शंकूचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे. शंकूच्या बाजूकडील आणि एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

सिलेंडर, शंकू आणि बॉल हे शाळेत अभ्यासलेले रोटेशनचे शरीर आहेत.

गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेत समस्या असल्यास, तुम्हाला शंकूचे आकारमान किंवा गोलाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची आवश्यकता असल्यास, स्वतःला भाग्यवान समजा.

सिलेंडर, शंकू आणि गोलाच्या आकारमान आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू करा. ते सर्व आमच्या टेबलवर आहेत. मनापासून शिका. येथूनच स्टिरिओमेट्रीचे ज्ञान सुरू होते.

कधीकधी वरून दृश्य काढणे चांगले असते. किंवा, या समस्येप्रमाणे, खाली पासून.

2. या पिरॅमिडमध्ये कोरलेल्या शंकूच्या आकारमानापेक्षा नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडभोवती परिक्रमा केलेल्या शंकूचे आकारमान किती पटीने जास्त असते?

हे सोपे आहे - खालून दृश्य काढा. आपण पाहतो की मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाच्या त्रिज्यापेक्षा पटीने मोठी असते. दोन्ही शंकूची उंची समान आहे. म्हणून, मोठ्या शंकूची मात्रा दुप्पट असेल.

दुसरा महत्त्वाचा मुद्दा. आम्हाला आठवते की गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग बी च्या समस्यांमध्ये, उत्तर पूर्णांक किंवा अंतिम दशांश अपूर्णांक म्हणून लिहिले जाते. म्हणून, भाग ब मध्ये तुमच्या उत्तरात कोणतेही किंवा नसावे. संख्याचे अंदाजे मूल्य बदलण्याची गरज नाही! ते निश्चितपणे संकुचित झाले पाहिजे! या उद्देशाने काही समस्यांमध्ये कार्य तयार केले जाते, उदाहरणार्थ, खालीलप्रमाणे: "सिलेंडरच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ भागाकार शोधा."

क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमान आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे कोठे वापरली जातात? अर्थात, समस्या C2 (16) मध्ये. आम्ही तुम्हाला याबद्दल देखील सांगू.

शंकूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ (किंवा फक्त शंकूच्या पृष्ठभागाचे) बेस आणि पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके असते.

शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार मोजले जाते: S = πR l, जेथे R ही शंकूच्या पायाची त्रिज्या आहे, आणि l- शंकू तयार करणे.

शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ πR 2 (वर्तुळाचे क्षेत्रफळ म्हणून) बरोबर असल्याने, क्षेत्रफळ पूर्ण पृष्ठभागशंकू समान असेल: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र मिळवणे खालील तर्काने स्पष्ट केले जाऊ शकते. ड्रॉइंगमध्ये शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास दर्शवू द्या. चाप AB चा शक्यतो भाग करू मोठी संख्यासमान भाग आणि सर्व विभाजन बिंदू कंसच्या मध्यभागी आणि शेजारी एकमेकांना जीवा द्वारे जोडा.

आम्हाला समान त्रिकोणांची मालिका मिळते. प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे आह / 2 कुठे ए- त्रिकोणाच्या पायाची लांबी, a h- त्याची उंची.

सर्व त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज असेल: आह / 2 n = anh / 2 कुठे n- त्रिकोणांची संख्या.

मोठ्या संख्येने विभाजनांसह, त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज विकासाच्या क्षेत्राच्या अगदी जवळ होते, म्हणजे, शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ. त्रिकोणांच्या पायाची बेरीज, म्हणजे. एक, कंस AB च्या लांबीच्या अगदी जवळ होतो, म्हणजे, शंकूच्या पायाच्या परिघाच्या. प्रत्येक त्रिकोणाची उंची कंसाच्या त्रिज्येच्या अगदी जवळ असते, म्हणजे शंकूच्या जनरेटरिक्सच्या अगदी जवळ असते.

या परिमाणांच्या आकारातील किरकोळ फरकांकडे दुर्लक्ष करून, आम्ही शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र प्राप्त करतो (S):

S=C l / 2, जेथे C हा शंकूच्या पायाचा घेर आहे, l- शंकू तयार करणे.

C = 2πR, जेथे R ही शंकूच्या पायाच्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे हे जाणून घेतल्यास, आपल्याला मिळते: S = πR l.

