सर्व लॉगरिदमिक असमानतेबद्दल. उदाहरणांचे विश्लेषण

लॉगरिदमिक असमानता सोडवताना अनेकदा समस्या येतात व्हेरिएबल बेसलॉगरिथम अशा प्रकारे, फॉर्मची असमानता

ही एक मानक शालेय असमानता आहे. नियमानुसार, त्याचे निराकरण करण्यासाठी, सिस्टमच्या समतुल्य संचामध्ये संक्रमण वापरले जाते:

गैरसोय ही पद्धतसात असमानता सोडवण्याची गरज आहे, दोन प्रणाली आणि एक एकत्रित न मोजता. आधीच या चतुर्भुज फंक्शन्ससह, लोकसंख्येचे निराकरण करण्यात खूप वेळ लागू शकतो.

ही मानक असमानता सोडवण्यासाठी पर्यायी, कमी श्रम-केंद्रित मार्ग प्रस्तावित करणे शक्य आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही खालील प्रमेय विचारात घेतो.

प्रमेय 1. X संचावर सतत वाढत जाणारे फंक्शन असू द्या. नंतर या सेटवर फंक्शनच्या वाढीचे चिन्ह वितर्क वाढीच्या चिन्हाशी एकरूप होईल, म्हणजे. , कुठे .

टीप: जर X सेटवर सतत कमी होणारे कार्य, तर.

चला असमानतेकडे परत जाऊया. चला दशांश लॉगरिदम वर जाऊया (आपण एकापेक्षा जास्त स्थिर आधार असलेल्या कोणत्याही वर जाऊ शकता).

आता तुम्ही प्रमेय वापरू शकता, अंशातील फंक्शन्सची वाढ लक्षात घेऊन आणि भाजक मध्ये. तर ते खरे आहे

परिणामी, उत्तराकडे नेणाऱ्या गणनेची संख्या अंदाजे निम्म्याने कमी होते, ज्यामुळे केवळ वेळेचीच बचत होत नाही, तर तुम्हाला संभाव्यत: कमी अंकगणित आणि निष्काळजी चुका करण्याची परवानगी मिळते.

उदाहरण १.

(1) शी तुलना करताना आम्हाला आढळते , , .

(2) वर जाताना आमच्याकडे असेल:

उदाहरण २.

(1) शी तुलना करताना आपल्याला , , .

(2) वर जाताना आमच्याकडे असेल:

उदाहरण ३.

असमानतेची डावी बाजू आणि म्हणून वाढते कार्य आहे , तर उत्तर अनेक असेल.

थीम 1 लागू करता येणारी अनेक उदाहरणे थीम 2 लक्षात घेऊन सहजपणे विस्तारित केली जाऊ शकतात.

सेटवर येऊ द्या एक्सफंक्शन्स , , , परिभाषित केले आहेत, आणि या सेटवर चिन्हे आणि एकरूप होतात, म्हणजे. , मग ते न्याय्य होईल.

उदाहरण ४.

उदाहरण ५.

मानक दृष्टिकोनासह, उदाहरण खालील योजनेनुसार सोडवले जाते: जेव्हा घटक भिन्न चिन्हे असतात तेव्हा उत्पादन शून्यापेक्षा कमी असते. त्या. असमानतेच्या दोन प्रणालींचा एक संच मानला जातो, ज्यामध्ये, सुरुवातीला दर्शविल्याप्रमाणे, प्रत्येक असमानता आणखी सातमध्ये मोडते.

जर आपण प्रमेय 2 विचारात घेतला, तर प्रत्येक घटक, (2) लक्षात घेऊन, या उदाहरणामध्ये समान चिन्ह असलेल्या दुसऱ्या फंक्शनद्वारे बदलले जाऊ शकते.

सामान्य C3 युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन समस्या सोडवताना प्रमेय 2 विचारात घेऊन फंक्शनच्या वाढीला तर्काच्या वाढीसह बदलण्याची पद्धत अतिशय सोयीची ठरते.

उदाहरण 6.

उदाहरण 7.

. चला सूचित करूया. आम्हाला मिळते

. लक्षात ठेवा की बदली सुचवते: . समीकरणाकडे परत आल्यावर आपल्याला मिळते .

उदाहरण 8.

आम्ही वापरत असलेल्या प्रमेयांमध्ये फंक्शन्सच्या वर्गांवर कोणतेही निर्बंध नाहीत. या लेखात, उदाहरण म्हणून, लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी प्रमेये लागू केली गेली. खालील अनेक उदाहरणे इतर प्रकारच्या असमानता सोडवण्याच्या पद्धतीचे वचन दर्शवतील.

लॉगरिदमिक असमानतेच्या संपूर्ण विविधतेमध्ये, व्हेरिएबल बेससह असमानतेचा स्वतंत्रपणे अभ्यास केला जातो. ते एक विशेष सूत्र वापरून सोडवले जातात, जे काही कारणास्तव शाळेत क्वचितच शिकवले जाते:

लॉग k (x) f (x) ∨ लॉग k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” चेकबॉक्सऐवजी, तुम्ही कोणतेही असमानतेचे चिन्ह लावू शकता: कमी किंवा जास्त. मुख्य गोष्ट अशी आहे की दोन्ही असमानतेमध्ये चिन्हे समान आहेत.

