительному пересмотру ее оснований. Оно послужило, в частности, стимулом для исключения из ее рассмотрения «слишком больших множеств», подобных множеству всех множеств, для ограничения правил оперирования с множествами и т. д. Несмотря на большое число предложенных к настоящему времени способов устранения парадоксов из теории множеств, полного согласия в вопросе о причинах их возникновения пока нет. Нет соответственно и единого, не вызывающего возражений способа предупреждать их появление.
Приведенное выше рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.
Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять «деревенский брадобрей», на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.
Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.
Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима: он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.
Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.
Допустим, что в какой то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов - самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.
Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном (парадокс Греллинга). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.
Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» - само многосложное, а «пятислоговое» само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются «самозначными», или «аутологическими». Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают называемым ими свойством. «Новое» не является, конечно, новым, «горячее» - горячим, «однослоговое» - состоящим из одного слога, «английское» - английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются «инозначными», или «гетерологическими». Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.
Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений. Оно может быть распространено и на существительные: «слово» является словом, «существительное» - существительным, но «часы» - это не часы и «глагол» - не глагол.
Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологическое»? Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим. Налицо парадокс.
Оказалось, что парадокс Греллинга был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя.
Еще одна, внешне простая антиномия была указана в самом начале прошлого века Д. Берри.
Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение: «Наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов», является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!
5. О чем говорят парадоксы
парадокс лжец логика аргумент
Рассмотренные парадоксы - это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем будут открыты и многие другие и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.
Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь. Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.
Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего не парадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.
На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Расселом «принцип порочного круга». Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.
Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, человека как самого хитрого в классе, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек (при помощи «его класса»). И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.
Во всех парадоксах имеет место самоприменимость, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.
Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется также во многих совершенно не парадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т. п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она широко используется не только в обычном языке, но и в языке науки.
Простая ссылка на использование самоприменимых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.
Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярное™ так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.
Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.
Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.
Не всегда парадокс выступает в таком прозрачном виде, как в случае, скажем, парадокса лжеца или парадокса Рассела. Иногда парадокс оказывается своеобразной формой постановки проблемы, относительно которой сложно даже решить, в чем именно последняя состоит. Размышление над такими проблемами обычно не приводит к какому-то определенному результату. Но и оно, несомненно, полезно в качестве логической тренировки.
Древнегреческий философ Горгий написал сочинение с интригующим названием «О несуществующем, или О природе».
Рассуждение Горгия о несуществовании природы разворачивается так. Сначала доказывается, что ничего не существует. Как только доказательство завершается, делается как бы шаг назад и предполагается, что нечто все-таки существует. Из этого допущения выводится, что существующее непостижимо для человека. Еще раз делается шаг назад и предполагается, вопреки, казалось бы, уже доказанному, что существующее все-таки постижимо. Из последнего допущения выводится, что постижимое невыразимо и необъяснимо для другого.
Какие именно проблемы хотел поставить Горгий? Однозначно на этот вопрос ответить невозможно. Очевидно, что рассуждение Горгия сталкивает нас с противоречиями и побуждает искать выход, чтобы избавиться от них. Но в чем именно заключаются проблемы, на которые указывают противоречия, и в каком направлении искать их решение, совершенно неясно.
О древнекитайском философе Хуэй Ши известно, что он был очень разносторонен, а его писания могли заполнить пять повозок. Он, в частности, утверждал: «То, что не обладает толщиной, не может быть накоплено, и все же его громада может простираться на тысячу ли. - Небо и земля одинаково низки; горы и болота одинаково ровны. - Солнце, только что достигшее зенита, уже находится в закате; вещь, только что родившаяся, уже умирает. - Южная сторона света не имеет предела и в то же время имеет предел. - Только сегодня отправившись в Юэ, туда я давно уже прибыл».
Сам Хуэй Ши считал свои изречения великими и раскрывающими самый потаенный смысл мира. Критики находили его учение противоречивым и путаным и заявляли, что «его пристрастные слова никогда не попадали в цель». В древнем философском трактате «Чжуан-цзы», в частности, говорится: «Как жаль, что свой талант Хуэй Ши бездумно растрачивал на ненужное и не достиг истоков истины! Он гнался за внешней стороной тьмы вещей и не мог вернуться к их сокровенному началу. Это как бы пытаться убежать от эха, издавая звуки, или пытаться умчаться от собственной тени. Разве это не печально?»
Сказано прекрасно, но вряд ли справедливо.
Впечатление путаницы и противоречивости в изречениях Хуэй Ши связано с внешней стороной дела, с тем, что он ставит свои проблемы в парадоксальной форме. В чем можно было бы его упрекнуть, так это в том, что выдвижение проблемы он почему-то считает и ее решением.
