लॉगरिदमिक समीकरणे. लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची? लॉगरिदम: उदाहरणे आणि उपाय

सूचना

दिलेली लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती लिहा. जर अभिव्यक्ती 10 चे लॉगरिथम वापरत असेल, तर त्याचे संकेतन लहान केले जाईल आणि असे दिसते: lg b हा दशांश लॉगरिथम आहे. लॉगॅरिथमचा आधार म्हणून ई संख्या असल्यास, अभिव्यक्ती लिहा: ln b – नैसर्गिक लॉगरिथम. हे समजले जाते की कोणत्याहीचा परिणाम म्हणजे संख्या b प्राप्त करण्यासाठी आधार क्रमांक वाढवणे आवश्यक आहे.

दोन फंक्शन्सची बेरीज शोधताना, तुम्हाला फक्त त्यांना एक-एक करून वेगळे करणे आणि परिणाम जोडणे आवश्यक आहे: (u+v)" = u"+v";

दोन फंक्शनच्या गुणाकाराचे व्युत्पन्न शोधताना, पहिल्या फंक्शनचे व्युत्पन्न दुसऱ्याने गुणाकार करणे आणि पहिल्या फंक्शनने गुणाकार केलेल्या दुसऱ्या फंक्शनचे व्युत्पन्न जोडणे आवश्यक आहे: (u*v)" = u"*v +v"*u;

दोन फंक्शन्सच्या भागफलाचे व्युत्पन्न शोधण्यासाठी, डिव्हिडंड फंक्शनने गुणाकार केलेल्या डिव्हिडंडच्या डेरिव्हेटिव्हच्या गुणाकारातून वजा करणे आवश्यक आहे आणि डिव्हिडंडच्या फंक्शनने गुणाकार केलेल्या डेरिव्हेटिव्हचे गुणाकार आणि भागाकार करणे आवश्यक आहे. हे सर्व विभाजक फंक्शन स्क्वेअरद्वारे. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

जर जटिल फंक्शन दिले असेल, तर अंतर्गत फंक्शनचे व्युत्पन्न आणि बाह्य कार्याचे व्युत्पन्न गुणाकार करणे आवश्यक आहे. y=u(v(x)), नंतर y"(x)=y"(u)*v"(x) द्या.

वर प्राप्त केलेल्या परिणामांचा वापर करून, आपण जवळजवळ कोणत्याही कार्यामध्ये फरक करू शकता. तर चला काही उदाहरणे पाहूया:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
एका बिंदूवर व्युत्पन्न गणना करण्यात समस्या देखील आहेत. फंक्शन y=e^(x^2+6x+5) देऊ द्या, तुम्हाला x=1 बिंदूवर फंक्शनचे मूल्य शोधणे आवश्यक आहे.
1) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) दिलेल्या बिंदूवर फंक्शनच्या मूल्याची गणना करा y"(1)=8*e^0=8

विषयावरील व्हिडिओ

उपयुक्त सल्ला

प्राथमिक डेरिव्हेटिव्ह्जचे सारणी जाणून घ्या. यामुळे वेळेची लक्षणीय बचत होईल.

स्रोत:

• स्थिरांकाचे व्युत्पन्न

तर, तर्कहीन समीकरण आणि तर्कसंगत समीकरण यात काय फरक आहे? अज्ञात चल चिन्हाखाली असल्यास वर्गमूळ, नंतर समीकरण अतार्किक मानले जाते.

सूचना

अशी समीकरणे सोडवण्याची मुख्य पद्धत म्हणजे दोन्ही बाजू बांधण्याची पद्धत समीकरणेचौरस मध्ये. तथापि. हे नैसर्गिक आहे, सर्वप्रथम तुम्हाला चिन्हापासून मुक्त होणे आवश्यक आहे. ही पद्धत तांत्रिकदृष्ट्या कठीण नाही, परंतु काहीवेळा त्रास होऊ शकतो. उदाहरणार्थ, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7) आहे. दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून तुम्हाला 2x-5=4x-7 मिळेल. असे समीकरण सोडवणे अवघड नाही; x=1. पण १ नंबर दिला जाणार नाही समीकरणे. का? x च्या मूल्याऐवजी समीकरणामध्ये एक बदला आणि उजव्या आणि डाव्या बाजूंना अर्थ नसलेल्या अभिव्यक्ती असतील. हे मूल्य वर्गमूळासाठी वैध नाही. म्हणून, 1 हे बाह्य मूळ आहे, आणि म्हणून या समीकरणाला कोणतेही मूळ नाही.

