पॅरामीटरसह समीकरणांची प्रणाली. "मापदंडांसह समस्या सोडविण्याच्या पद्धती"

MKOU "Lodeynopolskaya दुय्यम माध्यमिक शाळाक्रमांक ६८"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

मॉस्को प्रदेशाच्या बैठकीत भाषण

समस्या सोडवण्याच्या पद्धती

पॅरामीटर्ससह

प्रोकुशेवा नताल्या गेन्नादियेवना

लोदेयनोये पोळ

2013-2014

पॅरामीटर्ससह समस्या

दोन्ही युनिफाइडवर ऑफर केलेल्या समस्यांपैकी पॅरामीटर्सच्या समस्या सर्वात जटिल आहेत राज्य परीक्षा, आणि विद्यापीठांमध्ये अतिरिक्त स्पर्धा परीक्षांमध्ये.

ते निर्मितीमध्ये महत्त्वाची भूमिका बजावतात तार्किक विचारआणि गणितीय संस्कृती. त्यांचे निराकरण करताना उद्भवलेल्या अडचणी या वस्तुस्थितीमुळे आहेत की पॅरामीटर्ससह प्रत्येक समस्या सामान्य समस्यांच्या संपूर्ण वर्गाचे प्रतिनिधित्व करते, ज्यापैकी प्रत्येकासाठी समाधान मिळणे आवश्यक आहे.

जर समीकरणात (असमानता) काही गुणांक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्यांद्वारे दिलेले नसतील, परंतु अक्षरांद्वारे नियुक्त केले गेले असतील, तर त्यांना पॅरामीटर्स म्हणतात आणि समीकरण (असमानता) पॅरामेट्रिक आहे.

नियमानुसार, अज्ञात शेवटच्या अक्षरांद्वारे सूचित केले जातात लॅटिन वर्णमाला: x, y, z, …, आणि पॅरामीटर्स प्रथम येतात: a, b, c, …

पॅरामीटर्ससह समीकरण (असमानता) सोडवणे म्हणजे पॅरामीटर्स सोल्यूशन्सची कोणती मूल्ये अस्तित्वात आहेत आणि ती काय आहेत हे सूचित करणे. समान पॅरामीटर्स असलेली दोन समीकरणे (असमानता) समतुल्य म्हणतात जर:

अ) ते समान पॅरामीटर मूल्यांसाठी अर्थपूर्ण आहेत;

b) पहिल्या समीकरणाचे (असमानता) प्रत्येक समाधान हे दुसऱ्याचे समाधान असते आणि त्याउलट.

साहजिकच, समस्यांचा इतका छोटा वर्ग अनेकांना मुख्य गोष्ट समजू देत नाही: पॅरामीटर, एक निश्चित परंतु अज्ञात संख्या असल्याने, त्याचे दुहेरी स्वरूप आहे. प्रथम, मानली जाणारी प्रसिद्धी आपल्याला संख्या म्हणून पॅरामीटरसह "संवाद" करण्याची परवानगी देते आणि दुसरे म्हणजे, संप्रेषण स्वातंत्र्याची डिग्री त्याच्या अस्पष्टतेद्वारे मर्यादित आहे. अशा प्रकारे, पॅरामीटर असलेल्या अभिव्यक्तीद्वारे भागाकार, मूळ काढणे अगदी पदवीअशा अभिव्यक्तींसाठी प्राथमिक संशोधन आवश्यक आहे. सामान्यतः, या अभ्यासाचे परिणाम निर्णय आणि उत्तर या दोन्हीवर परिणाम करतात.

अशा समस्यांचे निराकरण कसे सुरू करावे? पॅरामीटर्सच्या समस्यांपासून घाबरू नका. सर्व प्रथम, कोणतेही समीकरण किंवा असमानता सोडवताना जे केले जाते ते करणे आवश्यक आहे - दिलेले समीकरण (असमानता) अधिक आणा. साधे दृश्य, शक्य असल्यास: तर्कसंगत अभिव्यक्ती, घटक त्रिकोणमितीय बहुपदी, मॉड्यूल, लॉगरिदम इत्यादीपासून मुक्त व्हा. मग तुम्हाला कार्य पुन्हा पुन्हा काळजीपूर्वक वाचावे लागेल.

पॅरामीटर असलेल्या समस्यांचे निराकरण करताना, अशा समस्या आहेत ज्या दोन मोठ्या वर्गांमध्ये विभागल्या जाऊ शकतात. प्रथम श्रेणीमध्ये समस्या समाविष्ट आहेत ज्यामध्ये पॅरामीटरच्या सर्व संभाव्य मूल्यांसाठी असमानता किंवा समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या वर्गात अशी कार्ये समाविष्ट आहेत ज्यात सर्वकाही शोधण्याची आवश्यकता नाही. संभाव्य उपाय, परंतु केवळ तेच जे काही अतिरिक्त अटी पूर्ण करतात.

शाळकरी मुलांसाठी अशा समस्यांचे निराकरण करण्याचा सर्वात समजण्यासारखा मार्ग म्हणजे प्रथम सर्व उपाय शोधणे आणि नंतर अतिरिक्त अटी पूर्ण करणारे निवडणे. पण हे नेहमीच शक्य होत नाही. अशा अनेक समस्या आहेत ज्यात सर्व अनेक उपाय शोधणे अशक्य आहे आणि आम्हाला तसे करण्यास सांगितले जात नाही. म्हणून, दिलेल्या समीकरण किंवा असमानतेच्या निराकरणाचा संपूर्ण संच आमच्या विल्हेवाट न लावता समस्येचे निराकरण करण्याचा मार्ग शोधावा लागेल, उदाहरणार्थ, समीकरणामध्ये समाविष्ट केलेल्या कार्यांचे गुणधर्म शोधणे जे आम्हाला अनुमती देईल. ठराविक उपायांच्या अस्तित्वाचा न्याय करा.

पॅरामीटर्ससह कार्यांचे मुख्य प्रकार

प्रकार १.समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच जे एकतर पॅरामीटरच्या (पॅरामीटर्स) कोणत्याही मूल्यासाठी किंवा पूर्वनिर्धारित सेटशी संबंधित असलेल्या पॅरामीटर मूल्यांसाठी सोडवले जाणे आवश्यक आहे.

"पॅरामीटर्ससह समस्या" या विषयावर प्रभुत्व मिळवताना या प्रकारची समस्या मूलभूत आहे, कारण गुंतवलेले काम इतर सर्व मूलभूत प्रकारच्या समस्यांचे निराकरण करण्यात यश पूर्वनिर्धारित करते.

प्रकार 2.समीकरण, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच, ज्यासाठी पॅरामीटर (मापदंड) च्या मूल्यावर अवलंबून समाधानांची संख्या निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

आम्ही या वस्तुस्थितीकडे तुमचे लक्ष वेधतो की या प्रकारच्या समस्या सोडवताना, दिलेली समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संयोजन इत्यादी सोडवण्याची किंवा हे उपाय देण्याची गरज नाही; बहुतेक प्रकरणांमध्ये, असे अनावश्यक काम ही एक रणनीतिक चूक आहे ज्यामुळे अनावश्यक वेळेचा अपव्यय होतो. तथापि, एखाद्याने हे निरपेक्ष करू नये, कारण काहीवेळा प्रकार 1 नुसार थेट उपाय हा प्रकार 2 ची समस्या सोडवताना उत्तर मिळविण्याचा एकमेव वाजवी मार्ग आहे.

प्रकार 3.समीकरणे, असमानता, त्यांच्या प्रणाली आणि संग्रह, ज्यासाठी ते सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे ज्यासाठी निर्दिष्ट समीकरणे, असमानता, त्यांच्या प्रणाली आणि संग्रहांमध्ये अनेक निराकरणे आहेत (विशेषतः, त्यांच्याकडे नाहीत किंवा नाहीत उपायांची असीम संख्या).

हे पाहणे सोपे आहे की टाइप 3 च्या समस्या काही अर्थाने टाइप 2 च्या समस्यांच्या उलट आहेत.

प्रकार 4.समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच, ज्यासाठी, पॅरामीटरच्या आवश्यक मूल्यांसाठी, सोल्यूशन्सचा संच परिभाषाच्या डोमेनमधील निर्दिष्ट अटी पूर्ण करतो.

उदाहरणार्थ, पॅरामीटर मूल्ये शोधा ज्यावर:

1) दिलेल्या मध्यांतरातील व्हेरिएबलच्या कोणत्याही मूल्यासाठी समीकरण समाधानी आहे;
2) पहिल्या समीकरणाच्या सोल्यूशनचा संच हा दुसऱ्या समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या संचाचा उपसंच आहे.

