समांतर रेषा. व्हिज्युअल मार्गदर्शक (२०१९)

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांसह तुमच्याशी संपर्क साधण्याची अनुमती देते.
• वेळोवेळी, आम्ही महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन प्रक्रियेनुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशातील सरकारी अधिकाऱ्यांच्या विनंत्यांच्या आधारावर - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करणे. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या हेतूंसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

ग्रेड 7 च्या विद्यार्थ्याने पूर्ण केले "G" MBOU "OK"Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry

स्वयंसिद्ध
ग्रीक "axios" मधून येते, ज्याचा अर्थ "मौल्यवान, योग्य" तार्किक पुराव्याशिवाय स्वीकारलेली स्थिती ही सिद्धांताची खरी प्रारंभिक स्थिती आहे. (सोव्हिएत विश्वकोशीय शब्दकोश)

डाउनलोड करा:

पूर्वावलोकन:

सादरीकरण पूर्वावलोकन वापरण्यासाठी, एक Google खाते तयार करा आणि त्यात लॉग इन करा: https://accounts.google.com

स्लाइड मथळे:

समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध ग्रेड 7 च्या विद्यार्थ्याने पूर्ण केले "G" MBOU "OK"Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry 2015-2016 शैक्षणिक वर्ष (शिक्षक कोनारेवा T.N.)

ज्ञात व्याख्या आणि तथ्ये. वाक्य पूर्ण करा. 1. रेषा x ला रेषा a आणि b च्या संबंधात ट्रान्सव्हर्सल म्हणतात जर... 2. जेव्हा दोन सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा ट्रान्सव्हर्सल बनते... अविकसित कोन. 3. जर रेषा AB आणि C D रेषा B D ने छेदत असतील, तर रेषा B D म्हणतात... 4. जर B आणि D हे बिंदू secant AC च्या सापेक्ष भिन्न अर्ध्या समतलांमध्ये असतील, तर BAC आणि DCA कोनांना म्हणतात... 5. जर बिंदू B आणि D हे सेकंट AC च्या सापेक्ष एका अर्ध्या समतलात असतील तर BAC आणि DCA या कोनांना म्हणतात... 6. जर एका जोडीचे अंतर्गत कोन समान असतील तर दुसऱ्या जोडीचे अंतर्गत कोन समान आहेत... D C A C B D A B

कार्य तपासत आहे. १. ...जर ते त्यांना दोन बिंदूंनी छेदत असेल तर 2. 8 3. ... सेकंट 4. ... आडवे बाजूने पडलेले 5. ... एकतर्फी 6. ... समान

जुळवा a) a b m 1) a | | b, अंतर्गत आडवा कोन समान असल्याने b) 2) a | | b, संबंधित कोन समान असल्याने c) a b 3) a | | b, अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º इतकी आहे

भूमितीच्या स्वयंसिद्धांबद्दल

Axiom ग्रीक "axios" मधून आला आहे, ज्याचा अर्थ "मौल्यवान, योग्य." तार्किक पुराव्याशिवाय तात्काळ मन वळवण्यामुळे स्वीकारलेली स्थिती ही सिद्धांताची खरी प्रारंभिक स्थिती आहे. सोव्हिएत विश्वकोशीय शब्दकोश

एक सरळ रेषा कोणत्याही दोन बिंदूंमधून जाते आणि एका समतलावर असलेल्या कोणत्याही दोन बिंदूंमधून किती सरळ रेषा काढता येतात?

कोणत्याही किरणांवर, त्याच्या सुरुवातीपासून, दिलेला एक समान खंड काढला जाऊ शकतो, आणि त्याशिवाय, किरणांच्या सुरुवातीपासून दिलेल्या लांबीचे किती खंड काढले जाऊ शकतात?

दिलेल्या दिशेतील कोणत्याही किरणातून दिलेल्या अविकसित कोनाइतका कोन काढणे शक्य आहे आणि दिलेल्या किरणापासून दिलेल्या अर्ध्या समतलापर्यंत फक्त किती कोन काढले जाऊ शकतात?

