ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉദാഹരണത്തിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ പൂർണ്ണമായ പഠനം. ഫംഗ്‌ഷൻ റിസർച്ചിന്റെ പൂർണ്ണ ഉദാഹരണം ഓൺലൈനിൽ

ഒരു പൂർണ്ണമായ പഠനം നടത്തി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് തയ്യാറാക്കുക

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി. ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

ഫംഗ്‌ഷൻ ഡെഫനിഷൻ ഏരിയയിൽ നിന്ന് x=1x=1 എന്ന ഒരേയൊരു പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(-−∞;1)∪(1;+∞).

2) നിർത്തലാക്കുന്ന പോയിന്റിന് സമീപമുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് പഠിക്കാം. ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ കണ്ടെത്തുക:

പരിധികൾ അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമായതിനാൽ, പോയിന്റ് x=1x=1 രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു വിച്ഛേദമാണ്, x=1x=1 എന്ന വരി ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.

3) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷമായ OyOy ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം, അതിനായി നമ്മൾ x=0x=0 തുല്യമാക്കുന്നു:

അങ്ങനെ, OyOy അച്ചുതണ്ടുമായുള്ള വിഭജന പോയിന്റിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ (0;8)(0;8) ഉണ്ട്.

നമുക്ക് y=0y=0 എന്ന് സജ്ജീകരിക്കുന്ന abscissa axis OxOx ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം:

സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ OxOx അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.

ഏത് xx-നും x2+8>0x2+8>0 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), ഫംഗ്‌ഷൻ y>0y>0 (പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്), x∈(1;+∞) )x∈(1; +∞) ഫംഗ്‌ഷൻ y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല, കാരണം:

5) ആനുകാലികതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ അന്വേഷിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമല്ല, കാരണം ഇത് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ ഫംഗ്ഷൻ ആണ്.

6) എക്സ്ട്രീമുകൾക്കും ഏകതാനതയ്ക്കും വേണ്ടിയുള്ള പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

നമുക്ക് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും നിശ്ചല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം (ഇതിൽ y′=0y′=0):

ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ലഭിച്ചു: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. ഫംഗ്‌ഷന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നും നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുകയും ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

x∈(-−∞;−2),(4;+∞)x∈(-−∞;−2),(4;+∞) ഡെറിവേറ്റീവ് y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ഡെറിവേറ്റീവ് y′>0y′>0, ഈ ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, x=−2x=−2 എന്നത് ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം പോയിന്റാണ് (ഫംഗ്ഷൻ കുറയുകയും തുടർന്ന് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു), x=4x=4 എന്നത് ഒരു പ്രാദേശിക പരമാവധി പോയിന്റാണ് (ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു).

ഈ പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം:

അതിനാൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് (−2;4)(-2;4), പരമാവധി പോയിന്റ് (4;-8)(4;-8) ആണ്.

7) കിങ്കുകൾക്കും കോൺവെക്സിറ്റിക്കുമുള്ള പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. മാത്രമല്ല, x∈(-−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 തൃപ്തിപ്പെടുമ്പോൾ, അതായത്, x∈(1;+∞)x∈(1 ആകുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ കോൺകേവ് ആണ്. ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) അനന്തതയിൽ, അതായത്, എന്നതിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു.

പരിധികൾ അനന്തമായതിനാൽ, തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഇല്ല.

y=kx+by=kx+b എന്ന രൂപത്തിന്റെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച് k,bk,b എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

ഫംഗ്‌ഷന് y=-x−1y=−x−1 എന്ന ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

9) അധിക പോയിന്റുകൾ. ഒരു ഗ്രാഫ് കൂടുതൽ കൃത്യമായി നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, മറ്റ് ചില പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=-9.5.

10) ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കും, അതിനെ x=1x=1 (നീല), y=-x−1y=-x-1 (പച്ച) എന്ന അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സപ്ലിമെന്റ് ചെയ്യുകയും സ്വഭാവ പോയിന്റുകൾ (y യുമായുള്ള വിഭജനം) അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യും. -അക്ഷം ധൂമ്രനൂൽ, അങ്ങേയറ്റം ഓറഞ്ച്, അധിക പോയിന്റുകൾ കറുപ്പ്) :

ടാസ്ക് 4: ജ്യാമിതീയ, സാമ്പത്തിക ജോലികൾ (എനിക്ക് എന്താണെന്ന് അറിയില്ല, പരിഹാരവും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉള്ള ടാസ്ക്കുകളുടെ ഏകദേശ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഇതാ)

ഉദാഹരണം 3.23. എ

പരിഹാരം. xഒപ്പം വൈ വൈ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. x = a/4 മാത്രമാണ് നിർണ്ണായക പോയിന്റ് എന്നതിനാൽ, ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം മാറുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. xa/4 S "> 0, x >a/4 S" എന്നിവയ്ക്ക്< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ഉദാഹരണം 3.24.