Как и в случае многих других парадоксов, трудно сказать с определенностью, какие именно конкретные вопросы стоят за афоризмами Хуэй Ши.
На какое интеллектуальное затруднение намекает, его заявление, что человек, только что отправившийся куда-то, давно туда уже прибыл? Можно истолковать это так, что, прежде чем отбыть в определенное место, надо представить себе это место и тем самым как бы побывать там. Человек, направляющийся, подобно Хуэй Ши, в Юэ, постоянно держит в уме этот пункт и в течение всего времени продвижения к нему как бы пребывает в нем. Но если человек, только отправившийся в Юэ, давно уже там, то зачем ему вообще отправляться туда? Не вполне ясно, какая именно трудность скрывается за этим простым изречением.
Какие выводы для логики следует из существования парадоксов?
Прежде всего, наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться. Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.
Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в прошлом веке.
Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.
Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.
Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.
Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль, можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.
Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.
Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.
Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.
Следует обратить внимание на одно важное различие. Устранение парадоксов и их разрешение - это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений и допущений. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, исключить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.
Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.
Прежде всего, решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.
Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.
И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.
Г. Фреге, являющийся одним из основателей современной логики, имел очень скверный характер. Кроме того, он безоговорочно и даже жестоко критиковал современников. Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда оно начало приходить, молодой английский логик Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его наиболее важной книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, но Фреге добавил к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (парадокс Рассела) и признал, что он не способен его устранить.
Последствия были для Фреге трагическими. Ему было тогда всего пятьдесят пять лет, но после испытанного потрясения он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил еще более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживленную дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.
Впечатление, произведенное на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил выдающийся математик Д. Гильберт: «... Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»
Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что «абсолютная строгость», достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика - в том интуитивном виде, какой она тогда имела, - нуждается в глубоком пересмотре.
Прошел целый век с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.
И вместе с тем такое состояние вряд ли кому кажется теперь невыносимым. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения.
Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то хотя и неприятным, но тем не менее привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются.
Ситуация изменилась прежде всего в том отношении, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований.
Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, - это в принципе недостижимый идеал.
Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.
Размышление над парадоксами является, без сомнения, одним из лучших испытаний наших логических способностей и одним из наиболее эффективных средств их тренировки.
Знакомство с парадоксами, проникновение в суть стоящих за ними проблем - непростое дело. Оно требует максимальной сосредоточенности и напряженного вдумывания в несколько, казалось бы, простых утверждений. Только при этом условии парадокс может быть понят. Трудно претендовать на изобретение новых решений логических парадоксов, но уже ознакомление с предлагавшимися их решениями является хорошей школой практической логики.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Связь понятий парадокса, антиномии, контрадикторности с понятием противоречия. Диалектический процесс познания, его гносеологические трудности. Построение семантической линии. Парадоксы лжеца и Мура. "Парадокс лица", регулирующий механизмы вежливости.
реферат , добавлен 27.01.2010
Основные пути возникновения логических парадоксов, их историческое развитие и положительное влияние на развитие логики и философии. Типы парадоксов, их классификация. Конкретные примеры: парадокс "Лжец", парадоксы Рассела, Кантора, Ришара и другие теории.
реферат , добавлен 12.05.2014
Парадокс как неотъемлемая часть любой области научного исследования. Паралогизм как ненамеренная ошибка в рассуждении. Софизмы как ошибки преднамеренные. Анализ парадоксов в логике. Парадоксы в математике и в физике. Роль парадоксов в развитии науки.
реферат , добавлен 28.05.2010
Возникновение софизмов в Древней Греции. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины. Основные виды софизмов. Отличия софизмов и логических парадоксов. Парадокс "деревенского парикмахера". Апории - отдельная группа парадоксов.
контрольная работа , добавлен 26.08.2015
Понятие софизма и его историческое происхождение. Софизмы как лишенная смысла и цели игра с языком. Обогащение языка с помощью логических приемов. Примеры софизмов как интеллектуальных уловок и подвохов. Понятие логического парадокса и апории, их примеры.
реферат , добавлен 15.10.2014
История возникновения и дальнейшего развития логики как науки, а также анализ ее современного значения и содержания. Особенности становления и сравнительная характеристика символической (математической), индуктивной, диалектической и формальной логики.
контрольная работа , добавлен 01.12.2010
Проблемы парадоксальности в истории познания. Парадоксы одноплоскостного мышления в многомерном мире. Восточная философия дзен. Парадоксы в научном познании, основные стратегии избавления от парадоксов в теории множеств. Принцип многомерности мышления.