तर, एक अपरिमेय समीकरण त्याच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण करण्याच्या पद्धती वापरून सोडवले जाते. आणि समीकरण सोडवल्यानंतर, बाह्य मुळे तोडणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, सापडलेल्या मुळे मूळ समीकरणात बदला.

आणखी एक विचारात घ्या.
2х+vх-3=0
अर्थात, हे समीकरण आधीच्या समीकरणाप्रमाणेच सोडवता येते. संयुगे हलवा समीकरणे, ज्यात वर्गमूळ नाही, उजव्या बाजूला आणि नंतर वर्गीकरण पद्धत वापरा. परिणामी तर्कसंगत समीकरण आणि मुळे सोडवा. पण आणखी एक, अधिक मोहक. नवीन व्हेरिएबल प्रविष्ट करा; vх=y. त्यानुसार, तुम्हाला 2y2+y-3=0 फॉर्मचे समीकरण मिळेल. म्हणजे नेहमीचेच चतुर्भुज समीकरण. त्याची मुळे शोधा; y1=1 आणि y2=-3/2. पुढे, दोन सोडवा समीकरणे vх=1; vх=-3/2. दुसऱ्या समीकरणाला मुळ नाही; मुळे तपासण्यास विसरू नका.

ओळख सोडवणे अगदी सोपे आहे. हे करण्यासाठी, निर्धारित लक्ष्य साध्य होईपर्यंत समान परिवर्तने करणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, साध्या अंकगणित ऑपरेशन्सच्या मदतीने, हातातील कार्य सोडवले जाईल.

तुम्हाला लागेल

• - कागद;
• - पेन.

सूचना

अशा परिवर्तनांपैकी सर्वात सोपी म्हणजे बीजगणितीय संक्षिप्त गुणाकार (जसे की बेरीजचा वर्ग (फरक), वर्गाचा फरक, बेरीज (फरक), बेरीजचा घन (फरक)). याव्यतिरिक्त, अनेक त्रिकोणमितीय सूत्रे आहेत, जी मूलत: समान ओळख आहेत.

खरंच, दोन पदांच्या बेरजेचा वर्ग हा पहिल्याच्या वर्गाच्या बरोबरीचा असतो आणि दुसऱ्याच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसऱ्याच्या वर्गाच्या दुप्पट असतो, म्हणजेच (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

दोन्ही सोपे करा

समाधानाची सामान्य तत्त्वे

व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट पद्धत

दुसऱ्या प्रकारचे अविभाज्य सोडवणे

एकीकरण मर्यादा बदलणे

या धड्यात आपण लॉगरिदमच्या मूलभूत सैद्धांतिक तथ्यांचे पुनरावलोकन करू आणि सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याचा विचार करू.

आपण मध्यवर्ती व्याख्या आठवूया - लॉगरिथमची व्याख्या. तो निर्णयाशी संबंधित आहे घातांकीय समीकरण. या समीकरणाला एकच मूळ आहे, त्याला b ते बेस a चे लॉगरिथम म्हणतात:

व्याख्या:

b ते बेस a चे लॉगरिदम हे b मिळवण्यासाठी a a ला वाढवणे आवश्यक आहे हे घातांक आहे.

आम्हाला तुमची आठवण करून द्या मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख.