टिप्पणी द्या. पॅरामीटरसह विविध समस्या संपूर्ण अभ्यासक्रम व्यापतात शालेय गणित(दोन्ही बीजगणित आणि भूमिती), परंतु अंतिम आणि प्रवेश परीक्षांमध्ये त्यापैकी बहुसंख्य चार सूचीबद्ध प्रकारांपैकी एकाचे आहेत, ज्याला या कारणास्तव मूलभूत म्हटले जाते.

पॅरामीटरमधील समस्यांचा सर्वात व्यापक वर्ग म्हणजे एक अज्ञात आणि एक पॅरामीटर असलेल्या समस्या. पुढील परिच्छेद या विशिष्ट वर्गाच्या समस्या सोडवण्याचे मुख्य मार्ग सूचित करतो.

पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्यासाठी मूलभूत पद्धती

पद्धत I(विश्लेषणात्मक). ही तथाकथित थेट समाधानाची एक पद्धत आहे, पॅरामीटरशिवाय समस्यांमध्ये उत्तर शोधण्यासाठी मानक प्रक्रियेची पुनरावृत्ती करणे. कधीकधी ते म्हणतात की ही सक्तीची पद्धत आहे, चांगल्या अर्थाने, "अभिमानी" उपाय.

पद्धत II(ग्राफिक). कार्यावर अवलंबून (व्हेरिएबलसह xआणि पॅरामीटर a) आलेख मानले जातात किंवा समन्वय समतल ( x; y), किंवा समन्वय विमानात ( x; a).

टिप्पणी द्या. पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्याच्या ग्राफिकल पद्धतीची अपवादात्मक स्पष्टता आणि सौंदर्य "पॅरामीटरसह समस्या" या विषयाच्या विद्यार्थ्यांना इतके मोहित करते की ते सुप्रसिद्ध तथ्य विसरून, निराकरणाच्या इतर पद्धतींकडे दुर्लक्ष करू लागतात: कोणत्याही वर्गाच्या समस्यांसाठी , त्यांचे लेखक अशा प्रकारे आणि इतर मार्गांनी मोठ्या अडचणींसह उत्कृष्टपणे सोडवलेले एक तयार करू शकतात. म्हणून, अभ्यासाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर, पॅरामीटरसह समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ग्राफिकल तंत्रांसह प्रारंभ करणे धोकादायक आहे.

पद्धत III(मापदंड संबंधित निर्णय). अशा प्रकारे सोडवताना, चल xआणि aसमान म्हणून स्वीकारले जाते आणि ज्याच्या संदर्भात विश्लेषणात्मक सोल्यूशन सोपे मानले जाते ते व्हेरिएबल निवडले जाते. नैसर्गिक सरलीकरणानंतर, आम्ही व्हेरिएबल्सच्या मूळ अर्थाकडे परत जाऊ xआणि aआणि उपाय पूर्ण करा.

आता आपण पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्यासाठी या पद्धतींचे प्रदर्शन करूया.

1. मापदंडांसह रेखीय समीकरणे आणि असमानता

रेखीय कार्य: - उतार गुणांकासह सरळ रेषेचे समीकरण . कोनीय गुणांक अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे सरळ रेषेच्या झुकाव कोनाच्या स्पर्शिकेइतका असतो .

फॉर्मच्या पॅरामीटर्ससह रेखीय समीकरणे

जर , समीकरण आहे एकमेव गोष्ट उपाय

जर , ते समीकरण कोणतेही उपाय नाहीत, जेव्हा , आणि समीकरण आहे असीम अनेक उपाय, केव्हा .

उदाहरण १.समीकरण सोडवा | x | = a .

उपाय:

a > 0, => x 1.2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर: x 1.2 = ± aयेथे a > 0; x= 0 वाजता a= 0; साठी कोणतेही उपाय नाहीत a < 0.

उदाहरण २.समीकरण सोडवा |3 – x | = a .

उपाय:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर: x 1.2 = 3 ± aयेथे a > 0; x= 3 वाजता a= 0; साठी कोणतेही उपाय नाहीत a < 0.

उदाहरण ३.समीकरण सोडवा मी ² x – मी = x + 1.

उपाय:

मी ² x – मी = x + 1

मी ² x – x = मी + 1

(m² – 1)x = m + 1

उत्तर:
येथे मी ≠ ± 1; x Є आरयेथे मी= –1; साठी कोणतेही उपाय नाहीत मी = 1.

उदाहरण ४. एसमीकरण सोडवा: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

उपाय:गुणांकाचे गुणांकन करू. .

जर , समीकरण आहे एकमेव गोष्ट उपाय: .

जर , समीकरण कोणतेही उपाय नाहीत.

जर , मग समीकरण आहे असीम अनेक उपाय .

उदाहरण 6.सर्व पॅरामीटर मूल्यांसाठी a समीकरण सोडवा:
.

उपाय: ODZ: . या स्थितीत, समीकरण खालील समतुल्य आहे: . तुम्ही ODZ चे आहात का ते तपासूया: , जर . जर , मग समीकरण कोणतेही उपाय नाहीत.

उदाहरण 7.सर्व पॅरामीटर मूल्यांसाठी एसमीकरण सोडवा: | एक्स + 3| – a | x – 1| = 4.

उपाय:संख्या रेषेला बिंदूंनुसार 3 भागांमध्ये विभागू या ज्यावर मॉड्यूलस चिन्हाखालील अभिव्यक्ती गायब होतात आणि 3 प्रणाली सोडवतात:

1) , जर . सापडला तर उपाय होईल .

2) , जर . आढळलेली एक आवश्यक असमानता पूर्ण करते, म्हणून, एक उपाय आहे . जर , मग उपाय कोणताही आहे .

3) , जर . सापडले नाहीआवश्यक असमानता पूर्ण करते, म्हणून, नाहीतेव्हा एक उपाय आहे . जर , मग समाधान कोणतेही x > 1 आहे.

उत्तर: येथे; येथे ;

n ri ; सर्वांसाठी एक उपाय देखील आहे .

उदाहरण 8.सर्व शोधा ए, ज्यापैकी प्रत्येकासाठी समीकरण 15 चे किमान एक उपाय आहे x – 7a = 2 – 3कुऱ्हाड + 6a कमी 2 .

उपाय:प्रत्येकाच्या समीकरणावर उपाय शोधूया . , जर . चला असमानता सोडवू: .

जेव्हा समीकरणाला कोणतेही उपाय नसतात.

उत्तर द्या : एÎ (–5 , 4) .

रेखीय असमानतापॅरामीटर्ससह

उदाहरणार्थ: असमानता सोडवा: kx < b .

जर k> 0, नंतर
. जर k < 0, то
. जर k= 0, नंतर केव्हा b> 0 उपाय कोणतेही आहे x Є आर, आणि केव्हा
कोणतेही उपाय नाहीत.

बॉक्समधील उर्वरित असमानता त्याच प्रकारे सोडवा.

उदाहरण १.पॅरामीटर a च्या सर्व मूल्यांसाठी, असमानता सोडवा
.

उपाय:

. कंस आधी असेल तर xसकारात्मक आहे, म्हणजे येथे
, ते
. कंस आधी असेल तर xनकारात्मक, म्हणजे येथे
, ते
. जर a= 0 किंवा a = , नंतर कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर:
येथे
;
येथे
;

साठी कोणतेही उपाय नाहीत a= 0 किंवा a = .

उदाहरण २. सर्व पॅरामीटर मूल्यांसाठी एअसमानता सोडवा | एक्स– a| – | x + a| < 2a .

उपाय:

येथे a=0 आमच्याकडे चुकीची असमानता 0 आहे< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, नंतर x वर< –aदोन्ही मॉड्यूल्स वजा सह विस्तारित केले जातात आणि आम्हाला चुकीची असमानता 2 मिळते a < 2a, म्हणजे कोणतेही उपाय नाहीत. जर x Є [– a ; a] , नंतर पहिले मॉड्यूल वजा सह उघडेल आणि दुसरे प्लससह उघडेल आणि आम्हाला असमानता मिळेल -2 x < 2a, म्हणजे x > –a, म्हणजे, उपाय कोणताही आहे x Є (– a ; a]. जर x > aदोन्ही मॉड्यूल्स प्लससह उघडतात आणि आम्हाला योग्य असमानता मिळते -2 a < 2a, म्हणजे , उपाय कोणताही आहे x Є ( a; +∞). दोन्ही उत्तरे एकत्र केल्यास, आम्हाला ते तेव्हा मिळते a > 0 x Є (– a ; +∞).