реферат , добавлен 14.03.2010
Спор как столкновение мнений или позиций, этапы и закономерности его протекания. Критерии классификации и разновидности спора, их отличительные признаки. Основные цели и задачи каждого типа спора, приемы и методология ведения процесса дискуссии.
реферат , добавлен 27.11.2009
Возникновение и этапы развития традиционной формальной логики. Аристотель как основатель логики. Создание символической логики, виды логических исчислений, алгебра логики. Метод формализации. Становление диалектической логики, работы И. Канта, Г. Гегеля.
Учёные и мыслители с давних времён любят развлекать себя и коллег постановкой неразрешимых задач и формулированием разного рода парадоксов. Некоторые из подобных мысленных экспериментов сохраняют актуальность на протяжении тысяч лет, что свидетельствует о несовершенстве многих популярных научных моделей и «дырах» в общепринятых теориях, давно считающихся фундаментальными.
Предлагаем вам поразмыслить над наиболее интересными и удивительными парадоксами, которые, как сейчас выражаются, «взорвали мозг» не одному поколению логиков, философов и математиков.
1. Апория «Ахиллес и черепаха»
Парадокс Ахиллеса и черепахи - одна из апорий (логически верных, но противоречивых высказываний), сформулированных древнегреческим философом Зеноном Элейским в V-м веке до нашей эры. Суть её в следующем: легендарный герой Ахиллес решил посоревноваться в беге с черепахой. Как известно, черепахи не отличаются прыткостью, поэтому Ахиллес дал сопернику фору в 500 м. Когда черепаха преодолевает эту дистанцию, герой пускается в погоню со скоростью в 10 раз большей, то есть пока черепаха ползёт 50 м, Ахиллес успевает пробежать данные ей 500 м форы. Затем бегун преодолевает следующие 50 м, но черепаха в это время отползает ещё на 5 м, кажется, что Ахиллес вот-вот её догонит, однако соперница всё ещё впереди и пока он бежит 5 м, ей удаётся продвинуться ещё на полметра и так далее. Дистанция между ними бесконечно сокращается, но по идее, герою так и не удаётся догнать медлительную черепаху, она ненамного, но всегда опережает его.
© www.student31.ru
Конечно, с точки зрения физики парадокс не имеет смысла - если Ахиллес движется намного быстрее, он в любом случае вырвется вперёд, однако Зенон, в первую очередь, хотел продемонстрировать своими рассуждениями, что идеализированные математические понятия «точка пространства» и «момент времени» не слишком подходят для корректного применения к реальному движению. Апория выявляет расхождение между математически обоснованной идеей, что ненулевые интервалы пространства и времени можно делить бесконечно (поэтому черепаха должна всегда оставаться впереди) и реальностью, в которой герой, конечно, выигрывает гонку.
2. Парадокс временной петли
«Новые путешественники во времени» Дэвида Туми
Парадоксы, описывающие путешествия во времени, давно служат источником вдохновения для писателей-фантастов и создателей научно-фантастических фильмов и сериалов. Существует несколько вариантов парадоксов временной петли, один из самых простых и наглядных примеров подобной проблемы привёл в своей книге «The New Time Travelers» («Новые путешественники во времени») Дэвид Туми, профессор из Университета Массачусетса.
Представьте себе, что путешественник во времени купил в книжном магазине экземпляр шекспировского «Гамлета». Затем он отправился в Англию времён Королевы-девы Елизаветы I и отыскав Уильяма Шекспира, вручил ему книгу. Тот переписал её и издал, как собственное сочинение. Проходят сотни лет, «Гамлета» переводят на десятки языков, бесконечно переиздают, и одна из копий оказывается в том самом книжном магазине, где путешественник во времени покупает её и отдаёт Шекспиру, а тот снимает копию и так далее… Кого в таком случае нужно считать автором бессмертной трагедии?
3. Парадокс девочки и мальчика
Мартин Гарднер / © www.post-gazette.com
В теории вероятностей этот парадокс также называют «Дети мистера Смита» или «Проблемы миссис Смит». Впервые он был сформулирован американским математиком Мартином Гарднером в одном из номеров журнала «Scientific American». Учёные спорят над парадоксом уже несколько десятилетий и существует несколько способов его разрешения. Поразмыслив над проблемой, вы можете предложить и свой собственный вариант.
В семье есть двое детей и точно известно, что один из них - мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже имеет мужской пол? На первый взгляд, ответ вполне очевиден - 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации полов детей - две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка и наоборот - девочка старшего возраста и мальчик младшего. Первую можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второе чадо тоже мальчик - один шанс из трёх.