स्वयंसिद्ध प्रमेये तार्किक तर्क प्रसिद्ध निबंध “प्रिन्सिपिया” युक्लिडियन भूमिती भूमितीचे तार्किक बांधकाम

समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध

M a आपण हे सिद्ध करूया की M बिंदूद्वारे a c b a ┴ c b ┴ c a II c रेषेच्या समांतर रेषा काढणे शक्य आहे.

रेषेच्या समांतर M बिंदूमधून दुसरी रेषा काढणे शक्य आहे का? a M in 1 हे सिद्ध करणे शक्य आहे का?

अनेक गणितज्ञांनी, प्राचीन काळापासून, हे विधान सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला आहे आणि युक्लिडच्या घटकांमध्ये या विधानाला पाचवे पोस्ट्युलेट म्हटले आहे. युक्लिडचा पाचवा आशय सिद्ध करण्याचा प्रयत्न अयशस्वी ठरला आणि केवळ 19व्या शतकात हे स्पष्ट करण्यात आले की दिलेल्या रेषेच्या समांतर दिलेल्या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेच्या विशिष्टतेबद्दलचे विधान युक्लिडच्या उर्वरित स्वयंसिद्धांच्या आधारे सिद्ध करता येत नाही. , पण स्वतः एक स्वयंसिद्ध आहे. या समस्येचे निराकरण करण्यात रशियन गणितज्ञ निकोलाई इव्हानोविच लोबाचेव्हस्की यांनी मोठी भूमिका बजावली.

युक्लिड 1792-1856 निकोलाई इव्हानोविचचे पाचवे पद

"दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते." "दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूद्वारे, दिलेल्या बिंदूला समांतर रेषा काढता येते." यापैकी कोणते विधान स्वयंसिद्ध आहे? वरील विधाने कशी वेगळी आहेत?

दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूतून दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते. स्वयंसिद्ध किंवा प्रमेयांवरून मिळणाऱ्या विधानांना कोरोलरी 1 म्हणतात. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला छेदते, तर ती दुसऱ्यालाही छेदते. a II b , c b ⇒ c समांतरतेचे स्वयंसिद्ध आणि त्यातून होणारे परिणाम. a A Corollary 2. जर दोन रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात. a II c, b II c a II b a b c c b

ज्ञानाचे एकत्रीकरण. “+” चिन्हासह अचूक विधाने आणि “-” चिन्हासह चुकीची विधाने तपासा. पर्याय 1 1. स्वयंसिद्ध हे भौमितिक आकृत्यांच्या गुणधर्मांबद्दलचे गणितीय विधान आहे ज्यासाठी पुरावा आवश्यक आहे. 2. सरळ रेषा कोणत्याही दोन बिंदूंमधून जाते. 3. कोणत्याही किरणांवर, सुरुवातीपासून, तुम्ही दिलेल्या एका बरोबरीचे, आणि तुम्हाला आवडतील तितके खंड प्लॉट करू शकता. 4. दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते. 5. जर दोन रेषा तिसऱ्याला समांतर असतील तर त्या एकमेकांना समांतर असतात. पर्याय 2 1. स्वयंसिद्ध हे भौमितिक आकृत्यांच्या गुणधर्मांबद्दलचे गणितीय विधान आहे, जे पुराव्याशिवाय स्वीकारले जाते. 2. सरळ रेषा कोणत्याही दोन बिंदूंमधून जाते आणि फक्त एक. 3. दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त दोन रेषा जातात. 4. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला छेदते, तर ती दुसऱ्या रेषेला लंब असते. 5. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला छेदत असेल तर ती दुसऱ्या रेषेला देखील छेदते.

चाचणी उत्तरे पर्याय 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” पर्याय 2 “+” “+” “-” “-” “+”

"भूमिती साहसाने भरलेली आहे कारण प्रत्येक समस्येमागे विचारांचे साहस असते. समस्या सोडवणे म्हणजे साहस अनुभवणे होय.” (V. Proizvolov)

§ 1 समांतर रेषांचा स्वयंसिद्ध

कोणत्या विधानांना स्वयंसिद्ध म्हणतात ते शोधू या, स्वयंसिद्धांची उदाहरणे द्या, समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध सूत्र तयार करूया आणि त्याचे काही परिणाम विचारात घेऊ या.