द्या a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. अशा प्रकारे, सह a < 0 решений нет.

उत्तर: x Є (– a; +∞) येथे a> 0, यासाठी कोणतेही उपाय नाहीत
.

टिप्पणी द्या.बिंदूंमधील अंतर म्हणून दोन संख्यांच्या फरकाच्या मॉड्यूलसचे भौमितिक व्याख्या वापरल्यास या समस्येचे निराकरण जलद आणि सोपे आहे. मग डाव्या बाजूच्या अभिव्यक्तीचा बिंदूपासून अंतरांमधील फरक म्हणून अर्थ लावला जाऊ शकतो एक्सगुणांपर्यंत एआणि - ए .

उदाहरण ३.सर्व शोधा ए, ज्या प्रत्येकासाठी असमानतेचे सर्व उपाय
असमानता पूर्ण करा 2 x – a² + 5< 0.

उपाय:

असमानतेवर उपाय |x | ≤ 2 हा संच आहे ए=[–२; 2], आणि असमानतेवर उपाय 2 x – a² + 5< 0 является множество बी = (–∞;
) . समस्येच्या अटी पूर्ण करण्यासाठी, सेट ए सेट B () मध्ये समाविष्ट करणे आवश्यक आहे. जर आणि तरच ही स्थिती पूर्ण होईल.

उत्तर: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

उदाहरण ४.अ ची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी असमानता आहे
प्रत्येकासाठी धावतो xविभागातून.

उपाय:

मुळांमध्ये अपूर्णांक शून्यापेक्षा कमी आहे, म्हणून कोणते मूळ मोठे आहे हे शोधणे आवश्यक आहे.

–3a + 2 < 2a + 4
आणि -3 a + 2 > 2a + 4
. अशा प्रकारे, सह
xЄ (–३ a + 2; 2a+ ४) आणि विभागातील सर्व x साठी असमानता ठेवण्यासाठी, ते आवश्यक आहे

येथे
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) आणि त्यामुळे सर्वांसाठी असमानता टिकून राहते xविभागातून, ते आवश्यक आहे

जेव्हा a = – (जेव्हा मुळे जुळतात) तेव्हा कोणतेही उपाय नसतात, कारण या प्रकरणात असमानता फॉर्म घेते: .

उत्तर:
.

उदाहरण ५. एअसमानता सर्व नकारात्मक मूल्यांसाठी वैध आहे एक्स?

उपाय:

येथे गुणांक असल्यास कार्य नीरसपणे वाढते x नॉन-ऋणात्मक, आणि गुणांक येथे असल्यास ते नीरसपणे कमी होते xनकारात्मक

येथे गुणांकाचे चिन्ह शोधूया

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

द्या a≥ 1. नंतर फंक्शन f (x ) नीरसपणे कमी होत नाही, आणि समस्येची स्थिती समाधानी असेल तर f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

अटींसोबत a≥ 1; आम्हाला मिळते:

चला -3< a < 1. Тогда функция f (x ) नीरसपणे कमी होते आणि समस्येची स्थिती कधीही समाधानी होऊ शकत नाही.

उत्तर द्या:
.

2. चतुर्भुज समीकरणे आणि पॅरामीटर्ससह असमानता

चतुर्भुज कार्य:
.

वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये, खालील योजना वापरून या समीकरणाचा अभ्यास केला जातो.

उदाहरण १. कोणत्या मूल्यांवर a समीकरणx ² – कुऱ्हाड + 1 = 0 खरी मुळे नाहीत?

उपाय:

x ² – कुऱ्हाड + 1 = 0

डी = a ² – ४ १ =a ² - 4

a ² - 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

उत्तर द्या: येथेa Є (–2; 2)

उदाहरण २.a चे समीकरण कोणत्या मूल्यांसाठी करते ए (एक्स ² – एक्स + 1) = 3 एक्स + 5 दोन भिन्न वास्तविक मुळे आहेत?

उपाय:

ए (एक्स ² – एक्स + 1) = 3 एक्स + 5, ए ≠ 0

ओह ² – ah+ a – 3 एक्स – 5 = 0

ओह ² – ( ए + 3) एक्स + ए – 5 = 0

डी = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² - 26a – 9 < 0

डी = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

उत्तर:येथेaЄ (–१/३; ०)यू (0; 9)

उदाहरण 3: समीकरण सोडवा
.

उपाय:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

उत्तर:
येथेa Є (–∞; -1)यू (–1; 3) यू (3; +∞);

साठी कोणतेही उपाय नाहीतa = –1; 3.

उदाहरण4 . समीकरण सोडवा | x ²–2 x –3 | = a .

उपाय:

फंक्शन्स पाहू y = | x ²–2 x –3 | आणिy = a .

येथे a < 0 कोणतेही उपाय नाहीत;
येथे a = 0 आणि a> 4 दोन उपाय;
0 वर< a < 4 – четыре решения;
येथे a= 4 - तीन उपाय.

उत्तर:

येथे a < 0 нет решений;
येथे a= 0 आणि a> 4 दोन उपाय;
0 वर< a < 4 – четыре решения;
येथे a= 4 - तीन उपाय.

उदाहरण ५.सर्व मूल्ये शोधा a , ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
बरोबर दोन मुळे आहेत. जर अशी मूल्ये a एकापेक्षा जास्त, तुमच्या उत्तरात त्यांचे उत्पादन सूचित करा.

उपाय:

च्या विघटन करू चतुर्भुज त्रिपदी x ²–( a +2) x +2 a गुणक द्वारे.
;
;
;

आम्हाला मिळते | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
हे समीकरण संचाशी समतुल्य आहे

म्हणून, या समीकरणाची तंतोतंत दोन मुळे आहेत if a+ 3 = 2 आणि a – 3 = 2.
येथून आपल्याला इच्छित मूल्ये सापडतात aआहेत a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

उत्तर: –5.

उदाहरण 6.सर्व मूल्ये शोधा a , ज्यासाठी समीकरणाची मुळे कुऱ्हाड ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 सकारात्मक आहेत.

उपाय:

चेकपॉईंट a= 0, कारण समीकरणाचे सार बदलते.

1. a = 0 –2x + = 0;

उत्तर: a Є U .

उदाहरण 7.येथेकाय पॅरामीटर मूल्ये a समीकरण | x ² - 4 x + 3 | = कुऱ्हाड 3 मुळे आहेत.

उपाय:

फंक्शन आलेख बनवू y = | x ² - 4 x + 3 | आणि y = कुऱ्हाड .

कार्य विभागावर आलेख केले आहे
.
फंक्शनचा आलेख केल्यास या समीकरणाला तीन मुळे असतील y = कुऱ्हाडआलेखाला स्पर्शिका असेल y = x ²+ 4 x – 3 वर
विभाग

स्पर्शिका समीकरणाचे स्वरूप आहे y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



कारण स्पर्शिका समीकरण y = a, आम्हाला समीकरणांची एक प्रणाली मिळते

कारण x 0 Є ,

उत्तर:येथे a = 4 – 2
.

चतुर्भुज असमानतापॅरामीटर्ससह

उदाहरण.सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधा a , असमानतेच्या उपायांपैकी प्रत्येकासाठी
रेषाखंडावर कोणताही बिंदू नाही.

उपाय:

प्रथम, पॅरामीटरच्या सर्व मूल्यांसाठी असमानता सोडवू या, आणि नंतर ते शोधू ज्यासाठी समाधानांमध्ये विभागाचा एकही बिंदू नाही. .
द्या
, कुऱ्हाड = t ²

t ≥ 0

व्हेरिएबल्सच्या अशा बदलीसह, असमानतेचे ODZ स्वयंचलितपणे केले जाते. xद्वारे व्यक्त करता येते t, जर a≠ 0. म्हणून, केस जेव्हा a = 0, आम्ही स्वतंत्रपणे विचार करू.
1.चला a = 0, नंतर एक्स> 0, आणि दिलेला विभाग हा एक उपाय आहे.
२.चला a≠ 0, नंतर
आणि असमानता
फॉर्म घेईल
,

असमानतेचे समाधान मूल्यांवर अवलंबून असते a, म्हणून आपल्याला दोन प्रकरणांचा विचार करावा लागेल.
1) जर a>0, नंतर
येथे
, किंवा जुन्या चलांमध्ये,

सोल्यूशनमध्ये दिलेल्या सेगमेंटचा एक बिंदू नसतो आणि फक्त जर अटी पूर्ण झाल्या असतील a ≤ 7,

16a≥ 96. म्हणून, a Є .
2). जर ए< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). कारण t≥ 0, नंतर कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर: .