नोंद. S = C या सूत्रात l / 2 अचूक, अंदाजे समानतेचे लक्षण नाही, जरी वरील तर्काच्या आधारे आपण ही समानता अंदाजे मानू शकतो. पण सिनियर हायस्कूलमध्ये समानता सिद्ध झाली आहे

S=C l / 2 अचूक आहे, अंदाजे नाही.

प्रमेय. शंकूचा पार्श्व पृष्ठभाग पायाच्या परिघाच्या गुणाकार आणि जनरेटिक्सच्या अर्ध्या भागाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो.

चला शंकूमध्ये (Fig.) काही लिहू योग्य पिरॅमिडआणि अक्षरांद्वारे दर्शवा आरआणि lया पिरॅमिडच्या बेस आणि एपोथेमच्या परिमितीची लांबी व्यक्त करणाऱ्या संख्या.

नंतर त्याची बाजूकडील पृष्ठभाग उत्पादन 1/2 द्वारे व्यक्त केली जाईल आर l .

आता आपण असे गृहीत धरू की बेसमध्ये कोरलेल्या बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या मर्यादेशिवाय वाढते. मग परिघ आरपायाच्या परिघाची लांबी C म्हणून घेतलेल्या मर्यादेकडे झुकते आणि अपोथेम lशंकूच्या जनरेटिक्सची मर्यादा असेल (ΔSAK पासून ते SA - SK चे अनुसरण करते
1 / 2 आर l, 1/2 C च्या मर्यादेकडे कल असेल L. ही मर्यादा शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या आकाराप्रमाणे घेतली जाते. नियुक्त केल्यावर बाजूकडील पृष्ठभाग S अक्षरासह शंकू, आपण लिहू शकतो:

S = 1/2 C L = C १/२ एल

परिणाम.
1) C = 2 पासून π आर, नंतर शंकूची बाजूकडील पृष्ठभाग सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाते:

S = 1/2 2π आर एल = π आर.एल.

2) जर आपण बेसच्या क्षेत्रामध्ये बाजूकडील पृष्ठभाग जोडला तर आपल्याला शंकूची संपूर्ण पृष्ठभाग मिळते; म्हणून, संपूर्ण पृष्ठभाग T द्वारे दर्शविल्यास, आपल्याकडे असेल:

टी = π RL+ π R2= π R(L+R)

प्रमेय. छाटलेल्या शंकूचा पार्श्व पृष्ठभाग बेस आणि जनरेटरच्या वर्तुळांच्या लांबीच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराच्या समान असतो.

आपण कापलेल्या शंकूमध्ये (चित्र.) काही नियमित कापलेले पिरॅमिड कोरू आणि त्यास अक्षरांनी नियुक्त करू. आर, आर 1 आणि lया पिरॅमिडच्या खालच्या आणि वरच्या तळांच्या परिमिती आणि एपोथेमची लांबी समान रेखीय युनिट्समध्ये व्यक्त करणाऱ्या संख्या.

नंतर कोरलेल्या पिरॅमिडची बाजूकडील पृष्ठभाग 1/2 ( p + p 1) l

कोरलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व चेहऱ्यांच्या संख्येत अमर्याद वाढीसह, परिमिती आरआणि आर 1 पायाभूत वर्तुळांची C आणि C 1 लांबी आणि अपोथेम म्हणून घेतलेल्या मर्यादांकडे कल lएका छाटलेल्या शंकूचा जनरेटर एल मर्यादित आहे. परिणामी, कोरलेल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा आकार (C + C 1) L च्या समान मर्यादेकडे झुकतो. ही मर्यादा कापलेल्या शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या आकाराप्रमाणे घेतली जाते. S अक्षराने कापलेल्या शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागास सूचित करताना, आमच्याकडे आहे:

S = 1/2 (C + C 1) L

परिणाम.
1) जर R आणि R 1 चा अर्थ खालच्या आणि वरच्या तळांच्या वर्तुळांची त्रिज्या असेल, तर कापलेल्या शंकूचा पार्श्व पृष्ठभाग असेल:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) जर ट्रॅपेझॉइड OO 1 A 1 A (Fig.) मध्ये, ज्याच्या परिभ्रमणातून एक कापलेला शंकू मिळतो, आपण BC मधली रेषा काढतो, तर आपल्याला मिळते:

BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

त्यामुळे,

S=2 π बीसी एल,

म्हणजे छाटलेल्या शंकूचा पार्श्व पृष्ठभाग मध्यम विभाग आणि जनरेटरिक्सच्या परिघाच्या गुणाकाराच्या समान असतो.