4. Парадокс Журдена с карточкой
Проблему, предложенную британским логиком и математиком Филиппом Журденом в начале XX-го века, можно считать одной из разновидностей знаменитого парадокса лжеца.
Филипп Журден
Представьте себе - вы держите в руках открытку, на которой написано: «Утверждение на обратной стороне открытки истинно». Перевернув открытку, вы обнаруживаете фразу «Утверждение на другой стороне ложно». Как вы понимаете, противоречие налицо: если первое утверждение правдиво, то второе тоже соответствует действительности, но в таком случае первое должно оказаться ложным. Если же первая сторона открытки лжива, то фразу на второй также нельзя считать истинной, а это значит, первое утверждение опять-таки становится правдой… Ещё более интересный вариант парадокса лжеца - в следующем пункте.
5. Софизм «Крокодил»
На берегу реки стоят мать с ребёнком, вдруг к ним подплывает крокодил и затаскивает ребёнка в воду. Безутешная мать просит вернуть её чадо, на что крокодил отвечает, что согласен отдать его целым и невредимым, если женщина правильно ответит на его вопрос: «Вернёт ли он её ребёнка?». Понятно, что у женщины два варианта ответа - да или нет. Если она утверждает, что крокодил отдаст ей ребёнка, то всё зависит от животного - посчитав ответ правдой, похититель отпустит ребёнка, если же он скажет, что мать ошиблась, то ребёнка ей не видать, согласно всем правилам договора.
© Коракс Сиракузский
Отрицательный ответ женщины всё значительно усложняет - если он оказывается верным, похититель должен выполнить условия сделки и отпустить дитя, но таким образом ответ матери не будет соответствовать действительности. Чтобы обеспечить лживость такого ответа, крокодилу нужно вернуть ребёнка матери, но это противоречит договору, ведь её ошибка должна оставить чадо у крокодила.
Стоит отметить, что сделка, предложенная крокодилом, содержит логическое противоречие, поэтому его обещание невыполнимо. Автором этого классического софизма считается оратор, мыслитель и политический деятель Коракс Сиракузский, живший в V-м веке до нашей эры.
6. Апория «Дихотомия»
© www.student31.ru
Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так - скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря - вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую - количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.
7. Апория «Летящая стрела»
Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.
© www.academic.ru
Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени - доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.
8. Парадокс Галилея
Галилео Галилей / © Wikimedia
В своём труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилео Галилей предложил парадокс, демонстрирующий любопытные свойства бесконечных множеств. Учёный сформулировал два противоречащих друг другу суждения. Первое: есть числа, представляющие собой квадраты других целых чисел, например 1, 9, 16, 25, 36 и так далее. Существуют и другие числа, у которых нет этого свойства - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и тому подобные. Таким образом, общее количество точных квадратов и обычных чисел должно быть больше, чем количество только точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, а для каждого квадрата существует целый квадратный корень, то есть, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.
На основании этого противоречия Галилей сделал вывод, что рассуждения о количестве элементов применены только к конечным множествам, хотя позже математики ввели понятие, мощности множества - с его помощью была доказана верность второго суждения Галилея и для бесконечных множеств.
9. Парадокс мешка картофеля
© nieidealne-danie.blogspot.com
Допустим, у некоего фермера имеется мешок картофеля весом ровно 100 кг. Изучив его содержимое, фермер обнаруживает, что мешок хранился в сырости - 99% его массы составляет вода и 1% остальные вещества, содержащиеся в картофеле. Он решает немного высушить картофель, чтобы содержание воды в нём снизилось до 98% и переносит мешок в сухое место. На следующий день оказывается, что, один литр (1 кг) воды действительно испарился, но вес мешка уменьшился со 100 до 50 кг, как такое может быть? Давайте посчитаем - 99% от 100 кг это 99 кг, значит соотношение массы сухого остатка и массы воды изначально было равно 1/99. После сушки вода насчитывает 98% от общей массы мешка, значит соотношение массы сухого остатка к массе воды теперь составляет 1/49. Так как масса остатка не изменилась, оставшаяся вода весит 49 кг.
Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах - мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.