भौमितिक आकृत्या आणि त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करताना, विविध विधाने - प्रमेय सिद्ध करण्याची गरज निर्माण होते. ते सिद्ध करताना ते अनेकदा पूर्वी सिद्ध झालेल्या प्रमेयांवर अवलंबून असतात. प्रश्न उद्भवतो: पहिल्या प्रमेयांचे पुरावे कशावर आधारित आहेत? भूमितीमध्ये, काही प्रारंभिक गृहितके स्वीकारली जातात आणि त्यांच्या आधारे खालील प्रमेये सिद्ध होतात. अशा प्रारंभिक तरतुदींना स्वयंसिद्ध असे म्हणतात. स्वयंसिद्ध पुराव्याशिवाय स्वीकारले जाते. Axiom हा शब्द ग्रीक शब्द "axios" वरून आला आहे, ज्याचा अर्थ "मौल्यवान, योग्य."

आम्ही काही स्वयंसिद्धांशी आधीच परिचित आहोत. उदाहरणार्थ, स्वयंसिद्ध विधान आहे: कोणत्याही दोन बिंदूंमधून एक सरळ रेषा जाते आणि फक्त एक.

दोन सेगमेंट आणि दोन कोनांची तुलना करताना, आम्ही एका सेगमेंटला दुसऱ्यावर सुपरइम्पोज केले आणि दुसऱ्या कोनावर कोन सुपरइम्पोज केले. अशी लादण्याची शक्यता खालील स्वयंसिद्धांवरून दिसून येते:

· कोणत्याही किरणांवर त्याच्या सुरुवातीपासूनच दिलेल्या एका बरोबरीचा आणि फक्त एक भाग प्लॉट करणे शक्य आहे;

· दिलेल्या दिशेतील कोणत्याही किरणातून, तुम्ही दिलेल्या अविकसित कोनाइतका कोन बंद करू शकता आणि त्याशिवाय, फक्त एक.

भूमिती हे प्राचीन शास्त्र आहे. जवळजवळ दोन सहस्राब्दी, प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ युक्लिड यांच्या प्रसिद्ध कार्य "एलिमेंट्स" नुसार भूमितीचा अभ्यास केला गेला. युक्लिडने प्रथम प्रारंभिक बिंदू तयार केले - पोस्ट्युलेट्स, आणि नंतर, त्यांच्या आधारे, तार्किक तर्काद्वारे त्याने इतर विधाने सिद्ध केली. प्रिन्सिपियामध्ये सादर केलेल्या भूमितीला युक्लिडियन भूमिती म्हणतात. शास्त्रज्ञांच्या हस्तलिखितांमध्ये पाचव्या पोस्ट्युलेट नावाचे एक विधान आहे, ज्याभोवती बराच काळ वाद निर्माण झाला. अनेक गणितज्ञांनी युक्लिडचे पाचवे पद सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला आहे, म्हणजे. इतर स्वयंसिद्धांमधून ते काढा, परंतु प्रत्येक वेळी पुरावे अपूर्ण होते किंवा शेवटपर्यंत पोहोचले होते. केवळ 19व्या शतकात हे शेवटी स्पष्ट करण्यात आले होते की पाचवे पद युक्लिडच्या उर्वरित स्वयंसिद्धांच्या आधारे सिद्ध केले जाऊ शकत नाही आणि ते स्वतःच एक स्वयंसिद्ध आहे. रशियन गणितज्ञ निकोलाई इव्हानोविच लोबाचेव्हस्की (1792-1856) यांनी या समस्येचे निराकरण करण्यात मोठी भूमिका बजावली. तर, पाचवी पोस्टुलेट समांतर रेषांची स्वयंसिद्धता आहे.

स्वयंसिद्ध: दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते.

§ 2 समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धातून आलेख

स्वयंसिद्ध किंवा प्रमेयांमधून थेट व्युत्पन्न केलेली विधाने कोरोलरी म्हणतात. समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धातून काही परिणामांचा विचार करू.

पंक्ती 1. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला छेदत असेल तर ती दुसऱ्याला देखील छेदते.

दिलेले: रेषा a आणि b समांतर आहेत, रेषा c रेषेला A बिंदूला छेदते.

सिद्ध करा: रेषा c रेषा b ला छेदते.