3) कापलेल्या शंकूचा एकूण पृष्ठभाग T खालीलप्रमाणे व्यक्त केला जाईल:

टी = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

येथे शंकूच्या समस्या आहेत, स्थिती त्याच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्राशी संबंधित आहे. विशेषतः, काही समस्यांमध्ये शंकूची उंची किंवा त्याच्या पायाची त्रिज्या वाढवताना (कमी) क्षेत्र बदलण्याचा प्रश्न आहे. मध्ये समस्या सोडवण्यासाठी सिद्धांत. चला खालील कार्यांचा विचार करूया:

27135. शंकूच्या पायाचा घेर 3 आहे, जनरेटर 2 आहे. शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे:

डेटा बदलणे:

75697. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 36 पटीने वाढल्यास आणि पायाची त्रिज्या सारखीच राहिल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पटीने वाढेल?

शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ:

जनरेटरिक्स 36 पट वाढते. त्रिज्या समान राहते, याचा अर्थ पायाचा घेर बदललेला नाही.

याचा अर्थ असा की सुधारित शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे स्वरूप असेल:

अशा प्रकारे, ते 36 पट वाढेल.

*संबंध सरळ आहेत, त्यामुळे ही समस्या तोंडी सहज सोडवता येते.

27137. शंकूच्या पार्श्वभागाच्या पृष्ठभागाची त्रिज्या 1.5 पट कमी केल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पटीने कमी होईल?

शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे:

त्रिज्या 1.5 पट कमी होते, म्हणजे:

पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 1.5 पट कमी झाल्याचे आढळून आले.

27159. शंकूची उंची 6 आहे, जनरेटर 10 आहे. त्याच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ Pi ने भागून काढा.

पूर्ण शंकू पृष्ठभाग:

आपल्याला त्रिज्या शोधण्याची आवश्यकता आहे:

पायथागोरियन प्रमेय वापरून आम्ही त्रिज्या मोजतो, उंची आणि जनरेटरिक्स ओळखले जातात:

अशा प्रकारे:

निकालाला Pi ने विभाजित करा आणि उत्तर लिहा.

76299. शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 108 आहे. एक विभाग शंकूच्या पायथ्याशी समांतर काढला आहे, उंची अर्ध्यामध्ये विभाजित केली आहे. कट ऑफ शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

विभाग पायाच्या समांतर उंचीच्या मध्यभागी जातो. याचा अर्थ असा की कट ऑफ शंकूच्या बेसची त्रिज्या आणि जनरेटरिक्स मूळ शंकूच्या त्रिज्या आणि जनरेटिक्सपेक्षा 2 पट कमी असेल. कट ऑफ शंकूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ लिहूया:

आम्हाला आढळले की ते मूळ पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या 4 पट कमी असेल, म्हणजेच 108:4 = 27.

*मूळ आणि कट ऑफ शंकू एकसारखे शरीर असल्याने, समानता गुणधर्म वापरणे देखील शक्य होते:

27167. शंकूच्या पायाची त्रिज्या 3 आहे आणि उंची 4 आहे. शंकूच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ Pi ने भागून काढा.

शंकूच्या एकूण पृष्ठभागाचे सूत्र:

त्रिज्या ज्ञात आहे, जनरेटरिक्स शोधणे आवश्यक आहे.

पायथागोरियन प्रमेयानुसार:

अशा प्रकारे:

निकालाला Pi ने विभाजित करा आणि उत्तर लिहा.

कार्य. शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पायाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपट आहे. शंकूच्या जनरेटरिक्स आणि बेसच्या समतल दरम्यानच्या कोनाचा कोसाइन काय आहे ते शोधा.

शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ आहे:

म्हणजेच, कोसाइन समान असेल:

उत्तर: 0.25

स्वतःसाठी ठरवा:

27136. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 3 पटीने वाढल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पटीने वाढेल?

27160. शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पायाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट आहे. शंकूच्या जनरेटरिक्स आणि बेसच्या समतल दरम्यानचा कोन शोधा. तुमचे उत्तर अंशात द्या. .

27161. शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 12 आहे. एक विभाग शंकूच्या पायथ्याशी समांतर काढला आहे, उंची अर्ध्या भागात विभागली आहे. कट ऑफ शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

इतकंच. तुम्हाला शुभेच्छा!

