शंकू म्हणजे काय हे आपल्याला माहीत आहे, चला त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. अशी समस्या सोडवण्याची गरज का आहे? उदाहरणार्थ, वायफळ शंकू बनवताना किती पीठ लागेल हे समजून घेणे आवश्यक आहे? किंवा विटांच्या वाड्याचे छत बनवण्यासाठी किती विटा लागतात?
शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजणे फक्त करता येत नाही. पण फॅब्रिकमध्ये गुंडाळलेल्या त्याच शिंगाची कल्पना करूया. फॅब्रिकच्या तुकड्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला ते कापून टेबलवर ठेवणे आवश्यक आहे. परिणाम एक सपाट आकृती आहे, आम्ही त्याचे क्षेत्र शोधू शकतो.
तांदूळ. 1. जनरेटिक्सच्या बाजूने शंकूचा विभाग
चला शंकूसह तेच करूया. चला ते "कट" करूया बाजूकडील पृष्ठभागकोणत्याही जनरेटिक्ससह, उदाहरणार्थ (चित्र 1 पहा).
आता बाजूच्या पृष्ठभागाला विमानात "अनवाइंड" करू या. आम्हाला एक क्षेत्र मिळते. या क्षेत्राचे केंद्र शंकूचे शिरोबिंदू आहे, सेक्टरची त्रिज्या शंकूच्या जनरेटिक्सच्या बरोबरीची आहे आणि त्याच्या कमानाची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाशी एकरूप आहे. अशा सेक्टरला शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास म्हणतात (चित्र 2 पहा).
तांदूळ. 2. बाजूच्या पृष्ठभागाचा विकास
तांदूळ. 3. रेडियनमध्ये कोन मापन
उपलब्ध डेटा वापरून क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. प्रथम, नोटेशन ओळखू या: सेक्टरच्या शिरोबिंदूवरील कोन रेडियनमध्ये असू द्या (चित्र 3 पहा).
आम्हाला बर्याचदा समस्यांमध्ये स्वीपच्या शीर्षस्थानी असलेल्या कोनाला सामोरे जावे लागेल. आत्तासाठी, प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करूया: हा कोन 360 अंशांपेक्षा जास्त असू शकत नाही? म्हणजेच, स्वीप स्वतःच ओव्हरलॅप होईल असे नाही का? नक्कीच नाही. चला हे गणिताने सिद्ध करूया. स्कॅन "सुपरपोज" स्वतःवर होऊ द्या. याचा अर्थ स्वीप आर्कची लांबी त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा जास्त आहे. परंतु, आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, स्वीप आर्कची लांबी ही त्रिज्याच्या वर्तुळाची लांबी असते. आणि शंकूच्या पायाची त्रिज्या अर्थातच जनरेटिक्सपेक्षा कमी असते, उदाहरणार्थ, काटकोन त्रिकोणाचा पाय कर्णापेक्षा कमी असतो.
मग प्लॅनिमेट्री कोर्समधील दोन सूत्रे लक्षात ठेवूया: चाप लांबी. सेक्टर क्षेत्र: .
आमच्या बाबतीत, भूमिका जनरेटरद्वारे खेळली जाते , आणि कमानीची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाएवढी आहे, म्हणजे. आमच्याकडे आहे:
शेवटी आम्हाला मिळते: .
बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासह, क्षेत्र देखील शोधू शकते पूर्ण पृष्ठभाग. हे करण्यासाठी, बेसचे क्षेत्रफळ बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रामध्ये जोडले जाणे आवश्यक आहे. पण आधार हे त्रिज्याचे वर्तुळ आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार आहे.
शेवटी आमच्याकडे आहे: , सिलेंडरच्या पायाची त्रिज्या कुठे आहे, जनरेटरिक्स आहे.
दिलेल्या सूत्रांचा वापर करून काही समस्या सोडवू.
तांदूळ. 4. आवश्यक कोन
उदाहरण १. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास हा शिखरावर एक कोन असलेला एक क्षेत्र आहे. शंकूची उंची 4 सेमी आणि पायाची त्रिज्या 3 सेमी असल्यास हा कोन शोधा (चित्र 4 पहा).
तांदूळ. ५. उजवा त्रिकोण, एक शंकू तयार करणे
पहिल्या क्रियेद्वारे, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आम्हाला जनरेटर सापडतो: 5 सेमी (चित्र 5 पहा). पुढे, आम्हाला ते माहित आहे .
उदाहरण २. चौरस अक्षीय विभागशंकू समान आहे, उंची समान आहे. एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा (चित्र 6 पहा).
येथे शंकूच्या समस्या आहेत, स्थिती त्याच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्राशी संबंधित आहे. विशेषतः, काही समस्यांमध्ये शंकूची उंची किंवा त्याच्या पायाची त्रिज्या वाढवताना (कमी) क्षेत्र बदलण्याचा प्रश्न आहे. मध्ये समस्या सोडवण्यासाठी सिद्धांत. चला खालील कार्यांचा विचार करूया:
27135. शंकूच्या पायाचा घेर 3 आहे, जनरेटिक्स 2 आहे शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढा.
शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे:
डेटा बदलणे:
75697. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 36 पटीने वाढल्यास आणि पायाची त्रिज्या सारखीच राहिल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पटीने वाढेल?
शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ:
जनरेटरिक्स 36 पट वाढते. त्रिज्या समान राहते, याचा अर्थ पायाचा घेर बदललेला नाही.
याचा अर्थ असा की सुधारित शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे स्वरूप असेल:
अशा प्रकारे, ते 36 पट वाढेल.
*संबंध सरळ आहेत, त्यामुळे ही समस्या तोंडी सहज सोडवता येते.
27137. शंकूच्या पार्श्वभागाच्या पृष्ठभागाची त्रिज्या 1.5 पट कमी केल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती पटीने कमी होईल?
शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे:
त्रिज्या 1.5 पट कमी होते, म्हणजे:
पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 1.5 पट कमी झाल्याचे आढळून आले.
27159. शंकूची उंची 6 आहे, जनरेटर 10 आहे. त्याच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ Pi ने भागून काढा.
पूर्ण शंकू पृष्ठभाग:
आपल्याला त्रिज्या शोधण्याची आवश्यकता आहे:
पायथागोरियन प्रमेय वापरून आम्ही त्रिज्या मोजतो, उंची आणि जनरेटरिक्स ओळखले जातात:
अशा प्रकारे:
निकालाला Pi ने विभाजित करा आणि उत्तर लिहा.
76299. शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 108 आहे. एक विभाग शंकूच्या पायथ्याशी समांतर काढला आहे, उंची अर्ध्यामध्ये विभाजित केली आहे. कट ऑफ शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.
विभाग पायाच्या समांतर उंचीच्या मध्यभागी जातो. याचा अर्थ असा की कट ऑफ शंकूच्या पायाची त्रिज्या आणि जनरेटरिक्स मूळ शंकूच्या त्रिज्या आणि जनरेटरिक्सपेक्षा 2 पट कमी असेल. कट ऑफ शंकूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ लिहूया:
आम्हाला आढळले की ते मूळ पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या 4 पट कमी असेल, म्हणजेच 108:4 = 27.
*मूळ आणि कट ऑफ शंकू एकसारखे शरीर असल्याने, समानता गुणधर्म वापरणे देखील शक्य होते:
27167. शंकूच्या पायाची त्रिज्या 3 आहे आणि उंची 4 आहे. शंकूच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ Pi ने भागून काढा.
शंकूच्या एकूण पृष्ठभागाचे सूत्र:
त्रिज्या ज्ञात आहे, जनरेटरिक्स शोधणे आवश्यक आहे. 
पायथागोरियन प्रमेयानुसार:
अशा प्रकारे:
निकालाला Pi ने विभाजित करा आणि उत्तर लिहा.
कार्य. शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पायाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपट आहे. शंकूच्या जनरेटरिक्स आणि बेसच्या समतल दरम्यानच्या कोनाचा कोसाइन काय आहे ते शोधा.
शंकूच्या पायाचे क्षेत्रफळ आहे: 
सिलेंडर, शंकू आणि बॉल हे शाळेत अभ्यासलेले रोटेशनचे शरीर आहेत.
गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेत समस्या असल्यास, तुम्हाला शंकूचे आकारमान किंवा गोलाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची आवश्यकता असल्यास, स्वतःला भाग्यवान समजा.
सिलेंडर, शंकू आणि गोलाच्या आकारमान आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू करा. ते सर्व आमच्या टेबलवर आहेत. मनापासून शिका. येथूनच स्टिरिओमेट्रीचे ज्ञान सुरू होते.
कधीकधी वरून दृश्य काढणे चांगले असते. किंवा, या समस्येप्रमाणे, खाली पासून.
2. या पिरॅमिडमध्ये कोरलेल्या शंकूच्या आकारमानापेक्षा नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडभोवती परिक्रमा केलेल्या शंकूचे आकारमान किती पटीने जास्त असते?
हे सोपे आहे - खालून दृश्य काढा. आपण पाहतो की मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाच्या त्रिज्यापेक्षा पटीने मोठी असते. दोन्ही शंकूची उंची समान आहे. म्हणून, मोठ्या शंकूची मात्रा दुप्पट असेल.
दुसरा महत्त्वाचा मुद्दा. आम्हाला आठवते की गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग बी च्या समस्यांमध्ये, उत्तर पूर्णांक किंवा अंतिम दशांश अपूर्णांक म्हणून लिहिले जाते. म्हणून, भाग ब मध्ये तुमच्या उत्तरात कोणतेही किंवा नसावे. संख्याचे अंदाजे मूल्य बदलण्याची गरज नाही! ते निश्चितपणे संकुचित झाले पाहिजे! या उद्देशाने काही समस्यांमध्ये कार्य तयार केले जाते, उदाहरणार्थ, खालीलप्रमाणे: "सिलेंडरच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ भागाकार शोधा."