अभिव्यक्ती (अभिव्यक्ती 1) हे समीकरणाचे मूळ आहे (अभिव्यक्ती 2). अभिव्यक्ती 1 मधून x ऐवजी एक्स ऐवजी एक्सप्रेशन 2 मध्ये मूल्य बदला आणि मुख्य लॉगरिदमिक ओळख मिळवा:

म्हणून आपण पाहतो की प्रत्येक मूल्य एका मूल्याशी संबंधित आहे. आम्ही b द्वारे x(), c द्वारे y दर्शवतो आणि अशा प्रकारे लॉगरिदमिक फंक्शन प्राप्त करतो:

उदाहरणार्थ:

लॉगरिदमिक फंक्शनचे मूलभूत गुणधर्म आठवूया.

येथे आपण पुन्हा एकदा लक्ष देऊ या, कारण लॉगॅरिथम अंतर्गत लॉगरिदमचा आधार म्हणून कठोरपणे सकारात्मक अभिव्यक्ती असू शकते.

तांदूळ. 1. वेगवेगळ्या बेससह लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख

वरील फंक्शनचा आलेख काळ्या रंगात दाखवला आहे. तांदूळ. 1. वितर्क शून्य ते अनंतापर्यंत वाढल्यास, फंक्शन वजा ते प्लस अनंतापर्यंत वाढते.

वरील फंक्शनचा आलेख लाल रंगात दाखवला आहे. तांदूळ. १.

या कार्याचे गुणधर्म:

व्याप्ती: ;

मूल्यांची श्रेणी: ;

फंक्शन त्याच्या संपूर्ण परिभाषेत मोनोटोनिक आहे. जेव्हा नीरस (कठोरपणे) वाढते, उच्च मूल्ययुक्तिवाद फंक्शनच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित आहे. जेव्हा मोनोटोनिकली (कडकपणे) कमी होते, तेव्हा युक्तिवादाचे मोठे मूल्य फंक्शनच्या लहान मूल्याशी संबंधित असते.

लॉगरिदमिक फंक्शनचे गुणधर्म विविध लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याची गुरुकिल्ली आहेत.

चला सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक समीकरणाचा विचार करू या;

लॉगरिदमचे बेस आणि लॉगरिदम स्वतः समान असल्याने, लॉगरिदम अंतर्गत फंक्शन्स देखील समान आहेत, परंतु आपण परिभाषाचे डोमेन चुकवू नये. लॉगरिदम अंतर्गत फक्त एक सकारात्मक संख्या दिसू शकते, आमच्याकडे आहे:

आम्हाला आढळले की फंक्शन्स f आणि g समान आहेत, म्हणून ODZ चे पालन करण्यासाठी कोणतीही एक असमानता निवडणे पुरेसे आहे.

अशा प्रकारे, आपल्याकडे एक मिश्रित प्रणाली आहे ज्यामध्ये समीकरण आणि असमानता आहे:

एक नियम म्हणून, असमानता सोडवणे आवश्यक नाही; समीकरण सोडवणे आणि असमानतेमध्ये सापडलेल्या मुळे बदलणे पुरेसे आहे, अशा प्रकारे तपासणी करणे.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी एक पद्धत तयार करूया:

लॉगरिदमच्या पाया समान करा;

समतुल्य सबलॉगरिथमिक फंक्शन्स;

तपासणी करा.

चला विशिष्ट उदाहरणे पाहू.

उदाहरण 1 - समीकरण सोडवा:

लॉगरिदमचे आधार सुरुवातीला समान असतात, आम्हाला उपलोगॅरिदमिक अभिव्यक्ती समतुल्य करण्याचा अधिकार आहे, ODZ बद्दल विसरू नका, आम्ही असमानता तयार करण्यासाठी प्रथम लॉगरिदम निवडतो:

उदाहरण 2 - समीकरण सोडवा:

हे समीकरण मागील समीकरणापेक्षा वेगळे आहे कारण लॉगरिदमचे बेस एकापेक्षा कमी आहेत, परंतु हे कोणत्याही प्रकारे समाधानावर परिणाम करत नाही:

चला मूळ शोधू आणि त्यास असमानतेमध्ये बदलू:

आम्हाला एक चुकीची असमानता प्राप्त झाली आहे, याचा अर्थ असा आहे की सापडलेले रूट ODZ चे समाधान करत नाही.