പരിഹാരം.
R = 2, H = 16/4 = 4.

ഉദാഹരണം 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) ആയതിനാൽ, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3 എന്നീ ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾക്ക് കഴിയും x 1 \u003d 2 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസിൽ നിന്ന് മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുന്നതുപോലെ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്. x 2 \u003d 3 പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെയുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം, അതിനാൽ, x 2 \u003d 3 പോയിന്റിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് കുറഞ്ഞത് ഉണ്ട്. പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു
x 1 = 2 ഉം x 2 = 3 ഉം, ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: പരമാവധി f(2) = 14, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ f(3) = 13.

ഉദാഹരണം 3.23.കൽഭിത്തിക്ക് സമീപം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു പ്രദേശം നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അങ്ങനെ അത് മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ കമ്പിവല കൊണ്ട് വേലി കെട്ടി, നാലാം വശത്ത് മതിലിനോട് ചേർന്ന് നിൽക്കുന്നു. ഇതിനായി ഉണ്ട് എഗ്രിഡിന്റെ ലീനിയർ മീറ്റർ. ഏത് വീക്ഷണാനുപാതത്തിലാണ് സൈറ്റിന് ഏറ്റവും വലിയ വിസ്തീർണ്ണമുള്ളത്?

പരിഹാരം.വഴി സൈറ്റിന്റെ വശങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുക xഒപ്പം വൈ. സൈറ്റിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം S = xy ആണ്. അനുവദിക്കുക വൈമതിലിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിന്റെ നീളമാണ്. തുടർന്ന്, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, തുല്യത 2x + y = നിർബന്ധമായും പിടിക്കണം. അതിനാൽ y = a - 2x, S = x (a - 2x), എവിടെ
0 ≤ x ≤ a/2 (ഏരിയയുടെ നീളവും വീതിയും നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്). S "= a - 4x, a - 4x = 0 ന് x = a/4, എവിടെ നിന്ന്
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. x = a/4 മാത്രമാണ് നിർണ്ണായക പോയിന്റ് എന്നതിനാൽ, ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം മാറുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. xa/4 S "> 0, x >a/4 S" എന്നിവയ്ക്ക്< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ഉദാഹരണം 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 ശേഷിയുള്ള ഒരു അടച്ച സിലിണ്ടർ ടാങ്ക് നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ടാങ്കിന്റെ അളവുകൾ (ആരം R ഉം ഉയരം H ഉം) അതിന്റെ നിർമ്മാണത്തിന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവിലുള്ള മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് എന്തായിരിക്കണം?

പരിഹാരം.സിലിണ്ടറിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം S = 2pR (R+H) ആണ്. സിലിണ്ടറിന്റെ അളവ് നമുക്ക് അറിയാം V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . അതിനാൽ, S(R) = 2p(R 2 +16/R). ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). R 3 \u003d 8 ന് S " (R) \u003d 0, അതിനാൽ,
R = 2, H = 16/4 = 4.

സമാനമായ വിവരങ്ങൾ.

പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പൂർണ്ണമായ പഠനത്തിനും അതിന്റെ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ടിംഗിനും, ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു:

1) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക;

2) പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെയും വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ);

3) അനന്തതയിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം അന്വേഷിക്കുക, തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക;

4) തുല്യതയ്ക്കും (വിചിത്രത), ആനുകാലികതയ്ക്കും (ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) ഫംഗ്ഷൻ അന്വേഷിക്കുക;

5) ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ തീവ്രതയും ഇടവേളകളും കണ്ടെത്തുക;

6) കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുക;

7) സാധ്യമെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കവലയുടെ പോയിന്റുകളും ഗ്രാഫ് പരിഷ്‌ക്കരിക്കുന്ന ചില അധിക പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

ഫംഗ്ഷന്റെ പഠനം അതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണത്തോടൊപ്പം ഒരേസമയം നടത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 9ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

1. നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ: ;

2. ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ തകരുന്നു
,
;

ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം അന്വേഷിക്കുന്നു.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

3. ചരിഞ്ഞതും തിരശ്ചീനവുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം അന്വേഷിക്കുന്നു.

