विभेदक समीकरणांचे व्यावहारिक मूल्य या वस्तुस्थितीद्वारे निश्चित केले जाते की, त्यांचा वापर करून, मूलभूत भौतिक किंवा रासायनिक कायद्याशी आणि अनेकदा चलांच्या संपूर्ण गटाशी संबंध स्थापित करणे शक्य आहे. महान मूल्यतांत्रिक समस्यांवर संशोधन करताना.

परिवर्तनीय परिस्थितीत घडणाऱ्या प्रक्रियेसाठी अगदी सोपा भौतिक नियम लागू केल्याने परिवर्तनीय प्रमाणांमधील एक अतिशय जटिल संबंध निर्माण होऊ शकतो.

विभेदक समीकरणांकडे नेणाऱ्या भौतिक आणि रासायनिक समस्यांचे निराकरण करताना, समीकरणाचे सामान्य अविभाज्य शोधणे, तसेच या अविभाज्य घटकांमध्ये समाविष्ट असलेल्या स्थिरांकांची मूल्ये निश्चित करणे महत्वाचे आहे, जेणेकरून समाधान दिलेल्या समस्येशी सुसंगत असेल.

प्रक्रियांचा अभ्यास ज्यामध्ये सर्व इच्छित परिमाण केवळ एका स्वतंत्र चलची कार्ये असतात सामान्य विभेदक समीकरणे ठरतात.

स्थिर-स्थिती प्रक्रियेमुळे आंशिक भिन्न समीकरणे होऊ शकतात.

बहुतेक प्रकरणांमध्ये, विभेदक समीकरणे सोडवण्यामुळे अविभाज्य समीकरणे शोधली जात नाहीत;

गतीशास्त्रातील समस्या सोडवण्यासाठी विभेदक समीकरणांची प्रणाली वापरली जाते.

सामान्य विभेदक समीकरणे सोडवण्यासाठी सर्वात सामान्य आणि सार्वत्रिक संख्यात्मक पद्धत म्हणजे मर्यादित फरक पद्धत.

सामान्य विभेदक समीकरणे समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी वापरली जातात ज्यामध्ये नंतरचे सतत बदलत असताना परिस्थितीनुसार अवलंबून आणि स्वतंत्र चलांमधील संबंध शोधणे आवश्यक असते. समस्येचे निराकरण केल्याने तथाकथित मर्यादित फरक समीकरणे होतात.

वितर्क x मधील सतत बदलाचा प्रदेश नोड्स नावाच्या बिंदूंच्या संचाने बदलला जातो. हे नोड्स फरक ग्रिड बनवतात. अखंड वितर्काचे आवश्यक कार्य अंदाजे दिलेल्या ग्रिडवरील युक्तिवादाच्या कार्याद्वारे बदलले जाते. या फंक्शनला ग्रिड फंक्शन म्हणतात. भिन्न समीकरणाच्या जागी फरक समीकरणाला ग्रिडवरील अंदाजे म्हणतात. मूळ विभेदक समीकरण आणि अतिरिक्त प्रारंभिक परिस्थिती यांचा अंदाज लावणाऱ्या फरक समीकरणांच्या संचाला फरक योजना म्हणतात. इनपुट डेटामधील एक छोटासा बदल सोल्यूशनमधील लहान बदलाशी संबंधित असल्यास फरक योजना स्थिर म्हटले जाते. डिफरन्स स्कीमचे सोल्यूशन अस्तित्त्वात असल्यास आणि कोणत्याही इनपुट डेटासाठी अनन्य असल्यास आणि ही योजना स्थिर असल्यास त्याला योग्य म्हटले जाते.

कॉची समस्या सोडवताना, तुम्हाला समीकरण पूर्ण करणारे फंक्शन y=y(x) शोधणे आवश्यक आहे:

आणि प्रारंभिक स्थिती: y = y 0 येथे x = x 0.

चला x 0, x 1, ... x n आणि चरण h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...) बिंदूंचा क्रम ओळखू या. प्रत्येक बिंदूवर x i, संख्या y i ची ओळख करून दिली जाते जी अंदाजे अचूक समाधान y. मूळ समीकरणातील डेरिव्हेटिव्हला मर्यादित फरक संबंधाने बदलल्यानंतर, विभेदक समस्येपासून फरक समस्येकडे संक्रमण केले जाते:

y i+1 = F(x i, h i, y i+1, y i, … y i-k+1),

जिथे i = 0, 1, 2…

याचा परिणाम k-चरण मर्यादित फरक पद्धतीमध्ये होतो. एक-चरण पद्धतींमध्ये, y i +1 ची गणना करण्यासाठी, मागील चरणात फक्त एक पूर्वी आढळलेले मूल्य y i वापरले जाते, अनेक-चरण पद्धतींमध्ये वापरले जाते;

कॉची समस्या सोडवण्यासाठी सर्वात सोपी एक-चरण संख्यात्मक पद्धत म्हणजे यूलर पद्धत.

y i+1 = y i + h f(x i, y i).

ही योजना अचूकतेच्या पहिल्या क्रमाची फरक योजना आहे.

जर y " =f(x,y) समीकरणामध्ये उजवीकडील बाजू f(x i ,y i) आणि f(x i+1 ,y i+1) मधील अंकगणितीय सरासरी मूल्याने बदलली असेल, म्हणजे. , नंतर आम्हाला यूलरच्या पद्धतीची अंतर्निहित फरक योजना मिळते:

,

दुसऱ्या ऑर्डरची अचूकता.

या समीकरणात y i+1 ला y i +h f(x i, y i) ने बदलून, स्कीम पुनर्गणनासह यूलर पद्धतीवर जाते, ज्याचा दुसरा क्रम देखील आहे:

अचूकतेच्या उच्च क्रमाच्या भिन्न योजनांमध्ये, चौथ्या क्रमाच्या रंज-कुट्टा पद्धतीची योजना सामान्य आहे:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, ...

ते 1 = f(x i, y i)

ते २ = f(x i + , y i + )

ते ३ = f(x i + , y i + )

k 4 = f(x i +h, y i +k 3).

संगणकाच्या वेळेत लक्षणीय वाढ न करता संख्यात्मक सोल्यूशनची अचूकता वाढविण्यासाठी, रंज पद्धत वापरली जाते. वेगवेगळ्या पायऱ्यांसह समान फरक योजना वापरून वारंवार गणना करणे हे त्याचे सार आहे.

गणनांच्या मालिकेचा वापर करून एक परिष्कृत समाधान तयार केले जाते. जर ऑर्डर योजनेनुसार गणनाच्या दोन मालिका केल्या जातात लाअनुक्रमे h आणि h/2 चरणांसह आणि ग्रीड फंक्शन y h आणि y h /2 ची मूल्ये प्राप्त केली जातात, नंतर चरण h सह ग्रिड नोड्सवर ग्रिड फंक्शनचे परिष्कृत मूल्य सूत्राद्वारे मोजले जाते:

.

अंदाजे गणना

भौतिक आणि रासायनिक गणनांमध्ये अचूक उपाय देणारी तंत्रे आणि सूत्रे वापरणे क्वचितच आवश्यक असते. बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती ज्या बरोबर परिणाम देतात त्या एकतर अतिशय गुंतागुंतीच्या किंवा अस्तित्वात नसलेल्या असतात. सहसा, अंदाजे समस्या सोडवण्याच्या पद्धती वापरल्या जातात.