अशा प्रकारे आपण लॉगरिदमपासून मुक्त होऊ आणि समस्या तर्कसंगत असमानतेपर्यंत कमी करू. नंतरचे निराकरण करणे खूप सोपे आहे, परंतु लॉगरिदम टाकून देताना, अतिरिक्त मुळे दिसू शकतात. त्यांना कापण्यासाठी, स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी शोधणे पुरेसे आहे. तुम्ही लॉगरिथमचा ODZ विसरला असल्यास, मी त्याची पुनरावृत्ती करण्याची जोरदार शिफारस करतो - "लोगॅरिथम म्हणजे काय" पहा.

स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीशी संबंधित प्रत्येक गोष्ट स्वतंत्रपणे लिहून सोडवली जाणे आवश्यक आहे:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ १.

या चार असमानता एक प्रणाली तयार करतात आणि एकाच वेळी समाधानी असणे आवश्यक आहे. जेव्हा स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी सापडते, तेव्हा जे काही उरते ते तर्कसंगत असमानतेच्या समाधानासह छेदन करणे - आणि उत्तर तयार आहे.

कार्य. असमानता सोडवा:

प्रथम, लॉगरिदमचा ODZ लिहू:

पहिल्या दोन असमानता आपोआप तृप्त होतात, पण शेवटची असमानता लिहावी लागेल. संख्येचा वर्ग शून्य असल्याने आणि जर संख्याच शून्य असेल तरच, आपल्याकडे आहे:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

असे दिसून आले की लॉगॅरिथमची ODZ ही शून्य वगळता सर्व संख्या आहेत: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). आता आम्ही मुख्य असमानता सोडवतो:

आम्ही लॉगरिदमिक असमानतेपासून तर्कसंगत असमानतेकडे संक्रमण करतो. मूळ असमानतेमध्ये "पेक्षा कमी" चिन्ह आहे, याचा अर्थ असा आहे की परिणामी असमानतेमध्ये "पेक्षा कमी" चिन्ह असणे आवश्यक आहे. आमच्याकडे आहे:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(३ − x ) (३ + x ) x २< 0.

या अभिव्यक्तीचे शून्य आहेत: x = 3; x = −3; x = 0. शिवाय, x = 0 हे दुस-या गुणाकाराचे मूळ आहे, याचा अर्थ त्यामधून जात असताना, फंक्शनचे चिन्ह बदलत नाही. आमच्याकडे आहे:

आपल्याला x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिळेल. हा संच लॉगरिदमच्या ODZ मध्ये पूर्णपणे समाविष्ट आहे, याचा अर्थ हे उत्तर आहे.

लॉगरिदमिक असमानता रूपांतरित करणे

अनेकदा मूळ असमानता वरील असमानतापेक्षा वेगळी असते. लॉगरिदमसह कार्य करण्यासाठी मानक नियम वापरून हे सहजपणे दुरुस्त केले जाऊ शकते - "लोगॅरिथमचे मूलभूत गुणधर्म" पहा. म्हणजे:

1. दिलेल्या बेससह कोणतीही संख्या लॉगरिदम म्हणून दर्शविली जाऊ शकते;
2. समान पाया असलेल्या लॉगरिदमची बेरीज आणि फरक एका लॉगरिथमने बदलला जाऊ शकतो.

स्वतंत्रपणे, मी तुम्हाला स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीबद्दल आठवण करून देऊ इच्छितो. मूळ असमानतेमध्ये अनेक लॉगरिदम असू शकतात, त्या प्रत्येकाचा VA शोधणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याची सर्वसाधारण योजना खालीलप्रमाणे आहे:

1. असमानतेमध्ये समाविष्ट असलेल्या प्रत्येक लॉगरिदमचा VA शोधा;
2. लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे या सूत्रांचा वापर करून असमानता प्रमाणानुसार कमी करा;
3. वर दिलेल्या योजनेनुसार परिणामी असमानता सोडवा.

कार्य. असमानता सोडवा:

पहिल्या लॉगरिथमचे डोमेन ऑफ डेफिनेशन (DO) शोधूया:

आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरून निराकरण करतो. अंशाचे शून्य शोधणे:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

नंतर - भाजकाचे शून्य:

x − 1 = 0;
x = 1.

आम्ही समन्वय बाणावर शून्य आणि चिन्हे चिन्हांकित करतो:

आपल्याला x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिळेल. दुसऱ्या लॉगरिदममध्ये समान VA असेल. तुमचा माझ्यावर विश्वास नसेल तर तुम्ही ते तपासू शकता. आता आम्ही दुसरा लॉगरिदम बदलतो जेणेकरून बेस दोन असेल:

जसे तुम्ही बघू शकता, लॉगरिथमच्या बेसवरील आणि समोरील थ्री कमी केले आहेत. आम्हाला एकाच बेससह दोन लॉगरिदम मिळाले. चला त्यांना जोडूया:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

आम्ही मानक लॉगरिदमिक असमानता प्राप्त केली. सूत्र वापरून आपण लॉगरिदमपासून मुक्त होतो. मूळ असमानतेमध्ये "पेक्षा कमी" चिन्ह असल्याने, परिणामी तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती देखील शून्यापेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे. आमच्याकडे आहे:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

आम्हाला दोन सेट मिळाले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उमेदवाराचे उत्तर: x ∈ (−1; 3).