पॅरामीटर्ससह अपरिमेय समीकरणे

पॅरामीटरसह अतार्किक समीकरणे आणि असमानता सोडवताना, सर्वप्रथम, स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी विचारात घेतली पाहिजे. दुसरे म्हणजे, जर असमानतेच्या दोन्ही बाजू नकारात्मक नसलेल्या अभिव्यक्ती असतील, तर असमानतेचे चिन्ह कायम ठेवताना अशा विषमतेचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते.
बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, अपरिमेय समीकरणे आणि असमानता चल बदलल्यानंतर चतुर्भुज समीकरणांमध्ये कमी केली जातात.

उदाहरण १.समीकरण सोडवा
.

उपाय:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

जर x = a² - 1, नंतर अट समाधानी आहे.

उत्तर: x = a² – 1 वाजता ए≥ 0; साठी कोणतेही उपाय नाहीत a < 0.

उदाहरण २: समीकरण सोडवा
.

उपाय:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a–x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

उत्तर:
येथे a≥ -3; साठी कोणतेही उपाय नाहीत a < –3.

उदाहरण ३.समीकरणाची मुळे किती आहेत?
पॅरामीटर मूल्यांवर अवलंबून ए?

उपाय:

समीकरणाच्या स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी: x Є [–2; २]

फंक्शन्सचे आलेख बनवू. पहिल्या फंक्शनचा आलेख वर्तुळाचा वरचा अर्धा भाग आहे x² + y² = 4. दुसऱ्या फंक्शनचा आलेख हा पहिल्या आणि दुसऱ्या समन्वय कोनांचा दुभाजक आहे. पहिल्या फंक्शनच्या आलेखातून दुसऱ्या फंक्शनचा आलेख वजा करा आणि फंक्शनचा आलेख मिळवा
. आपण बदलल्यास येथेवर ए, नंतर फंक्शनचा शेवटचा आलेख हा मूळ समीकरणाचे समाधान करणारा बिंदूंचा (x; a) संच आहे.

आलेखानुसार आपण उत्तर पाहतो.

उत्तर:येथे एЄ (–∞; –2) U (1; +∞), मुळे नाहीत;

येथे एЄ [–२; 2), दोन मुळे;

येथे ए= 1, एक रूट.

उदाहरण ४.कोणत्या पॅरामीटर मूल्यांवर एसमीकरण
एकच उपाय आहे का?

उपाय:

पद्धत 1 (विश्लेषणात्मक):

उत्तर:

पद्धत 2 (ग्राफिकल):

उत्तर:≥ -2 साठी समीकरणाला एक अद्वितीय समाधान आहे

उदाहरण ५.पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांसाठी a समीकरण = 2 + x ला एक अद्वितीय समाधान आहे.

उपाय:

या समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या ग्राफिकल आवृत्तीचा विचार करूया, म्हणजेच आपण दोन कार्ये तयार करू:
येथे 1 = 2 + एक्सआणि येथे 2 =

पहिले फंक्शन रेखीय आहे आणि बिंदू (0; 2) आणि (–2; 0) मधून जाते.
दुसऱ्या फंक्शनच्या आलेखामध्ये एक पॅरामीटर आहे. प्रथम येथे या फंक्शनचा आलेख पाहू ए= 0 (चित्र 1). पॅरामीटर मूल्य बदलताना, आलेख अक्षाच्या बाजूने फिरेल ओहडावीकडील संबंधित मूल्याद्वारे (सकारात्मक साठी ए) किंवा उजवीकडे (ऋणासाठी ए) (चित्र 2)

आकृतीवरून हे स्पष्ट होते की कधी ए < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

उत्तर:येथे a≥ -2 समीकरणाला एक अद्वितीय समाधान आहे.

त्रिकोणमितीय समीकरणेपॅरामीटर्ससह.

उदाहरण १.समीकरण सोडवा पाप (– x + 2 x – 1) = b + 1.

उपाय:

कार्याची विचित्रता दिली
, आम्ही हे समीकरण समतुल्य कमी करतो
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

कोणतेही उपाय नाहीत.

5. bЄ(–१; ०)

6. bЄ(–2; -1)

उदाहरण २.p पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण आहे
कोणतेही उपाय नाहीत.

उपाय:

चला कॉस २ व्यक्त करू xमाध्यमातून sinx.

द्या
मग सर्व मूल्ये शोधण्याचे कार्य कमी केले गेले p, ज्यासाठी समीकरणाला [–१ वर कोणतेही उपाय नाहीत; 1]. समीकरण अल्गोरिदम पद्धतीने सोडवता येत नाही, म्हणून आम्ही आलेख वापरून समस्या सोडवू. चला समीकरण फॉर्ममध्ये लिहू आणि आता डाव्या बाजूच्या आलेखाचे स्केच.
तयार करणे सोपे.
सरळ रेषा असल्यास समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत y = p+ 9 मध्यांतरावर आलेख छेदत नाही [–1; 1], म्हणजे

उत्तर:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

पॅरामीटर्ससह समीकरणांची प्रणाली

दोन प्रणाली रेखीय समीकरणेपॅरामीटर्ससह

समीकरण प्रणाली

दोन रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण हे दोन सरळ रेषांचे छेदनबिंदू आहेत: आणि .

3 संभाव्य प्रकरणे आहेत:

1. रेषा समांतर नसतात . मग त्यांचे सामान्य वेक्टर समांतर नसतात, म्हणजे. . या प्रकरणात, प्रणाली आहे एकमेव उपाय.

2. रेषा समांतर आहेत आणि एकरूप होत नाहीत.मग त्यांचे सामान्य वेक्टर समांतर असतात, परंतु शिफ्ट भिन्न असतात, म्हणजे. .

या प्रकरणात प्रणालीकडे कोणतेही उपाय नाहीत .

3. सरळ रेषा एकरूप होतात.मग त्यांचे सामान्य वेक्टर समांतर असतात आणि शिफ्ट्स एकरूप होतात, म्हणजे. . या प्रकरणात, प्रणाली आहे असीम अनेक उपाय -एका ओळीचे सर्व बिंदू .

कार्य 1 #6329

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\) , ज्यापैकी प्रत्येक प्रणालीसाठी \[\begin(केसेस) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(केसेस)\]

अगदी चार उपाय आहेत.

(USE 2018, मुख्य लहर)

प्रणालीचे दुसरे समीकरण \(y=\pm x\) असे पुन्हा लिहिता येते. म्हणून, आम्ही दोन प्रकरणांचा विचार करतो: जेव्हा \(y=x\) आणि जेव्हा \(y=-x\) . मग सिस्टमच्या सोल्यूशन्सची संख्या पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकरणांमध्ये सोल्यूशनच्या संख्येच्या बेरजेइतकी असेल.

१) \(y=x\) . पहिल्या समीकरणात बदला आणि मिळवा: \ (लक्षात घ्या की \(y=-x\) च्या बाबतीत आपण तेच करू आणि एक चतुर्भुज समीकरण देखील मिळवू)
मूळ प्रणालीमध्ये 4 भिन्न समाधाने असण्यासाठी, प्रत्येक दोन प्रकरणांमध्ये 2 उपाय मिळणे आवश्यक आहे.
द्विघात समीकरणाला दोन मुळे असतात जेव्हा त्याची \(D>0\) असते. समीकरणाचा भेदभाव शोधूया (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
शून्यापेक्षा मोठा भेदभाव: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

२) \(y=-x\) . आम्हाला एक चतुर्भुज समीकरण मिळते: \ भेदभाव शून्यापेक्षा मोठा आहे: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), कुठून \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\उजवीकडे)\).

पहिल्या प्रकरणातील उपाय दुसऱ्या प्रकरणातील उपायांशी जुळतात की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

\(x_0\) हे समीकरण (1) आणि (2) चे सामान्य समाधान मानू \ येथून आपल्याला एकतर \(x_0=0\) किंवा \(a=0\) मिळेल.
जर \(a=0\) , तर समीकरण (1) आणि (2) समान आहेत, म्हणून, त्यांची मुळे समान आहेत. हे प्रकरण आम्हाला शोभत नाही.
जर \(x_0=0\) त्यांचे सामान्य मूळ असेल, तर \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), ज्यातून \((2a+2)^2+a^2-1=0\), ज्यातून \(a=-1\) किंवा \(a=-0.6\) . मग संपूर्ण मूळ प्रणालीमध्ये 3 भिन्न निराकरणे असतील, जी आम्हाला अनुकूल नाहीत.

