"युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी: पॅरामीटर्ससह समस्या." पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवणे

1. प्रणाली रेखीय समीकरणेपॅरामीटरसह

पॅरामीटरसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली सामान्य समीकरण प्रणालींप्रमाणे समान मूलभूत पद्धतींनी सोडविली जाते: प्रतिस्थापन पद्धत, समीकरणे जोडण्याची पद्धत आणि ग्राफिकल पद्धत. ग्राफिक व्याख्याचे ज्ञान रेखीय प्रणालीमुळांची संख्या आणि त्यांचे अस्तित्व या प्रश्नाचे उत्तर देणे सोपे करते.

उदाहरण १.

पॅरामीटर a साठी सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये कोणतेही निराकरण नाही.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

उपाय.

हे कार्य सोडवण्याचे अनेक मार्ग पाहू या.

1 मार्ग.आम्ही गुणधर्म वापरतो: जर x च्या समोरच्या गुणांकांचे गुणोत्तर y च्या समोरील गुणांकांच्या गुणोत्तरासारखे असेल, परंतु मुक्त अटींच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे नसेल तर सिस्टमकडे कोणतेही उपाय नाहीत (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). मग आमच्याकडे आहे:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 किंवा प्रणाली

(आणि २ – ३ = १,
(a ≠ 2.

पहिल्या समीकरणावरून a 2 = 4, म्हणून, ≠ 2 ही स्थिती लक्षात घेऊन, आपल्याला उत्तर मिळेल.

उत्तर: a = -2.

पद्धत 2.आम्ही प्रतिस्थापन पद्धतीने निराकरण करतो.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

पहिल्या समीकरणातील कंसातून y सामान्य घटक काढल्यानंतर, आम्हाला मिळते:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

जर पहिल्या समीकरणात कोणतेही उपाय नसतील तर सिस्टमला कोणतेही उपाय नाहीत, म्हणजे

(आणि 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

अर्थात, a = ±2, परंतु दुसरी अट लक्षात घेता, उत्तर फक्त वजा उत्तरासह येते.

उत्तर: a = -2.

उदाहरण २.

पॅरामीटर a साठी सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये अनंत संख्येने निराकरणे आहेत.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

उपाय.

मालमत्तेनुसार, जर x आणि y च्या गुणांकांचे गुणोत्तर समान असेल आणि ते सिस्टमच्या मुक्त सदस्यांच्या गुणोत्तरासारखे असेल, तर त्यास अनंत संख्येने समाधाने आहेत (उदा. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). म्हणून 8/a = a/2 = 2/1. प्रत्येक परिणामी समीकरण सोडवताना, या उदाहरणात a = 4 हे उत्तर आहे असे आपल्याला आढळते.

उत्तर: a = 4.

2. पॅरामीटरसह तर्कसंगत समीकरणांची प्रणाली

उदाहरण ३.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

उपाय.

प्रणालीचे पहिले समीकरण 2 ने गुणाकार करू.

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

पहिल्या समीकरणातून दुसरे समीकरण वजा केल्यास 5|x| मिळते = 4 – अ. या समीकरणात a = 4 साठी एक अद्वितीय समाधान असेल. इतर बाबतीत, या समीकरणात दोन उपाय असतील (a साठी< 4) или ни одного (при а > 4).

उत्तर: a = 4.

उदाहरण ४.

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

उपाय.

आम्ही ग्राफिकल पद्धती वापरून ही प्रणाली सोडवू. अशा प्रकारे, प्रणालीच्या दुस-या समीकरणाचा आलेख हा ओय अक्षाच्या बाजूने एका एकक खंडाने वरच्या दिशेने उभा केलेला पॅराबोला आहे. पहिले समीकरण y = -x या रेषेच्या समांतर रेषांचा संच निर्दिष्ट करते (चित्र 1). आकृतीवरून हे स्पष्टपणे दिसून येते की सरळ रेषा y = -x + a ही निर्देशांक (-0.5, 1.25) असलेल्या एका बिंदूवर पॅराबोलाला स्पर्शिका असल्यास प्रणालीमध्ये एक उपाय आहे. या निर्देशांकांना x आणि y ऐवजी सरळ रेषेच्या समीकरणामध्ये बदलल्यास, आम्हाला पॅरामीटर a चे मूल्य आढळते:

1.25 = 0.5 + a;

उत्तर: a = 0.75.

उदाहरण ५.

प्रतिस्थापन पद्धतीचा वापर करून, पॅरामीटर a चे किती मूल्य आहे ते शोधा, सिस्टममध्ये एक अद्वितीय उपाय आहे.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

उपाय.

पहिल्या समीकरणातून आपण y व्यक्त करतो आणि दुसऱ्या समीकरणात बदलतो:

(y = कुर्हाड – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

दुसरे समीकरण kx = b या फॉर्ममध्ये कमी करू या, ज्यामध्ये k ≠ 0 साठी एक अद्वितीय समाधान असेल. आमच्याकडे आहे:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

आम्ही चौरस त्रिपदी a 2 + 3a + 2 कंसाचा गुणाकार म्हणून दर्शवतो

(a + 2)(a + 1), आणि डावीकडे आपण x कंसातून बाहेर काढतो:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

साहजिकच, 2 + 3a शून्याच्या बरोबरीचे नसावे, म्हणून,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, म्हणजे a ≠ 0 आणि ≠ -3.

उत्तर: a ≠ 0; ≠ -3.

उदाहरण 6.

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धतीचा वापर करून, पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यावर सिस्टममध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे हे निर्धारित करा.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

उपाय.

स्थितीच्या आधारावर, आम्ही मूळ आणि 3 युनिट विभागांच्या त्रिज्यासह एक वर्तुळ तयार करतो जे सिस्टमच्या पहिल्या समीकरणाने निर्दिष्ट केले आहे

x 2 + y 2 = 9. प्रणालीचे दुसरे समीकरण (y = |x| + a) ही तुटलेली रेषा आहे. वापरून आकृती 2आम्ही मंडळाशी संबंधित त्याच्या स्थानाच्या सर्व संभाव्य प्रकरणांचा विचार करतो. हे पाहणे सोपे आहे की a = 3.

उत्तर: a = 3.

अद्याप प्रश्न आहेत? समीकरणांची प्रणाली कशी सोडवायची हे माहित नाही?
ट्यूटरकडून मदत मिळविण्यासाठी -.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

blog.site, पूर्ण किंवा अंशतः सामग्री कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

कार्य 1 #6329

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\) , ज्यापैकी प्रत्येक प्रणालीसाठी \[\begin(केसेस) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(केसेस)\]

अगदी चार उपाय आहेत.