ഋജുവായത്
─ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട്, എങ്കിൽ
,
.

,
.

ഋജുവായത്
─ തിരശ്ചീന ലക്ഷണം.

4. ഫംഗ്ഷൻ കാരണം തുല്യമാണ്
. ഫംഗ്‌ഷന്റെ പാരിറ്റി y-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗ്രാഫിന്റെ സമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

5. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം, അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവ് 0 അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ:
;
. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് പോയിന്റുണ്ട്
;

. ഈ പോയിന്റുകൾ മുഴുവൻ യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെയും നാല് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കാം അവയിൽ ഓരോന്നിനും.

ഇടവേളകളിൽ (-∞; -1), (-1; 0) ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, ഇടവേളകളിൽ (0; 1) (1; +∞) കുറയുന്നു. ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസ് വരെ മാറ്റുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്
.

6. കോൺവെക്സിറ്റി ഇടവേളകൾ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം.

നമുക്ക് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം 0 ആണ്, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.
,
,

പോയിന്റുകൾ
ഒപ്പം
യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക. നമുക്ക് അടയാളം നിർവചിക്കാം ഓരോ ഇടവേളയിലും.

അങ്ങനെ, ഇടവേളകളിൽ വക്രം
ഒപ്പം
കുത്തനെ താഴേക്ക്, ഇടവേളയിൽ (-1;1) മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; പോയിന്റുകളിലെ പ്രവർത്തനം ആയതിനാൽ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല
ഒപ്പം
നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

7. അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

അച്ചുതണ്ട് കൊണ്ട്
ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പോയിന്റിലും (0; -1) അച്ചുതണ്ടിലും വിഭജിക്കുന്നു
ഗ്രാഫ് വിഭജിക്കുന്നില്ല, കാരണം ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 1 ─ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ്

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിന്റെ പ്രയോഗം. ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത

സാമ്പത്തിക പ്രക്രിയകൾ പഠിക്കുന്നതിനും മറ്റ് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും, ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത എന്ന ആശയം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത
ഫംഗ്ഷന്റെ ആപേക്ഷിക വർദ്ധനവിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു വേരിയബിളിന്റെ ആപേക്ഷിക ഇൻക്രിമെന്റിലേക്ക് ചെയ്തത്
, (VII)

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇലാസ്തികത ഫംഗ്‌ഷൻ ഏകദേശം എത്ര ശതമാനം മാറുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു
സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ മാറ്റുമ്പോൾ 1% കൊണ്ട്.

ഡിമാൻഡിന്റെയും ഉപഭോഗത്തിന്റെയും വിശകലനത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിമാൻഡിന്റെ ഇലാസ്തികത (കേവല മൂല്യത്തിൽ)
, എങ്കിൽ ഡിമാൻഡ് ഇലാസ്റ്റിക് ആയി കണക്കാക്കുന്നു
─ ന്യൂട്രൽ എങ്കിൽ
─ വില (അല്ലെങ്കിൽ വരുമാനം) സംബന്ധിച്ച് ഇലാസ്റ്റിക്

ഉദാഹരണം 10ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക
ഇലാസ്തികത സൂചികയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക = 3.

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) അനുസരിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത:

അപ്പോൾ x=3 ആകട്ടെ
ഇതിനർത്ഥം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ 1% വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആശ്രിത വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം 1.42% വർദ്ധിക്കും.

ഉദാഹരണം 11ആവശ്യം പ്രവർത്തിക്കട്ടെ വില സംബന്ധിച്ച് രൂപമുണ്ട്
, എവിടെ ─ സ്ഥിരമായ ഗുണകം. x = 3 den എന്ന വിലയിൽ ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത സൂചികയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. യൂണിറ്റുകൾ

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) ഉപയോഗിച്ച് ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക

അനുമാനിക്കുന്നു
പണ യൂണിറ്റുകൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
. ഇതിനർത്ഥം വിലയിൽ എന്നാണ്
പണ യൂണിറ്റ് 1% വില വർദ്ധനവ് ഡിമാൻഡ് 6% കുറയാൻ ഇടയാക്കും, അതായത്. ആവശ്യം ഇലാസ്റ്റിക് ആണ്.