10. Парадокс воронов
Карл Густав Гемпель / © Wikimedia
Проблема также известна, как парадокс Гемпеля - второе название она получила в честь немецкого математика Карла Густава Гемпеля, автора её классического варианта. Проблема формулируется довольно просто: каждый ворон имеет чёрный цвет. Из этого следует, что всё, что не чёрного цвета, не может быть вороном. Этот закон называется логическая контрапозиция, то есть если некая посылка «А» имеет следствие «Б», то отрицание «Б» равнозначно отрицанию «А». Если человек видит чёрного ворона, это укрепляет его уверенность, что все вороны имеют чёрный окрас, что вполне логично, однако в соответствии с контрапозицией и принципом индукции, закономерно утверждать, что наблюдение предметов не чёрного цвета (скажем, красных яблок) также доказывает, что все вороны окрашены в чёрный цвет. Иными словами - то, что человек живёт в Санкт-Петербурге доказывает, что он живёт не в Москве.
С точки зрения логики парадокс выглядит безукоризненно, однако он противоречит реальной жизни - красные яблоки никоим образом не могут подтверждать тот факт, что все вороны чёрного цвета.
Вот у нас уже с вами была подборка парадоксов - , а так же в частности , и Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия -
План:
I. Введение
II. Апории Зенона
Ахилл и черепаха
Дихотомия
III . Парадокс лжеца
IV . Парадокс Рассела
I . Введение.
Парадокс - это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса - антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.
Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках - математике и логике. И это не случайно.
Логика - абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.
Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.
Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?
Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.
Один из первых и, возможно, лучших парадоксов был записан Эвбулидом, греческим поэтом и философом, жившим на Крите в VI веке до н. э. В этом парадоксе критянин Эпименид утверждает, что все критяне - лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Если он лжет, то он говорит правду. Так кто же Эпименид - лжец или нет?
Другой греческий философ Зенон Элейский составил серию парадоксов о бесконечности - так называемые “апории” Зенона.
То, что сказал Платон, есть ложь.
Сократ
Сократ говорит только правду.
Платон
II. Апории Зенона.
Большой вклад в развитие теории пространства и времени, в исследование проблем движения внесли элеаты (жители города Элея в южной Италии). Философия элеатов опиралась на выдвинутую Парменидом (учителем Зенона) идею о невозможности небытия. Всякая мысль, утверждал Парменид, всегда есть мысль о существующем. Поэтому несуществующего нет. Нет и движения, так как мировое пространство заполнено все целиком, а значит, мир един, в нем нет частей. Всякое множество есть обман чувств. Из этого вытекает вывод о невозможности возникновения, уничтожения. По Пармениду ничто не возникает и не уничтожается. Этот философ был первым, кто начал доказывать выдвигаемые мыслителями положения
Элеаты доказывали свои предположения отрицанием утверждения, обратного предположению. Зенон пошел дальше своего учителя, что дало основание Аристотелю видеть в Зеноне родоначальника "диалектики"- этим термином тогда называлось искусство достигать истины в споре путем выяснения противоречий в суждении противника и путем уничтожения этих противоречий.
Ахилл и черепаха. Начнем рассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении “Ахилл и черепаха” . Ахилл - герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее, Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху - ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи (т.е. очень медленно идет). Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.
Знающие математический анализ обычно указывают, что ряд сходится к 1. Поэтому, дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и, безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводу Д. Гильберт и П. Бернайс:
“Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться”.
Принципиальная незавершаемость данной последовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать и следующий за ним. Интересное замечание, также указывающее на парадоксальность ситуации, встречаем у Г. Вейля:
“Представим себе вычислительную машину, которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую - за ¼ минуты, третью - за ⅛ минуты и т. д. Такая машина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд (написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкцией такой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А, достигает конца отрезка В, “отсчитав” счетное множество точек А 1 , А 2 , ..., А n , ... ?”
Дихотомия . Рассуждение очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности. Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметь дело с перевернутым рядом точек: (½) n , ..., (½) 3 , (½) 2 , (½) 1 . Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имел последней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки. Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет. Существует легенда, о которой вспоминает А. С. Пушкин в стихотворении «Движение»:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Действительно, согласно легенде, один из философов так и “возразил” Зенону. Зенон велел бить его палками: ведь он не собирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости , о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимым противоречиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что это вообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должны прибегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность. Рассмотрим одно любопытное теоретическое возражение, которое было выдвинуто против апории Ахилл и черепаха .
“Представим себе, что по дороге в одном направлении движутся быстроногий Ахилл и две черепахи, из которых Черепаха-1 несколько ближе к Ахиллу, чем Черепаха-2. Чтобы показать, что Ахилл не сможет перегнать Черепаху-1, рассуждаем следующим образом. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, Черепаха-1 успеет уползти несколько вперед, пока Ахилл будет пробегать этот новый отрезок, она опять-таки продвинется дальше, и такое положение будет бесконечно повторяться. Ахилл будет все ближе и ближе приближаться к Черепахе-1, но никогда не сможет ее перегнать. Такой вывод, конечно же, противоречит нашему опыту, но логического противоречия у нас пока нет.