(USE 2018, मुख्य लहर)

प्रणालीचे दुसरे समीकरण \(y=\pm x\) असे पुन्हा लिहिता येते. म्हणून, आम्ही दोन प्रकरणांचा विचार करतो: जेव्हा \(y=x\) आणि जेव्हा \(y=-x\) . मग सिस्टमच्या सोल्यूशन्सची संख्या पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकरणांमध्ये सोल्यूशनच्या संख्येच्या बेरजेइतकी असेल.

१) \(y=x\) . पहिल्या समीकरणात बदला आणि मिळवा: \ (लक्षात घ्या की \(y=-x\) च्या बाबतीत आपण तेच करू आणि एक चतुर्भुज समीकरण देखील मिळवू)
मूळ प्रणालीमध्ये 4 भिन्न समाधाने असण्यासाठी, प्रत्येक दोन प्रकरणांमध्ये 2 उपाय मिळणे आवश्यक आहे.
द्विघात समीकरणाला दोन मुळे असतात जेव्हा त्याची \(D>0\) असते. समीकरणाचा भेदभाव शोधूया (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
शून्यापेक्षा मोठा भेदभाव: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

२) \(y=-x\) . आम्हाला एक चतुर्भुज समीकरण मिळते: \ भेदभाव शून्यापेक्षा मोठा आहे: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), कुठून \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\उजवीकडे)\).

पहिल्या प्रकरणातील उपाय दुसऱ्या प्रकरणातील उपायांशी जुळतात की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

\(x_0\) हे समीकरण (1) आणि (2) चे सामान्य समाधान मानू \ येथून आपल्याला एकतर \(x_0=0\) किंवा \(a=0\) मिळेल.
जर \(a=0\) , तर समीकरण (1) आणि (2) समान आहेत, म्हणून, त्यांची मुळे समान आहेत. हे प्रकरण आम्हाला शोभत नाही.
जर \(x_0=0\) त्यांचे सामान्य मूळ असेल, तर \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), ज्यातून \((2a+2)^2+a^2-1=0\), ज्यातून \(a=-1\) किंवा \(a=-0.6\) . मग संपूर्ण मूळ प्रणालीमध्ये 3 भिन्न निराकरणे असतील, जी आम्हाला अनुकूल नाहीत.

या सर्व गोष्टींचा विचार केल्यास उत्तर असे येईल.

उत्तर:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \योग्य)\)

कार्य 2 #4032

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

\(a\) ची सर्व मूल्ये शोधा, ज्यापैकी प्रत्येक प्रणालीसाठी \[\begin(केसेस) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(केसेस)\ ]

एक अद्वितीय उपाय आहे.

चला सिस्टम फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(केसेस)\]चला तीन कार्ये विचारात घेऊया: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\), \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . हे सिस्टीममधून अनुसरण करते की \(y\leqslant g\), परंतु \(y\geqslant h\) . म्हणून, सिस्टमला उपाय मिळण्यासाठी, आलेख \(y\) अटींद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या क्षेत्रामध्ये असणे आवश्यक आहे: आलेख \(h\) “वर” परंतु आलेखाच्या “खाली” \(g\):

(आम्ही “डावा” प्रदेश प्रदेश I, “उजवा” प्रदेश प्रदेश II म्हणू)
लक्षात घ्या की प्रत्येक निश्चित \(a\ne 0\) साठी \(y\) चा आलेख पॅराबोला आहे, ज्याचा शिरोबिंदू \((-1;0)\ बिंदूवर आहे, आणि शाखा एकतर निर्देशित केल्या आहेत. वर किंवा खाली. जर \(a=0\) , तर समीकरण \(y=0\) सारखे दिसते आणि आलेख ही x-अक्षाशी जुळणारी सरळ रेषा आहे.
लक्षात घ्या की मूळ प्रणालीला एक अद्वितीय समाधान मिळण्यासाठी, आलेखा \(y\) मध्ये प्रदेश I किंवा प्रदेश II सह एक समान बिंदू असणे आवश्यक आहे (याचा अर्थ असा की आलेखा \(y\) मध्ये एकच समान बिंदू असणे आवश्यक आहे. यापैकी एका क्षेत्राच्या सीमेसह).

चला अनेक प्रकरणे स्वतंत्रपणे पाहू.

1) \(a>0\) . नंतर पॅराबोलाच्या शाखा \(y\) वरच्या दिशेने तोंड करतात. मूळ प्रणालीला अद्वितीय समाधान मिळण्यासाठी, पॅराबोला \(y\) प्रदेश I च्या सीमेला किंवा प्रदेश II च्या सीमेला स्पर्श करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच पॅराबोला \(g\), आणि स्पर्शिका बिंदूचा abscissa \(\leqslant -3\) किंवा \(\geqslant 2\) (म्हणजे, पॅराबोला \(y\) ने abscissa अक्षाच्या वर असलेल्या प्रदेशांपैकी एकाच्या सीमेला स्पर्श केला पाहिजे. , कारण पॅराबोला \(y\) abscissa अक्षाच्या वर आहे).

\(y"=2a(x+1)\), \(g"=2x\) . आलेखांसाठी \(y\) आणि \(g\) abscissa \(x_0\leqslant -3\) किंवा \(x_0\geqslant 2\) सह बिंदूला स्पर्श करण्यासाठी अटी : \[\begin(केसेस) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(संरेखित)\end(एकत्रित)\उजवे. \end(केसेस) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(एकत्र केलेले)\begin(संरेखित) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(संरेखित)\end(एकत्र केलेले) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(केसेस)\]या प्रणालीतून \(x_0=-4\), \(a=\frac43\) .
आम्हाला पॅरामीटरचे पहिले मूल्य \(a\) मिळाले.

२) \(a=0\) . नंतर \(y=0\) आणि हे स्पष्ट आहे की सरळ रेषेत प्रदेश II सह असीम सामान्य बिंदू आहेत. म्हणून, हे पॅरामीटर मूल्य आम्हाला अनुरूप नाही.

३)\(अ<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

चला \(a\) शोधू ज्यासाठी पॅराबोला \(y\) बिंदू \(B\) मधून जातो: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]पॅरामीटरच्या या मूल्यासह \(y=-\frac34(x+1)^2\) सरळ रेषेसह \(h=-2x-1\) पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचा दुसरा बिंदू आहे याची आम्ही खात्री करतो. निर्देशांकांसह बिंदू \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
अशा प्रकारे, आम्हाला दुसरे पॅरामीटर मूल्य प्राप्त झाले.

आम्ही \(a\) साठी सर्व संभाव्य प्रकरणांचा विचार केल्यामुळे, अंतिम उत्तर आहे: \

उत्तर:

\(\left\(-\frac34; \frac43\right\)\)

कार्य 3 #4013

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\), ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण प्रणाली आहे \[\begin(केसेस) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(केसेस)\]

बरोबर दोन उपाय आहेत.