പ്രശ്നത്തിൽ f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണത്തോടൊപ്പം പൂർണ്ണമായ പഠനം നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ തത്വം വിശദമായി പരിഗണിക്കും.

ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും ഉപയോഗിക്കണം. ഗവേഷണ അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

Yandex.RTB R-A-339285-1

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുന്നു

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഗവേഷണം നടക്കുന്നതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഡിപിവിയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ഫലമായി, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ, ലോഗരിതം മുതലായവ ലഭിക്കും. തുടർന്ന്, അസമത്വ g (x) ≥ 0 എന്ന ടൈപ്പ് g (x) 4 ന്റെ ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിനായി ODZ തിരയാൻ കഴിയും, ലോഗരിതം ലോഗ് a g (x) അസമത്വം g (x) > 0 ഉപയോഗിച്ച്.

ODZ അതിരുകളുടെ അന്വേഷണവും ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തലും

അത്തരം പോയിന്റുകളിലെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ അനന്തമായിരിക്കുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അതിരുകളിൽ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണത്തിന്, x = ± 1 2 ന് തുല്യമായ ബോർഡർ പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കുക.

അപ്പോൾ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ ലിം x → - 1 2 + 0 f (x) = ലിം x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = ലിം x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ ലിം x → 1 2 - 0 f (x) = ലിം x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ലിം x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ലിം x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ അനന്തമാണെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു, അതായത് x = ± 1 2 എന്ന വരികൾ ഗ്രാഫിന്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളാണ്.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ അന്വേഷണം, ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റയ്‌ക്ക്

y (- x) = y (x) എന്ന അവസ്ഥ പാലിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. O y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗ്രാഫ് സമമിതിയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. y (- x) = - y (x) വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ വിചിത്രമായി കണക്കാക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി പോകുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. കുറഞ്ഞത് ഒരു അസമത്വമെങ്കിലും പരാജയപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് പൊതുവായ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും.

y (- x) = y (x) എന്ന സമത്വത്തിന്റെ പൂർത്തീകരണം ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, O y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, യഥാക്രമം f "(x) ≥ 0, f" (x) ≤ 0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകൾഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്ന പോയിന്റുകളാണ്.

നിർണായക പോയിന്റുകൾഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളാണ്.

ഒരു തീരുമാനമെടുക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റുകൾ കണക്കിലെടുക്കണം:

• f "(x) > 0 എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വത്തിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും നിലവിലുള്ള ഇടവേളകളിൽ, നിർണായക പോയിന്റുകൾ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല;
• പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവില്ലാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തണം (ഉദാഹരണത്തിന്, y \u003d x 3, പോയിന്റ് x \u003d 0 ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കുന്നിടത്ത്, ഡെറിവേറ്റീവിന് അനന്തതയുടെ മൂല്യമുണ്ട് ഈ ഘട്ടത്തിൽ, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 വർദ്ധനവ് ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്);
• അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയം ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തൽ.

നിർവ്വചനം 2

വേണ്ടി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

• ഡെറിവേറ്റീവ്;
• നിർണായക പോയിന്റുകൾ;
• നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ സഹായത്തോടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളകളാക്കി തകർക്കുക;
• ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക, ഇവിടെ + എന്നത് വർദ്ധനവും - ഒരു കുറവുമാണ്.

ഉദാഹരണം 3

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 2 .

പരിഹാരം

പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ x = 0 ഉണ്ട്;
• ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, ഉദാഹരണം x = ± 1 2-ൽ പൂജ്യം മൂല്യം എടുക്കുന്നു.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ പോയിന്റുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് എടുത്ത് ഒരു കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തിയാൽ മതി. ഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ + വരയ്ക്കുന്നു, അതായത് പ്രവർത്തനത്തിലെ വർദ്ധനവ് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, കൂടാതെ - അതിന്റെ കുറവ് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, അതായത് ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ ഇടവേളയിൽ + ചിഹ്നമുണ്ട്. നമ്പർ പരിഗണിക്കുക ലൈൻ.

ഉത്തരം:

• ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനത്തിൽ വർദ്ധനവ് ഉണ്ട് - ∞ ; - 1 2 ഒപ്പം (- 1 2 ; 0 ] ;
• ഇടവേളയിൽ ഒരു കുറവുണ്ട് [0; 1 2) കൂടാതെ 1 2 ; +∞ .