या संचांना छेदणे बाकी आहे - आम्हाला खरे उत्तर मिळते:

आम्हाला सेट्सच्या छेदनबिंदूमध्ये स्वारस्य आहे, म्हणून आम्ही दोन्ही बाणांवर छायांकित अंतराल निवडतो. आम्हाला x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - सर्व बिंदू पंक्चर झाले आहेत.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेला अजून वेळ आहे आणि तुम्हाला तयारी करायला वेळ मिळेल असे तुम्हाला वाटते का? कदाचित हे असे आहे. परंतु कोणत्याही परिस्थितीत, विद्यार्थ्याने जितक्या लवकर तयारी सुरू केली तितक्याच यशस्वीपणे तो परीक्षा उत्तीर्ण होतो. आज आम्ही लॉगरिदमिक असमानतेसाठी एक लेख समर्पित करण्याचा निर्णय घेतला. हे कार्यांपैकी एक आहे, ज्याचा अर्थ अतिरिक्त क्रेडिट मिळविण्याची संधी आहे.

लॉगरिदम म्हणजे काय हे तुम्हाला आधीच माहीत आहे का? आम्ही खरोखर अशी आशा करतो. परंतु आपल्याकडे या प्रश्नाचे उत्तर नसले तरीही, ही समस्या नाही. लॉगरिदम म्हणजे काय हे समजून घेणे खूप सोपे आहे.

4 का? 81 मिळविण्यासाठी तुम्हाला या पॉवरमध्ये 3 संख्या वाढवणे आवश्यक आहे. एकदा तुम्हाला तत्त्व समजले की, तुम्ही अधिक जटिल गणनेकडे जाऊ शकता.

काही वर्षांपूर्वी तुम्ही विषमतेतून गेला होता. आणि तेव्हापासून तुम्ही सतत त्यांना गणितात भेटत आहात. तुम्हाला असमानता सोडवण्यात समस्या येत असल्यास, योग्य विभाग पहा.
आता आपण संकल्पनांशी वैयक्तिकरित्या परिचित झालो आहोत, आपण त्यांचा सर्वसाधारणपणे विचार करूया.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक असमानता.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक असमानता या उदाहरणापुरती मर्यादित नाही, फक्त भिन्न चिन्हे आहेत. हे का आवश्यक आहे? लॉगरिदमसह असमानता कशी सोडवायची हे चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी. आता एक अधिक लागू उदाहरण देऊया, अजून अगदी सोपं आहे.

हे कसे सोडवायचे? हे सर्व ODZ ने सुरू होते. तुम्हाला नेहमीच कोणतीही असमानता सहजपणे सोडवायची असेल तर त्याबद्दल अधिक जाणून घेणे योग्य आहे.

ODZ म्हणजे काय? लॉगरिदमिक असमानतेसाठी ODZ

संक्षेप स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीसाठी आहे. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या कामांमध्ये हे सूत्र अनेकदा समोर येते. ODZ केवळ लॉगरिदमिक असमानतेच्या बाबतीतच नाही तर तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरेल.

वरील उदाहरण पुन्हा पहा. आम्ही त्यावर आधारित ODZ चा विचार करू, जेणेकरून तुम्हाला तत्त्व समजेल आणि लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याने प्रश्न निर्माण होणार नाहीत. लॉगरिथमच्या व्याख्येवरून असे दिसून येते की 2x+4 शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. आमच्या बाबतीत याचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे.

ही संख्या, व्याख्येनुसार, सकारात्मक असणे आवश्यक आहे. वर सादर केलेली असमानता सोडवा. हे तोंडी देखील केले जाऊ शकते; येथे हे स्पष्ट आहे की X 2 पेक्षा कमी असू शकत नाही. असमानतेचे समाधान स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीची व्याख्या असेल.
आता सर्वात सोपी लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याकडे वळू.

आम्ही असमानतेच्या दोन्ही बाजूंनी लॉगरिदम टाकून देतो. परिणामी आमच्याकडे काय उरले आहे? साधी असमानता.

ते सोडवणे अवघड नाही. X -0.5 पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. आता आपण दोन प्राप्त मूल्ये एका प्रणालीमध्ये एकत्र करतो. अशा प्रकारे,

विचाराधीन लॉगरिदमिक असमानतेसाठी ही स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी असेल.