1) \(x\) च्या संदर्भात प्रणालीचे पहिले समीकरण चतुर्भुज म्हणून विचारात घ्या: \ भेदभाव \(D=9y^2\) च्या समान आहे, म्हणून, \ मग समीकरण \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] म्हणून पुन्हा लिहिता येईल, म्हणून संपूर्ण प्रणाली पुन्हा लिहिली जाऊ शकते \[\begin(केसेस) \left[\begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &y=2x\\ &y=0.5x\end(संरेखित)\end(एकत्रित)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(केसेस)\]संच दोन सरळ रेषा परिभाषित करतो, प्रणालीचे दुसरे समीकरण \((a;a)\) आणि त्रिज्या \(R=\sqrt5a^2\) वर केंद्र असलेले वर्तुळ परिभाषित करते. मूळ समीकरणाला दोन निराकरणे मिळण्यासाठी, वर्तुळाने लोकसंख्येच्या आलेखाला दोन बिंदूंनी छेदणे आवश्यक आहे. येथे एक रेखाचित्र आहे जेव्हा, उदाहरणार्थ, \(a=1\):


लक्षात घ्या की वर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशांक समान असल्याने, वर्तुळाचे केंद्र सरळ रेषेने \(y=x\) "चालते" आहे.

2) सरळ रेषेला \(y=kx\) अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे या रेषेच्या कलतेच्या कोनाची स्पर्शिका असल्याने \(Ox\) \(k\) च्या समान आहे. सरळ रेषेच्या कलतेचा कोन \(y=0.5x\) \ (0.5\) च्या बरोबरीचा आहे (याला \(\mathrm(tg)\,\alpha\) म्हणू), सरळ रेषा \(y=2x) \) \(2\) च्या समान आहे (याला \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) म्हणू या. याची नोंद घ्या \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), म्हणून, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). म्हणून, \(\alpha=90^\circ-\beta\) , कुठून \(\alpha+\beta=90^\circ\) . याचा अर्थ \(y=2x\) आणि सकारात्मक दिशा \(Oy\) मधील कोन \(y=0.5x\) आणि सकारात्मक दिशा \(Ox\) मधील कोनाइतका आहे :


आणि सरळ रेषा \(y=x\) हा I समन्वय कोनाचा दुभाजक असल्यामुळे (म्हणजेच, त्यामध्येचे कोन आणि धनादेश \(Ox\) आणि \(Oy\) \(45^) मध्ये समान आहेत. \circ\) ), नंतर \(y=x\) आणि रेषा \(y=2x\) आणि \(y=0.5x\) मधील कोन समान आहेत.
\(y=2x\) आणि \(y=0.5x\) रेषा \(y=x\) च्या संदर्भात एकमेकांशी सममितीय आहेत हे सांगण्यासाठी आम्हाला हे सर्व आवश्यक आहे, म्हणून, जर वर्तुळ एकाला स्पर्श करते. त्यापैकी , नंतर ते अपरिहार्यपणे दुसऱ्या ओळीला स्पर्श करते.
लक्षात घ्या की जर \(a=0\) , तर वर्तुळ बिंदू \((0;0)\) मध्ये क्षीण होते आणि दोन्ही रेषांसह फक्त एक छेदनबिंदू आहे. म्हणजेच हे प्रकरण आपल्याला शोभत नाही.
अशा प्रकारे, वर्तुळात रेषांसह छेदनबिंदूचे 2 बिंदू असण्यासाठी, त्याने या रेषांना स्पर्श करणे आवश्यक आहे:


आम्ही पाहतो की जेव्हा वर्तुळ तिसऱ्या तिमाहीत स्थित असते तेव्हा ते पहिल्या तिमाहीत स्थित असलेल्या केसशी सममित (उत्पत्तीशी संबंधित) असते. म्हणजेच, पहिल्या तिमाहीत \(a>0\), आणि तिसऱ्या \(a<0\) (но такие же по модулю).
म्हणून, आम्ही फक्त पहिल्या तिमाहीचा विचार करू.


याची नोंद घ्या \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . नंतर\नंतर \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\]पण, दुसरीकडे, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\]म्हणून, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm\ dfrac15\]अशा प्रकारे, आम्ही आधीच \(a\) साठी सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही मूल्ये प्राप्त केली आहेत. म्हणून, उत्तर आहे:\

उत्तर:

\(\{-0,2;0,2\}\)

कार्य 4 #3278

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

प्रत्येक समीकरणासाठी \(a\) ची सर्व मूल्ये शोधा \

एक अद्वितीय उपाय आहे.

(USE 2017, अधिकृत चाचणी 04/21/2017)

चला \(t=5^x, t>0\) बदल करू आणि सर्व संज्ञा एका भागात हलवू: \ आम्हाला एक चतुर्भुज समीकरण प्राप्त झाले, ज्याची मुळे, व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार, \(t_1=a+6\) आणि \(t_2=5+3|a|\) आहेत. मूळ समीकरणाला एक मूळ असण्यासाठी, \(t\) सह परिणामी समीकरणाचे देखील एक (सकारात्मक!) मूळ असणे पुरेसे आहे.
आपण ताबडतोब लक्षात घेऊ या की \(t_2\) सर्वांसाठी \(a\) सकारात्मक असेल. अशा प्रकारे, आम्हाला दोन प्रकरणे मिळतात:

१) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(संरेखित) \end(एकत्रित) \right.\]

२) \(t_2\) नेहमी सकारात्मक असल्याने, \(t_1\) \(\leqslant 0\) असणे आवश्यक आहे : \

उत्तर:

\((-\infty;-6]\कप\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

कार्य 5 #3252

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

\(\) विभागावर नेमके एक रूट आहे.

(USE 2017, राखीव दिवस)

समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\]अशा प्रकारे, आम्ही लक्षात घेतो की \(x=a\) हे कोणत्याही \(a\) साठी समीकरणाचे मूळ आहे, कारण समीकरण \(0=0\) फॉर्म घेते. हे रूट \(\) विभागाशी संबंधित असण्यासाठी, \(0\leqslant a\leqslant 1\) आवश्यक आहे.
समीकरणाचे दुसरे मूळ \(x+a=3x-1\) वरून आढळते, म्हणजेच \(x=\frac(a+1)2\) . ही संख्या समीकरणाचे मूळ असण्यासाठी, ते समीकरणाचे ODZ पूर्ण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]हे रूट सेगमेंटशी संबंधित असण्यासाठी \(\) , ते आवश्यक आहे \ अशा प्रकारे, मूळ \(x=\frac(a+1)2\) अस्तित्त्वात असण्यासाठी आणि \(\) खंडाशी संबंधित असणे आवश्यक आहे. \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
लक्षात ठेवा की नंतर \(0\leqslant a\leqslant 1\) दोन्ही मूळ \(x=a\) आणि \(x=\frac(a+1)2\) \(\) (म्हणजे) विभागाशी संबंधित आहेत. , या विभागावर समीकरणाची दोन मुळे आहेत), जेव्हा ते जुळतात तेव्हा वगळता: \ त्यामुळे ते आम्हाला शोभते \(a\in \left[-\frac13; 0\उजवीकडे)\)आणि \(a=1\) .