रासायनिक गतीशास्त्राशी संबंधित भौतिक-रासायनिक समस्या सोडवताना आणि प्रायोगिक डेटावर प्रक्रिया करताना, अनेकदा विविध समीकरणे सोडवण्याची गरज निर्माण होते. काही समीकरणांचे अचूक निराकरण काही प्रकरणांमध्ये मोठ्या अडचणी सादर करते. या प्रकरणांमध्ये, आपण अंदाजे उपायांच्या पद्धती वापरू शकता, अचूकतेसह परिणाम प्राप्त करू शकता जे कार्य पूर्ण करते. अनेक पद्धती आहेत: स्पर्शिक पद्धत (न्यूटनची पद्धत), रेखीय इंटरपोलेशन पद्धत, पुनरावृत्ती पद्धत (पुनरावृत्ती) इ.

f(x)=0 हे समीकरण असू द्या आणि f(x) हे सतत फंक्शन आहे. आपण असे गृहीत धरू की a आणि b ची मूल्ये निवडणे शक्य आहे जसे की f(a) आणि f(b) भिन्न चिन्हे, उदाहरणार्थ f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

समीकरणाची मुळे ग्राफिकरित्या शोधणे. उच्च अंशांची समीकरणे सोडवण्यासाठी, ग्राफिकल पद्धत वापरणे सोयीचे आहे. समीकरण दिले जाऊ द्या:

x n + ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

जेथे a, b, … , p, q या संख्या दिल्या आहेत.

भौमितिक दृष्टिकोनातून, समीकरण

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

काही प्रकारचे वक्र प्रतिनिधित्व करते. अनियंत्रित x मूल्यांशी संबंधित y मूल्यांची गणना करून तुम्ही त्याचे कितीही बिंदू शोधू शकता. OX अक्षासह वक्र छेदनबिंदूचा प्रत्येक बिंदू या समीकरणाच्या मुळांपैकी एकाचे मूल्य देतो. म्हणून, समीकरणाची मुळे शोधणे हे OX अक्षासह संबंधित वक्राच्या छेदनबिंदूचे बिंदू निर्धारित करण्यासाठी खाली येते.

पुनरावृत्ती पद्धत. या पद्धतीमध्ये समीकरण f(x)=0 चे रूपांतर नवीन समीकरण x=j(x) मध्ये सोडवणे समाविष्ट आहे आणि, प्रथम अंदाजे x 1 दिल्यास, अनुक्रमे अधिक अचूक अंदाजे x 2 =j(x 1), x शोधणे समाविष्ट आहे. 3 =j(x 2) इ. प्रथम अंदाजे आणि समीकरणाचे मूळ |j"(x)| यांच्यातील मध्यांतरात, कोणत्याही प्रमाणात अचूकतेसह समाधान मिळवता येते.<1.

एक नॉनलाइनर समीकरण सोडवण्यासाठी खालील पद्धती वापरल्या जातात:

अ) अर्धा विभाजन पद्धत:

वास्तविक रूटचे अलगाव मध्यांतर नेहमी विभाजित करून कमी केले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, अर्ध्यामध्ये, फंक्शन f(x) चिन्ह बदलते मूळ अंतराच्या कोणत्या भागाच्या सीमारेषा ठरवते. मग परिणामी मध्यांतर पुन्हा दोन भागांमध्ये विभागले जाते, इ. प्रतिसादात साठवलेली दशांश स्थाने बदलत नाहीत तोपर्यंत ही प्रक्रिया सुरू राहते.

आम्ही मध्यांतर निवडतो ज्यामध्ये समाधान समाविष्ट आहे. आम्ही f(a) आणि f(b) जर f(a) > 0 आणि f(b) मोजतो< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 आणि f(c) > 0, नंतर a = c आणि b = b. अन्यथा, जर f(a)< 0 и f(c) >0 किंवा f(a) > 0 आणि f(c)< 0, то a = a и b = c.

ब) स्पर्शिक पद्धत (न्यूटनची पद्धत):

f(x) = 0 या समीकरणाचे खरे मूळ खंडावर वेगळे करू द्या. खंडावर x 0 अशी संख्या घेऊ ज्यासाठी f (x 0) चे चिन्ह f ’ (x 0) सारखे आहे. बिंदू M 0 वरील वक्र y = f(x) वर स्पर्शिका काढू. रूटचे अंदाजे मूल्य म्हणून, आपण या स्पर्शिकेच्या छेदनबिंदूचा ऑक्सिसा अक्षासह घेतो. मूळचे हे अंदाजे मूल्य सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते

बिंदू M 1 वर हे तंत्र दुसऱ्यांदा लागू केल्यास, आपल्याला मिळते

इ. अशा प्रकारे मिळवलेल्या अनुक्रम x 0, x 1, x 2, ... मध्ये इच्छित मूळ मर्यादा आहे. सर्वसाधारणपणे, ते खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

.

बीजगणितीय समीकरणांची रेखीय प्रणाली सोडवण्यासाठी, पुनरावृत्ती गॉस-सीडल पद्धत वापरली जाते. सामग्री आणि उष्णता संतुलनाची गणना म्हणून रासायनिक तंत्रज्ञानाच्या अशा समस्या रेषीय समीकरणांच्या निराकरण प्रणालीमध्ये कमी केल्या जातात.

पद्धतीचा सार असा आहे की साध्या परिवर्तनाद्वारे अज्ञात x 1, x 2, ..., x n अनुक्रमे 1.2, ..., n समीकरणांमधून व्यक्त केले जातात. अज्ञात x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0) चे प्रारंभिक अंदाजे सेट करा, x 1 या अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला ही मूल्ये बदला. आणि x 1 (1) ची गणना करा. नंतर x 2 च्या उजव्या बाजूला x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) ला बदला आणि x 2 (1), इ. शोधा. x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) मोजल्यानंतर, दुसरी पुनरावृत्ती केली जाते. x 1 (k), x 2 (k), ... मूल्ये x 1 (k-1), x 2 (k) या मूल्यांच्या जवळ येईपर्यंत पुनरावृत्ती प्रक्रिया चालू ठेवली जाते. -2), ....

रासायनिक समतोलाची गणना इत्यादीसारख्या रासायनिक तंत्रज्ञानाच्या समस्या नॉनलाइनर समीकरणांच्या निराकरण प्रणालीमध्ये कमी केल्या जातात. नॉनलाइनर समीकरणांच्या प्रणाली सोडवण्यासाठी पुनरावृत्ती पद्धती देखील वापरल्या जातात. जटिल समतोलाची गणना नॉनलाइनर बीजगणितीय समीकरणांच्या सोडवणुकीसाठी खाली येते.

साध्या पुनरावृत्ती पद्धतीचा वापर करून प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम रेखीय प्रणाली सोडवण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या गॉस-सीडल पद्धतीची आठवण करून देते.

न्यूटनच्या पद्धतीमध्ये साध्या पुनरावृत्ती पद्धतीपेक्षा जलद अभिसरण आहे. हे फंक्शन्स F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) च्या टेलर मालिकेत विस्तार करण्याच्या वापरावर आधारित आहे. या प्रकरणात, द्वितीय डेरिव्हेटिव्ह असलेल्या अटी टाकून दिल्या जातात.

मागील पुनरावृत्तीवर प्राप्त झालेल्या अज्ञात प्रणालीची अंदाजे मूल्ये 1, a 2, ...a n च्या समान असू द्या. Δx 1, Δx 2, ... Δx n या मूल्यांमध्ये वाढ शोधणे हे कार्य आहे, ज्यामुळे अज्ञातांची नवीन मूल्ये प्राप्त होतील:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = a n + Δx n.