ഡയഗ്രാമിൽ, +, - എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷന്റെ പോസിറ്റിവിറ്റിയും നെഗറ്റീവിറ്റിയും ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അമ്പടയാളങ്ങൾ കുറയുന്നതും വർദ്ധിക്കുന്നതും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുകയും അതിലൂടെ ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

x \u003d 0 ഉള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 ആണ്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം + മുതൽ - വരെ മാറുകയും x \u003d 0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റ് (0; 0) പരമാവധി പോയിന്റായി കണക്കാക്കുന്നു. ചിഹ്നം - മുതൽ + ലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് ലഭിക്കും.

f "" (x) ≥ 0, f "" (x) ≤ 0 എന്നീ രൂപങ്ങളുടെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിച്ചാണ് കോൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. കോൺകാവിറ്റിക്ക് പകരം ബൾജ് ഡൌൺ എന്നും ബൾജ് എന്നതിന് പകരം ബൾജ് അപ്പ് എന്നും അവർ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കുറവാണ്.

നിർവ്വചനം 3

വേണ്ടി കോൺകാവിറ്റിയുടെയും കൺവെക്സിറ്റിയുടെയും വിടവുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നുആവശ്യമാണ്:

• രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
• രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക;
• ഇടവേളകളിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ തകർക്കുക;
• വിടവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ന്യൂമറേറ്ററിന്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെയും പൂജ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, ഇവിടെ, ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച്, ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ x = ± 1 2 ആണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ പോയിന്റുകൾ ഇടുകയും ഓരോ ഇടവേളയിൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുകയും വേണം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

• ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേള മുതൽ കോൺവെക്സ് ആണ് - 1 2 ; 12 ;
• ഫംഗ്ഷൻ വിടവുകളിൽ നിന്ന് കോൺകേവ് ആണ് - ∞ ; - 1 2 ഉം 1 2 ഉം; +∞ .

നിർവ്വചനം 4

ഒരു വളവിൽ വളവിന്റെ ഗതി മാറുന്ന ബിന്ദു x 0 എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു ബിന്ദു ആണ്; f(x0) . ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് അതിന് ഒരു ടാൻജെന്റ് ഉള്ളപ്പോൾ, അത് x 0-ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കടന്നുപോകുകയും ചിഹ്നം മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പോയിന്റാണിത്, കൂടാതെ പോയിന്റുകളിൽ തന്നെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, x = ± 1 2 എന്ന പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ മാറ്റുന്നതിനാൽ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ ഇല്ലെന്ന് കണ്ടു. അവ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

അനന്തതയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുമ്പോൾ, തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾക്കായി ഒന്ന് നോക്കണം.

നിർവ്വചനം 5

ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ y = k x + b എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് വരയ്ക്കുന്നത്, ഇവിടെ k = lim x → ∞ f (x) x, b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0, b എന്നിവയ്ക്ക് അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമല്ല, ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് ആയി മാറുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു തിരശ്ചീനമായ.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അനന്തതയിൽ സമീപിക്കുന്ന വരികളാണ് അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ദ്രുത നിർമ്മാണത്തിന് ഇത് സംഭാവന ചെയ്യുന്നു.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഇല്ലെങ്കിലും, രണ്ട് അനന്തതകളിലും ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഈ അനന്തതകളിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 6

ഒരു ഉദാഹരണമായി, അത് പരിഗണിക്കുക

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച് ഗവേഷണം നടത്തിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അത് നിർമ്മിക്കാൻ ആരംഭിക്കാം.

ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റുകളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നു

പ്ലോട്ടിംഗ് ഏറ്റവും കൃത്യമാക്കുന്നതിന്, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ നിരവധി മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 7

ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫംഗ്ഷൻ തുല്യമായതിനാൽ, ഈ പോയിന്റുകളിലെ മൂല്യങ്ങളുമായി മൂല്യങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി നമുക്ക് ലഭിക്കും, അതായത്, നമുക്ക് x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 ലഭിക്കും.