उत्तर:

\(a\in \left[-\frac13;0\उजवीकडे)\कप\(1\)\)

कार्य 6 #3238

कार्य स्तर: युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या बरोबरीचे

पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा \(a\) , ज्यापैकी प्रत्येक समीकरणासाठी \

सेगमेंटवर एकच रूट आहे \(.\)

(USE 2017, राखीव दिवस)

समीकरण समतुल्य आहे: \ ODZ समीकरणे: \[\begin(केसेस) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(केसेस)\] ODZ वर समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाईल: \

१) चला \(अ<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ बसत नाही \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

२) चला \(a=0\) . नंतर ODZ समीकरण: \(x\geqslant 0\) . समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाईल: \ परिणामी रूट ODZ ला बसते आणि सेगमेंटमध्ये समाविष्ट केले जाते \(\) . म्हणून, \(a=0\) योग्य आहे.

३) चला \(a>0\) . नंतर ODZ: \(x\geqslant a\) आणि \(x\leqslant 1\) . म्हणून, जर \(a>1\), तर ODZ हा रिक्त संच आहे. अशा प्रकारे, \(0 फंक्शनचा विचार करा \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . चला ते एक्सप्लोर करूया.
व्युत्पन्न हे \(y"=3x^2-2ax+3a\) च्या बरोबरीचे आहे. व्युत्पन्नाचे कोणते चिन्ह असू शकते ते ठरवू या. हे करण्यासाठी, समीकरणाचा भेदक शोधा \(3x^2-2ax+3a=0). \) : \(D=4a(a-9)\) म्हणून, \(a\in (0;1]\) भेदभावासाठी \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). म्हणून, \(y\) वाढते. अशा प्रकारे, वाढत्या कार्याच्या गुणधर्मानुसार, समीकरण \(y(x)=0\) मध्ये एकापेक्षा जास्त मूळ असू शकत नाही.

म्हणून, समीकरणाचे मूळ (लेखाचा छेदनबिंदू \(y\) abscissa अक्षासह) \(\) खंडावर असणे आवश्यक आहे. \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \]विचाराधीन प्रकरणात सुरुवातीला हे लक्षात घेता \(a\in (0;1]\), नंतर उत्तर \(a\in (0;1]\) आहे. लक्षात घ्या की मूळ \(x_1\) समाधानी \( (1) \) , मूळ \(x_2\) आणि \(x_3\) संतुष्ट \(2)\) हे देखील लक्षात घ्या की मूळ \(x_1\) खंडाशी संबंधित आहे.
चला तीन प्रकरणांचा विचार करूया:

१) \(a>0\) . नंतर \(x_2>3\), \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) समाधानी \((2)\) , \(x_3\) समाधान देत नाही \((1)\), किंवा \(x_1\) , किंवा समाधानी \((1)\) , परंतु विभागामध्ये समाविष्ट नाही \(\) (म्हणजे \(0\) पेक्षा कमी);
- \(x_1\) समाधान देत नाही \((2)\) , \(x_3\) समाधानी \((1)\) आणि \(x_1\) च्या समान नाही.
लक्षात ठेवा की \(x_3\) शून्यापेक्षा कमी आणि समाधानी \((1)\) (म्हणजे \(\frac35\) पेक्षा मोठे असू शकत नाही. ही टिप्पणी दिल्यास, प्रकरणे खालील संचामध्ये नोंदविली गेली आहेत: \[\left[ \begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ एंड(केस)\\ &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>हा संच सोडवताना आणि हे लक्षात घेऊन \(a>0\), आम्हाला मिळते: \

२) \(a=0\) . नंतर \(x_2=x_3=3\in .\) लक्षात घ्या की या प्रकरणात \(x_1\) समाधान \(2)\) आणि \(x_2=3\) समाधान \((1)\), नंतर तेथे \(\) वर दोन मुळे असलेले समीकरण आहे. \(a\) चे हे मूल्य आम्हाला शोभत नाही.

३)\(अ<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) आणि \(x_3\notin \) . बिंदू 1 प्रमाणेच वाद घालत), तुम्हाला संच सोडवणे आवश्यक आहे: \[\left[ \begin(एकत्रित)\begin(संरेखित) &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(केसेस)\\ &\begin(केसेस) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(केसेस) \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\बरोबर.\]हा संच सोडवणे आणि हे लक्षात घेऊन \(a<0\) , получим: \\]

उत्तर:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

या कामाचा उद्देश पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या विविध मार्गांचा अभ्यास करणे आहे. पॅरामीटर्ससह समस्या सोडविण्याची क्षमता आणि क्षमता समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याच्या पद्धतींवर प्रभुत्व, सैद्धांतिक माहितीची अर्थपूर्ण समज, तार्किक विचारांची पातळी आणि संज्ञानात्मक क्रियाकलाप उत्तेजित करते. ही कौशल्ये विकसित करण्यासाठी, दीर्घ प्रयत्नांची आवश्यकता आहे, म्हणूनच अचूक विज्ञानाच्या सखोल अभ्यासासह विशेष इयत्ते 10-11 मध्ये, "मॅथेमॅटिकल प्रॅक्टिकम" हा अभ्यासक्रम सुरू करण्यात आला आहे, ज्याचा भाग समीकरणे आणि असमानता यांचे निराकरण आहे. पॅरामीटर्स हा अभ्यासक्रम शाळेच्या अभ्यासक्रमाच्या घटकामध्ये समाविष्ट असलेल्या विषयांपैकी एक आहे.

पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींचा यशस्वी अभ्यास करण्यासाठी वैकल्पिक किंवा वैकल्पिक अभ्यासक्रम किंवा विषयावरील ग्रिडच्या मागे असलेल्या घटकाद्वारे मदत केली जाऊ शकते: "पॅरामीटर्ससह समस्या."

पॅरामीटर्ससह समस्यांचे चार मोठे वर्ग विचारात घेऊया:

1. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्या कोणत्याही पॅरामीटर मूल्यासाठी किंवा विशिष्ट संचाशी संबंधित असलेल्या पॅरामीटर मूल्यांसाठी सोडवल्या पाहिजेत.
2. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्यासाठी पॅरामीटरच्या मूल्यावर अवलंबून समाधानांची संख्या निर्धारित करणे आवश्यक आहे.
3. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली, ज्यासाठी निर्दिष्ट समीकरणे (सिस्टम, असमानता) मध्ये दिलेल्या संख्येची निराकरणे आहेत त्या सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे.
4. समीकरणे, असमानता आणि त्यांच्या प्रणाली ज्यासाठी, आवश्यक पॅरामीटर मूल्यांसाठी, सोल्यूशन्सचा संच परिभाषाच्या डोमेनमध्ये दिलेल्या अटी पूर्ण करतो.