समीकरणांच्या डाव्या बाजूंचा टेलर मालिकेत विस्तार करूया, स्वतःला रेखीय संज्ञांपर्यंत मर्यादित ठेवूया:

समीकरणांच्या डाव्या बाजू शून्याच्या समान असणे आवश्यक असल्याने, आम्ही उजव्या बाजूच्या बाजू शून्याशी समतुल्य करतो. आम्ही Δx वाढीसाठी रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली प्राप्त करतो.

F 1, F 2, … F n आणि त्यांच्या आंशिक डेरिव्हेटिव्हजची मूल्ये x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n वर मोजली जातात.

चला ही प्रणाली मॅट्रिक्सच्या स्वरूपात लिहू:

या फॉर्मच्या मॅट्रिक्स G च्या निर्धारकाला जेकोबियन म्हणतात. अशा मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाला जेकोबियन म्हणतात. प्रणालीचे अद्वितीय समाधान अस्तित्वात येण्यासाठी, ते प्रत्येक पुनरावृत्तीवर शून्य असणे आवश्यक आहे.

अशाप्रकारे, न्यूटनच्या पद्धतीचा वापर करून समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यामध्ये प्रत्येक पुनरावृत्तीवर जेकोबियन मॅट्रिक्स (आंशिक डेरिव्हेटिव्ह) निर्धारित करणे आणि प्रत्येक पुनरावृत्तीवर अज्ञातांच्या मूल्यांमध्ये Δх 1, Δх 2, ... Δх n ची वाढ निश्चित करणे समाविष्ट आहे. रेखीय बीजगणितीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे.

प्रत्येक पुनरावृत्तीवर जेकोबी मॅट्रिक्स शोधण्याची गरज दूर करण्यासाठी, सुधारित न्यूटन पद्धत प्रस्तावित आहे. ही पद्धत तुम्हाला मागील पुनरावृत्तीमध्ये प्राप्त केलेली F 1 , F 2 , ... , F n ही मूल्ये वापरून जेकोबियन मॅट्रिक्स दुरुस्त करण्यास अनुमती देते.

आम्ही हा विभाग d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 या सोप्या स्वरूपातील भिन्न समीकरणांच्या प्रणाली सोडविण्यास समर्पित करण्याचा निर्णय घेतला, ज्यामध्ये a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - काही वास्तविक संख्या. समीकरणांच्या अशा प्रणालींचे निराकरण करण्यासाठी सर्वात प्रभावी पद्धत म्हणजे एकत्रीकरण पद्धत. आम्ही विषयावरील उदाहरणाच्या समाधानाचा देखील विचार करू.

भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे समाधान x (t) आणि y (t) फंक्शन्सची जोडी असेल, जी प्रणालीच्या दोन्ही समीकरणांना ओळखांमध्ये बदलू शकते.

चला DE प्रणाली d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 एकत्रित करण्याच्या पद्धतीचा विचार करूया. पहिल्या समीकरणातून अज्ञात फंक्शन x (t) काढून टाकण्यासाठी सिस्टमच्या दुसऱ्या समीकरणातून x व्यक्त करू:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

2रे समीकरण संदर्भात वेगळे करू tआणि d x d t साठी त्याचे समीकरण सोडवा:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

आता आधीच्या गणनेचा निकाल सिस्टीमच्या पहिल्या समीकरणात बदलू.

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y - b (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

म्हणून आम्ही अज्ञात फंक्शन x (t) काढून टाकले आणि स्थिर गुणांकांसह 2 रा क्रमाचे एक रेखीय असमानता विभेदक समीकरण प्राप्त केले. चला या y (t) समीकरणाचे निराकरण करू आणि त्यास प्रणालीच्या 2ऱ्या समीकरणात बदलू. आम्ही शोधू x(t). हे समीकरण प्रणालीचे निराकरण पूर्ण करते असे आपण गृहीत धरू.

उदाहरण १

d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3 या भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण शोधा

उपाय

चला प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणाने सुरुवात करूया. x च्या सापेक्ष त्याचे निराकरण करूया:

x = d y d t - 2 y + 3

आता सिस्टीमचे दुसरे समीकरण वेगळे करू या, त्यानंतर आपण ते d x d t च्या संदर्भात सोडवू: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

आम्ही रिमोट कंट्रोल सिस्टमच्या 1ल्या समीकरणामध्ये गणना दरम्यान प्राप्त केलेल्या निकालाची जागा घेऊ शकतो:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

परिवर्तनांच्या परिणामस्वरुप, आम्हाला स्थिर गुणांक d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 सह 2 रा क्रमाचे एक रेखीय असमानता विभेदक समीकरण प्राप्त झाले. जर आपल्याला त्याचे सामान्य समाधान सापडले तर आपल्याला फंक्शन मिळेल y(t).

k 2 - 3 k + 2 = 0 या वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाच्या मुळांची गणना करून आपण संबंधित LOD y 0 चे सामान्य समाधान शोधू शकतो:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

आम्हाला मिळालेली मुळे खरी आणि वेगळी आहेत. या संदर्भात, LODE च्या सामान्य सोल्युशनमध्ये y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t असे स्वरूप असेल.

आता रेषीय असमानता विभेदक समीकरण y ~ साठी एक विशिष्ट उपाय शोधूया:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

समीकरणाची उजवी बाजू शून्य अंशाची बहुपदी आहे. याचा अर्थ असा की आपण y ~ = A या फॉर्ममध्ये विशिष्ट समाधान शोधू, जेथे A हा एक अनिर्धारित गुणांक आहे.

d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 या समानतेवरून आपण अनिश्चित गुणांक निश्चित करू शकतो:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

अशा प्रकारे, y ~ = 1 आणि y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . आम्हाला एक अज्ञात फंक्शन सापडले.

आता सापडलेल्या फंक्शनला DE सिस्टीमच्या दुसऱ्या समीकरणात बदलू आणि नवीन समीकरण सोडवू. x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

म्हणून आपण दुसरे अज्ञात कार्य x (t) = - C 1 · e t + 1 मोजले.

उत्तर: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

बाहेरचा हा एक उदास काळ आहे, पॉपलर फ्लफ उडत आहे आणि हे हवामान विश्रांतीसाठी अनुकूल आहे. शालेय वर्षात, प्रत्येकजण थकवा जमा करतो, परंतु उन्हाळ्याच्या सुट्ट्या/सुट्ट्यांच्या अपेक्षेने त्यांना परीक्षा आणि चाचण्या यशस्वीपणे उत्तीर्ण होण्यासाठी प्रेरणा दिली पाहिजे. तसे, सीझनमध्ये शिक्षक देखील कंटाळवाणे असतात, त्यामुळे लवकरच मी माझा मेंदू उतरवण्यासाठी वेळ काढेन. आणि आता कॉफी आहे, सिस्टम युनिटचा लयबद्ध आवाज, खिडकीवरील काही मेलेले डास आणि पूर्णपणे कार्यरत स्थिती... ...अरे, अरेरे... हा मूर्ख कवी.

टू द पॉइंट. कोणाला काळजी आहे, परंतु आज माझ्यासाठी 1 जून आहे आणि आम्ही जटिल विश्लेषणाची आणखी एक सामान्य समस्या पाहू - ऑपरेशनल कॅल्क्युलस पद्धतीचा वापर करून भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधणे. ते कसे सोडवायचे हे जाणून घेण्यासाठी तुम्हाला काय माहित असणे आणि सक्षम असणे आवश्यक आहे? सर्व प्रथम, अत्यंत शिफारस करतोधड्याचा संदर्भ घ्या. कृपया प्रास्ताविक भाग वाचा, विषयाचे सामान्य विधान, संज्ञा, नोटेशन आणि किमान दोन किंवा तीन उदाहरणे समजून घ्या. वस्तुस्थिती अशी आहे की डिफ्यूझर सिस्टमसह सर्वकाही जवळजवळ समान आणि अगदी सोपे होईल!

