Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.
Пример: Решить систему неравенств
(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,
Сначала решаем неравенство
(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.
Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).
Рисунок 1
Теперь решим неравенство
Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).
Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).
Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).
Пример: Решить систему неравенств
х2 - 6х + 10 < 0,
Решим сначала неравенство
х 2 - 6х + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что
х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.
Поэтому неравенство (2) можно записать в виде
(х - 3) 2 + 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решении.
Теперь можно не решать неравенство
так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.
Пример: Решить систему неравенств
Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем
1 < 0, < 0.
С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.
Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Пример: Решить систему неравенств
Преобразуем первое неравенство системы:
х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0
(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.
Рассмотрим второе неравенство системы; имеем
Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.
Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.
Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:
х + y < 2,5,
Решение: Приведем систему к виду
Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Навигация по странице.
Что такое рациональные неравенства?
В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.
Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:
В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.
Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4
, x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1)
, - это рациональные неравенства. А неравенство 
не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.
Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.
Определение.
Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.
Определение.
Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.
Так 0,5·x≤3·(2−5·y)
, 
- целые неравенства, а 1:x+3>0
и 
- дробно рациональные.
Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.
Решение целых неравенств
Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x)
Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).
В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Решение.
Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0
. Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0
, которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2
,
x≤2/3
.
Ответ:
x≤2/3 .
Пример.
Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .
Решение.
Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0
,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0
,
1>0
.
Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.
Ответ:
x - любое.
Пример.
Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .
Решение.
В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0
,
−2·x 2 +11·x+6>0
.
Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .
Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6
:
Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.
Ответ:
(−0,5, 6) .
В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Решение.
Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0
.
Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1
, 2
и 3
, которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.
Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .
Ответ:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.
Пример.
Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .
Решение.
Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.
Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1
:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0
,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0
.
Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.
А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0
и x 2 −2·x−19=0
. Их корнями являются числа 
. Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:
По чертежу записываем ответ .
Ответ:
В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.
Решение дробно рациональных неравенств
Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x
вида r(x)
Алгоритм решения дробно рационального неравенства
с одной переменной r(x)
- Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
- Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x) , где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
- Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
- Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.
Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.
Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.
На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.
Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от 
к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от 
к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.
Примеры:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(\leq0\)
\(\frac{1}{2x}\) \(+\) \(\frac{x}{x+1}\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}\) \(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\) .
При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по .
Как решать дробные рациональные неравенства:
Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.
Примеры:
Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;
Примеры:
Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).
Примеры:
Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).
Примеры:
Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием
Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).
То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U }