पॅरामीटर्ससह समस्या सोडवण्याच्या पद्धती.

1. विश्लेषणात्मक पद्धत.

ही एक थेट उपाय पद्धत आहे जी पॅरामीटरशिवाय समस्यांमध्ये उत्तर शोधण्यासाठी मानक प्रक्रियेची पुनरावृत्ती करते.

उदाहरण 1: पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा a, ज्यासाठी समीकरण:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 मध्ये जास्तीत जास्त एक रूट आहे.

2 वाजता a– 1 = 0 हे समीकरण चतुर्भुज नाही, म्हणून केस a=1/2 स्वतंत्रपणे क्रमवारी लावले आहे.

जर a= 1/2, नंतर समीकरण 1/2 फॉर्म घेते x- 2 = 0, त्याचे एक मूळ आहे.

जर a≠ 1/2, नंतर समीकरण द्विघात आहे; त्याचे जास्तीत जास्त एक मूळ असणे आवश्यक आहे आणि भेदभाव करणाऱ्याला सकारात्मक नसणे पुरेसे आहे:

डी= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

अंतिम उत्तर लिहिण्यासाठी, तुम्हाला समजून घेणे आवश्यक आहे

2. ग्राफिक पद्धत.

कार्यावर अवलंबून (व्हेरिएबलसह xआणि पॅरामीटर a) समन्वय समतलातील आलेख ( x;y) किंवा विमानात ( x;a).

उदाहरण 2. प्रत्येक पॅरामीटर मूल्यासाठी aसमीकरणाच्या समाधानांची संख्या निश्चित करा .

समीकरणाच्या समाधानांची संख्या लक्षात घ्या फंक्शन आलेखांच्या छेदनबिंदूंच्या संख्येइतके आणि y = a.

फंक्शनचा आलेख आकृती 1 मध्ये दाखवले आहे.

y = aक्षैतिज रेषा आहे. आलेख वापरून, त्यावर अवलंबून छेदनबिंदूंची संख्या निर्धारित करणे सोपे आहे a(उदाहरणार्थ, केव्हा a= 11 - छेदनबिंदूचे दोन बिंदू; येथे a= 2 – छेदनबिंदूचे आठ बिंदू).

उत्तर: केव्हा a < 0 – решений нет; при a= 0 आणि a= 25/4 - चार उपाय; 0 वर< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – सात उपाय; येथे

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 - दोन उपाय.

3. पॅरामीटरच्या संदर्भात निराकरण करण्याची पद्धत.

अशा प्रकारे सोडवताना, चल एक्सआणि एसमान म्हणून स्वीकारले जाते, आणि विश्लेषणात्मक उपाय सोपा बनवण्यासाठी व्हेरिएबल निवडले जाते. सरलीकरणानंतर, तुम्हाला व्हेरिएबल्सच्या मूळ अर्थाकडे परत जाणे आवश्यक आहे एक्सआणि एआणि उपाय पूर्ण करा.

उदाहरण 3: पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा ए, ज्या प्रत्येकासाठी समीकरण = - कुऱ्हाड +3a+2 मध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

व्हेरिएबल्स बदलून आपण हे समीकरण सोडवू. द्या = t , t≥ 0, नंतर x = t 2 + 8 आणि समीकरण बनते येथे 2 +t + 5a– २ = ०. आता सर्व काही शोधण्याचे आव्हान आहे ए, ज्यासाठी समीकरण येथे 2 +t + 5a– 2 = 0 मध्ये एक अद्वितीय नॉन-नकारात्मक समाधान आहे. हे खालील प्रकरणांमध्ये उद्भवते.

1) जर ए= 0, नंतर समीकरणाला एक अद्वितीय समाधान आहे t = 2.

पॅरामीटर्ससह काही प्रकारची समीकरणे आणि असमानता सोडवणे.

पॅरामीटर्समधील समस्या तार्किक विचारांच्या निर्मितीमध्ये आणि संशोधन कौशल्ये आत्मसात करण्यात मदत करतात.

प्रत्येक समस्येचे निराकरण अद्वितीय आहे आणि वैयक्तिक, गैर-मानक दृष्टीकोन आवश्यक आहे, कारण अशा समस्या सोडवण्याचा कोणताही एकमेव मार्ग नाही.

समस्या क्रमांक 1. पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांवर bसमीकरणाला मुळे नाहीत का?

कार्य क्रमांक 2. सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधा a, ज्यासाठी असमानतेच्या उपायांचा संच आहे:

6 क्रमांकाचा समावेश आहे आणि 6 लांबीचे दोन विभाग देखील आहेत ज्यात कोणतेही समान बिंदू नाहीत.

चला असमानतेच्या दोन्ही बाजू बदलूया.

असमानतेच्या उपायांच्या संचामध्ये क्रमांक 6 समाविष्ट करण्यासाठी, खालील अट पूर्ण करणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे:

अंजीर.4

येथे a> असमानतेवर उपायांचा 6 संच: .

मध्यांतर (0;5) मध्ये 6 लांबीचा कोणताही विभाग असू शकत नाही. याचा अर्थ असा की लांबी 6 चे दोन विभक्त खंड मध्यांतरात समाविष्ट केले पाहिजेत (5; a).

समस्या क्रमांक 3. फंक्शन परिभाषित करण्याच्या क्षेत्रात सर्व धन पूर्णांक घ्या आणि त्यांची बेरीज करा. सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी ही बेरीज 5 पेक्षा जास्त आहे परंतु 10 पेक्षा कमी आहे.

1) रेखीय फ्रॅक्शनल फंक्शनचा आलेख हायपरबोल आहे. अटीनुसार x> 0. अमर्यादित वाढीसह एक्सअपूर्णांक मोनोटोनिकरीत्या कमी होतो आणि शून्यापर्यंत पोहोचतो आणि कार्य मूल्ये zवाढ आणि दृष्टीकोन 5. शिवाय, z(0) = 1.

२) पदवीच्या व्याख्येनुसार, परिभाषेचे डोमेन D(y)असमानतेवरील उपायांचा समावेश आहे. येथे a= 1 आम्ही एक असमानता प्राप्त करतो ज्याचे कोणतेही निराकरण नाही. त्यामुळे फंक्शन येथेकुठेही परिभाषित नाही.