നമുക്ക് എഴുതി പരിഹരിക്കാം:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ഫംഗ്ഷന്റെ മാക്സിമയും മിനിമയും നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റുകൾ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സൗകര്യപ്രദമായ പദവിക്കായി, വർദ്ധനവ്, കുറവ്, കോൺവെക്സിറ്റി, കോൺകാവിറ്റി എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു. ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

അടയാളപ്പെടുത്തിയ പോയിന്റുകളിലൂടെ ഗ്രാഫ് ലൈനുകൾ വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് അമ്പടയാളങ്ങളെ പിന്തുടർന്ന് അസിംപ്റ്റോട്ടുകളിലേക്ക് കൂടുതൽ അടുക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഇത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പൂർണ്ണമായ പഠനം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന കേസുകളുണ്ട്.

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഞങ്ങളോടൊപ്പം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും പ്ലോട്ട് ചെയ്യാനും ഇന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിച്ച ശേഷം, ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലി പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ വളരെക്കാലം വിയർക്കേണ്ടതില്ല. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമല്ല, ജോലി വളരെ വലുതാണ്, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പരമാവധി ശ്രദ്ധയും കൃത്യതയും ആവശ്യമാണ്. മെറ്റീരിയലിന്റെ ധാരണ സുഗമമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതേ പ്രവർത്തനം ക്രമേണ പഠിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും വിശദീകരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അതിശയകരവും ആകർഷകവുമായ ലോകത്തിലേക്ക് സ്വാഗതം! പോകൂ!

ഡൊമെയ്ൻ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിനും, നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിർവചനങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന (അടിസ്ഥാന) ആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ. മാറ്റങ്ങളുള്ള നിരവധി വേരിയബിളുകൾ (രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ) തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തെ ഇത് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ സെറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വവും കാണിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത പരിധിയിലുള്ള മാറ്റങ്ങളുള്ള രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ നമുക്കുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിനാൽ, y എന്നത് x ന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിളിന്റെ ഓരോ മൂല്യവും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഒരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരിയബിൾ y ആശ്രിതമാണ്, അതിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഈ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് പറയുന്നത് പതിവാണ്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എന്താണ്? ഇത് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, ഇവിടെ x ന്റെ ഓരോ മൂല്യവും y യുടെ ഒരു മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും - ഒരു നേർരേഖ, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള, സിനുസോയിഡ് തുടങ്ങിയവ.

പര്യവേക്ഷണം കൂടാതെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെ ഗവേഷണം നടത്താമെന്നും പ്ലോട്ട് ചെയ്യാമെന്നും ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. പഠനസമയത്ത് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അതിനാൽ ചുമതലയെ നേരിടാൻ വളരെ എളുപ്പമായിരിക്കും. ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ പഠന പദ്ധതി:

1. ഡൊമെയ്ൻ.
2. തുടർച്ച.
3. ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ വിചിത്രം.
4. ആനുകാലികത.
5. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ.
6. പൂജ്യങ്ങൾ.
7. സ്ഥിരത.
8. ആരോഹണവും ഇറക്കവും.
9. അതിരുകൾ.
10. കൺവെക്‌സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും.

ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. നമുക്ക് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്താം, അതായത്, ഏത് ഇടവേളകളിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം നിലവിലുണ്ട്: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലുണ്ട്, അതായത്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ആണ്. ഇത് xOR എന്ന് എഴുതാം.

തുടർച്ച

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർത്തലാക്കൽ പ്രവർത്തനം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ പോകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ചലന നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ ഫലമായി "തുടർച്ച" എന്ന പദം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. എന്താണ് അനന്തം? സ്ഥലം, സമയം, ചില ഡിപൻഡൻസികൾ (ചലനപ്രശ്നങ്ങളിൽ S, t എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ ആശ്രിതത്വം ഒരു ഉദാഹരണമാണ്), ചൂടാക്കിയ വസ്തുവിന്റെ താപനില (വെള്ളം, ഫ്രൈയിംഗ് പാൻ, തെർമോമീറ്റർ മുതലായവ), തുടർച്ചയായ ഒരു ലൈൻ (അതായത് ഒന്ന് അത് ഷീറ്റ് പെൻസിലിൽ നിന്ന് എടുക്കാതെ തന്നെ വരയ്ക്കാം).

