Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции
09.07.2015 5917 0Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
1. Обратные тригонометрические функции
Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
Пример 1
Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.
а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .
б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом
Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.
Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.
Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.
Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.
Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.
Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.
Пример 2
Найдем:
Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
Пример 3
Вычислим
Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,
Свойства функции | Функция |
|||
у = arcsin х | у = arccos х | у = arctg х | у = arcctg х |
|
Область определения | х ∈ [-1; 1] | х ∈ [-1; 1] | х ∈ (-∞; +∞) | х ∈ (-∞ +∞) |
Область значений | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Четность | Нечетная | Ни четная, ни нечетная | Нечетная | Ни четная, ни нечетная |
Нули функции (y = 0) | При х = 0 | При х = 1 | При х = 0 | у ≠ 0 |
Промежутки знакопостоянства | у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0) | у > 0 при х ∈ [-1; 1) | у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0) | у > 0 при x ∈ (-∞; +∞) |
Монотонность | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
Связь с тригонометрической функцией | sin у = х | cos у = х | tg у = х | ctg у = х |
График |
Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
Пример 4
Найдем область определения функции
Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции
Пример 5
Найдем область изменения функции
Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).
Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения
Пример 6
Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.
Пример 7
Выразим через все обратные тригонометрические функции
Пусть Очевидно, что Тогда Так как
Введем угол Так как то
Аналогично поэтому и
Итак,
Пример 8
Построим график функции у = cos (arcsin х).
Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.
Пример 9
Построим график функции у = arccos (cos x ).
Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.
Отметим некоторые полезные равенства:
Пример 10
Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и
Пример 11
Решим уравнение
Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:
2. Решение простейших тригонометрических уравнений
Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение | Решение |
tgx = а | |
ctg х = а |
Пример 12
Решим уравнение
Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим
Пример 13
Решим уравнение
По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем
Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
для уравнения sin х = 1 решения
для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;
для уравнения sin х = -1 решения
для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;
для уравнения cos х = 0 решения
для уравнения cos х = -1 решения
Пример 14
Решим уравнение
Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем
III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.
2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.
3. Решение простейших тригонометрических уравнений.
IV. Задание на уроках
§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
V. Задание на дом
§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
VI. Творческие задания
1. Найдите область определения функции:
Ответы :
2. Найдите область значений функции:
Ответы:
3. Постройте график функции:
VII. Подведение итогов уроков
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции-это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.
Функция y=arcsin(x)
Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции
Функция у= sin(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= sin(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим, что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
Область значения функции y=arcsin(x).
Пример№1.
Найти arcsin(1/2)?
Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6
Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?
Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.
Функция y=arccos(x)
Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка , косинус которого равен α.
График функции
Функция у= cos(x) на отрезке , строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= cosx, где х ∈, называется арккосинусом
и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок .
Отметим, что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(x), где х ∈,относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
Область значения функции y=arccos(x).
Пример №3.
Найти arccos(1/2)?
Так как область значений arccos(x) х∈, то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?
Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку , то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.
Ответ: 3π/4
Функция y=arctg(x)
Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.
График функции
Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у= tg(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал
(-π/2;π/2).
Отметим, что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tgx, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
Область значения функции y=arctg(x).
Пример№5?
Найти arctg((√3)/3).
Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?
Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.
Функция y=arcctg(x)
Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.
График функции
На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
Область значения функции y=arcctg(x).
Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?
Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.
Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?
Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.
Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна
Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.
Определение обратных тригонометрических функций
Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .
Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.
Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y
Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .
y = arcsin x
y = arccos
x
y = arctg
x
y = arcctg
x
Основные формулы
Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
arcsin(sin
x)
= x
при
sin(arcsin
x)
= x
arccos(cos
x)
= x
при
cos(arccos
x)
= x
arctg(tg
x)
= x
при
tg(arctg
x)
= x
arcctg(ctg
x)
= x
при
ctg(arcctg
x)
= x
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Функция, обратная косинусу
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x .
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ?р.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи.
Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р-arccos x.
В самом деле, по определению 0 ? arcсos х? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - р? arcсos х? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? р-arccos х? р.
Таким образом, значения углов arccos(-х) и р - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
Функция, обратная синусу
Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-р/2;р/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- р/2; р/2] определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6
Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а .
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-р/2; р/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -р/2 ? arcsin а? р/2. Например, так как sin и [- р/2; р/2]; arcsin , так как sin = и [- р/2; р/2].
Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-р/2;р/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -р/2 до р/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-р/2; р/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = р/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -р/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 .
Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].
Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.
Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].
Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. .
Рис. 7
Рис. 8
График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)
Функция, обратная тангенсу
Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x .
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка, тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) .
Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.
Рис. 9
График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).
Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.
Функция, обратная котангенсу
Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x .
Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.
Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.
Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.
График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.
График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.
Рис. 11
Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.
Обратные тригонометрические функции имеют широкое применение в математическом анализе. Однако у большинства старшеклассников задачи, связанные с данным видом функций, вызывают значительные затруднения. В основном это связано с тем, что во многих учебниках и учебных пособиях задачам такого вида уделяется слишком мало внимания. И если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся хоть как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие такие функции, в большинстве своем ставят ребят в тупик. На самом деле, в этом нет ничего удивительного, ведь практически ни в одном учебнике не объясняется методика решения даже самых простейших уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, и решим их с подробным объяснением.