शुभेच्छा, अलेक्झांडर.

*साइटबद्दलची माहिती सोशल नेटवर्क्सद्वारे तुमच्या मित्रांसह शेअर करा.

शंकू म्हणजे काय हे आपल्याला माहीत आहे, चला त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. अशी समस्या सोडवण्याची गरज का आहे? उदाहरणार्थ, वायफळ शंकू बनवताना किती पीठ लागेल हे समजून घेणे आवश्यक आहे? किंवा विटांच्या वाड्याचे छत बनवण्यासाठी किती विटा लागतात?

शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजणे फक्त करता येत नाही. पण फॅब्रिकमध्ये गुंडाळलेल्या त्याच शिंगाची कल्पना करूया. फॅब्रिकच्या तुकड्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला ते कापून टेबलवर ठेवणे आवश्यक आहे. परिणाम एक सपाट आकृती आहे, आम्ही त्याचे क्षेत्र शोधू शकतो.

तांदूळ. 1. जनरेटिक्सच्या बाजूने शंकूचा विभाग

चला शंकूसह तेच करूया. चला त्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागावर कोणत्याही जनरेटिक्ससह "कट" करू, उदाहरणार्थ (चित्र 1 पहा).

आता बाजूच्या पृष्ठभागाला विमानात "अनवाइंड" करू या. आम्हाला एक क्षेत्र मिळते. या क्षेत्राचे केंद्र शंकूचे शिरोबिंदू आहे, सेक्टरची त्रिज्या शंकूच्या जनरेटिक्सच्या बरोबरीची आहे आणि त्याच्या कमानाची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाशी एकरूप आहे. अशा सेक्टरला शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास म्हणतात (चित्र 2 पहा).

तांदूळ. 2. बाजूच्या पृष्ठभागाचा विकास

तांदूळ. 3. रेडियनमध्ये कोन मापन

उपलब्ध डेटा वापरून क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. प्रथम, नोटेशन ओळखू या: सेक्टरच्या शिरोबिंदूवरील कोन रेडियनमध्ये असू द्या (चित्र 3 पहा).

आम्हाला बर्याचदा समस्यांमध्ये स्वीपच्या शीर्षस्थानी असलेल्या कोनाला सामोरे जावे लागेल. आत्तासाठी, प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करूया: हा कोन 360 अंशांपेक्षा जास्त असू शकत नाही? म्हणजेच, स्वीप स्वतःच ओव्हरलॅप होईल असे नाही का? नक्कीच नाही. चला हे गणिताने सिद्ध करूया. स्कॅन "सुपरपोज" स्वतःवर होऊ द्या. याचा अर्थ स्वीप आर्कची लांबी त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा जास्त आहे. परंतु, आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, स्वीप आर्कची लांबी ही त्रिज्याच्या वर्तुळाची लांबी असते. आणि शंकूच्या पायाची त्रिज्या अर्थातच जनरेटिक्सपेक्षा कमी असते, उदाहरणार्थ, काटकोन त्रिकोणाचा पाय कर्णापेक्षा कमी असतो.

मग प्लॅनिमेट्री कोर्समधील दोन सूत्रे लक्षात ठेवूया: चाप लांबी. सेक्टर क्षेत्र: .

आमच्या बाबतीत, भूमिका जनरेटरद्वारे खेळली जाते , आणि कमानीची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाएवढी आहे, म्हणजे. आमच्याकडे आहे:

शेवटी आम्हाला मिळते: .

पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासह, एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ देखील आढळू शकते. हे करण्यासाठी, बेसचे क्षेत्रफळ बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रामध्ये जोडले जाणे आवश्यक आहे. पण आधार हे त्रिज्याचे वर्तुळ आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार आहे.

शेवटी आमच्याकडे आहे: , सिलेंडरच्या पायाची त्रिज्या कुठे आहे, जनरेटरिक्स आहे.

दिलेल्या सूत्रांचा वापर करून काही समस्या सोडवू.

तांदूळ. 4. आवश्यक कोन

उदाहरण १. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास हा शिखरावर एक कोन असलेला एक क्षेत्र आहे. शंकूची उंची 4 सेमी आणि पायाची त्रिज्या 3 सेमी असल्यास हा कोन शोधा (चित्र 4 पहा).