आम्हाला ODZ ची अजिबात गरज का आहे? चुकीची आणि अशक्य उत्तरे काढून टाकण्याची ही एक संधी आहे. जर उत्तर स्वीकार्य मूल्यांच्या मर्यादेत नसेल, तर उत्तराला अर्थ नाही. हे बर्याच काळासाठी लक्षात ठेवण्यासारखे आहे, कारण युनिफाइड स्टेट परीक्षेत अनेकदा ओडीझेड शोधण्याची आवश्यकता असते आणि ती केवळ लॉगरिदमिक असमानतेशी संबंधित नाही.

लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम

सोल्यूशनमध्ये अनेक टप्पे असतात. प्रथम, आपल्याला स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी शोधण्याची आवश्यकता आहे. ODZ मध्ये दोन अर्थ असतील, आम्ही वर चर्चा केली. पुढे असमानता स्वतःच सोडवायची आहे. उपाय पद्धती खालीलप्रमाणे आहेतः

• गुणक बदलण्याची पद्धत;
• विघटन;
• तर्कशुद्धीकरण पद्धत.

परिस्थितीनुसार, वरीलपैकी एक पद्धत वापरणे योग्य आहे. चला थेट समाधानाकडे जाऊया. चला सर्वात लोकप्रिय पद्धत उघड करूया, जी जवळजवळ सर्व प्रकरणांमध्ये युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये सोडवण्यासाठी योग्य आहे. पुढे आपण विघटन पद्धती पाहू. तुम्हाला विशेषत: अवघड असमानता आढळल्यास ते मदत करू शकते. तर, लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम.

उपायांची उदाहरणे :

ही असमानता आपण नेमकी घेतली हे कशासाठीच नाही! बेसकडे लक्ष द्या. लक्षात ठेवा: जर ते एकापेक्षा मोठे असेल तर, स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी शोधताना चिन्ह समान राहते; अन्यथा, तुम्हाला असमानता चिन्ह बदलण्याची आवश्यकता आहे.

परिणामी, आम्हाला असमानता मिळते:

आता आपण डावी बाजू शून्याच्या समान समीकरणाच्या रूपात कमी करतो. “त्यापेक्षा कमी” चिन्हाऐवजी आपण “समान” ठेवतो आणि समीकरण सोडवतो. अशा प्रकारे, आम्हाला ODZ सापडेल. आम्हाला आशा आहे की यावर तोडगा निघेल साधे समीकरणतुम्हाला कोणतीही अडचण येणार नाही. उत्तरे -4 आणि -2 आहेत. एवढेच नाही. तुम्हाला “+” आणि “-” ठेवून आलेखावर हे बिंदू प्रदर्शित करणे आवश्यक आहे. यासाठी काय करावे लागेल? व्यक्तीमध्ये अंतरालमधून संख्या बदला. जिथे मूल्ये सकारात्मक आहेत, तिथे आम्ही “+” ठेवतो.

उत्तर द्या: x -4 पेक्षा जास्त आणि -2 पेक्षा कमी असू शकत नाही.

आम्हाला फक्त डाव्या बाजूसाठी स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी सापडली आहे, आता आम्हाला उजव्या बाजूसाठी स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी शोधण्याची आवश्यकता आहे. हे खूप सोपे आहे. उत्तर:-2. आम्ही दोन्ही परिणामी क्षेत्रांना छेदतो.

आणि फक्त आता आपण असमानतेकडे लक्ष देऊ लागलो आहोत.

ते सोडवणे सोपे करण्यासाठी शक्य तितके सोपे करूया.

पुन्हा अर्ज करा मध्यांतर पद्धतनिर्णय मध्ये. चला गणना वगळूया; मागील उदाहरणावरून सर्व काही आधीच स्पष्ट आहे. उत्तर द्या.

परंतु लॉगरिदमिक असमानतेला समान आधार असल्यास ही पद्धत योग्य आहे.

उपाय लॉगरिदमिक समीकरणेआणि वेगवेगळ्या आधारांसह असमानता एका पायावर प्रारंभिक घट गृहित धरते. पुढे, वर वर्णन केलेली पद्धत वापरा. पण एक अधिक क्लिष्ट केस आहे. चला लॉगरिदमिक असमानतेच्या सर्वात जटिल प्रकारांपैकी एकाचा विचार करूया.

व्हेरिएबल बेससह लॉगरिदमिक असमानता

अशा वैशिष्ट्यांसह असमानता कशी सोडवायची? होय, आणि असे लोक युनिफाइड स्टेट परीक्षेत आढळू शकतात. खालील प्रकारे असमानता सोडवल्याने तुमच्या शैक्षणिक प्रक्रियेवरही फायदेशीर परिणाम होईल. चला मुद्दा तपशीलवार पाहू. चला सिद्धांत टाकून थेट सराव करू. लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी, एकदा उदाहरणासह स्वतःला परिचित करणे पुरेसे आहे.

सादर केलेल्या फॉर्मची लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्यासाठी, उजवीकडील बाजू समान बेस असलेल्या लॉगरिदममध्ये कमी करणे आवश्यक आहे. तत्त्व समतुल्य संक्रमणांसारखे दिसते. परिणामी, असमानता असे दिसेल.