क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमान आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे कोठे वापरली जातात? अर्थात, समस्या C2 (16) मध्ये. आम्ही तुम्हाला याबद्दल देखील सांगू.
शंकू म्हणजे काय हे आपल्याला माहीत आहे, चला त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. अशी समस्या सोडवण्याची गरज का आहे? उदाहरणार्थ, वायफळ शंकू बनवताना किती पीठ लागेल हे समजून घेणे आवश्यक आहे? किंवा विटांच्या वाड्याचे छत बनवण्यासाठी किती विटा लागतात?
शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजणे फक्त करता येत नाही. पण फॅब्रिकमध्ये गुंडाळलेल्या त्याच शिंगाची कल्पना करूया. फॅब्रिकच्या तुकड्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला ते कापून टेबलवर ठेवणे आवश्यक आहे. परिणाम एक सपाट आकृती आहे, आम्ही त्याचे क्षेत्र शोधू शकतो.
तांदूळ. 1. जनरेटिक्सच्या बाजूने शंकूचा विभाग
चला शंकूसह तेच करूया. चला त्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागावर कोणत्याही जनरेटिक्ससह "कट" करू, उदाहरणार्थ (चित्र 1 पहा).
आता बाजूच्या पृष्ठभागाला विमानात "अनवाइंड" करू या. आम्हाला एक क्षेत्र मिळते. या क्षेत्राचे केंद्र शंकूचे शिरोबिंदू आहे, सेक्टरची त्रिज्या शंकूच्या जनरेटिक्सच्या बरोबरीची आहे आणि त्याच्या कमानाची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाशी एकरूप आहे. अशा सेक्टरला शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास म्हणतात (चित्र 2 पहा).
तांदूळ. 2. बाजूच्या पृष्ठभागाचा विकास
तांदूळ. 3. रेडियनमध्ये कोन मापन
उपलब्ध डेटा वापरून क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा प्रयत्न करूया. प्रथम, नोटेशन ओळखू या: सेक्टरच्या शिरोबिंदूवरील कोन रेडियनमध्ये असू द्या (चित्र 3 पहा).
आम्हाला बर्याचदा समस्यांमध्ये स्वीपच्या शीर्षस्थानी असलेल्या कोनाला सामोरे जावे लागेल. आत्तासाठी, प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करूया: हा कोन 360 अंशांपेक्षा जास्त असू शकत नाही? म्हणजेच, स्वीप स्वतःच ओव्हरलॅप होईल असे नाही का? नक्कीच नाही. चला हे गणिताने सिद्ध करूया. स्कॅन "सुपरपोज" स्वतःवर होऊ द्या. याचा अर्थ स्वीप आर्कची लांबी त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा जास्त आहे. परंतु, आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, स्वीप आर्कची लांबी ही त्रिज्याच्या वर्तुळाची लांबी असते. आणि शंकूच्या पायाची त्रिज्या अर्थातच जनरेटिक्सपेक्षा कमी असते, उदाहरणार्थ, काटकोन त्रिकोणाचा पाय कर्णापेक्षा कमी असतो.
मग प्लॅनिमेट्री कोर्समधील दोन सूत्रे लक्षात ठेवूया: चाप लांबी. सेक्टर क्षेत्र: .
आमच्या बाबतीत, भूमिका जनरेटरद्वारे खेळली जाते , आणि कमानीची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाएवढी आहे, म्हणजे. आमच्याकडे आहे:
शेवटी आम्हाला मिळते: .
पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासह, एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ देखील आढळू शकते. हे करण्यासाठी, बेसचे क्षेत्रफळ बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रामध्ये जोडले जाणे आवश्यक आहे. पण आधार हे त्रिज्याचे वर्तुळ आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार आहे.
शेवटी आमच्याकडे आहे: , सिलेंडरच्या पायाची त्रिज्या कुठे आहे, जनरेटरिक्स आहे.
दिलेल्या सूत्रांचा वापर करून काही समस्या सोडवू.
तांदूळ. 4. आवश्यक कोन
उदाहरण १. शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास हा शिखरावर एक कोन असलेला एक क्षेत्र आहे. शंकूची उंची 4 सेमी आणि पायाची त्रिज्या 3 सेमी असल्यास हा कोन शोधा (चित्र 4 पहा).
तांदूळ. 5. शंकू तयार करणारा काटकोन
पहिल्या क्रियेद्वारे, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आम्हाला जनरेटर सापडतो: 5 सेमी (चित्र 5 पहा). पुढे, आम्हाला ते माहित आहे .
उदाहरण २. शंकूचे अक्षीय क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र समान आहे, उंची समान आहे. एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा (चित्र 6 पहा).