3) 0 वाजता< a< 1 показательная функция с основанием एकमी होते आणि असमानता असमानतेच्या बरोबरीची आहे. कारण x> 0, नंतर z(x) > z(0) = 1 . याचा अर्थ असा की प्रत्येक सकारात्मक मूल्य एक्सअसमानतेवर उपाय आहे. म्हणून, अशा साठी एस्थितीत नमूद केलेली रक्कम सापडत नाही.

4) केव्हा a> बेससह 1 घातांकीय कार्य एवाढते आणि असमानता असमानतेच्या समतुल्य आहे. जर a≥ 5, नंतर कोणतीही सकारात्मक संख्या हे त्याचे समाधान आहे आणि स्थितीमध्ये निर्दिष्ट केलेली बेरीज सापडत नाही. जर १< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), कुठे a = z(x 0) .

5) 1 पासून सुरू होणाऱ्या या मध्यांतरामध्ये पूर्णांक सलग आहेत. 1: 1 पासून सुरू होणाऱ्या, लागोपाठ नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करू या; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... म्हणून, दर्शविलेली रक्कम 5 पेक्षा जास्त आणि 10 पेक्षा कमी असेल तरच जर संख्या 3 मध्यांतरात असेल (0; x 0), आणि क्रमांक 4 या मध्यांतरात खोटे बोलत नाही. तर ३< x 0 ≤ 4. ने वाढल्यामुळे, नंतर z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

अतार्किक समीकरणे आणि असमानता सोडवणे, तसेच समीकरणे, असमानता आणि मॉड्यूल असलेली प्रणाली यावर चर्चा केली आहे. परिशिष्ट १.

पॅरामीटर्ससह समस्या जटिल आहेत कारण त्यांचे निराकरण करण्यासाठी कोणतेही एकल अल्गोरिदम नाही. अशा समस्यांची विशिष्टता अशी आहे की, अज्ञात परिमाणांसह, त्यामध्ये पॅरामीटर्स असतात ज्यांची संख्यात्मक मूल्ये विशेषतः दर्शविली जात नाहीत, परंतु विशिष्ट संख्यात्मक सेटवर ज्ञात आणि निर्दिष्ट मानली जातात. या प्रकरणात, पॅरामीटर मूल्ये समस्येचे निराकरण करण्याच्या तार्किक आणि तांत्रिक अभ्यासक्रमावर आणि उत्तराच्या स्वरूपावर लक्षणीय परिणाम करतात.

आकडेवारीनुसार, अनेक पदवीधर युनिफाइड स्टेट परीक्षेवर पॅरामीटर्ससह समस्या सोडविण्यास प्रारंभ करत नाहीत. FIPI च्या मते, केवळ 10% पदवीधर अशा समस्या सोडवण्यास सुरुवात करतात आणि त्यांच्या योग्य निराकरणाची टक्केवारी कमी आहे: 2-3%, म्हणून शाळेद्वारे पॅरामीटर्ससह समस्यांसह कठीण, गैर-मानक कार्ये सोडवण्याची कौशल्ये संपादन करणे. विद्यार्थी अजूनही संबंधित आहेत.

MBOU माध्यमिक शाळा क्रमांक 9 मधील गणित शिक्षकाच्या GMO वर अहवाल

मोल्चानोवा एलेना व्लादिमिरोवना

"गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी: पॅरामीटर्ससह समस्या."

शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये पॅरामीटरची कोणतीही व्याख्या नसल्यामुळे, मी खालील सर्वात सोपी आवृत्ती आधार म्हणून घेण्याचा प्रस्ताव देतो.

व्याख्या . पॅरामीटर एक स्वतंत्र चल आहे, ज्याचे मूल्य समस्येमध्ये दिलेली निश्चित किंवा अनियंत्रित वास्तविक संख्या किंवा पूर्वनिर्धारित संचाशी संबंधित संख्या मानली जाते.

"पॅरामीटरसह समस्या सोडवणे" म्हणजे काय?

स्वाभाविकच, हे समस्येतील प्रश्नावर अवलंबून असते. जर, उदाहरणार्थ, समीकरण, असमानता, एक प्रणाली किंवा त्यांचा संच सोडवणे आवश्यक असेल, तर याचा अर्थ पॅरामीटरच्या कोणत्याही मूल्यासाठी किंवा पूर्वनिर्धारित सेटशी संबंधित पॅरामीटरच्या मूल्यासाठी तर्कसंगत उत्तर सादर करणे. .

जर आपल्याला पॅरामीटर मूल्ये शोधण्याची आवश्यकता असेल ज्यासाठी समीकरण, असमानता इत्यादींच्या निराकरणाचा संच घोषित स्थिती पूर्ण करतो, तर, स्पष्टपणे, समस्येच्या निराकरणामध्ये निर्दिष्ट पॅरामीटर मूल्ये शोधणे समाविष्ट आहे.

खालील पानांवरील समस्या सोडवण्याची उदाहरणे वाचल्यानंतर पॅरामीटरसह समस्या सोडवणे म्हणजे काय हे वाचक अधिक पारदर्शकपणे समजून घेतील.

पॅरामीटर्सच्या समस्यांचे मुख्य प्रकार काय आहेत?

प्रकार १. समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच जे एकतर पॅरामीटरच्या (पॅरामीटर्स) कोणत्याही मूल्यासाठी किंवा पूर्वनिर्धारित सेटशी संबंधित असलेल्या पॅरामीटर मूल्यांसाठी सोडवले जाणे आवश्यक आहे.

"पॅरामीटर्ससह समस्या" या विषयावर प्रभुत्व मिळवताना या प्रकारची समस्या मूलभूत आहे, कारण गुंतवलेले काम इतर सर्व मूलभूत प्रकारच्या समस्यांचे निराकरण करण्यात यश पूर्वनिर्धारित करते.

प्रकार 2. समीकरण, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच, ज्यासाठी पॅरामीटर (मापदंड) च्या मूल्यावर अवलंबून समाधानांची संख्या निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

मी या वस्तुस्थितीकडे तुमचे लक्ष वेधून घेतो की या प्रकारच्या समस्या सोडवताना दिलेली समीकरणे, असमानता, त्यांची व्यवस्था आणि संयोजन इत्यादी सोडविण्याची किंवा हे उपाय देण्याची गरज नाही; बहुतेक प्रकरणांमध्ये, असे अनावश्यक काम ही एक रणनीतिक चूक आहे ज्यामुळे अनावश्यक वेळेचा अपव्यय होतो. तथापि, एखाद्याने हे निरपेक्ष करू नये, कारण काहीवेळा प्रकार 1 नुसार थेट उपाय हा प्रकार 2 ची समस्या सोडवताना उत्तर मिळविण्याचा एकमेव वाजवी मार्ग आहे.