अर्थात, ते काय आहे हे समजून घेणे आवश्यक आहे भिन्न समीकरणांची प्रणाली, ज्याचा अर्थ सिस्टमसाठी एक सामान्य उपाय शोधणे आणि सिस्टमसाठी विशिष्ट उपाय शोधणे.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की भिन्न समीकरणांची प्रणाली "पारंपारिक" मार्गाने सोडविली जाऊ शकते: निर्मूलन करूनकिंवा वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण वापरणे. जेव्हा कार्य खालीलप्रमाणे तयार केले जाते तेव्हा ऑपरेशनल कॅल्क्युलसची पद्धत ज्यावर चर्चा केली जाईल ती रिमोट कंट्रोल सिस्टमला लागू होते:

विभेदक समीकरणांच्या एकसंध प्रणालीचे विशिष्ट समाधान शोधा , प्रारंभिक परिस्थितीशी संबंधित .

वैकल्पिकरित्या, प्रणाली विषम असू शकते - फंक्शन्सच्या स्वरूपात आणि उजव्या बाजूस "ॲड-ऑन वेट्स" सह:

परंतु, दोन्ही प्रकरणांमध्ये, आपल्याला स्थितीच्या दोन मूलभूत मुद्द्यांकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे:

1) याबद्दल आहे फक्त खाजगी समाधानाबद्दल.
2) प्रारंभिक स्थितीच्या कंसात आहेत काटेकोरपणे शून्य, आणि दुसरे काहीही नाही.

सामान्य अभ्यासक्रम आणि अल्गोरिदम सारखेच असेल ऑपरेशनल पद्धतीचा वापर करून भिन्न समीकरण सोडवणे. संदर्भ सामग्रीमधून आपल्याला तेच आवश्यक असेल मूळ आणि प्रतिमा सारणी.

उदाहरण १

, ,

उपाय:सुरुवात क्षुल्लक आहे: वापरणे Laplace ट्रान्सफॉर्म टेबलमूळपासून संबंधित प्रतिमांकडे वळूया. रिमोट कंट्रोल सिस्टमच्या समस्येमध्ये, हे संक्रमण सहसा सोपे असते:

टॅब्युलर सूत्र क्रमांक 1, 2 वापरून, प्रारंभिक स्थिती लक्षात घेऊन, आम्ही प्राप्त करतो:

"खेळांचे" काय करावे? मानसिकदृष्ट्या टेबलमधील "X' ला "I's" मध्ये बदला. समान परिवर्तन क्रमांक 1, 2 वापरून, प्रारंभिक स्थिती लक्षात घेऊन, आम्हाला आढळते:

मूळ समीकरणामध्ये सापडलेल्या प्रतिमांची जागा घेऊ :

आता डाव्या भागांमध्येसमीकरणे गोळा करणे आवश्यक आहे सर्वज्या अटींमध्ये किंवा उपस्थित आहे. योग्य भागांनासमीकरणे "औपचारिक" असणे आवश्यक आहे इतर प्रत्येकजणअटी:

पुढे, प्रत्येक समीकरणाच्या डाव्या बाजूला आम्ही ब्रॅकेटिंग करतो:

या प्रकरणात, खालील पहिल्या स्थानांवर आणि दुसऱ्या स्थानावर ठेवल्या पाहिजेत:

दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांची परिणामी प्रणाली सहसा सोडवली जाते क्रेमरच्या सूत्रांनुसार. चला सिस्टमच्या मुख्य निर्धारकाची गणना करूया:

निर्धारकाची गणना केल्यामुळे, एक बहुपद प्राप्त झाले.

महत्त्वाचे तंत्र!हे बहुपद अधिक चांगले आहे लगेचते घटक करण्याचा प्रयत्न करा. या हेतूंसाठी, चतुर्भुज समीकरण सोडवण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे , परंतु द्वितीय वर्ष प्रशिक्षित डोळा असलेल्या अनेक वाचकांना ते लक्षात येईल .

अशा प्रकारे, सिस्टमचे आमचे मुख्य निर्धारक हे आहेतः

सिस्टमचे आणखी वेगळे करणे, क्रेमरचे आभार, मानक आहे:

परिणामी आम्हाला मिळते सिस्टमचे ऑपरेटर समाधान:

प्रश्नातील कार्याचा फायदा असा आहे की अपूर्णांक सहसा सोपे असतात आणि समस्यांमधील अपूर्णांकांपेक्षा त्यांच्याशी व्यवहार करणे खूप सोपे आहे. ऑपरेशनल पद्धतीचा वापर करून DE वर विशिष्ट उपाय शोधणे. तुमच्या पूर्वसूचनेने तुम्हाला फसवले नाही - चांगले जुने अनिश्चित गुणांकांची पद्धत, ज्याच्या मदतीने आपण प्रत्येक अपूर्णांकाचे प्राथमिक अपूर्णांकांमध्ये विघटन करतो:

1) पहिल्या अपूर्णांकाशी व्यवहार करूया:

अशा प्रकारे:

2) आम्ही समान योजनेनुसार दुसरा अपूर्णांक मोडतो, परंतु इतर स्थिरांक (अपरिभाषित गुणांक) वापरणे अधिक योग्य आहे:

अशा प्रकारे:

मी डमींना खालील फॉर्ममध्ये विघटित ऑपरेटर सोल्यूशन लिहून ठेवण्याचा सल्ला देतो:
- यामुळे अंतिम टप्पा अधिक स्पष्ट होईल - इनव्हर्स लॅपेस ट्रान्सफॉर्म.

सारणीच्या उजव्या स्तंभाचा वापर करून, प्रतिमांपासून संबंधित मूळकडे जाऊया:

चांगल्या गणितीय शिष्टाचाराच्या नियमांनुसार, आम्ही निकाल थोडे व्यवस्थित करू:

उत्तर:

उत्तर मानक योजनेनुसार तपासले जाते, ज्याची धड्यात तपशीलवार चर्चा केली आहे. भिन्न समीकरणांची प्रणाली कशी सोडवायची?कार्यामध्ये एक मोठा प्लस जोडण्यासाठी नेहमी ते पूर्ण करण्याचा प्रयत्न करा.

उदाहरण २

ऑपरेशनल कॅल्क्युलस वापरून, दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितीशी संबंधित भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधा.
, ,

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. समस्येच्या अंतिम स्वरूपाचा अंदाजे नमुना आणि धड्याच्या शेवटी उत्तर.