पुरावा: जर रेषा c रेषा b ला छेदत नसेल, तर दोन रेषा a आणि c बिंदू A मधून जातील, रेषा b ला समांतर. परंतु हे समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धतेचा विरोधाभास करते: दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते. याचा अर्थ रेषा c रेषा b ला छेदते.

कोरोलरी 2. जर दोन रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात.

दिलेले: रेषा a आणि b रेषा c ला समांतर आहेत. (a||c, b||c)

सिद्ध करा: रेषा a रेषा b ला समांतर आहे.

पुरावा: आपण असे गृहीत धरू की रेषा a आणि b समांतर नाहीत, म्हणजे. काही बिंदू A ला छेदतात. नंतर दोन रेषा a आणि b बिंदू A मधून जातात, रेषा c ला समांतर. पण समांतर रेषांच्या स्वयंसिद्धानुसार, दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूतून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर, त्यातून फक्त एक सरळ रेषा जाते. याचा अर्थ असा की आमची धारणा चुकीची आहे, म्हणून, रेषा a आणि b समांतर आहेत.

वापरलेल्या साहित्याची यादी:

1. भूमिती. ग्रेड 7-9: पाठ्यपुस्तक. सामान्य शिक्षणासाठी संस्था / L.S. अटानास्यान, व्ही.एफ. बुटुझोव्ह, एस.बी. Kadomtsev et al. - एम.: शिक्षण, 2013. - 383 p.: आजारी.
2. गॅव्ह्रिलोवा एन.एफ. भूमिती ग्रेड 7 मधील धड्यातील घडामोडी. - एम.: "वाको", 2004, 288 पी. - (शाळेतील शिक्षकांना मदत करण्यासाठी).
3. बेलित्स्काया ओ.व्ही. भूमिती. 7 वी इयत्ता. भाग 1. चाचण्या. – सेराटोव्ह: लिसियम, 2014. – 64 पी.

वापरलेल्या प्रतिमा:

1. जर दोन रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतील:

तर a||cआणि b||c, ते a||b.

2. जर दोन रेषा तिसऱ्या रेषेला लंब असतील तर त्या समांतर असतील:

तर a⊥cआणि b⊥c, ते a||b.

रेषांच्या समांतरतेची उरलेली चिन्हे दोन सरळ रेषा तिसऱ्याला छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनांवर आधारित असतात.

3. जर अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° असेल, तर रेषा समांतर असतील:

जर ∠1 + ∠2 = 180°, तर a||b.

4. जर संबंधित कोन समान असतील, तर रेषा समांतर असतील:

जर ∠2 = ∠4, तर a||b.

5. जर अंतर्गत आडवा कोन समान असतील, तर रेषा समांतर असतील:

जर ∠1 = ∠3, तर a||b.

समांतर रेषांचे गुणधर्म

समांतर रेषांच्या गुणधर्मांच्या उलट विधाने त्यांचे गुणधर्म आहेत. ते तिसऱ्या रेषेसह दोन समांतर रेषांच्या छेदनबिंदूमुळे तयार झालेल्या कोनांच्या गुणधर्मांवर आधारित आहेत.

1. जेव्हा दोन समांतर रेषा तिसऱ्या रेषेला छेदतात तेव्हा त्यांच्याद्वारे तयार केलेल्या अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° असते:

तर a||b, नंतर ∠1 + ∠2 = 180°.

2. जेव्हा दोन समांतर रेषा तिसऱ्या रेषेला छेदतात तेव्हा त्यांच्याद्वारे तयार होणारे संबंधित कोन समान असतात:

तर a||b, नंतर ∠2 = ∠4.

3. जेव्हा दोन समांतर रेषा तिसऱ्या रेषेला छेदतात, तेव्हा ते तयार होणारे कोन समान असतात:

तर a||b, नंतर ∠1 = ∠3.

पुढील गुणधर्म प्रत्येक मागील एकासाठी एक विशेष केस आहे:

4. जर समतलावरील रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकास लंब असेल तर ती दुसऱ्या रेषेला देखील लंब असते:

तर a||bआणि c⊥a, ते c⊥b.

पाचवा गुणधर्म समांतर रेषांचा स्वयंसिद्ध आहे:

5. दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूद्वारे, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा काढता येते.