प्रकार 3. समीकरणे, असमानता, त्यांच्या प्रणाली आणि संग्रह, ज्यासाठी ते सर्व पॅरामीटर मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे ज्यासाठी निर्दिष्ट समीकरणे, असमानता, त्यांच्या प्रणाली आणि संग्रहांमध्ये अनेक निराकरणे आहेत (विशेषतः, त्यांच्याकडे नाहीत किंवा नाहीत उपायांची असीम संख्या).

हे पाहणे सोपे आहे की टाइप 3 च्या समस्या काही अर्थाने टाइप 2 च्या समस्यांच्या उलट आहेत.

प्रकार 4. समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच, ज्यासाठी, पॅरामीटरच्या आवश्यक मूल्यांसाठी, सोल्यूशन्सचा संच परिभाषाच्या डोमेनमधील निर्दिष्ट अटी पूर्ण करतो.

उदाहरणार्थ, पॅरामीटर मूल्ये शोधा ज्यावर:

1) दिलेल्या मध्यांतरातील व्हेरिएबलच्या कोणत्याही मूल्यासाठी समीकरण समाधानी आहे;
2) पहिल्या समीकरणाच्या सोल्यूशनचा संच हा दुसऱ्या समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या संचाचा उपसंच आहे.

टिप्पणी द्या. पॅरामीटरसह विविध समस्या संपूर्ण अभ्यासक्रम व्यापतात शालेय गणित(दोन्ही बीजगणित आणि भूमिती), परंतु अंतिम आणि प्रवेश परीक्षांमध्ये त्यापैकी बहुसंख्य चार सूचीबद्ध प्रकारांपैकी एकाचे आहेत, ज्याला या कारणास्तव मूलभूत म्हटले जाते.

पॅरामीटरमधील समस्यांचा सर्वात व्यापक वर्ग म्हणजे एक अज्ञात आणि एक पॅरामीटर असलेल्या समस्या. पुढील परिच्छेद या विशिष्ट वर्गाच्या समस्या सोडवण्याचे मुख्य मार्ग सूचित करतो.

पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्याचे मुख्य मार्ग (पद्धती) कोणते आहेत?

पद्धत I (विश्लेषणात्मक). ही तथाकथित थेट समाधानाची एक पद्धत आहे, पॅरामीटरशिवाय समस्यांमध्ये उत्तर शोधण्यासाठी मानक प्रक्रियेची पुनरावृत्ती करणे. कधीकधी ते म्हणतात की ही सक्तीची पद्धत आहे, चांगल्या अर्थाने, "अभिमानी" उपाय.

टिप्पणी द्या. पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत ही सर्वात कठीण पद्धत आहे, ज्यासाठी उच्च साक्षरता आणि त्यात प्रभुत्व मिळविण्यासाठी सर्वात जास्त प्रयत्न आवश्यक आहेत.

पद्धत II (ग्राफिक). कार्यावर अवलंबून (व्हेरिएबल x आणि पॅरामीटरसहa ) आलेख एकतर समन्वय समतल (x; y), किंवा समन्वय समतल (x;a ).

टिप्पणी द्या. पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्याच्या ग्राफिकल पद्धतीची अपवादात्मक स्पष्टता आणि सौंदर्य "पॅरामीटरसह समस्या" या विषयाच्या विद्यार्थ्यांना इतके मोहित करते की ते सुप्रसिद्ध तथ्य विसरून, निराकरणाच्या इतर पद्धतींकडे दुर्लक्ष करू लागतात: कोणत्याही वर्गाच्या समस्यांसाठी , त्यांचे लेखक अशा प्रकारे आणि इतर मार्गांनी मोठ्या अडचणींसह उत्कृष्टपणे सोडवलेले एक तयार करू शकतात. म्हणून, अभ्यासाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर, पॅरामीटरसह समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ग्राफिकल तंत्रांसह प्रारंभ करणे धोकादायक आहे.

पद्धत III (मापदंड संबंधित निर्णय). अशाप्रकारे सोडवताना, x आणि a व्हेरिएबल्स समान गृहीत धरले जातात आणि विश्लेषणात्मक सोल्यूशन सोपे मानले जाईल असे व्हेरिएबल निवडले जाते. नैसर्गिक सरलीकरणानंतर, आपण x आणि a व्हेरिएबल्सच्या मूळ अर्थाकडे परत जाऊ आणि समाधान पूर्ण करू.

मी आता पॅरामीटरसह समस्या सोडवण्याच्या या पद्धतींचे प्रात्यक्षिक करेन, कारण या प्रकारच्या समस्या सोडवण्याची ही माझी आवडती पद्धत आहे.

ग्राफिक पद्धतीने सोडवलेल्या पॅरामीटर्ससह सर्व कार्यांचे विश्लेषण केल्यावर, मी युनिफाइड स्टेट परीक्षा B7 2002 च्या कार्यांसह पॅरामीटर्ससह माझी ओळख सुरू करतो:

येथे 45x - 3x समीकरणासाठी पूर्णांक मूल्य काय आहे 2 - एक्स 3 + 3k = 0 ला नक्की दोन मुळे आहेत?

ही कार्ये, प्रथम, व्युत्पन्न वापरून आलेख कसे बनवायचे हे लक्षात ठेवण्यास आणि दुसरे म्हणजे, सरळ रेषेचा अर्थ स्पष्ट करण्यास अनुमती देतात y = k.

त्यानंतरच्या वर्गांमध्ये, मी युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या तयारीसाठी पॅरामीटर्ससह सोप्या आणि मध्यम-स्तरीय स्पर्धात्मक समस्यांची निवड, मॉड्यूलसह ​​समीकरणे वापरतो. मॉड्युल चिन्हाखाली संलग्न पॅरामीटरसह कार्य करण्यास शिकण्यासाठी व्यायामाचा प्रारंभिक संच म्हणून गणिताच्या शिक्षकांना या कार्यांची शिफारस केली जाऊ शकते. बहुतेक क्रमांक ग्राफिक पद्धतीने सोडवले जातात आणि शिक्षकांना प्रदान केले जातात तयार योजनाधडा (किंवा दोन धडे). गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेची प्रारंभिक तयारी वास्तविक C5 संख्यांच्या जटिलतेच्या जवळ व्यायाम वापरून. अनेक प्रस्तावित कार्ये युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2009 च्या तयारीसाठीच्या साहित्यातून घेतली आहेत आणि काही सहकाऱ्यांच्या अनुभवावरून इंटरनेटवरून घेतली आहेत.