उदाहरण 3 - समीकरण सोडवा:

लॉगरिदमचे बेस सुरुवातीला समान असतात, आम्हाला उपलोगॅरिदमिक अभिव्यक्ती समान करण्याचा अधिकार आहे, ODZ बद्दल विसरू नका, आम्ही असमानता तयार करण्यासाठी दुसरा लॉगरिदम निवडतो:

चला मूळ शोधू आणि त्यास असमानतेमध्ये बदलू:

अर्थात, फक्त पहिले रूट ODZ चे समाधान करते.

लॉगरिदमिक समीकरणे. साध्या ते जटिल पर्यंत.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

लॉगरिदमिक समीकरण म्हणजे काय?

हे लॉगरिदमचे समीकरण आहे. मी आश्चर्यचकित आहे, बरोबर?) मग मी स्पष्टीकरण देईन. हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात (x') आणि त्यांच्यासह अभिव्यक्ती आढळतात लॉगरिदमच्या आत.आणि फक्त तिथेच! हे महत्त्वाचे आहे.

येथे काही उदाहरणे आहेत लॉगरिदमिक समीकरणे:

लॉग 3 x = लॉग 3 9

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

बरं, तुला समजलं... )

लक्ष द्या! X सह सर्वात वैविध्यपूर्ण अभिव्यक्ती स्थित आहेत केवळ लॉगरिदममध्ये.जर, अचानक, समीकरणात कुठेतरी X दिसला बाहेर, उदाहरणार्थ:

लॉग 2 x = 3+x,

हे एक समीकरण असेल मिश्र प्रकार. अशी समीकरणे सोडवण्याचे स्पष्ट नियम नाहीत. आम्ही सध्या त्यांचा विचार करणार नाही. तसे, लॉगरिदमच्या आत समीकरणे आहेत फक्त संख्या. उदाहरणार्थ:

मी काय सांगू? जर तुम्हाला हे आढळले तर तुम्ही भाग्यवान आहात! अंकांसह लॉगरिदम आहे काही संख्या.इतकंच. असे समीकरण सोडवण्यासाठी लॉगरिदमचे गुणधर्म जाणून घेणे पुरेसे आहे. विशेष नियमांचे ज्ञान, निराकरण करण्यासाठी विशेषतः रुपांतरित केलेली तंत्रे लॉगरिदमिक समीकरणे,येथे आवश्यक नाही.

तर, लॉगरिदमिक समीकरण काय आहे- आम्ही ते शोधून काढले.

लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची?

उपाय लॉगरिदमिक समीकरणे- खरं तर गोष्ट फार सोपी नाही. तर आमचा विभाग चार आहे... सर्व प्रकारच्या संबंधित विषयांवर योग्य प्रमाणात ज्ञान आवश्यक आहे. याव्यतिरिक्त, या समीकरणांमध्ये एक विशेष वैशिष्ट्य आहे. आणि हे वैशिष्ट्य इतके महत्त्वाचे आहे की लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना त्यास सुरक्षितपणे मुख्य समस्या म्हटले जाऊ शकते. आम्ही पुढील पाठात या समस्येचा तपशीलवार सामना करू.

सध्या, काळजी करू नका. आम्ही योग्य मार्गाने जाऊ साध्या ते जटिल पर्यंत.चालू विशिष्ट उदाहरणे. मुख्य गोष्ट म्हणजे सोप्या गोष्टींचा शोध घेणे आणि दुव्यांचे अनुसरण करण्यात आळशी होऊ नका, मी त्यांना एका कारणासाठी तेथे ठेवले आहे... आणि सर्व काही तुमच्यासाठी कार्य करेल. अपरिहार्यपणे.