Пусть, однако, Ахилл примется догонять более дальнюю Черепаху-2, не обращая никакого внимания на ближнюю. Тот же способ рассуждения позволяет утверждать, что Ахилл сумеет вплотную приблизиться к Черепахе-2, но это означает, что он перегонит Черепаху-1. Теперь мы приходим уже к логическому противоречию”.
Здесь трудно что-либо возразить, если оставаться в плену образных представлений. Необходимо выявить формальную суть дела, что позволит перевести дискуссию в русло строгих рассуждений. Первую апорию можно свести к следующим трем утверждениям:
1. Каков бы ни был отрезок , движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка .
2. Любой отрезок можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков ... .
3. Поскольку бесконечная последовательность а i (1 ≤ i < ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.
Проиллюстрировать полученный вывод можно по-разному. Наиболее известная иллюстрация - “самое быстрое никогда не сможет догнать самое медленное” - была рассмотрена выше. Но можно предложить более радикальную картину, в которой обливающийся потом Ахилл (вышедший из пункта А) безуспешно пытается настичь черепаху, преспокойно греющуюся на Солнце (в пункте В) и даже не думающую убегать. Суть апории от этого не меняется. Иллюстрацией тогда станет куда более острое высказывание - “самое быстрое никогда не сможет догнать неподвижное”. Если первая иллюстрация парадоксальна, то вторая - тем более.
Философ Стивен Рид о парадоксе лжеца, семантических парадоксах и их прямой связи с основами математики.
Разговор о логических парадоксах стоит начать с небольшой истории, которую Сервантес рассказывает в своей книге «Дон Кихот». В одном месте в «Дон Кихоте» он оставляет Санчо Пансу губернатором на острове Баратария, и, пока он на посту губернатора, «подданные» его дурачат. Однажды утром его разбудили и сказали: «До завтрака вам нужно рассудить одно дело». А в Испании в то время было много бродяг, так что с людьми нужно было быть очень осторожным. И вот у одного помещика по землям протекает река, через которую переброшен мост, и, чтобы убедиться, что все прохожие заслуживают доверия, этот помещик поставил около моста виселицы и стражника, который требует у каждого прохожего объяснить, куда и зачем он идет. Если прохожий говорит правду, ему разрешается перейти через мост, а если он лжет, то его ждет виселица. И все было хорошо, это помогало различить, кто бродяга, а кто торговец, пока однажды не пришел человек, который сказал: «Моя цель - быть повешенным на этой виселице, и ничего более». И стражника это поразило, потому что он подумал: «Хорошо, если мы его повесим, получится, что он сказал правду, тогда нам надо было его пропустить, но если мы его пропустим, то получится, что он солгал, тогда нам надо было его повесить». «Итак, Санчо Панса, как нам рассудить это дело?» И у Санчо Пансы какое-то время уходит на то, чтобы оценить парадокс, но в итоге он выносит свое решение: повесить ту половину человека, которая солгала, и пропустить ту половину, которая сказала правду.
Это все звучит как развлечение для ума, но для людей, которые хотят разобраться в вопросах истины, аргументации, языка и так далее, это указывает на что-то очень тревожное в природе языка. Кажется, очень просто попасть в парадокс: мы просто не знаем, было ли высказывание того человека правдой или нет, солгал ли он или нет. И это отсылает нас к первоначальному парадоксу лжеца, сформулированному Евбулидом в IV веке до нашей эры. Он возвел его до произведения искусства, он сказал: «Подумайте о высказывании “Я лгу”». Если я говорю: «Я лгу», я, конечно, могу иметь в виду какое-то другое свое высказывание, но если использовать предельно аккуратные формулировки, то можно сказать: «Нет, я лгу в той самой фразе, которую я говорю сейчас, это мое высказывание ложно». И снова, если вы подумаете, вы скажете: «Если бы это была истина, значит, раз он говорит, что его высказывание ложно, следует, что оно должно быть ложным, а не истинным, то есть оно не может быть истинным - оно должно быть ложным. Но если оно ложно, так как в нем говорится, что оно ложно, что он лгал - оно должно быть истинным». Так что мы получаем парадокс, изящно заключенный в одном предложении.