विभेदक समीकरणांची एकसंध नसलेली प्रणाली सोडवणे अल्गोरिदमिकदृष्ट्या वेगळे नाही, तांत्रिकदृष्ट्या ते थोडे अधिक क्लिष्ट असेल:

उदाहरण ३

ऑपरेशनल कॅल्क्युलस वापरून, दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितीशी संबंधित भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधा.
, ,

उपाय:प्रारंभिक परिस्थिती लक्षात घेऊन, Laplace ट्रान्सफॉर्म टेबल वापरणे , मूळ पासून संबंधित प्रतिमांकडे जाऊया:

पण एवढेच नाही, समीकरणांच्या उजव्या बाजूस एकाकी स्थिरांक आहेत. जेव्हा स्थिरांक स्वतःहून पूर्णपणे एकटा असतो अशा परिस्थितीत काय करावे? याची चर्चा वर्गात आधीच झाली होती. ऑपरेशनल पद्धतीचा वापर करून DE कसे सोडवायचे. चला पुनरावृत्ती करूया: एकल स्थिरांक मानसिकदृष्ट्या एकाने गुणाकार केला पाहिजे आणि खालील लॅपेस ट्रान्सफॉर्म युनिट्सवर लागू केले जावे:

चला सापडलेल्या प्रतिमा मूळ प्रणालीमध्ये बदलूया:

आपण डावीकडे असलेल्या अटी हलवूया आणि उरलेल्या अटी उजव्या बाजूला ठेवूया:

डाव्या बाजूस आम्ही ब्रॅकेटिंग करू, त्याव्यतिरिक्त, आम्ही दुसऱ्या समीकरणाची उजवी बाजू एका सामान्य भाजकावर आणू:

चला सिस्टीमच्या मुख्य निर्धारकाची गणना करूया, हे विसरू नका की परिणामास ताबडतोब फॅक्टराइज करण्याचा प्रयत्न करणे उचित आहे:
, ज्याचा अर्थ प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

चला पुढे जाऊया:



अशा प्रकारे, सिस्टमचे ऑपरेटर समाधान आहे:

कधीकधी एक किंवा दोन्ही अपूर्णांक कमी केले जाऊ शकतात आणि कधीकधी इतके यशस्वीरित्या की आपल्याला काहीही विस्तृत करण्याची आवश्यकता नाही! आणि काही प्रकरणांमध्ये, तुम्हाला लगेच फ्रीबी मिळेल, तसे, धड्याचे खालील उदाहरण एक सूचक उदाहरण असेल.

अनिश्चित गुणांकांच्या पद्धतीचा वापर करून आम्ही प्राथमिक अपूर्णांकांची बेरीज मिळवतो.

चला पहिला अपूर्णांक खंडित करू:

आणि आम्ही दुसरा साध्य करतो:

परिणामी, ऑपरेटर सोल्यूशन आम्हाला आवश्यक असलेला फॉर्म घेते:

उजवा स्तंभ वापरणे मूळ आणि प्रतिमांची सारणीआम्ही इनव्हर्स लेप्लेस ट्रान्सफॉर्म करतो:

सिस्टमच्या ऑपरेटर सोल्यूशनमध्ये परिणामी प्रतिमा बदलूया:

उत्तर:खाजगी उपाय:

तुम्ही बघू शकता, विषम प्रणालीमध्ये एकसंध प्रणालीच्या तुलनेत अधिक श्रम-केंद्रित गणना करणे आवश्यक आहे. सायन्स आणि कोसाइनसह आणखी काही उदाहरणे पाहू या, आणि ते पुरेसे आहे, कारण जवळजवळ सर्व प्रकारच्या समस्या आणि समाधानाच्या बहुतेक बारकावे विचारात घेतल्या जातील.

उदाहरण ४

ऑपरेशनल कॅल्क्युलस पद्धतीचा वापर करून, दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितींसह भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधा,

उपाय:मी स्वतः या उदाहरणाचे विश्लेषण देखील करेन, परंतु टिप्पण्या केवळ विशेष क्षणांसाठीच असतील. मी असे गृहीत धरतो की तुम्ही सोल्यूशन अल्गोरिदममध्ये आधीच पारंगत आहात.

चला मूळ प्रतिमांपासून संबंधित प्रतिमांकडे जाऊया:

मूळ रिमोट कंट्रोल सिस्टममध्ये सापडलेल्या प्रतिमा बदलूया:

क्रॅमरची सूत्रे वापरून प्रणाली सोडवू:
, ज्याचा अर्थ प्रणालीमध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे.

परिणामी बहुपदी घटकबद्ध करता येत नाही. अशा परिस्थितीत काय करावे? पूर्णपणे काहीही नाही. हे देखील करेल.

परिणामी, सिस्टमचे ऑपरेटर समाधान आहे:

हे आहे भाग्यवान तिकीट! अनिश्चित गुणांकांची पद्धत वापरण्याची अजिबात गरज नाही! फक्त एकच गोष्ट आहे, टेबल ट्रान्सफॉर्मेशन लागू करण्यासाठी, आम्ही खालील फॉर्ममध्ये समाधान पुन्हा लिहितो:

चला प्रतिमांपासून संबंधित मूळकडे जाऊया:

सिस्टमच्या ऑपरेटर सोल्यूशनमध्ये परिणामी प्रतिमा बदलूया:

भिन्न समीकरणांची प्रणाली कशी सोडवायची?

असे गृहीत धरले जाते की वाचक आधीच भिन्न समीकरणे सोडविण्यात चांगला आहे, विशेषतः एकसंध द्वितीय क्रम समीकरणेआणि एकसंध द्वितीय क्रम समीकरणेस्थिर गुणांकांसह. विभेदक समीकरणांच्या प्रणालींमध्ये काहीही क्लिष्ट नाही आणि जर तुम्हाला वरील प्रकारच्या समीकरणांमध्ये सोयीस्कर असाल, तर सिस्टममध्ये प्रभुत्व मिळवणे कठीण होणार नाही.

भिन्न समीकरणांचे दोन मुख्य प्रकार आहेत:

- भिन्न समीकरणांच्या रेखीय एकसंध प्रणाली
- विभेदक समीकरणांची रेखीय एकसंध प्रणाली

आणि भिन्न समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचे दोन मुख्य मार्ग:

- निर्मूलन पद्धत. पद्धतीचा सार असा आहे की सोल्यूशन दरम्यान भिन्न समीकरणांची प्रणाली एका विभेदक समीकरणात कमी केली जाते.

- वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण वापरणे(तथाकथित यूलर पद्धत).

बहुसंख्य प्रकरणांमध्ये, प्रथम पद्धत वापरून भिन्न समीकरणांची प्रणाली सोडवणे आवश्यक आहे. माझ्या सर्व सरावांमध्ये दुसरी पद्धत खूपच कमी सामान्य आहे, मी त्याच्यासह जास्तीत जास्त 10-20 सिस्टम सोडवले आहेत. पण आपण या लेखाच्या शेवटच्या परिच्छेदात याचाही थोडक्यात विचार करू.

सामग्रीच्या सैद्धांतिक अपूर्णतेबद्दल मी ताबडतोब माफी मागतो, परंतु मी धड्यात फक्त तीच कार्ये समाविष्ट केली आहेत जी प्रत्यक्षात व्यवहारात येऊ शकतात. येथे दर पाच वर्षांनी एकदा उल्कावर्षावात पडणारी एखादी गोष्ट तुम्हाला सापडण्याची शक्यता नाही आणि अशा आश्चर्यांसह तुम्ही विशेष डिफ्यूझर विटांकडे वळले पाहिजे.

भिन्न समीकरणांच्या रेखीय एकसंध प्रणाली

विभेदक समीकरणांची सर्वात सोपी एकसंध प्रणाली खालील फॉर्म आहे:

वास्तविक, जवळजवळ सर्व व्यावहारिक उदाहरणे अशा प्रणालीपुरती मर्यादित आहेत =)

तिथे काय आहे?

- ही संख्या आहेत (संख्यात्मक गुणांक). सर्वात सामान्य संख्या. विशेषतः, एक, अनेक किंवा सर्व गुणांक शून्य असू शकतात. परंतु अशा भेटवस्तू क्वचितच दिल्या जातात, म्हणून संख्या बहुतेक वेळा शून्याच्या समान नसते.

आणि ही अज्ञात फंक्शन्स आहेत. स्वतंत्र व्हेरिएबल म्हणून कार्य करणारे चल "सामान्य विभेदक समीकरणातील X सारखे" आहे.