चला सर्वात प्राथमिक, सोप्या समीकरणांसह प्रारंभ करूया. त्यांचे निराकरण करण्यासाठी, लॉगरिथमची कल्पना असणे उचित आहे, परंतु आणखी काही नाही. फक्त कल्पना नाही लॉगरिदमनिर्णय घ्या लॉगरिदमिकसमीकरणे - काही तरी विचित्र... खूप धाडसी, मी म्हणेन).

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे.

ही फॉर्मची समीकरणे आहेत:

1. लॉग 3 x = लॉग 3 9

2. लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 x

3. लॉग 7 (50x-1) = 2

उपाय प्रक्रिया कोणतेही लॉगरिदमिक समीकरणलॉगरिदम असलेल्या समीकरणापासून त्यांच्याशिवाय समीकरणामध्ये संक्रमणाचा समावेश होतो. सर्वात सोप्या समीकरणांमध्ये हे संक्रमण एका टप्प्यात केले जाते. म्हणूनच ते सर्वात सोपे आहेत.)

आणि अशी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे आश्चर्यकारकपणे सोपे आहे. तुम्हीच बघा.

पहिले उदाहरण सोडवू:

लॉग 3 x = लॉग 3 9

हे उदाहरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला जवळजवळ काहीही माहित असणे आवश्यक नाही, होय... पूर्णपणे अंतर्ज्ञान!) आम्हाला काय हवे आहे? विशेषतःहे उदाहरण आवडत नाही? काय-काय... मला लॉगरिदम आवडत नाहीत! बरोबर. तर आपण त्यांच्यापासून मुक्त होऊ या. आपण उदाहरणाकडे बारकाईने पाहतो आणि आपल्यामध्ये एक नैसर्गिक इच्छा निर्माण होते... अगदी अप्रतिम! लॉगरिदम पूर्णपणे घ्या आणि फेकून द्या. आणि जे चांगले आहे ते आहे करू शकतोकरा गणित परवानगी देते. लॉगरिदम अदृश्य होतातउत्तर आहे:

छान, बरोबर? हे नेहमी केले जाऊ शकते (आणि केले पाहिजे). या पद्धतीने लॉगरिदम काढून टाकणे हा लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याचा मुख्य मार्ग आहे. गणितात या ऑपरेशनला म्हणतात क्षमताअर्थात, अशा लिक्विडेशनसाठी नियम आहेत, परंतु ते कमी आहेत. लक्षात ठेवा:

तुम्ही लॉगरिदम कोणत्याही भीतीशिवाय काढून टाकू शकता जर त्यांच्याकडे असेल:

a) समान संख्यात्मक आधार

c) डावे-उजवे लॉगरिदम शुद्ध आहेत (कोणत्याही गुणांकांशिवाय) आणि उत्कृष्ट अलगावमध्ये आहेत.

मी शेवटचा मुद्दा स्पष्ट करतो. समीकरणात, चला म्हणूया

लॉग 3 x = 2लॉग 3 (3x-1)

लॉगरिदम काढले जाऊ शकत नाहीत. उजवीकडे असलेले दोघे त्याला परवानगी देत ​​नाहीत. गुणांक, तुम्हाला माहीत आहे... उदाहरणात

लॉग 3 x+लॉग 3 (x+1) = लॉग 3 (3+x)

हे समीकरण सक्षम करणे देखील अशक्य आहे. डाव्या बाजूला एकटा लॉगरिदम नाही. त्यापैकी दोन आहेत.

थोडक्यात, समीकरण असे दिसल्यास आणि फक्त याप्रमाणे तुम्ही लॉगरिदम काढू शकता:

लॉग अ (.....) = लॉग अ (.....)

कंसात, जेथे लंबवर्तुळ आहे, तेथे असू शकते कोणतीही अभिव्यक्ती.साधे, सुपर कॉम्प्लेक्स, सर्व प्रकारचे. काहीही असो. महत्त्वाची गोष्ट अशी आहे की लॉगरिदम काढून टाकल्यानंतर आपल्याकडे उरतो सोपे समीकरण.असे गृहीत धरले जाते की, रेखीय, चतुर्भुज, अपूर्णांक, घातांक आणि लॉगरिदमशिवाय इतर समीकरणे कशी सोडवायची हे तुम्हाला आधीच माहित आहे.)