Таких парадоксов очень много, и легко понять, почему они называются логическими парадоксами: противоречие, содержащееся в них, вскрывается при помощи логики. Некоторые слышали об Эпимениде: он был уроженцем Крита, и он был настолько разочарован в способности своих соотечественников говорить правду, что однажды сказал: «Все критяне - лжецы». Если он был прав, если действительно все критяне были лжецами или другие критяне всегда лгали, тогда его собственное высказывание должно быть парадоксальным. Ведь если он говорит: «Все критяне - лжецы», то он говорит, что и его собственное высказывание ложно, но в таком случае действительно все до единого критяне были бы лжецами, а значит, он говорил правду, когда сказал, что все критяне - лжецы. Выход из парадокса, разумеется, в том, что если бы некоторые критяне говорили правду, то его высказывание было бы просто-напросто ложным, а не парадоксальным.
Итак, у нас есть огромное количество таких парадоксов. Вот один парадокс, который мне особенно нравится: возьмем карточку, на одной стороне которой написано: «Высказывание на обратной стороне этой карточки истинно». Вы ее переворачиваете, а там написано: «Высказывание на обратной стороне этой карточки ложно». И если подумать, это просто парадоксально, потому что если высказывание на первой стороне истинно, то, значит, высказывание на обратной стороне тоже истинно, потому что об этом говорит первое высказывание; но на второй стороне написано, что первое высказывание ложно, то есть, если первое высказывание истинно, оно в то же время ложно. Но это невозможно, значит, второе высказывание должно быть ложным; но в нем написано, что первое высказывание ложно, тогда первое высказывание не может быть ложным - оно должно быть истинным. Но мы уже видели, что если первое высказывание истинно, то оно ложно, так что мы получаем чистый парадокс.
Некоторые средневековые мыслители предпочитали описывать этот парадокс через Сократа и Платона или иногда Платона и Аристотеля. Итак, Платон был учителем Аристотеля и считал его своим лучшим учеником, так что однажды он сказал: «Все, что говорит Аристотель, - истина». Но Аристотель был не самым примерным учеником в том смысле, что он хотел оспорить учение Платона, так что он сказал: «Все, что говорит Платон, ложно», и это очень похоже на парадокс с карточкой.
Все это были парадоксы в области правды, лжи и языка. Но в XX веке мы столкнулись с парадоксами в математике. Краткая история вопроса такова: после появления математического анализа, а затем после работы с бесконечными рядами в XVIII веке основы математики оказались неустойчивы, люди задавались вопросом «Как бесконечные ряды работают, не приводя нас к противоречиям в математике?». И в XIX веке развернулось большое движение, целью которого был поиск устойчивых основ математики. Тогда такой основой стала теория множеств. Множество - это совокупность объектов, определяемых через какое-то свойство: например, может быть множество всех натуральных чисел, множество четных чисел или даже множество рисовых пудингов - можно брать разные множества. В математике, конечно же, используются только числовые множества.
И все это выглядело прекрасно до конца XIX века. Фреге, Дедекинд и многие другие мыслители установили математику или то, что казалось твердым основанием теории множеств. Но потом Бертран Рассел, знаменитый британский философ, читая работы Фреге, подумал: «Можно задать множество чисел, можно задать множество множеств; можно задать множество множеств, включающих самих себя, а можно задать множество множеств, не включающих самих себя». А потом он подумал: «Подождите-ка, а если у нас есть множество множеств, не включающих самих себя, это множество будет включать себя или нет?» Если бы такое множество включало само себя, тогда оно не должно включать само себя, ведь по условию мы берем только те множества, которые не включают сами себя. Так что лучше бы это множество не включало само себя, но если оно не включает само себя, тогда оно является множеством, не включающим самого себя, и оно должно быть частью этого множества. И, как я уже говорил, все эти парадоксы поначалу выглядят как развлечение для ума, но теперь, в начале XX века, мы нашли парадокс, противоречие в самом сердце того, что должно быть основами математики. Как широко известно, это был большой удар для Фреге: он вот-вот должен был выпустить второй том своей работы «Основные законы арифметики», и ему пришлось добавить приложение, в котором он писал: «Бертран Рассел указал на слабое место в самом сердце моей теории, но, думаю, я могу решить эту проблему», и он предложил решение, но, как оказалось, оно не было корректным.