आणि अज्ञात फंक्शन्सचे पहिले डेरिव्हेटिव्ह आहेत आणि, अनुक्रमे.

भिन्न समीकरणांची प्रणाली सोडवणे म्हणजे काय?

याचा अर्थ शोधणे अशाकार्ये आणि ते समाधानी पहिला आणि दुसरा दोन्हीप्रणालीचे समीकरण. जसे आपण पाहू शकता, तत्त्व परंपरागत सारखेच आहे रेखीय समीकरणांची प्रणाली. फक्त तेथे मुळे संख्या आहेत आणि येथे ती कार्ये आहेत.

सापडलेले उत्तर फॉर्ममध्ये लिहिलेले आहे भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीचे सामान्य समाधान:

कुरळे कंसात!ही कार्ये "एका हार्नेसमध्ये" आहेत.

रिमोट कंट्रोल सिस्टमसाठी, आपण कॉची समस्या सोडवू शकता, म्हणजेच शोधा प्रणालीचे विशिष्ट समाधान, दिलेल्या प्रारंभिक अटी पूर्ण करणे. प्रणालीचे एक विशिष्ट समाधान देखील कुरळे ब्रेसेससह लिहिलेले आहे.

खालीलप्रमाणे प्रणाली अधिक संक्षिप्तपणे पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:

परंतु पारंपारिकपणे, भिन्नतेमध्ये लिहिलेले व्युत्पन्न असलेले समाधान अधिक सामान्य आहे, म्हणून कृपया खालील नोटेशनची त्वरित सवय करा:
आणि – प्रथम ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह्ज;
आणि सेकंड ऑर्डर डेरिव्हेटिव्ह आहेत.

उदाहरण १

भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीसाठी कॉची समस्या सोडवा सुरुवातीच्या अटींसह, .

उपाय:समस्यांमध्ये, सिस्टमला बहुतेकदा प्रारंभिक परिस्थितींचा सामना करावा लागतो, म्हणून या धड्यातील जवळजवळ सर्व उदाहरणे कॉची समस्येची असतील. परंतु हे महत्त्वाचे नाही, कारण तरीही मार्गात एक सामान्य उपाय शोधावा लागेल.

चला सिस्टम सोडवू निर्मूलन करून. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की पद्धतीचे सार म्हणजे सिस्टमला एका भिन्न समीकरणापर्यंत कमी करणे. आणि मला आशा आहे की तुम्ही विभेदक समीकरणे चांगल्या प्रकारे सोडवाल.

समाधान अल्गोरिदम मानक आहे:

१) घ्या प्रणालीचे दुसरे समीकरणआणि आम्ही त्यातून व्यक्त करतो:

आपल्याला हे समीकरण सोल्यूशनच्या शेवटी आवश्यक असेल आणि मी ते तारकाने चिन्हांकित करेन. पाठ्यपुस्तकांमध्ये, असे घडते की ते 500 नोटेशन्समध्ये येतात आणि नंतर ते संदर्भ देतात: “सूत्रानुसार (253) ...”, आणि हे सूत्र कुठेतरी 50 पृष्ठे मागे पहा. मी स्वतःला एका चिन्हापुरते मर्यादित करेन (*).

2) परिणामी समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना फरक करा:

"स्ट्रोक" सह प्रक्रिया यासारखी दिसते:

हे महत्त्वाचे आहे की हा साधा मुद्दा स्पष्ट आहे; मी त्यावर अधिक विचार करणार नाही.

3) चला बदलू आणि प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणात:

आणि जास्तीत जास्त सरलीकरण करूया:

परिणाम सर्वात सामान्य गोष्ट आहे एकसंध द्वितीय क्रम समीकरणस्थिर गुणांकांसह. "स्ट्रोक" सह हे असे लिहिले आहे: .

- भिन्न वास्तविक मुळे प्राप्त होतात, म्हणून:
.

एक फंक्शन सापडले आहे, अर्धवट मागे.

होय, कृपया लक्षात घ्या की आम्हाला "चांगले" भेदभावाचे वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण मिळाले आहे, याचा अर्थ आम्ही प्रतिस्थापन आणि सरलीकरणात काहीही गोंधळ केला नाही.

४) फंक्शनसाठी जाऊ या. हे करण्यासाठी, आम्ही आधीच सापडलेले कार्य घेतो आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधा. आम्ही याद्वारे फरक करतो:

चला पर्याय घेऊ आणि समीकरणात (*):

किंवा थोडक्यात:

5) दोन्ही कार्ये सापडली आहेत, चला सिस्टमचे सामान्य समाधान लिहू:

उत्तर:खाजगी उपाय:

प्राप्त उत्तर तपासणे खूप सोपे आहे, सत्यापन तीन चरणांमध्ये केले जाते:

1) सुरुवातीच्या अटी प्रत्यक्षात पूर्ण झाल्या आहेत का ते तपासा:

दोन्ही प्रारंभिक अटी समाधानी आहेत.

२) सापडलेले उत्तर प्रणालीचे पहिले समीकरण पूर्ण करते का ते तपासू.

आम्ही उत्तरावरून फंक्शन घेतो आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधा:

चला पर्याय घेऊ , आणि प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणात:

योग्य समानता प्राप्त झाली आहे, म्हणजे सापडलेले उत्तर प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणाचे समाधान करते.

३) उत्तर प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणाचे समाधान करते का ते तपासू

आम्ही उत्तरातून फंक्शन घेतो आणि त्याचे व्युत्पन्न शोधतो:

चला पर्याय घेऊ , आणि प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणात:

योग्य समानता प्राप्त झाली आहे, याचा अर्थ असा होतो की सापडलेले उत्तर प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणाचे समाधान करते.

चेक पूर्ण झाला. काय तपासले आहे? सुरुवातीच्या अटींच्या पूर्ततेची पडताळणी करण्यात आली आहे. आणि, सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, वस्तुस्थिती दर्शविली आहे की विशिष्ट उपाय सापडला आहे समाधानी प्रत्येकालामूळ प्रणालीचे समीकरण .

त्याचप्रमाणे, आपण सामान्य उपाय तपासू शकता , चेक आणखी लहान असेल, कारण सुरुवातीच्या अटी पूर्ण झाल्या आहेत की नाही हे तपासण्याची गरज नाही.

आता सोडवलेल्या प्रणालीकडे परत जाऊ आणि काही प्रश्न विचारू. समाधानाची सुरुवात अशी झाली: आम्ही प्रणालीचे दुसरे समीकरण घेतले आणि त्यातून व्यक्त केले. “X” नव्हे तर “Y” व्यक्त करणे शक्य होते का? जर आपण व्यक्त केले तर हे आपल्याला काहीही देणार नाही - उजवीकडील या अभिव्यक्तीमध्ये "y" आणि "x" दोन्ही आहेत, म्हणून आम्ही व्हेरिएबलपासून मुक्त होऊ शकणार नाही आणि सिस्टमचे समाधान कमी करू शकणार नाही. एका विभेदक समीकरणाच्या समाधानासाठी.

प्रश्न दोन. दुसऱ्यापासून नव्हे तर सिस्टमच्या पहिल्या समीकरणापासून सोडवणे सुरू करणे शक्य होते का? करू शकतो. चला प्रणालीचे पहिले समीकरण पाहू: . त्यामध्ये आमच्याकडे दोन "X's" आणि एक "Y" आहेत, म्हणून "Y" द्वारे "X" द्वारे काटेकोरपणे व्यक्त करणे आवश्यक आहे: . पुढे पहिले व्युत्पन्न आहे: . मग आपण पर्याय पाहिजे आणि प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणात. समाधान पूर्णपणे समतुल्य असेल, या फरकासह प्रथम आपण फंक्शन शोधू आणि नंतर.