ഒരു ഗ്രാഫ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തകർന്നില്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു. ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്ന് നല്ല ഉദാഹരണങ്ങൾഅത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് ഒരു സൈൻ തരംഗമാണ്, അത് നിങ്ങൾക്ക് ഈ വിഭാഗത്തിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും. നിരവധി നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ x0 പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി തുടരും:

• ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു;
• ഒരു പോയിന്റിലെ വലത്, ഇടത് പരിധികൾ തുല്യമാണ്;
• പരിധി x0 പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു നിബന്ധനയെങ്കിലും പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം തകരുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ബ്രേക്ക് ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകളെ ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിക്കായി പ്രദർശിപ്പിക്കുമ്പോൾ "തകരുന്ന" ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാണ്: y=(x+4)/(x-3). മാത്രമല്ല, x = 3 എന്ന പോയിന്റിൽ y നിലവിലില്ല (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമായതിനാൽ).

ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ഗ്രാഫ് തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ എല്ലാം ലളിതമായി മാറി.

ഇരട്ട, വിചിത്രം

ഇപ്പോൾ പാരിറ്റിക്കുള്ള പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക. നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. വേരിയബിളിന്റെ (മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന്) ഏത് മൂല്യത്തിനും f (-x) = f (x) എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാണ്:

• മൊഡ്യൂൾ x (ഗ്രാഫ് ഒരു ജാക്ക്ഡോ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഗ്രാഫിന്റെ ഒന്നും രണ്ടും പാദങ്ങളുടെ ബൈസെക്ടർ);
• x സ്ക്വയർ (പരവല);
• കോസൈൻ x (കോസൈൻ തരംഗം).

ഈ ഗ്രാഫുകളെല്ലാം y-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കാണുമ്പോൾ സമമിതിയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അപ്പോൾ എന്താണ് ഒരു വിചിത്ര പ്രവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്? വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഇവയാണ്: x വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും f (-x) \u003d - f (x). ഉദാഹരണങ്ങൾ:

• ഹൈപ്പർബോള;
• ക്യൂബിക് പരാബോള;
• sinusoid;
• ടാൻജെന്റ് തുടങ്ങിയവ.

ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പോയിന്റിന്റെ (0:0) സമമിതിയാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, അതായത് ഉത്ഭവം. ലേഖനത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനിൽ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടായിരിക്കണം: x എന്നത് നിർവചന ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്, കൂടാതെ -x കൂടി.

സമത്വത്തിനായുള്ള പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഒരു വിവരണത്തിനും അവൾ യോജിക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

നമുക്ക് ഒരു നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ഗ്രാഫിനോട് കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത് വരുന്ന ഒരു വക്രമാണ് അസിംപ്റ്റോട്ട്, അതായത്, ചില പോയിന്റുകളിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. മൂന്ന് തരം അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ട്:

• ലംബമായ, അതായത്, y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• തിരശ്ചീനമായി, അതായത് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• ചരിഞ്ഞ.

ആദ്യ തരത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഈ വരികൾ ചില പോയിന്റുകളിൽ നോക്കണം:

• വിടവ്;
• ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അവസാനം.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതാണ്, കൂടാതെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ആണ്. അതിനാൽ, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഇല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു: x അനന്തതയിലേക്കോ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്കോ പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പരിധി ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, a). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, y=a എന്നത് തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. നമ്മൾ പഠിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിൽ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിച്ചാൽ മാത്രമേ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് നിലനിൽക്കൂ:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

അപ്പോൾ അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: y=kx+b. വീണ്ടും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ

പൂജ്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിശോധിക്കുന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചുമതല ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ പഠനത്തിലും പ്ലോട്ടിംഗിലും മാത്രമല്ല, ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയായും അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായും സംഭവിക്കുന്നു എന്നതും വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനോ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കാനോ നിങ്ങൾ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഫംഗ്ഷൻ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യം x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ്, അതിൽ y \u003d 0. നിങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾക്കായി തിരയുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉത്തരം ലഭിക്കും:

അടയാളം സ്ഥിരത

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ (ഗ്രാഫിക്സ്) പഠനത്തിന്റെയും നിർമ്മാണത്തിന്റെയും അടുത്ത ഘട്ടം ചിഹ്ന സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്‌ഷൻ ഏത് ഇടവേളകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നുവെന്നും ഏത് ഇടവേളകളിൽ അത് നെഗറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കണം എന്നാണ്. മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ കാണുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പൂജ്യങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് പ്രത്യേകം) ഒപ്പം ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ ചെറുതും വലുതും വരെ ശരിയായ ക്രമത്തിൽ വിതരണം ചെയ്യണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഏതാണ് “+” ചിഹ്നമുള്ളതെന്നും ഏതാണ് “-” എന്നും നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നു:

• 1 മുതൽ 4 വരെ;
• 9 മുതൽ അനന്തത വരെ.