Пример 1.
Решить уравнение: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Решение.
Выразим из уравнения обратную тригонометрическую функцию, получим:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Теперь воспользуемся определением арккосинуса.
Арккосинусом некоторого числа a, принадлежащего отрезку от -1 до 1, является такой угол y из отрезка от 0 до π, что его косинус и равен числу x. Поэтому можно записать так:
2x + 3 = cos 5π/6.
Распишем правую часть полученного уравнения по формуле приведения:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Приведем правую часть к общему знаменателю.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
Ответ: -(6 + √3) / 4 .
Пример 2.
Решить уравнение: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.
Решение.
Так как cos (arcсos x) = x при x принадлежащем [-1; 1], то данное уравнение равносильно системе:
{4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
{-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Решим уравнение, входящее в систему.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Оно квадратное, поэтому получим, что
x 2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 · 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Решим двойное неравенство, входящее в систему.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Прибавим ко всем частям 9, будем иметь:
8 ≤ 4x ≤ 10. Разделим каждое число на 4, получим:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Теперь объединим полученные ответы. Легко видеть, что корень x = 7 не удовлетворяет ответу неравенства. Поэтому единственным решением уравнения будет x = 2.
Ответ: 2.
Пример 3.
Решить уравнение: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5 .
Решение.
Так как tg (arctg x) = x при всех действительных числах, то данное уравнение равносильно уравнению:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта, предварительно приведя его в стандартный вид.
x 2 – 3x + 2 = 0;
D = 9 – 4 · 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Ответ: 1; 2 .
Пример 4.
Решить уравнение: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2) .
Решение.
Так как arcctg f(x) = arcctg g(x) тогда и только тогда, когда f(x) = g(x), то
2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Решим полученное квадратное уравнение:
4x – 2 = x 2 + x;
x 2 – 3x + 2 = 0.
По теореме Виета получим, что
x = 1 или x = 2.
Ответ: 1; 2.
Пример 5.
Решить уравнение: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8) .
Решение.
Так как уравнение вида arcsin f(x) = arcsin g(x) равносильно системе
{f(x) = g(x),
{f(x) € [-1; 1],
то исходное уравнение равносильно системе:
{2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
{-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Решим полученную систему:
{x 2 – 8x + 7 = 0,
{14 ≤ 2x ≤ 16.
Из первого уравнения по теореме Виета имеем, что x = 1 или x = 7. Решая второе неравенство системы, получаем, что 7 ≤ x ≤ 8. Поэтому в окончательный ответ подходит только корень x = 7.
Ответ: 7 .
Пример 6.
Решить уравнение: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Решение.
Пусть arccos x = t, тогда t принадлежит отрезку и уравнение принимает вид:
t 2 – 6t + 8 = 0. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета, получим, что t = 2 или t = 4.
Так как t = 4 не принадлежит отрезку , то получим, что t = 2, т.е. arccos x = 2, а значит x = cos 2.
Ответ: cos 2.
Пример 7.
Решить уравнение: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36 .
Решение.
Воспользуемся равенством arcsin x + arccos x = π/2 и запишем уравнение в виде
(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Пусть arcsin x = t, тогда t принадлежит отрезку [-π/2; π/2] и уравнение принимает вид:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Решим полученное уравнение:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Умножим каждое слагаемое на 9, чтобы избавиться от дробей в уравнении, получим:
18t 2 – 9πt + π 2 = 0.
Найдем дискриминант и решим полученное уравнение:
D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 · 18 или t = (9π + 3π) / 2 · 18;
t = 6π/36 или t = 12π/36.
После сокращения имеем:
t = π/6 или t = π/3. Тогда
arcsin x = π/6 или arcsin x = π/3.
Таким образом, x = sin π/6 или x = sin π/3. То есть x = 1/2 или x =√3/2.
Ответ: 1/2; √3/2.
Пример 8.
Найти значение выражения 5nx 0 , где n – количество корней, а x 0 – отрицательный корень уравнения 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 .
Решение.
Так как -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Кроме того, (x + 1) 2 ≥ 0 при всех действительных x,
тогда -(x + 1) 2 ≤ 0 и -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Таким образом, уравнение может иметь решение, если обе его части одновременно равны –π , т.е. уравнение равносильно системе:
{2 arcsin x = -π,
{-π – (x + 1) 2 = -π.
Решим полученную систему уравнений:
{arcsin x = -π/2,
{(x + 1) 2 = 0.
Из второго уравнения имеем, что x = -1, соответственно n = 1, тогда 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Ответ: -5.
Как показывает практика, умение решать уравнения с обратными тригонометрическими функциями является необходимым условием успешной сдачи экзаменов. Именно поэтому тренировка в решении таких задач просто необходима и является обязательной при подготовке к ЕГЭ.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.