1) सर्व पॅरामीटर मूल्ये निर्दिष्ट कराp , ज्यासाठी समीकरण 4 मुळे आहेत?
उत्तर:

2) पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांवरए समीकरण काही उपाय नाहीत?
उत्तर:

3) a ची सर्व मूल्ये शोधा, त्यातील प्रत्येक समीकरणासाठी नक्की 3 मुळे आहेत?
उत्तर: a=2

4) कोणत्या पॅरामीटर मूल्यांवरb समीकरण एकच उपाय आहे का? उत्तर:

5) सर्व मूल्ये शोधामी , ज्यासाठी समीकरण कोणतेही उपाय नाहीत.
उत्तर:

6) a ची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण आहे अगदी 3 भिन्न मुळे आहेत. (अ ची एकापेक्षा जास्त किंमत असल्यास, त्यांची बेरीज तुमच्या उत्तरात लिहा.)

उत्तर: 3

7) कोणत्या मूल्यांवरb समीकरण नक्की 2 उपाय आहेत?
उत्तर:

8) हे पॅरामीटर्स निर्दिष्ट कराk , ज्यासाठी समीकरण किमान दोन उपाय आहेत.
उत्तर:

9) कोणत्या पॅरामीटर मूल्यांवरp समीकरण एकच उपाय आहे का?
उत्तर:

10) a ची सर्व मूल्ये शोधा, त्यातील प्रत्येक समीकरणासाठी (x + 1)नक्की 2 मुळे आहेत? a ची अनेक मूल्ये असल्यास, त्यांची बेरीज प्रतिसादात लिहा.

उत्तर:- 3

11) a ची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी समीकरण आहे नक्की 3 मुळे आहेत? (अ ची एकापेक्षा जास्त किंमत असेल तर त्यांची बेरीज प्रतिसादात लिहा).

उत्तर: ४

12) पॅरामीटर a चे सर्वात लहान नैसर्गिक मूल्य हे समीकरण आहे – = 11 फक्त सकारात्मक मुळे आहेत?

उत्तर: १९

13) a ची सर्व मूल्ये शोधा, त्यातील प्रत्येक समीकरणासाठी = 1 ला नक्की 3 मुळे आहेत? (अ ची एकापेक्षा जास्त किंमत असल्यास, त्यांची बेरीज तुमच्या उत्तरात लिहा).

उत्तर :- ३

14) खालील पॅरामीटर मूल्ये निर्दिष्ट कराt , ज्यासाठी समीकरण 4 भिन्न उपाय आहेत. उत्तर:

15) हे पॅरामीटर्स शोधामी , ज्यासाठी समीकरण दोन भिन्न उपाय आहेत. उत्तर:

16) पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांवरp समीकरण नक्की 3 एक्स्ट्रीमा आहे? उत्तर:

17) सर्व संभाव्य पॅरामीटर्स n दर्शवा ज्यासाठी फंक्शन आहे अगदी एक किमान बिंदू आहे. उत्तर:

प्रकाशित केलेला संच मी नियमितपणे एका सक्षम, परंतु बलवान विद्यार्थ्यासोबत काम करण्यासाठी वापरतो, जो तरीही C5 क्रमांक सोडवून उच्च युनिफाइड स्टेट परीक्षेत गुण मिळवण्याची आकांक्षा बाळगतो. दीर्घकालीन उपाय शोधण्यासाठी आणि अंमलात आणण्यासाठी आवश्यक असलेल्या वैयक्तिक कौशल्यांचे प्रशिक्षण देण्यासाठी शिक्षक अशा विद्यार्थ्याला अनेक टप्प्यांत तयार करतो. पॅरामीटरवर अवलंबून, फ्लोटिंग पॅटर्नबद्दल कल्पना तयार करण्याच्या टप्प्यासाठी ही निवड योग्य आहे. संख्या 16 आणि 17 युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2011 मधील पॅरामीटरसह वास्तविक समीकरणाच्या मॉडेलवर आधारित आहेत. वाढत्या अडचणीच्या क्रमाने कार्यांची मांडणी केली जाते.

गणित युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2012 मध्ये असाइनमेंट C5

येथे आमच्याकडे पारंपारिक पॅरामीटर समस्या आहे ज्यासाठी सामग्रीवर मध्यम प्रभुत्व आणि अनेक गुणधर्म आणि प्रमेयांचा वापर आवश्यक आहे. हे कार्य एकाच्या सर्वात कठीण कामांपैकी एक आहे राज्य परीक्षागणित मध्ये. हे प्रामुख्याने त्यांच्यासाठी डिझाइन केलेले आहे जे अर्जदारांच्या गणितीय तयारीसाठी वाढीव आवश्यकतांसह विद्यापीठांमध्ये त्यांचे शिक्षण सुरू ठेवू इच्छितात. यशस्वीरित्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, अभ्यास केलेल्या व्याख्या, गुणधर्म, प्रमेयांसह मुक्तपणे कार्य करणे आणि ते लागू करणे महत्वाचे आहे. भिन्न परिस्थिती, स्थितीचे विश्लेषण करा आणि संभाव्य उपाय शोधा.

अलेक्झांडर लॅरिनच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा तयारी वेबसाइटवर, 05/11/2012 पासून, प्रशिक्षण पर्याय क्रमांक 1 - 22 "C" स्तरावरील कार्यांसह ऑफर केले गेले होते, त्यापैकी काही C5 वास्तविक कार्यांप्रमाणेच होते. परीक्षा उदाहरणार्थ, पॅरामीटरची सर्व मूल्ये शोधा, ज्यापैकी प्रत्येक फंक्शनचे आलेखf(x) = आणिg(x) = a(x + 5) + 2 मध्ये कोणतेही समान बिंदू नाहीत?

2012 च्या परीक्षेतील टास्क C5 चा उपाय पाहू.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2012 मधील कार्य C5

पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांसाठी a समीकरण करते किमान दोन मुळे आहेत.

चला ही समस्या ग्राफिक पद्धतीने सोडवू. चला समीकरणाची डावी बाजू प्लॉट करू: आणि उजव्या बाजूला आलेख:आणि खालीलप्रमाणे समस्या प्रश्न तयार करा: पॅरामीटर a च्या कोणत्या मूल्यांवर फंक्शन्सचे आलेख आहेत आणिदोन किंवा अधिक गुण सामाईक आहेत.

मूळ समीकरणाच्या डाव्या बाजूला कोणतेही पॅरामीटर नाही, त्यामुळे आपण फंक्शन प्लॉट करू शकतो.

आपण हा आलेख वापरून तयार करू कार्ये:

1. फंक्शनचा आलेख शिफ्ट कराOY अक्षाच्या बाजूने 3 एकके खाली, आपल्याला फंक्शनचा आलेख मिळेल:

2. फंक्शन प्लॉट करू . हे करण्यासाठी, फंक्शनच्या आलेखाचा भाग , OX अक्षाच्या खाली स्थित, या अक्षाच्या सापेक्ष सममितीने प्रदर्शित केले जाईल:

तर, फंक्शनचा आलेखफॉर्म आहे:

फंक्शनचा आलेख