या सर्व गोष्टींचा विचार केल्यास उत्तर असे येईल.

उत्तर:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \योग्य)\)

कार्य 2 #4032

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

\(a\) ची सर्व मूल्ये शोधा, ज्यापैकी प्रत्येक प्रणालीसाठी \[\begin(केसेस) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(केसेस)\ ]

एक अद्वितीय उपाय आहे.

चला सिस्टम फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(केसेस)\]चला तीन कार्ये विचारात घेऊया: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\), \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . हे सिस्टीममधून अनुसरण करते की \(y\leqslant g\), परंतु \(y\geqslant h\) . म्हणून, सिस्टमला उपाय मिळण्यासाठी, आलेख \(y\) अटींद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या क्षेत्रामध्ये असणे आवश्यक आहे: आलेख \(h\) “वर” परंतु आलेखाच्या “खाली” \(g\):

(आम्ही “डावा” प्रदेश प्रदेश I, “उजवा” प्रदेश प्रदेश II म्हणू)
लक्षात घ्या की प्रत्येक निश्चित \(a\ne 0\) साठी \(y\) चा आलेख पॅराबोला आहे, ज्याचा शिरोबिंदू \((-1;0)\ बिंदूवर आहे, आणि शाखा एकतर निर्देशित केल्या आहेत. वर किंवा खाली. जर \(a=0\) , तर समीकरण \(y=0\) सारखे दिसते आणि आलेख ही x-अक्षाशी जुळणारी सरळ रेषा आहे.
लक्षात घ्या की मूळ प्रणालीला एक अद्वितीय समाधान मिळण्यासाठी, आलेखा \(y\) मध्ये प्रदेश I किंवा प्रदेश II सह एक समान बिंदू असणे आवश्यक आहे (याचा अर्थ असा की आलेखा \(y\) मध्ये एकच समान बिंदू असणे आवश्यक आहे. यापैकी एका क्षेत्राच्या सीमेसह).

चला अनेक प्रकरणे स्वतंत्रपणे पाहू.

१) \(a>0\) . नंतर पॅराबोलाच्या शाखा \(y\) वरच्या दिशेने तोंड करतात. मूळ प्रणालीला अद्वितीय समाधान मिळण्यासाठी, पॅराबोला \(y\) प्रदेश I च्या सीमेला किंवा प्रदेश II च्या सीमेला स्पर्श करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच पॅराबोला \(g\), आणि स्पर्शिका बिंदूचा abscissa \(\leqslant -3\) किंवा \(\geqslant 2\) (म्हणजे, पॅराबोला \(y\) ने abscissa अक्षाच्या वर असलेल्या प्रदेशांपैकी एकाच्या सीमेला स्पर्श केला पाहिजे. , कारण पॅराबोला \(y\) abscissa अक्षाच्या वर आहे).

\(y"=2a(x+1)\), \(g"=2x\) . आलेखांसाठी \(y\) आणि \(g\) abscissa \(x_0\leqslant -3\) किंवा \(x_0\geqslant 2\) सह बिंदूला स्पर्श करण्यासाठी अटी : \[\begin(केसेस) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(संरेखित)\end(एकत्रित)\उजवे. \end(केसेस) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(एकत्र केलेले)\begin(संरेखित) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(संरेखित)\end(एकत्र केलेले) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(केसेस)\]या प्रणालीतून \(x_0=-4\), \(a=\frac43\) .
आम्हाला पॅरामीटरचे पहिले मूल्य \(a\) मिळाले.

२) \(a=0\) . नंतर \(y=0\) आणि हे स्पष्ट आहे की सरळ रेषेत प्रदेश II सह असीम सामान्य बिंदू आहेत. म्हणून, हे पॅरामीटर मूल्य आम्हाला अनुरूप नाही.

३)\(अ<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

चला \(a\) शोधू ज्यासाठी पॅराबोला \(y\) बिंदू \(B\) मधून जातो: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]पॅरामीटरच्या या मूल्यासह \(y=-\frac34(x+1)^2\) सरळ रेषेसह \(h=-2x-1\) पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचा दुसरा बिंदू आहे याची आम्ही खात्री करतो. निर्देशांकांसह बिंदू \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
अशा प्रकारे, आम्हाला दुसरे पॅरामीटर मूल्य प्राप्त झाले.

आम्ही सर्वकाही कव्हर केले असल्याने संभाव्य प्रकरणे\(a\) साठी, नंतर अंतिम उत्तर आहे: \

उत्तर:

\(\left\(-\frac34; \frac43\right\)\)

कार्य 3 #4013

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\), ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण प्रणाली आहे \[\begin(केसेस) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(केसेस)\]

बरोबर दोन उपाय आहेत.

1) \(x\) च्या संदर्भात प्रणालीचे पहिले समीकरण चतुर्भुज म्हणून विचारात घ्या: \ भेदभाव \(D=9y^2\) च्या समान आहे, म्हणून, \ मग समीकरण \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] म्हणून पुन्हा लिहिता येईल, म्हणून संपूर्ण प्रणाली पुन्हा लिहिली जाऊ शकते \[\begin(केसेस) \left[\begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &y=2x\\ &y=0.5x\end(संरेखित)\end(एकत्रित)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(केसेस)\]संच दोन सरळ रेषा परिभाषित करतो, प्रणालीचे दुसरे समीकरण \((a;a)\) आणि त्रिज्या \(R=\sqrt5a^2\) वर केंद्र असलेले वर्तुळ परिभाषित करते. मूळ समीकरणाला दोन निराकरणे मिळण्यासाठी, वर्तुळाने लोकसंख्येच्या आलेखाला दोन बिंदूंनी छेदणे आवश्यक आहे. येथे एक रेखाचित्र आहे जेव्हा, उदाहरणार्थ, \(a=1\):


लक्षात घ्या की वर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशांक समान असल्याने, वर्तुळाचे केंद्र सरळ रेषेने \(y=x\) "चालते" आहे.

2) सरळ रेषेला \(y=kx\) अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे या रेषेच्या कलतेच्या कोनाची स्पर्शिका असल्याने \(Ox\) \(k\) च्या समान आहे. सरळ रेषेच्या कलतेचा कोन \(y=0.5x\) \ (0.5\) च्या बरोबरीचा आहे (याला \(\mathrm(tg)\,\alpha\) म्हणू), सरळ रेषा \(y=2x) \) \(2\) च्या समान आहे (याला \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) म्हणू या. याची नोंद घ्या \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), म्हणून, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). म्हणून, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , कुठून \(\alpha+\beta=90^\circ\) . याचा अर्थ \(y=2x\) आणि सकारात्मक दिशा \(Oy\) मधील कोन \(y=0.5x\) आणि सकारात्मक दिशा \(Ox\) मधील कोनाइतका आहे :


आणि सरळ रेषा \(y=x\) हा I समन्वय कोनाचा दुभाजक असल्यामुळे (म्हणजेच, त्यामध्येचे कोन आणि धनादेश \(Ox\) आणि \(Oy\) \(45^) मध्ये समान आहेत. \circ\) ), नंतर \(y=x\) आणि रेषा \(y=2x\) आणि \(y=0.5x\) मधील कोन समान आहेत.
\(y=2x\) आणि \(y=0.5x\) रेषा \(y=x\) च्या संदर्भात एकमेकांशी सममितीय आहेत हे सांगण्यासाठी आम्हाला हे सर्व आवश्यक आहे, म्हणून, जर वर्तुळ एकाला स्पर्श करते. त्यापैकी , नंतर ते अपरिहार्यपणे दुसऱ्या ओळीला स्पर्श करते.
लक्षात घ्या की जर \(a=0\) , तर वर्तुळ बिंदू \((0;0)\) मध्ये क्षीण होते आणि दोन्ही रेषांसह फक्त एक छेदनबिंदू आहे. म्हणजेच हे प्रकरण आपल्याला शोभत नाही.
अशा प्रकारे, वर्तुळात रेषांसह छेदनबिंदूचे 2 बिंदू असण्यासाठी, त्याने या रेषांना स्पर्श करणे आवश्यक आहे:


आम्ही पाहतो की जेव्हा वर्तुळ तिसऱ्या तिमाहीत स्थित असते तेव्हा ते पहिल्या तिमाहीत स्थित असलेल्या केसशी सममित (उत्पत्तीशी संबंधित) असते. म्हणजेच, पहिल्या तिमाहीत \(a>0\), आणि तिसऱ्या \(a<0\) (но такие же по модулю).
म्हणून, आम्ही फक्त पहिल्या तिमाहीचा विचार करू.