वास्तविक, फक्त लॉगरिदमशिवाय असमानतेची प्रणाली तयार करणे बाकी आहे. तर्कशुद्धीकरण पद्धतीचा वापर करून, आम्ही असमानतेच्या समतुल्य प्रणालीकडे जाऊ. जेव्हा तुम्ही योग्य मूल्ये बदलता आणि त्यांच्या बदलांचा मागोवा घेता तेव्हा तुम्हाला नियम स्वतःच समजतील. प्रणालीमध्ये खालील असमानता असतील.

असमानता सोडवताना तर्कशुद्धीकरण पद्धत वापरताना, तुम्हाला खालील गोष्टी लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता आहे: बेसमधून एक वजा करणे आवश्यक आहे, लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार, असमानतेच्या दोन्ही बाजूंनी (उजवीकडून डावीकडून) वजा केली जाते, दोन अभिव्यक्ती गुणाकार केल्या जातात. आणि शून्याच्या संबंधात मूळ चिन्हाखाली सेट करा.

पुढील उपाय मध्यांतर पद्धत वापरून चालते, येथे सर्वकाही सोपे आहे. समाधानाच्या पद्धतींमधील फरक समजून घेणे आपल्यासाठी महत्वाचे आहे, नंतर सर्वकाही सहजपणे कार्य करण्यास सुरवात करेल.

लॉगरिदमिक असमानतेमध्ये अनेक बारकावे आहेत. त्यापैकी सर्वात सोपा सोडवणे अगदी सोपे आहे. आपण समस्यांशिवाय त्या प्रत्येकाचे निराकरण कसे करू शकता? तुम्हाला या लेखातील सर्व उत्तरे आधीच मिळाली आहेत. आता तुमच्यापुढे दीर्घ सराव आहे. परीक्षेतील विविध समस्या सोडवण्याचा सतत सराव करा आणि तुम्ही सर्वाधिक गुण मिळवू शकाल. तुमच्या कठीण कार्यात तुम्हाला शुभेच्छा!

वापरातील लॉगरिदमिक असमानता

सेचिन मिखाईल अलेक्झांड्रोविच

कझाकस्तान प्रजासत्ताक "इस्काटेल" च्या विद्यार्थ्यांसाठी लहान विज्ञान अकादमी

MBOU "सोवेत्स्काया माध्यमिक शाळा क्रमांक 1", 11 वी वर्ग, शहर. सोवेत्स्की सोवेत्स्की जिल्हा

गुंको ल्युडमिला दिमित्रीव्हना, महानगरपालिका अर्थसंकल्पीय शैक्षणिक संस्था "सोवेत्स्काया माध्यमिक शाळा क्रमांक 1" चे शिक्षक

सोवेत्स्की जिल्हा

कामाचा उद्देश:अ-मानक पद्धती वापरून लॉगरिदमिक असमानता C3 सोडविण्याच्या यंत्रणेचा अभ्यास, ओळखणे मनोरंजक तथ्येलॉगरिथम

संशोधनाचा विषय:

3) विशिष्ट लॉगरिदमिक असमानता C3 नॉन-स्टँडर्ड पद्धती वापरून सोडवायला शिका.

परिणाम:

सामग्री

परिचय ………………………………………………………………………………………….4

धडा 1. प्रकरणाचा इतिहास ……………………………………………………….५

धडा 2. लॉगरिदमिक असमानतेचे संकलन ……………………… 7

२.१. समतुल्य संक्रमणे आणि मध्यांतरांची सामान्यीकृत पद्धत…………… 7

२.२. तर्कशुद्धीकरण पद्धत……………………………………………………………… १५

२.३. नॉन-स्टँडर्ड प्रतिस्थापन ……………………………………………… ............ ..... २२

२.४. सापळ्यांसह कार्ये ………………………………………………………२७

निष्कर्ष……………………………………………………………………………… ३०

साहित्य ………………………………………………………………. ३१

परिचय

मी 11 व्या वर्गात आहे आणि ज्या विद्यापीठात मुख्य विषय गणित आहे तेथे प्रवेश करण्याची योजना आहे. म्हणूनच मी भाग C मध्ये समस्यांसह खूप काम करतो. टास्क C3 मध्ये, मला सामान्यतः लॉगरिदमशी संबंधित असमानता किंवा असमानतेची प्रणाली सोडवणे आवश्यक आहे. परीक्षेची तयारी करताना, C3 मध्ये ऑफर केलेल्या परीक्षेच्या लॉगरिदमिक असमानता सोडवण्याच्या पद्धती आणि तंत्रांच्या कमतरतेच्या समस्येचा मला सामना करावा लागला. मध्ये ज्या पद्धतींचा अभ्यास केला जातो शालेय अभ्यासक्रमया विषयावर, C3 कार्ये सोडवण्यासाठी आधार देऊ नका. गणिताच्या शिक्षकाने सुचवले की मी तिच्या मार्गदर्शनाखाली C3 असाइनमेंटवर स्वतंत्रपणे काम करू. याव्यतिरिक्त, मला या प्रश्नात रस होता: आपल्या जीवनात लॉगरिदम आढळतात का?