आता आपण दुसरे उदाहरण सहजपणे सोडवू शकता:

लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 x

खरे तर मनाने ठरवले आहे. आम्ही सामर्थ्य देतो, आम्हाला मिळते:

बरं, हे खूप अवघड आहे का?) जसे आपण पाहू शकता, लॉगरिदमिकसमीकरणाच्या समाधानाचा भाग आहे केवळ लॉगरिदम काढून टाकण्यात...आणि मग त्यांच्याशिवाय उरलेल्या समीकरणाचे निराकरण होते. एक क्षुल्लक बाब.

चला तिसरे उदाहरण सोडवू:

लॉग 7 (50x-1) = 2

आम्ही पाहतो की डावीकडे लॉगरिथम आहे:

आपण हे लक्षात ठेवूया की हा लॉगरिदम एक अशी संख्या आहे ज्यासाठी सबलॉगॅरिथमिक अभिव्यक्ती मिळविण्यासाठी आधार वाढविला जाणे आवश्यक आहे (म्हणजे सात). (50x-1).

पण ही संख्या दोन आहे! Eq नुसार. त्यामुळे:

मुळात एवढेच. लॉगरिदम गायब झाले,जे शिल्लक आहे ते निरुपद्रवी समीकरण आहे:

आम्ही लॉगरिदमच्या अर्थावर आधारित हे लॉगरिदमिक समीकरण सोडवले. लॉगरिदम काढून टाकणे अजून सोपे आहे का?) मी सहमत आहे. तसे, जर तुम्ही दोन मधून लॉगरिदम बनवले तर तुम्ही हे उदाहरण एलिमिनेशनद्वारे सोडवू शकता. कोणतीही संख्या लॉगरिदम बनवता येते. शिवाय, ज्या प्रकारे आपल्याला त्याची आवश्यकता आहे. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि (विशेषतः!) असमानता सोडवण्यासाठी एक अतिशय उपयुक्त तंत्र.

नंबरवरून लॉगरिदम कसा बनवायचा हे माहित नाही!? हे ठीक आहे. कलम 555 या तंत्राचे तपशीलवार वर्णन करते. तुम्ही त्यात प्रभुत्व मिळवू शकता आणि त्याचा पुरेपूर वापर करू शकता! हे मोठ्या प्रमाणात त्रुटींची संख्या कमी करते.

चौथे समीकरण पूर्णपणे समान पद्धतीने सोडवले जाते (व्याख्यानुसार):

बस्स.

चला हा धडा सारांशित करूया. आम्ही उदाहरणे वापरून सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक समीकरणांचे निराकरण पाहिले. हे फार महत्वाचे आहे. आणि केवळ चाचण्या आणि परीक्षांमध्ये अशी समीकरणे दिसून येतात म्हणून नाही. वस्तुस्थिती अशी आहे की सर्वात वाईट आणि गुंतागुंतीची समीकरणे देखील अगदी सोप्यापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे!

वास्तविक, सर्वात सोपी समीकरणे हा सोल्यूशनचा अंतिम भाग आहे कोणतेहीसमीकरणे आणि हा अंतिम भाग काटेकोरपणे समजून घेतला पाहिजे! आणि आणखी एक गोष्ट. हे पान शेवटपर्यंत नक्की वाचा. तिथे एक आश्चर्य आहे...)

आता आपण स्वतःच ठरवू. चला चांगले होऊया, म्हणून बोलूया...)

समीकरणांचे मूळ (किंवा मुळांची बेरीज, अनेक असल्यास) शोधा:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

लॉग 2 (x 2 +32) = लॉग 2 (12x)

लॉग 16 (0.5x-1.5) = 0.25

लॉग 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

लॉग 2 (14x) = लॉग 2 7 + 2

उत्तरे (अस्वस्थ, अर्थातच): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

काय, सर्वकाही कार्य करत नाही? घडते. काळजी करू नका! कलम 555 या सर्व उदाहरणांचे निराकरण स्पष्ट आणि तपशीलवारपणे स्पष्ट करते. आपण निश्चितपणे ते बाहेर आकृती कराल. आपण उपयुक्त व्यावहारिक तंत्रे देखील शिकाल.