याची नोंद घ्या \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . नंतर\नंतर \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]पण, दुसरीकडे, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]म्हणून, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm\ dfrac15\]अशा प्रकारे, आम्ही आधीच \(a\) साठी सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही मूल्ये प्राप्त केली आहेत. म्हणून, उत्तर आहे:\

उत्तर:

\(\{-0,2;0,2\}\)

कार्य 4 #3278

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

प्रत्येक समीकरणासाठी \(a\) ची सर्व मूल्ये शोधा \

एक अद्वितीय उपाय आहे.

(USE 2017, अधिकृत चाचणी 04/21/2017)

चला \(t=5^x, t>0\) बदल करू आणि सर्व संज्ञा एका भागात हलवू: \ आम्हाला एक चतुर्भुज समीकरण प्राप्त झाले, ज्याची मुळे, व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार, \(t_1=a+6\) आणि \(t_2=5+3|a|\) आहेत. मूळ समीकरणाला एक मूळ असण्यासाठी, \(t\) सह परिणामी समीकरणाचे देखील एक (सकारात्मक!) मूळ असणे पुरेसे आहे.
आपण ताबडतोब लक्षात घेऊ या की \(t_2\) सर्वांसाठी \(a\) सकारात्मक असेल. अशा प्रकारे, आम्हाला दोन प्रकरणे मिळतात:

१) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(संरेखित) \end(एकत्रित) \right.\]

२) \(t_2\) नेहमी सकारात्मक असल्याने, \(t_1\) \(\leqslant 0\) असणे आवश्यक आहे : \

उत्तर:

\((-\infty;-6]\कप\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

कार्य 5 #3252

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

\(\) विभागावर नेमके एक रूट आहे.

(USE 2017, राखीव दिवस)

समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]अशा प्रकारे, आम्ही लक्षात घेतो की \(x=a\) हे कोणत्याही \(a\) साठी समीकरणाचे मूळ आहे, कारण समीकरण \(0=0\) फॉर्म घेते. हे रूट \(\) विभागाशी संबंधित असण्यासाठी, \(0\leqslant a\leqslant 1\) आवश्यक आहे.
समीकरणाचे दुसरे मूळ \(x+a=3x-1\) वरून आढळते, म्हणजेच \(x=\frac(a+1)2\) . ही संख्या समीकरणाचे मूळ असण्यासाठी, ते समीकरणाचे ODZ पूर्ण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]हे रूट सेगमेंटशी संबंधित असण्यासाठी \(\) , ते आवश्यक आहे \ अशा प्रकारे, मूळ \(x=\frac(a+1)2\) अस्तित्त्वात असण्यासाठी आणि \(\) खंडाशी संबंधित असणे आवश्यक आहे. \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
लक्षात ठेवा की नंतर \(0\leqslant a\leqslant 1\) दोन्ही मूळ \(x=a\) आणि \(x=\frac(a+1)2\) \(\) (म्हणजे) विभागाशी संबंधित आहेत. , या विभागावर समीकरणाची दोन मुळे आहेत), जेव्हा ते जुळतात तेव्हा वगळता: \ त्यामुळे ते आम्हाला शोभते \(a\in \left[-\frac13; 0\उजवीकडे)\)आणि \(a=1\) .

उत्तर:

\(a\in \left[-\frac13;0\उजवीकडे)\कप\(1\)\)

कार्य 6 #3238

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\) , ज्यापैकी प्रत्येक समीकरणासाठी \

सेगमेंटवर एकच रूट आहे \(.\)

(USE 2017, राखीव दिवस)

समीकरण समतुल्य आहे: \ ODZ समीकरणे: \[\begin(केसेस) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(केसेस)\] ODZ वर समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाईल: \

१) चला \(अ<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ बसत नाही \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

२) चला \(a=0\) . नंतर ODZ समीकरण: \(x\geqslant 0\) . समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाईल: \ परिणामी रूट ODZ ला बसते आणि सेगमेंटमध्ये समाविष्ट केले जाते \(\) . म्हणून, \(a=0\) योग्य आहे.

३) चला \(a>0\) . नंतर ODZ: \(x\geqslant a\) आणि \(x\leqslant 1\) . म्हणून, जर \(a>1\), तर ODZ हा रिक्त संच आहे. अशा प्रकारे, \(0 फंक्शनचा विचार करा \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . चला ते एक्सप्लोर करूया.
व्युत्पन्न हे \(y"=3x^2-2ax+3a\) च्या बरोबरीचे आहे. व्युत्पन्नाचे कोणते चिन्ह असू शकते ते ठरवू या. हे करण्यासाठी, समीकरणाचा भेदक शोधा \(3x^2-2ax+3a=0). \) : \(D=4a(a-9)\) म्हणून, \(a\in (0;1]\) भेदभावासाठी \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). म्हणून, \(y\) वाढते. अशा प्रकारे, वाढत्या कार्याच्या गुणधर्मानुसार, समीकरण \(y(x)=0\) मध्ये एकापेक्षा जास्त मूळ असू शकत नाही.

म्हणून, समीकरणाचे मूळ (लेखाचा छेदनबिंदू \(y\) abscissa अक्षासह) \(\) खंडावर असणे आवश्यक आहे. \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]विचाराधीन प्रकरणात सुरुवातीला हे लक्षात घेता \(a\in (0;1]\), नंतर उत्तर \(a\in (0;1]\) आहे. लक्षात घ्या की मूळ \(x_1\) समाधानी \( (1) \) , मूळ \(x_2\) आणि \(x_3\) संतुष्ट \(2)\) हे देखील लक्षात घ्या की मूळ \(x_1\) खंडाशी संबंधित आहे.
चला तीन प्रकरणांचा विचार करूया:

१) \(a>0\) . नंतर \(x_2>3\), \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) समाधानी \((2)\) , \(x_3\) समाधान देत नाही \((1)\), किंवा \(x_1\) , किंवा समाधानी \((1)\) , परंतु विभागामध्ये समाविष्ट नाही \(\) (म्हणजे \(0\) पेक्षा कमी);
- \(x_1\) समाधान देत नाही \((2)\) , \(x_3\) समाधानी \((1)\) आणि \(x_1\) च्या समान नाही.
लक्षात ठेवा की \(x_3\) शून्यापेक्षा कमी आणि समाधानी \((1)\) (म्हणजे \(\frac35\) पेक्षा मोठे असू शकत नाही. ही टिप्पणी दिल्यास, प्रकरणे खालील संचामध्ये नोंदविली गेली आहेत: \[\left[ \begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ एंड(केस)\\ &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>हा संच सोडवताना आणि हे लक्षात घेऊन \(a>0\), आम्हाला मिळते: \

२) \(a=0\) . नंतर \(x_2=x_3=3\in .\) लक्षात घ्या की या प्रकरणात \(x_1\) समाधान \(2)\) आणि \(x_2=3\) समाधान \((1)\), नंतर तेथे \(\) वर दोन मुळे असलेले समीकरण आहे. \(a\) चे हे मूल्य आम्हाला शोभत नाही.

३)\(अ<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) आणि \(x_3\notin \) . बिंदू 1 प्रमाणेच वाद घालत), तुम्हाला संच सोडवणे आवश्यक आहे: \[\left[ \begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(केसेस)\\ &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(केसेस) \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\बरोबर.\]हा संच सोडवणे आणि हे लक्षात घेऊन \(a<0\) , получим: \\]

उत्तर:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

1. पॅरामीटरसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली

पॅरामीटरसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली सामान्य समीकरण प्रणालींप्रमाणे समान मूलभूत पद्धतींनी सोडविली जाते: प्रतिस्थापन पद्धत, समीकरणे जोडण्याची पद्धत आणि ग्राफिकल पद्धत. रेखीय प्रणालींच्या ग्राफिकल व्याख्याचे ज्ञान मुळांची संख्या आणि त्यांचे अस्तित्व या प्रश्नाचे उत्तर देणे सोपे करते.

उदाहरण १.

पॅरामीटर a साठी सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये कोणतेही निराकरण नाही.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

उपाय.

हे कार्य सोडवण्याचे अनेक मार्ग पाहू या.