हे लक्षात घेऊन, विषय निवडला:

"युनिफाइड स्टेट परीक्षेत लॉगरिदमिक असमानता"

कामाचा उद्देश:लॉगरिदम बद्दल मनोरंजक तथ्ये ओळखणे, गैर-मानक पद्धती वापरून C3 समस्या सोडवण्याच्या यंत्रणेचा अभ्यास.

संशोधनाचा विषय:

1) बद्दल आवश्यक माहिती शोधा गैर-मानक पद्धतीलॉगरिदमिक असमानतेचे उपाय.

2) लॉगरिदमबद्दल अतिरिक्त माहिती शोधा.

3) नॉन-स्टँडर्ड पद्धती वापरून विशिष्ट C3 समस्या सोडवायला शिका.

परिणाम:

C3 समस्या सोडवण्यासाठी उपकरणाच्या विस्तारामध्ये व्यावहारिक महत्त्व आहे. हे साहित्यकाही धड्यांमध्ये, क्लबसाठी आणि गणितातील निवडक वर्गांसाठी वापरले जाऊ शकते.

प्रकल्पाचे उत्पादन "C3 लॉगरिदमिक असमानता विथ सोल्यूशन्स" असे संग्रह असेल.

धडा 1. पार्श्वभूमी

16 व्या शतकात, अंदाजे गणनांची संख्या झपाट्याने वाढली, प्रामुख्याने खगोलशास्त्रात. साधने सुधारणे, ग्रहांच्या हालचालींचा अभ्यास करणे आणि इतर कामांसाठी प्रचंड, कधीकधी अनेक वर्षे, गणिते आवश्यक असतात. खगोलशास्त्राला अपूर्ण गणनेत बुडण्याचा खरोखर धोका होता. इतर क्षेत्रांमध्ये अडचणी निर्माण झाल्या, उदाहरणार्थ, विमा व्यवसायात चक्रवाढ व्याज तक्त्या आवश्यक होत्या भिन्न अर्थटक्के मुख्य अडचण म्हणजे बहु-अंकी संख्यांचा गुणाकार आणि भागाकार, विशेषत: त्रिकोणमितीय प्रमाण.

लॉगरिदमचा शोध हा प्रगतीच्या गुणधर्मांवर आधारित होता जो 16 व्या शतकाच्या अखेरीस प्रसिद्ध होता. आर्किमिडीजने स्तोत्रातील भौमितिक प्रगती q, q2, q3, ... आणि त्यांच्या घातांक 1, 2, 3,... ची अंकगणितीय प्रगती यांच्यातील संबंधांबद्दल सांगितले. पदवीच्या संकल्पनेचा ऋण आणि अपूर्णांक घातांकापर्यंत विस्तार करणे ही दुसरी पूर्वअट होती. बऱ्याच लेखकांनी निदर्शनास आणून दिले आहे की भौमितिक प्रगतीमध्ये गुणाकार, भागाकार, घातांक आणि मूळ निष्कर्ष अंकगणिताशी संबंधित आहेत - त्याच क्रमाने - बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार.

येथे लॉगरिदमची घातांक म्हणून कल्पना आहे.

लॉगरिदमच्या सिद्धांताच्या विकासाच्या इतिहासात, अनेक टप्पे पार केले आहेत.

टप्पा १

स्कॉटिश बॅरन नेपियर (१५५०-१६१७) आणि दहा वर्षांनंतर स्विस मेकॅनिक बुर्गी (१५५२-१६३२) यांनी १५९४ नंतर लॉगरिदमचा शोध लावला. दोघांनाही अंकगणितीय गणनेचे एक नवीन, सोयीस्कर माध्यम प्रदान करायचे होते, जरी त्यांनी या समस्येकडे वेगवेगळ्या प्रकारे संपर्क साधला. नेपियरने किनेमॅटिकली लॉगरिदमिक फंक्शन व्यक्त केले आणि त्याद्वारे फंक्शन सिद्धांताच्या नवीन क्षेत्रात प्रवेश केला. बुर्गी स्वतंत्र प्रगतीचा विचार करण्याच्या आधारावर राहिले. तथापि, दोन्हीसाठी लॉगरिदमची व्याख्या आधुनिक सारखी नाही. "लोगॅरिथम" (लॉगरिथमस) हा शब्द नेपियरचा आहे. हे ग्रीक शब्दांच्या संयोजनातून उद्भवले: लोगो - "संबंध" आणि अरिकमो - "संख्या", ज्याचा अर्थ "संबंधांची संख्या" आहे. सुरुवातीला, नेपियरने भिन्न संज्ञा वापरली: संख्या कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", संख्यात्मक नैसर्गिकतेच्या विरूद्ध - "नैसर्गिक संख्या".