നെഗറ്റീവ് അർത്ഥം:

• മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 1 വരെ;
• 4 മുതൽ 9 വരെ.

ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ഉത്തരം എന്താണെന്ന് കാണുക (മൈനസ് അല്ലെങ്കിൽ പ്ലസ്).

പ്രവർത്തനം ആരോഹണവും കുറയുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും നിർമ്മിക്കുന്നതിനും, ഗ്രാഫ് എവിടെയാണ് വർദ്ധിക്കുന്നത് (Oy-ൽ മുകളിലേക്ക് പോകുക), അത് എവിടെ വീഴും (y-അക്ഷത്തിൽ താഴേക്ക് ഇഴയുക) എന്നിവ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയുള്ളൂ വലിയ മൂല്യംവൈ. അതായത്, x2 x1 നേക്കാൾ വലുതാണ്, f(x2) f(x1) നേക്കാൾ വലുതാണ്. കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ തികച്ചും വിപരീതമായ ഒരു പ്രതിഭാസം ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു (കൂടുതൽ x, കുറവ് y). വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

• വ്യാപ്തി (ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഉണ്ട്);
• ഡെറിവേറ്റീവ് (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഫലം ലഭിക്കും:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് 7/3 വരെയും 7 മുതൽ അനന്തത വരെയും വർദ്ധിക്കുകയും 7/3 മുതൽ 7 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിരുകൾ

അന്വേഷണവിധേയമായ ഫംഗ്‌ഷൻ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) തുടർച്ചയായതും x വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും നിലവിലുണ്ട്. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞതും കാണിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിർമ്മാണ ചുമതല വളരെ ലളിതമാക്കുന്ന ഒന്നുമില്ല. അല്ലെങ്കിൽ, അവ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചും കാണപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, അവയെ ചാർട്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്.

കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും

ഞങ്ങൾ y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അത് കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ആശയങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വിശകലനം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്. പരിശോധനയ്ക്കായി: കുറയാത്ത ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കോൺവെക്‌സ് ആണ്. സമ്മതിക്കുക, ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്!

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y=1/3(6x-28). ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വലത് വശം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉത്തരം: x=14/3. ഞങ്ങൾ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തി, അതായത്, ഗ്രാഫ് കോൺവെക്സിൽ നിന്ന് കോൺകേവിലേക്ക് അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും മാറുന്ന സ്ഥലം. മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 14/3 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ, ഫംഗ്ഷൻ കോൺവെക്സും 14/3 മുതൽ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി വരെ കോൺകേവുമാണ്. ഗ്രാഫിലെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് മിനുസമാർന്നതും മൃദുവായതുമായിരിക്കണം, മൂർച്ചയുള്ള കോണുകൾ ഉണ്ടാകരുത് എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

അധിക പോയിന്റുകളുടെ നിർവ്വചനം

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. ഞങ്ങൾ പഠനം പൂർത്തിയാക്കി, ഇപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു കർവ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ കൂടുതൽ കൃത്യവും വിശദവുമായ പുനർനിർമ്മാണത്തിനായി, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി സഹായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം. അവ കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ x=3 എടുത്ത്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് y=4 കണ്ടെത്തുക. അല്ലെങ്കിൽ x=5, y=-5 എന്നിങ്ങനെ. നിങ്ങൾക്ക് നിർമ്മിക്കേണ്ട അത്രയും അധിക പോയിന്റുകൾ എടുക്കാം. അവയിൽ കുറഞ്ഞത് 3-5 എണ്ണം കണ്ടെത്തി.

പ്ലോട്ടിംഗ്

ഞങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആവശ്യമായ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ചെയ്തു. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ചെയ്യേണ്ടത്, അതായത്, എല്ലാ പോയിന്റുകളും പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഡോട്ടുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സുഗമവും കൃത്യവുമാണ്, ഇത് വൈദഗ്ധ്യത്തിന്റെ കാര്യമാണ് - കുറച്ച് പരിശീലനം, നിങ്ങളുടെ ഷെഡ്യൂൾ മികച്ചതായിരിക്കും.