1 मार्ग.आम्ही गुणधर्म वापरतो: जर x च्या समोरच्या गुणांकांचे गुणोत्तर y च्या समोरील गुणांकांच्या गुणोत्तरासारखे असेल, परंतु मुक्त अटींच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे नसेल तर सिस्टमकडे कोणतेही उपाय नाहीत (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). मग आमच्याकडे आहे:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 किंवा प्रणाली

(आणि २ – ३ = १,
(a ≠ 2.

पहिल्या समीकरणावरून a 2 = 4, म्हणून, ≠ 2 ही स्थिती लक्षात घेऊन, आपल्याला उत्तर मिळेल.

उत्तर: a = -2.

पद्धत 2.आम्ही प्रतिस्थापन पद्धतीने निराकरण करतो.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

पहिल्या समीकरणातील कंसातून y सामान्य घटक काढल्यानंतर, आम्हाला मिळते:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

जर पहिल्या समीकरणात कोणतेही उपाय नसतील तर सिस्टमला कोणतेही उपाय नाहीत, म्हणजे

(आणि 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

अर्थात, a = ±2, परंतु दुसरी अट लक्षात घेता, उत्तर फक्त वजा उत्तरासह येते.

उत्तर: a = -2.

उदाहरण २.

पॅरामीटर a साठी सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये अनंत संख्येने निराकरणे आहेत.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

उपाय.

मालमत्तेनुसार, जर x आणि y च्या गुणांकांचे गुणोत्तर समान असेल आणि ते सिस्टमच्या मुक्त सदस्यांच्या गुणोत्तरासारखे असेल, तर त्यास अनंत संख्येने समाधाने आहेत (उदा. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). म्हणून 8/a = a/2 = 2/1. प्रत्येक परिणामी समीकरण सोडवताना, या उदाहरणात a = 4 हे उत्तर आहे असे आपल्याला आढळते.

उत्तर: a = 4.

2. पॅरामीटरसह तर्कसंगत समीकरणांची प्रणाली

उदाहरण ३.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

उपाय.

प्रणालीचे पहिले समीकरण 2 ने गुणाकार करू.

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

पहिल्या समीकरणातून दुसरे समीकरण वजा केल्यास 5|x| मिळते = 4 – अ. या समीकरणात a = 4 साठी एक अद्वितीय समाधान असेल. इतर बाबतीत, या समीकरणात दोन उपाय असतील (a साठी< 4) или ни одного (при а > 4).

उत्तर: a = 4.

उदाहरण ४.

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

उपाय.

आम्ही ग्राफिकल पद्धती वापरून ही प्रणाली सोडवू. अशा प्रकारे, प्रणालीच्या दुस-या समीकरणाचा आलेख हा ओय अक्षाच्या बाजूने एका एकक खंडाने वरच्या दिशेने उभा केलेला पॅराबोला आहे. पहिले समीकरण y = -x या रेषेच्या समांतर रेषांचा संच निर्दिष्ट करते (चित्र 1). आकृतीवरून हे स्पष्टपणे दिसून येते की सरळ रेषा y = -x + a ही निर्देशांक (-0.5, 1.25) असलेल्या एका बिंदूवर पॅराबोलाला स्पर्शिका असल्यास प्रणालीमध्ये एक उपाय आहे. या निर्देशांकांना x आणि y ऐवजी सरळ रेषेच्या समीकरणामध्ये बदलल्यास, आम्हाला पॅरामीटर a चे मूल्य आढळते:

1.25 = 0.5 + a;

उत्तर: a = 0.75.

उदाहरण ५.

प्रतिस्थापन पद्धतीचा वापर करून, पॅरामीटर a चे किती मूल्य आहे ते शोधा, सिस्टममध्ये एक अद्वितीय उपाय आहे.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

उपाय.

पहिल्या समीकरणातून आपण y व्यक्त करतो आणि दुसऱ्या समीकरणात बदलतो:

(y = कुर्हाड – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

दुसरे समीकरण kx = b या फॉर्ममध्ये कमी करू या, ज्यामध्ये k ≠ 0 साठी एक अद्वितीय समाधान असेल. आमच्याकडे आहे:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

आम्ही चौरस त्रिपदी a 2 + 3a + 2 कंसाचा गुणाकार म्हणून दर्शवतो

(a + 2)(a + 1), आणि डावीकडे आपण x कंसातून बाहेर काढतो:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

साहजिकच, 2 + 3a शून्याच्या बरोबरीचे नसावे, म्हणून,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, म्हणजे a ≠ 0 आणि ≠ -3.

उत्तर: a ≠ 0; ≠ -3.

उदाहरण 6.

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धतीचा वापर करून, पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यावर सिस्टममध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे हे निर्धारित करा.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

उपाय.

स्थितीच्या आधारावर, आम्ही मूळ आणि 3 युनिट विभागांच्या त्रिज्यासह एक वर्तुळ तयार करतो जे सिस्टमच्या पहिल्या समीकरणाने निर्दिष्ट केले आहे

x 2 + y 2 = 9. प्रणालीचे दुसरे समीकरण (y = |x| + a) ही तुटलेली रेषा आहे. वापरून आकृती 2आम्ही मंडळाशी संबंधित त्याच्या स्थानाच्या सर्व संभाव्य प्रकरणांचा विचार करतो. हे पाहणे सोपे आहे की a = 3.

उत्तर: a = 3.

अद्याप प्रश्न आहेत? समीकरणांची प्रणाली कशी सोडवायची हे माहित नाही?
ट्यूटरकडून मदत मिळविण्यासाठी -.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

या कामाचा उद्देश पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या विविध मार्गांचा अभ्यास करणे आहे. पॅरामीटर्ससह समस्या सोडविण्याची क्षमता आणि क्षमता समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याच्या पद्धतींवर प्रभुत्व, सैद्धांतिक माहितीची अर्थपूर्ण समज, तार्किक विचारांची पातळी आणि संज्ञानात्मक क्रियाकलाप उत्तेजित करते. ही कौशल्ये विकसित करण्यासाठी, दीर्घ प्रयत्नांची आवश्यकता आहे, म्हणूनच अचूक विज्ञानाच्या सखोल अभ्यासासह विशेष इयत्ते 10-11 मध्ये, "मॅथेमॅटिकल प्रॅक्टिकम" हा अभ्यासक्रम सुरू करण्यात आला आहे, ज्याचा भाग समीकरणे आणि असमानता यांचे निराकरण आहे. पॅरामीटर्स हा अभ्यासक्रम शाळेच्या अभ्यासक्रमाच्या घटकामध्ये समाविष्ट असलेल्या विषयांपैकी एक आहे.

पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींचा यशस्वी अभ्यास करण्यासाठी वैकल्पिक किंवा वैकल्पिक अभ्यासक्रम किंवा विषयावरील ग्रिडच्या मागे असलेल्या घटकाद्वारे मदत केली जाऊ शकते: "पॅरामीटर्ससह समस्या."

पॅरामीटर्ससह समस्यांचे चार मोठे वर्ग विचारात घेऊया:

1. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्या कोणत्याही पॅरामीटर मूल्यासाठी किंवा विशिष्ट संचाशी संबंधित असलेल्या पॅरामीटर मूल्यांसाठी सोडवल्या पाहिजेत.
2. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्यासाठी पॅरामीटरच्या मूल्यावर अवलंबून समाधानांची संख्या निर्धारित करणे आवश्यक आहे.
3. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली, ज्यासाठी निर्दिष्ट समीकरणे (सिस्टम, असमानता) मध्ये दिलेल्या संख्येची निराकरणे आहेत त्या सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे.
4. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्यासाठी, आवश्यक पॅरामीटर मूल्यांसाठी, सोल्यूशन्सचा संच परिभाषाच्या डोमेनमध्ये दिलेल्या अटी पूर्ण करतो.

पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या पद्धती.

1. विश्लेषणात्मक पद्धत.

ही एक थेट उपाय पद्धत आहे जी पॅरामीटरशिवाय समस्यांमध्ये उत्तर शोधण्यासाठी मानक प्रक्रियेची पुनरावृत्ती करते.

उदाहरण 1: पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा a, ज्यासाठी समीकरण:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 मध्ये जास्तीत जास्त एक रूट आहे.

2 वाजता a– 1 = 0 हे समीकरण चतुर्भुज नाही, म्हणून केस a=1/2 स्वतंत्रपणे क्रमवारी लावले आहे.

जर a= 1/2, नंतर समीकरण 1/2 फॉर्म घेते x- 2 = 0, त्याचे एक मूळ आहे.