Я обращусь еще ненадолго к парадоксам в теории множеств, потому что есть еще один довольно занимательный парадокс, который возвращает нас к разговору о парадоксах, связанных с истиной, или так называемых семантических парадоксах. Итак, спустя примерно 40 лет, около 1940 года, американский математик и логик Хаскелл Б. Карри обдумывал парадокс Рассела и сказал: «В основе парадокса Рассела лежит отрицание - он говорит о множестве множеств, не включающих себя». Можно ли получить такой же парадокс, не используя отрицание? Есть ли способ? И он сказал, что способ есть. Возьмем множество всех множеств; если они включают себя, то ноль равен единице. По теории множеств это вполне допустимое множество. Но если мы начнем рассматривать такое множество, если оно будет включать себя, то оно будет удовлетворять условию, что если оно включает само себя, то ноль равен единице.
А мы предположили, что оно включает само себя, следовательно, ноль действительно равен единице. Но вполне очевидно, что ноль не может быть равен единице, так что мы отыгрываем все назад и предполагаем, что множество не может включать само себя. Если оно не включает само себя, незамедлительно следует, что либо оно не включает само себя, либо ноль равен единице. Но это то же самое, что сказать, что если оно включает себя, ноль действительно равен единице - это то же самое, что сказать: либо оно не включает себя, либо ноль равен единице. А это все равно что сказать, что если множество включает себя, то оно не является не включающим самого себя, тогда ноль равен единице. Но тогда оно включает себя, то есть мы доказали, что оно включает само себя, но, раз мы это доказали, следовательно, ноль равен единице. Спасите! Мы только что доказали, что ноль равен единице! Так что у нас прямо в сердце математики снова появился настоящий кошмарный парадокс.
И спустя несколько лет этот парадокс был превращен в один из семантических парадоксов, о которых я говорил ранее, и он получил форму высказывания: «Если это высказывание истинно, следовательно, ноль равен единице». Или даже: «Если это высказывание истинно, то Бог существует». И тогда мы всего в несколько строк можем доказать, что Бог существует или что угодно еще: ноль равен единице, Бог существует, сегодня в Москве идет дождь - мы можем доказать что угодно с таким высказыванием. Люди очень много размышляют о правде, так что это очень опасно: неужели правда действительно такова? Неужели правда - противоречивое понятие?
И я закончу тем, что коротко расскажу об еще одном парадоксе, чтобы показать, что парадоксы всем этим не ограничиваются. Вот высказывание: «Вы не знаете этого утверждения» - вы не знаете того самого утверждения, которое я сейчас произношу. Теперь предположим, что вы его знаете. Понятия знания и истины говорят нам, что вы можете знать только то, что истинно, так что, если вы его знаете, оно истинно, в случае чего вы не знаете его, потому что в нем так говорится. Так что если предположить, что вы его знаете, то выходит, что вы его не знаете. Получается, что мы доказали, что вы его не знаете, но в нем сказано, что вы его не знаете, так что мы его доказали. И конечно же, если мы что-то доказали, значит, это истинно, значит, мы это знаем, ведь у нас есть доказательство. И получается, что мы доказали и то, что вы знаете это утверждение, и то, что вы его не знаете, так что у нас снова получается эпистемический парадокс.
Подведем итоги. Я описал несколько семантических парадоксов, в основном связанных с концепцией истины, а также показал, что они очень похожи на парадоксы, связанные с теорией множеств, лежащие в самом сердце математики. Кроме того, мы познакомились с эпистемическими парадоксами, которые связаны не только с понятием истины, но и с понятием знания. Итак, мы разобрали несколько семантических парадоксов, таких как парадокс лжеца, парадокс Эпименида и парадокс с карточкой, которые основываются на понятии правды (в них мы говорим о лжи, неправде, истине и так далее), а затем мы разобрали несколько парадоксов, которые возникают в математике, - они связаны с теорией множеств. И в конце мы поговорили также о еще одном типе парадоксов - эпистемических парадоксах.
Сразу можно понять, насколько важно для нас найти решение этих парадоксов, раз в них замешана математика, ведь мы искали прочные основы математики, чтобы убедиться, что мы не делаем ошибок - а теперь мы обнаружили в них противоречие. Так что нам действительно нужно решение, когда речь заходит о математических парадоксах, связанных с теорией множеств, но и для семантических парадоксов оно нам тоже нужно. Над понятием правды размышляет очень много философов, и они хотят понять природу истины, что такое истинное высказывание. Естественно предположить, что высказывание истинно, если все обстоит так, как оно говорит; а теперь посмотрите на парадокс лжеца: это истинно, если я лгу - это же парадоксально и ведет к противоречию. Так что нам нужно переосмыслить понятие истины, некоторые хотят переосмыслить логику, лежащую в его основе, и методы доказательств, которые привели нас к противоречию. И очень важно, чтобы мы это сделали, если мы хотим получить полное понимание понятий истины и знания.
gif: postnauka.ru/ Стивен Рид