सर्व काही काम केले!? "एक डावीकडे" ची सर्व उदाहरणे?) अभिनंदन!

कटू सत्य तुमच्यासमोर उघड करण्याची वेळ आली आहे. या उदाहरणांचे यशस्वी निराकरण इतर सर्व लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यात यशाची हमी देत ​​नाही. अगदी साधेसुधे सारखे. अरेरे.

वस्तुस्थिती अशी आहे की कोणत्याही लॉगरिदमिक समीकरणाचे समाधान (अगदी अगदी प्राथमिक!) असते दोन समान भाग.समीकरण सोडवणे आणि ODZ सह कार्य करणे. आम्ही एक भाग पार पाडला आहे - समीकरण स्वतः सोडवणे. ते इतके कठीण नाहीबरोबर?

या धड्यासाठी, मी खास उदाहरणे निवडली ज्यात DL उत्तरावर कोणत्याही प्रकारे परिणाम करत नाही. पण प्रत्येकजण माझ्यासारखा दयाळू नाही, बरोबर?...)

म्हणून, इतर भागामध्ये प्रभुत्व मिळवणे अत्यावश्यक आहे. ODZ. लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना ही मुख्य समस्या आहे. आणि ते कठीण आहे म्हणून नाही - हा भाग पहिल्यापेक्षा अगदी सोपा आहे. पण कारण लोक फक्त ODZ बद्दल विसरतात. किंवा त्यांना माहीत नाही. किंवा दोन्ही). आणि ते निळ्यातून पडतात...

पुढील धड्यात आपण या समस्येचा सामना करू. मग तुम्ही आत्मविश्वासाने निर्णय घेऊ शकता कोणतेहीसाधी लॉगरिदमिक समीकरणे आणि बऱ्यापैकी ठोस कार्यांकडे जा.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

लॉगरिदमिक समीकरणे. आम्ही गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग बी मधील समस्यांचा विचार करत आहोत. “”, “” या लेखातील काही समीकरणांचे निराकरण आम्ही आधीच तपासले आहे. या लेखात आपण लॉगरिदमिक समीकरणे पाहू. मी लगेच म्हणेन की युनिफाइड स्टेट परीक्षेत अशी समीकरणे सोडवताना कोणतेही जटिल परिवर्तन होणार नाही. ते साधे आहेत.

लॉगरिदमचे गुणधर्म जाणून घेण्यासाठी मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख जाणून घेणे आणि समजून घेणे पुरेसे आहे. कृपया लक्षात घ्या की ते सोडवल्यानंतर, तुम्हाला एक तपासणी करणे आवश्यक आहे - परिणामी मूल्य मूळ समीकरणात बदला आणि गणना करा, शेवटी तुम्हाला योग्य समानता मिळेल.

व्याख्या:

बेस b ते संख्येचा लॉगरिदम हा घातांक आहे.ज्यावर अ प्राप्त करण्यासाठी b वाढवणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ:

लॉग 3 9 = 2, 3 2 = 9 पासून

लॉगरिदमचे गुणधर्म:

लॉगरिदमची विशेष प्रकरणे:

समस्या सोडवू. पहिल्या उदाहरणात आपण एक तपासणी करू. भविष्यात, ते स्वतः तपासा.

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 3 (4–x) = 4

लॉग b a = x b x = a असल्याने, नंतर

३ ४ = ४ – x

x = ४ – ८१

x = – ७७

परीक्षा:

लॉग ३ (४–(–७७)) = ४

लॉग 3 81 = 4

3 4 = 81 बरोबर.