जर a≠ 1/2, नंतर समीकरण द्विघात आहे; त्याचे जास्तीत जास्त एक मूळ असणे आवश्यक आहे आणि भेदभाव करणाऱ्याला सकारात्मक नसणे पुरेसे आहे:

डी= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

अंतिम उत्तर लिहिण्यासाठी, तुम्हाला समजून घेणे आवश्यक आहे

2. ग्राफिक पद्धत.

कार्यावर अवलंबून (व्हेरिएबलसह xआणि पॅरामीटर a) समन्वय समतलातील आलेख ( x;y) किंवा विमानात ( x;a).

उदाहरण 2. प्रत्येक पॅरामीटर मूल्यासाठी aसमीकरणाच्या समाधानांची संख्या निश्चित करा .

समीकरणाच्या समाधानांची संख्या लक्षात घ्या फंक्शन आलेखांच्या छेदनबिंदूंच्या संख्येइतके आणि y = a.

फंक्शनचा आलेख आकृती 1 मध्ये दाखवले आहे.

y = aक्षैतिज रेषा आहे. आलेख वापरून, त्यावर अवलंबून छेदनबिंदूंची संख्या निर्धारित करणे सोपे आहे a(उदाहरणार्थ, केव्हा a= 11 - छेदनबिंदूचे दोन बिंदू; येथे a= 2 – छेदनबिंदूचे आठ बिंदू).

उत्तर: केव्हा a < 0 – решений нет; при a= 0 आणि a= 25/4 - चार उपाय; 0 वर< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – सात उपाय; येथे

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 - दोन उपाय.

3. पॅरामीटरच्या संदर्भात निराकरण करण्याची पद्धत.

अशा प्रकारे सोडवताना, चल एक्सआणि एसमान म्हणून स्वीकारले जाते, आणि विश्लेषणात्मक उपाय सोपा बनवण्यासाठी व्हेरिएबल निवडले जाते. सरलीकरणानंतर, तुम्हाला व्हेरिएबल्सच्या मूळ अर्थाकडे परत जाणे आवश्यक आहे एक्सआणि एआणि उपाय पूर्ण करा.

उदाहरण 3: पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा ए, ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण = - कुऱ्हाड +3a+2 मध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

व्हेरिएबल्स बदलून आपण हे समीकरण सोडवू. द्या = t , t≥ 0, नंतर x = t 2 + 8 आणि समीकरण बनते येथे 2 +t + 5a– २ = ०. आता सर्व काही शोधण्याचे आव्हान आहे ए, ज्यासाठी समीकरण येथे 2 +t + 5a– 2 = 0 मध्ये एक अद्वितीय नॉन-नकारात्मक समाधान आहे. हे खालील प्रकरणांमध्ये उद्भवते.

1) जर ए= 0, नंतर समीकरणाला एक अद्वितीय समाधान आहे t = 2.

पॅरामीटर्ससह काही प्रकारची समीकरणे आणि असमानता सोडवणे.

पॅरामीटर्समधील समस्या तार्किक विचारांच्या निर्मितीमध्ये आणि संशोधन कौशल्ये आत्मसात करण्यात मदत करतात.

प्रत्येक समस्येचे निराकरण अद्वितीय आहे आणि वैयक्तिक, गैर-मानक दृष्टीकोन आवश्यक आहे, कारण अशा समस्या सोडवण्याचा कोणताही एकमेव मार्ग नाही.

समस्या क्रमांक 1. पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांवर bसमीकरणाला मुळे नाहीत का?

कार्य क्रमांक 2. सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधा a, ज्यासाठी असमानतेच्या उपायांचा संच आहे:

6 क्रमांकाचा समावेश आहे आणि 6 लांबीचे दोन विभाग देखील आहेत ज्यात कोणतेही समान बिंदू नाहीत.

चला असमानतेच्या दोन्ही बाजू बदलूया.

असमानतेच्या उपायांच्या संचामध्ये क्रमांक 6 समाविष्ट करण्यासाठी, खालील अट पूर्ण करणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे:

अंजीर.4

येथे a> असमानतेवर उपायांचा 6 संच: .

मध्यांतर (0;5) मध्ये 6 लांबीचा कोणताही विभाग असू शकत नाही. याचा अर्थ असा की लांबी 6 चे दोन विभक्त खंड मध्यांतरात समाविष्ट केले पाहिजेत (5; a).

समस्या क्रमांक 3. फंक्शन परिभाषित करण्याच्या क्षेत्रात सर्व धन पूर्णांक घ्या आणि त्यांची बेरीज करा. सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी ही बेरीज 5 पेक्षा जास्त आहे परंतु 10 पेक्षा कमी आहे.

1) रेखीय फ्रॅक्शनल फंक्शनचा आलेख हायपरबोल आहे. अटीनुसार x> 0. अमर्यादित वाढीसह एक्सअपूर्णांक मोनोटोनिकरीत्या कमी होतो आणि शून्यापर्यंत पोहोचतो आणि कार्य मूल्ये zवाढ आणि दृष्टीकोन 5. शिवाय, z(0) = 1.

२) पदवीच्या व्याख्येनुसार, परिभाषेचे डोमेन D(y)असमानतेवरील उपायांचा समावेश आहे. येथे a= 1 आम्ही एक असमानता प्राप्त करतो ज्याचे कोणतेही निराकरण नाही. त्यामुळे फंक्शन येथेकुठेही परिभाषित नाही.

3) 0 वाजता< a< 1 показательная функция с основанием एकमी होते आणि असमानता असमानतेच्या बरोबरीची आहे. कारण x> 0, नंतर z(x) > z(0) = 1 . याचा अर्थ असा की प्रत्येक सकारात्मक मूल्य एक्सअसमानतेवर उपाय आहे. म्हणून, अशा साठी एस्थितीत नमूद केलेली रक्कम सापडत नाही.

4) केव्हा a> बेससह 1 घातांकीय कार्य एवाढते आणि असमानता असमानतेच्या समतुल्य आहे. जर a≥ 5, नंतर कोणतीही सकारात्मक संख्या हे त्याचे समाधान आहे आणि स्थितीमध्ये निर्दिष्ट केलेली बेरीज सापडत नाही. जर १< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), कुठे a = z(x 0) .

5) 1 पासून सुरू होणाऱ्या या मध्यांतरामध्ये पूर्णांक सलग आहेत. 1: 1 पासून सुरू होणाऱ्या, लागोपाठ नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करू या; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... म्हणून, दर्शविलेली रक्कम 5 पेक्षा जास्त आणि 10 पेक्षा कमी असेल तरच जर संख्या 3 मध्यांतरात असेल (0; x 0), आणि क्रमांक 4 या मध्यांतरात खोटे बोलत नाही. तर ३< x 0 ≤ 4. ने वाढल्यामुळे, नंतर z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

अतार्किक समीकरणे आणि असमानता सोडवणे, तसेच समीकरणे, असमानता आणि मॉड्यूल असलेली प्रणाली यावर चर्चा केली आहे. परिशिष्ट १.

पॅरामीटर्ससह समस्या जटिल आहेत कारण त्यांचे निराकरण करण्यासाठी कोणतेही एकल अल्गोरिदम नाही. अशा समस्यांची विशिष्टता अशी आहे की, अज्ञात परिमाणांसह, त्यामध्ये पॅरामीटर्स असतात ज्यांची संख्यात्मक मूल्ये विशेषतः दर्शविली जात नाहीत, परंतु विशिष्ट संख्यात्मक सेटवर ज्ञात आणि निर्दिष्ट मानली जातात. या प्रकरणात, पॅरामीटर मूल्ये समस्येचे निराकरण करण्याच्या तार्किक आणि तांत्रिक अभ्यासक्रमावर आणि उत्तराच्या स्वरूपावर लक्षणीय परिणाम करतात.

आकडेवारीनुसार, अनेक पदवीधर युनिफाइड स्टेट परीक्षेवर पॅरामीटर्ससह समस्या सोडविण्यास प्रारंभ करत नाहीत. FIPI च्या मते, केवळ 10% पदवीधर अशा समस्या सोडवण्यास सुरुवात करतात आणि त्यांच्या योग्य निराकरणाची टक्केवारी कमी आहे: 2-3%, म्हणून शाळेद्वारे पॅरामीटर्ससह समस्यांसह कठीण, गैर-मानक कार्ये सोडवण्याची कौशल्ये संपादन करणे. विद्यार्थी अजूनही संबंधित आहेत.