आणि फक्त दुसऱ्या पद्धतीसाठी स्वतंत्र समाधानासाठी एक उदाहरण असेल:

उदाहरण २

विभेदक समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट समाधान शोधा जे दिलेल्या प्रारंभिक अटी पूर्ण करतात.

धड्याच्या शेवटी दिलेल्या नमुना सोल्युशनमध्ये, पहिल्या समीकरणातून व्यक्त केले जाते आणि संपूर्ण नृत्य या अभिव्यक्तीपासून सुरू होते. नमुना न पाहता स्वतःच मिरर सोल्यूशन बनवण्याचा प्रयत्न करा, पॉइंट बाय पॉइंट.

तुम्ही उदाहरण क्रमांक १ च्या मार्गावर देखील जाऊ शकता - दुसऱ्या समीकरणातून, एक्सप्रेस (लक्षात ठेवा की ते "x" आहे जे व्यक्त केले पाहिजे). परंतु ही पद्धत कमी तर्कसंगत आहे, कारण आम्ही एका अपूर्णांकासह संपलो, जे पूर्णपणे सोयीस्कर नाही.

विभेदक समीकरणांची रेखीय एकसमान प्रणाली

जवळजवळ समान, फक्त उपाय किंचित लांब असेल.

विभेदक समीकरणांची एकसंध प्रणाली, ज्यामध्ये बहुतेक प्रकरणांमध्ये तुम्हाला समस्या येऊ शकतात, त्याचे खालील स्वरूप आहे:

एकसंध प्रणालीच्या तुलनेत, प्रत्येक समीकरणामध्ये "te" वर अवलंबून एक विशिष्ट कार्य अतिरिक्तपणे जोडले जाते. फंक्शन्स स्थिरांक असू शकतात (आणि त्यापैकी किमान एक शून्याच्या समान नाही), घातांक, साइन्स, कोसाइन इ.

उदाहरण ३

दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितीशी संबंधित रेखीय विभेदक समीकरणांच्या प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधा

उपाय:विभेदक समीकरणांची एक रेखीय असमानता प्रणाली दिली जाते; आम्ही वापरतो निर्मूलन पद्धत, तर सोल्यूशन अल्गोरिदम स्वतः पूर्णपणे संरक्षित आहे. बदलासाठी, मी पहिल्या समीकरणाने सुरुवात करेन.

1) प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणातून आपण व्यक्त करतो:

ही एक महत्त्वाची गोष्ट आहे, म्हणून मी ती पुन्हा तारांकित करेन. कंस न उघडणे चांगले आहे; तेथे अतिरिक्त अपूर्णांक का आहेत?

आणि पुन्हा लक्षात घ्या की हे "y" आहे जे पहिल्या समीकरणातून - दोन "X's" आणि स्थिरांक द्वारे व्यक्त केले जाते.

2) दोन्ही बाजूंनी फरक करा:

स्थिरांक (तीन) गायब झाला आहे, कारण स्थिरांकाचे व्युत्पन्न शून्य इतके आहे.

3) चला पर्याय घेऊ आणि प्रणालीच्या दुसऱ्या समीकरणात :

प्रतिस्थापनानंतर लगेच, अपूर्णांकांपासून मुक्त होण्याचा सल्ला दिला जातो, आम्ही समीकरणाचा प्रत्येक भाग 5 ने गुणाकार करतो:

आता आम्ही सरलीकरण करतो:

परिणाम झाला रेखीय एकसंध द्वितीय क्रम समीकरणस्थिर गुणांकांसह. हा, थोडक्यात, मागील परिच्छेदात चर्चा केलेल्या समीकरणांच्या एकसंध प्रणालीच्या सोल्यूशनमधील संपूर्ण फरक आहे.

टीप: तथापि, एकसंध प्रणालीमध्ये कधीकधी एकसंध समीकरण मिळू शकते.

संबंधित एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधू या:

चला वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण तयार करू आणि सोडवू:

- संयुग्मित जटिल मुळे प्राप्त होतात, म्हणून:
.

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची मुळे पुन्हा “चांगली” ठरली, याचा अर्थ आपण योग्य मार्गावर आहोत.

आम्ही फॉर्ममध्ये एकसंध समीकरणाचे विशिष्ट समाधान शोधतो.
चला प्रथम आणि द्वितीय व्युत्पन्न शोधूया:

एकसमान समीकरणाच्या डाव्या बाजूला बदलू या:

अशा प्रकारे:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की एक विशिष्ट समाधान तोंडीपणे सहजपणे निवडले जाते, आणि दीर्घ गणनांऐवजी ते लिहिणे अगदी स्वीकार्य आहे: "हे स्पष्ट आहे की विषम समीकरणाचे एक विशिष्ट समाधान:."

परिणामी:

४) आम्ही फंक्शन शोधत आहोत. प्रथम आम्हाला आधीच सापडलेल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न सापडते:

हे विशेषतः आनंददायी नाही, परंतु अशा डेरिव्हेटिव्ह्ज डिफ्यूझर्समध्ये आढळतात.

वादळ जोरात सुरू असून आता नववी लाट येणार आहे. डेकला दोरीने बांधा.

चला पर्याय घेऊ
आणि समीकरणात (*):

5) प्रणालीचे सामान्य समाधान:

6) सुरुवातीच्या परिस्थितीशी संबंधित विशिष्ट उपाय शोधा :

शेवटी, एक खाजगी उपाय:

तुम्हाला त्याचा आनंददायी अंत असलेली कहाणी पाहा, आता तुम्ही निर्भयपणे मंद सूर्याखाली निर्मळ समुद्रावर बोटीतून प्रवास करू शकता.

उत्तर:खाजगी उपाय:

तसे, जर तुम्ही ही प्रणाली दुसऱ्या समीकरणापासून सोडवण्यास सुरुवात केली, तर गणिते खूपच सोपी होतील (आपण प्रयत्न करू शकता), परंतु अनेक साइट अभ्यागतांनी अधिक कठीण गोष्टींचे विश्लेषण करण्यास सांगितले. तुम्ही कसे नाकारू शकता? =) आणखी गंभीर उदाहरणे असू द्या.

एक उदाहरण स्वतःहून सोडवणे सोपे आहे:

उदाहरण ४

दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितीशी संबंधित विभेदक समीकरणांच्या रेखीय असमानता प्रणालीचे विशिष्ट निराकरण शोधा

मी उदाहरण क्रमांक 1 चे उदाहरण वापरून ही समस्या सोडवली, म्हणजेच दुसऱ्या समीकरणातून “x” व्यक्त केला जातो. उपाय आणि उत्तर धड्याच्या शेवटी आहेत.

विचारात घेतलेल्या उदाहरणांमध्ये, मी भिन्न नोटेशन्स वापरल्या आणि भिन्न उपाय लागू केले हे योगायोगाने नव्हते. तर, उदाहरणार्थ, समान कार्यातील व्युत्पन्न तीन प्रकारे लिहिले गेले: . उच्च गणितामध्ये तुम्हाला सर्व प्रकारच्या स्किगल्सपासून घाबरण्याची गरज नाही, मुख्य गोष्ट म्हणजे सोल्यूशन अल्गोरिदम समजून घेणे.

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण पद्धत(युलेरियन पद्धत)

लेखाच्या सुरुवातीला नमूद केल्याप्रमाणे, वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण वापरून भिन्न समीकरणांची प्रणाली सोडवणे क्वचितच आवश्यक असते, म्हणून अंतिम परिच्छेदात मी फक्त एक उदाहरण विचारात घेईन.