1615 मध्ये, लंडनमधील ग्रेश कॉलेजमधील गणिताचे प्राध्यापक हेन्री ब्रिग्ज (1561-1631) यांच्याशी झालेल्या संभाषणात, नेपियरने शून्य हा एकाचा लॉगॅरिथम आणि 100 हा दहाचा लॉगॅरिथम म्हणून घेण्याचे सुचवले, किंवा किती समान आहे. गोष्ट, फक्त 1. अशा प्रकारे दशांश लॉगरिदम आणि प्रथम लॉगरिदमिक तक्ते छापले गेले. नंतर, ब्रिग्जच्या टेबलांना डच पुस्तक विक्रेते आणि गणिताचा उत्साही एड्रियन फ्लॅकस (1600-1667) द्वारे पूरक केले गेले. नेपियर आणि ब्रिग्ज, जरी ते इतर सर्वांपेक्षा आधी लॉगरिदमवर आले असले तरी, त्यांची सारणी इतरांपेक्षा नंतर प्रकाशित केली - 1620 मध्ये. I. केप्लरने 1624 मध्ये लॉग आणि लॉगची चिन्हे सादर केली. "नैसर्गिक लॉगरिथम" हा शब्द मेंगोली यांनी 1659 मध्ये आणला आणि त्यानंतर 1668 मध्ये एन. मर्केटर यांनी, आणि लंडनचे शिक्षक जॉन स्पीडेल यांनी 1 ते 1000 पर्यंतच्या संख्येच्या नैसर्गिक लॉगरिदमचे तक्ते "नवीन लॉगरिदम" या नावाने प्रकाशित केले.

1703 मध्ये रशियन भाषेत प्रथम लॉगरिदमिक सारणी प्रकाशित झाली. परंतु सर्व लॉगरिदमिक टेबलमध्ये गणना त्रुटी होत्या. जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) यांनी प्रक्रिया केलेल्या बर्लिनमध्ये 1857 मध्ये प्रथम त्रुटी-मुक्त तक्ते प्रकाशित झाले.

टप्पा 2

लॉगरिदमच्या सिद्धांताचा पुढील विकास विश्लेषणात्मक भूमिती आणि अनंत कॅल्क्युलसच्या विस्तृत अनुप्रयोगाशी संबंधित आहे. तोपर्यंत, समभुज हायपरबोलाचे वर्गीकरण आणि दरम्यान कनेक्शन नैसर्गिक लॉगरिथम. या काळातील लॉगरिदमचा सिद्धांत अनेक गणितज्ञांच्या नावांशी संबंधित आहे.

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्रज्ञ आणि अभियंता निकोलॉस मर्केटर एका निबंधात

"लोगॅरिथमोटेक्निक्स" (1668) ln(x+1) चा विस्तार करणारी मालिका देते

x ची शक्ती:

ही अभिव्यक्ती त्याच्या विचारांच्या ट्रेनशी अगदी तंतोतंत जुळते, जरी, अर्थातच, त्याने d, ... चिन्हे वापरली नाहीत, परंतु अधिक अवजड प्रतीकात्मकता वापरली. लॉगरिदमिक मालिकेच्या शोधासह, लॉगरिदम मोजण्याचे तंत्र बदलले: ते अनंत मालिका वापरून निर्धारित केले जाऊ लागले. त्यांच्या व्याख्यानांमध्ये "सह प्राथमिक गणित सर्वोच्च बिंदूव्हिजन", 1907-1908 मध्ये वाचा, एफ. क्लेन यांनी लॉगरिदमचा सिद्धांत तयार करण्यासाठी सूत्राचा प्रारंभ बिंदू म्हणून वापर करण्याचा प्रस्ताव दिला.

स्टेज 3

व्याख्या लॉगरिदमिक कार्यव्यस्त कार्य म्हणून

दिलेल्या बेसचा घातांक म्हणून घातांक, लॉगरिदम

लगेच तयार केले गेले नाही. लिओनहार्ड यूलरचा निबंध (१७०७-१७८३)

"अन इंट्रोडक्शन टू ॲनालिसिस ऑफ इन्फिनिटिसिमल्स" (1748) ने पुढे काम केले

लॉगरिदमिक फंक्शन्सच्या सिद्धांताचा विकास. अशा प्रकारे,

लॉगरिदम प्रथम सादर केल्यापासून 134 वर्षे झाली आहेत

(1614 पासून मोजणे), गणितज्ञ व्याख्यात येण्यापूर्वी

लॉगरिदमची संकल्पना, जी आता शालेय अभ्यासक्रमाचा आधार आहे.

धडा 2. लॉगरिदमिक असमानतेचे संकलन

२.१. समतुल्य संक्रमणे आणि मध्यांतरांची सामान्यीकृत पद्धत.

समतुल्य संक्रमणे

, a > 1 असल्यास

, 0 असल्यास < а < 1

सामान्यीकृत मध्यांतर पद्धत

जवळजवळ कोणत्याही प्रकारच्या असमानता सोडवण्यासाठी ही पद्धत सर्वात सार्वत्रिक आहे. सोल्यूशन आकृती असे दिसते:

1. डाव्या बाजूला फंक्शन असलेल्या फॉर्ममध्ये असमानता आणा
, आणि उजवीकडे 0.

2. फंक्शनचे डोमेन शोधा
.

3. फंक्शनचे शून्य शोधा
, म्हणजे समीकरण सोडवा
(आणि समीकरण सोडवणे सहसा असमानता सोडवण्यापेक्षा सोपे असते).

4. संख्या रेषेवर व्याख्येचे डोमेन आणि फंक्शनचे शून्य काढा.

5. फंक्शनची चिन्हे निश्चित करा
प्राप्त अंतरावर.

6. फंक्शन आवश्यक मूल्ये घेते असे मध्यांतर निवडा आणि उत्तर लिहा.

उदाहरण १.

उपाय:

इंटरव्हल पद्धत लागू करूया

कुठे

या मूल्यांसाठी, लॉगरिदमिक चिन्हांखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक आहेत.

उत्तर:

उदाहरण २.

उपाय:

१ला मार्ग . ADL असमानता द्वारे निर्धारित केले जाते x> 3. अशासाठी लॉगरिदम घेणे xबेस 10 वर, आम्हाला मिळेल

शेवटची असमानता विस्तार नियम लागू करून सोडवली जाऊ शकते, म्हणजे. घटकांची शून्याशी तुलना करणे. तथापि, या प्रकरणात फंक्शनच्या स्थिर चिन्हाचे अंतराल निर्धारित करणे सोपे आहे

म्हणून, मध्यांतर पद्धत लागू केली जाऊ शकते.

कार्य f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ येथे सतत आहे x> 3 आणि बिंदूंवर अदृश्य होते x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. अशा प्रकारे, आम्ही फंक्शनच्या स्थिर चिन्हाचे अंतर निर्धारित करतो f(x):

उत्तर:

2री पद्धत . मूळ असमानतेवर मध्यांतर पद्धतीच्या कल्पना थेट लागू करूया.

हे करण्यासाठी, अभिव्यक्ती आठवा aब- a c आणि ( a - 1)(b- 1) एक चिन्ह आहे. मग आपली असमानता येथे x> 3 असमानतेच्या समतुल्य आहे

किंवा

मध्यांतर पद्धती वापरून शेवटची असमानता सोडवली जाते

उत्तर:

उदाहरण ३.

उपाय:

इंटरव्हल पद्धत लागू करूया

उत्तर:

उदाहरण ४.

उपाय:

2 पासून x 2 - 3xसर्व वास्तविक साठी + 3 > 0 x, ते

दुसरी असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरतो

पहिल्या असमानतेमध्ये आम्ही बदली करतो

मग आपण असमानतेकडे येऊ 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, जे असमानता पूर्ण करते -0.5< y < 1.

कुठून, कारण

आम्हाला असमानता मिळते

जे तेव्हा चालते x, ज्यासाठी 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

आता, प्रणालीच्या दुसऱ्या असमानतेचे निराकरण लक्षात घेऊन, आम्ही शेवटी प्राप्त करतो

उत्तर:

उदाहरण ५.

उपाय:

असमानता ही प्रणालींच्या संग्रहासारखी असते

किंवा

चला मध्यांतर पद्धत वापरू या

उत्तर द्या:

उदाहरण 6.

उपाय:

असमानता समान प्रणाली

द्या

मग y > 0,

आणि पहिली असमानता

प्रणाली फॉर्म घेते

किंवा, उलगडणे

चतुर्भुज त्रिपदघटकांनुसार,

शेवटच्या असमानतेवर मध्यांतर पद्धत लागू करणे,

आम्ही पाहतो की त्याचे उपाय परिस्थितीचे समाधान करतात y> 0 सर्व असेल y > 4.

अशा प्रकारे, मूळ असमानता प्रणालीच्या समतुल्य आहे:

तर, विषमतेवर उपाय सर्व आहेत

२.२. तर्कशुद्धीकरण पद्धत.

पूर्वी, तर्कशुद्धीकरण पद्धती वापरून असमानता सोडवली जात नव्हती; हे "नवीन आधुनिक" आहे प्रभावी पद्धतघातांक आणि लॉगरिदमिक असमानतेचे उपाय" (एस.आय. कोलेस्निकोवा यांच्या पुस्तकातील कोट)
आणि जरी शिक्षक त्याला ओळखत असले तरी एक भीती होती - युनिफाइड स्टेट परीक्षा तज्ञ त्याला ओळखतात का आणि ते त्याला शाळेत का देत नाहीत? अशी परिस्थिती होती जेव्हा शिक्षक विद्यार्थ्याला म्हणाले: "तुला ते कोठे बसले - 2."
आता सर्वत्र या पद्धतीचा प्रचार केला जात आहे. आणि तज्ञांसाठी आहे मार्गदर्शक तत्त्वे, या पद्धतीशी संबंधित, आणि "मॉडेल ऑप्शन्सच्या मोस्ट कम्प्लीट एडिशन्स..." सोल्यूशनमध्ये C3 ही पद्धत वापरते.
अप्रतिम पद्धत!

"जादूची टेबल"

इतर स्त्रोतांमध्ये

जर a >1 आणि b >1, नंतर लॉग a b >0 आणि (a -1)(b -1)>0;

जर a >1 आणि 0

जर 0<a<1 и b >1, नंतर लॉग a b<0 и (a -1)(b -1)<0;