उदाहरण ५

विभेदक समीकरणांची एक रेखीय एकसंध प्रणाली दिली

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण वापरून समीकरण प्रणालीचे सामान्य समाधान शोधा

उपाय:आम्ही समीकरणांची प्रणाली पाहतो आणि द्वितीय-क्रम निर्धारक तयार करतो:

मला वाटते की निर्धारक कोणत्या तत्त्वावर संकलित केले गेले हे प्रत्येकजण पाहू शकतो.

यासाठी, वर असलेल्या प्रत्येक संख्येवरून एक वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण तयार करू मुख्य कर्ण, काही पॅरामीटर वजा करा:

अंतिम प्रतीवर, अर्थातच, मी तपशीलवार वर्णन केलेले वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण त्वरित लिहावे, जेणेकरुन काय येते ते स्पष्ट होईल.

आम्ही निर्धारक विस्तृत करतो:

आणि आपल्याला चतुर्भुज समीकरणाची मुळे सापडतात:

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण असल्यास दोन भिन्न वास्तविक मुळे, नंतर भिन्न समीकरणांच्या प्रणालीच्या सामान्य समाधानाचे स्वरूप आहे:

आपल्याला घातांकातील गुणांक आधीच माहित आहेत, फक्त गुणांक शोधणे बाकी आहे

1) मूळचा विचार करा आणि त्यास वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणात बदला:

(तुम्हाला हे दोन निर्धारक देखील कोऱ्या कागदावर लिहिण्याची गरज नाही, परंतु ताबडतोब खाली तोंडी प्रणाली तयार करा)

निर्धारकाच्या संख्येचा वापर करून, आम्ही दोन अज्ञात समीकरणांसह दोन रेखीय समीकरणांची प्रणाली तयार करतो:

दोन्ही समीकरणांमधून समान समानता येते:

आता आपल्याला निवडण्याची आवश्यकता आहे किमानमूल्य , जसे की मूल्य पूर्णांक आहे. अर्थात, आपण सेट केले पाहिजे. आणि जर, तर

स्थिर गुणांकांसह सामान्य विभेदक समीकरण (SODE) च्या प्रणालीचे मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व

स्थिर गुणांकांसह रेखीय एकसंध SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

जेथे $y_(1)\left(x\उजवे),\; y_(2)\डावे(x\उजवे),\; \ldots,\; y_(n) \left(x\right)$ -- स्वतंत्र व्हेरिएबल $x$, गुणांक $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- आम्ही मॅट्रिक्स नोटेशनमध्ये दिलेल्या वास्तविक संख्यांचे प्रतिनिधित्व करतो:

1. आवश्यक फंक्शन्सचे मॅट्रिक्स $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. डेरिव्हेटिव्ह सोल्यूशन्सचे मॅट्रिक्स $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(ॲरे)\right)$;
3. SODE गुणांक मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) आणि (a_(12) ) आणि (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) आणि (\ldots ) आणि (a_(2n) ) \\ (\ldots ) आणि (\ldots ) आणि (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) आणि (\ldots ) आणि (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

आता, मॅट्रिक्स गुणाकाराच्या नियमावर आधारित, हा SODE $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ या मॅट्रिक्स समीकरणाच्या स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो.

स्थिर गुणांकांसह SODE सोडवण्याची सामान्य पद्धत

काही संख्यांचे मॅट्रिक्स असू द्या $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(ॲरे)\right)$.

SODE चे समाधान खालील स्वरूपात आढळते: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. मॅट्रिक्स स्वरूपात: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(ॲरे )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

येथून आम्हाला मिळते:

आता या SODE चे मॅट्रिक्स समीकरण हे फॉर्म दिले जाऊ शकते:

परिणामी समीकरण खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:

शेवटची समानता दर्शवते की $A$ मॅट्रिक्स वापरून $\alpha $ व्हेक्टरचे $k\cdot \alpha $ मध्ये रूपांतर होते. याचा अर्थ असा की $\alpha $ हा व्हेक्टर $A$ मॅट्रिक्सचा eigenvector आहे, जो eigenvalue $k$ शी संबंधित आहे.

$k$ ही संख्या $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) आणि (a_(12) ) आणि (\ldots ) आणि (a_(1n) ) या समीकरणावरून निश्चित केली जाऊ शकते. \\ ( a_(21) ) आणि (a_(22) -k) आणि (\ldots ) आणि (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) आणि (a_(n2) ) आणि (\ldots ) आणि (a_(nn) -k) \end(ॲरे)\right|=0$.

या समीकरणाला वैशिष्ट्य म्हणतात.

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची सर्व मुळे $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ भिन्न असू द्या. सिस्टममधून प्रत्येक मूल्य $k_(i) $ साठी $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) आणि (a_(12) ) & (\ldots ) आणि (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) आणि (a_(22) -k) आणि (\ldots ) आणि (a_(2n) ) \\ (\ldots ) आणि (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) आणि (a_(n2) ) आणि (\ldots ) आणि (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(ॲरे)\right)=0$ मूल्यांचे मॅट्रिक्स $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) परिभाषित केले जाऊ शकते \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

या मॅट्रिक्समधील मूल्यांपैकी एक यादृच्छिकपणे निवडले आहे.

शेवटी, मॅट्रिक्स स्वरूपात या प्रणालीचे समाधान खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(ॲरे)\right)=\ डावे(\begin(ॲरे)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right))) आणि (\alpha _(1)^(\left(2\उजवे)) ) & (\ ldots ) आणि (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right))) & (\alpha _(2)^ (\left(2\उजवीकडे)) ) & (\ldots) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right))) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots) & (\ alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

जेथे $C_(i) $ हे अनियंत्रित स्थिरांक आहेत.

कार्य

DE सिस्टम सोडवा $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.

आम्ही सिस्टम मॅट्रिक्स लिहितो: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

मॅट्रिक्स स्वरूपात, हा SODE खालीलप्रमाणे लिहिलेला आहे: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (ॲरे)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) आणि (4) \\ (4) आणि (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(ॲरे)\right)$.

आम्हाला वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण मिळते:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \ end(array)\right|=0$, म्हणजेच $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची मुळे आहेत: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

चला $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() ची गणना करण्यासाठी एक प्रणाली तयार करू. 1\ उजवीकडे)) ) \end(ॲरे)\right)$ $k_(1) =1$ साठी:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) आणि (4) \\ (4) आणि (5-k_(1) ) \ end(array)\right)\cdot \ डावीकडे(\begin(ॲरे)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (ॲरे)\उजवे)=0,\]

म्हणजेच, $\left(5-1\उजवे)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\उजवे) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ टाकल्यास, आम्हाला $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ मिळते.

चला $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() ची गणना करण्यासाठी एक प्रणाली तयार करू. 2\ उजवीकडे)) ) \end(ॲरे)\right)$ $k_(2) =9$ साठी:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) आणि (4) \\ (4) आणि (5-k_(2) ) \ end(array)\right)\cdot \ डावे(\begin(ॲरे)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (ॲरे)\उजवे)=0, \]

म्हणजेच, $\left(5-9\उजवे)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\उजवे) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ ठेवल्यास, आम्हाला $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ मिळते.

आम्ही मॅट्रिक्स स्वरूपात SODE चे समाधान मिळवतो:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \ end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) आणि (1) \ end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

नेहमीच्या फॉर्ममध्ये, SODE च्या सोल्यूशनचे स्वरूप आहे: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) ) \end(ॲरे )\right.$.