उत्तर:- ७७

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 2 (4 – x) = 7

लॉग 5 समीकरणाचे मूळ शोधा(4 + x) = 2

आम्ही मूळ लॉगरिदमिक ओळख वापरतो.

लॉग a b = x b x = a, नंतर

५ २ = ४ + x

x = 5 2 – 4

x = २१

परीक्षा:

लॉग 5 (4 + 21) = 2

लॉग 5 25 = 2

5 2 = 25 बरोबर.

उत्तर: २१

लॉग 3 (14 – x) = लॉग 3 5 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

खालील गुणधर्म घडतात, त्याचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: जर समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला समान आधार असलेले लॉगरिदम असतील तर आपण लॉगरिदमच्या चिन्हांखालील अभिव्यक्ती समान करू शकतो.

14 – x = 5

x=9

एक चेक करा.

उत्तरः ९

स्वतःसाठी ठरवा:

लॉग 5 (5 – x) = लॉग 5 3 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 4 (x + 3) = लॉग 4 (4x – 15).

जर log c a = log c b असेल तर a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

एक चेक करा.

उत्तरः ६

लॉग 1/8 (13 – x) = – 2 समीकरणाचे मूळ शोधा.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = १३ – ६४

x = – ५१

एक चेक करा.

एक लहान जोड - येथे मालमत्ता वापरली जाते

अंश ().

उत्तर: – ५१

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 1/7 (7 – x) = – 2

लॉग 2 (4 – x) = 2 लॉग 2 5 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

चला उजवी बाजू बदलूया. चला गुणधर्म वापरू:

log a b m = m∙ log a b

लॉग 2 (4 – x) = लॉग 2 5 2

जर log c a = log c b असेल तर a = b

४ – x = ५ २

४ – x = २५

x = – २१

एक चेक करा.

उत्तर:- २१

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 5 (5 – x) = 2 लॉग 5 3

लॉग 5 (x 2 + 4x) = लॉग 5 (x 2 + 11) समीकरण सोडवा

जर log c a = log c b असेल तर a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

एक चेक करा.

उत्तर: 2.75

स्वतःसाठी ठरवा:

लॉग 5 (x 2 + x) = लॉग 5 (x 2 + 10) समीकरणाचे मूळ शोधा.

लॉग 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 हे समीकरण सोडवा.

समीकरणाच्या उजव्या बाजूला फॉर्मची अभिव्यक्ती प्राप्त करणे आवश्यक आहे:

लॉग 2 (......)

आम्ही 1 ला बेस 2 लॉगरिथम म्हणून प्रस्तुत करतो:

1 = लॉग 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

लॉग 2 (2 – x) = लॉग 2 (2 – 3x) + लॉग 2 2

आम्हाला मिळते:

लॉग 2 (2 – x) = लॉग 2 2 (2 – 3x)

जर log c a = log c b असेल तर a = b असेल तर

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = ०.४

एक चेक करा.

उत्तर: 0.4

स्वतःसाठी ठरवा: पुढे तुम्हाला चतुर्भुज समीकरण सोडवायचे आहे. तसे,

मुळे 6 आणि – 4 आहेत.

रूट "-4" हा उपाय नाही, कारण लॉगॅरिथमचा पाया शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे आणि "– 4"ते समान आहे" – ५" उपाय रूट 6 आहे.एक चेक करा.

उत्तरः ६.

आर स्वतः खा:

समीकरण लॉग x –5 49 = 2 सोडवा. जर समीकरणात एकापेक्षा जास्त मूळ असतील तर लहान मूळसह उत्तर द्या.

तुम्ही पाहिल्याप्रमाणे, लॉगरिदमिक समीकरणांसह कोणतेही क्लिष्ट परिवर्तन नाहीनाही. लॉगरिथमचे गुणधर्म जाणून घेणे आणि ते लागू करण्यास सक्षम असणे पुरेसे आहे. IN युनिफाइड राज्य परीक्षा कार्येलॉगरिदमिक अभिव्यक्ती रूपांतरित करताना, अधिक गंभीर रूपांतरणे केली जातात आणि अधिक प्रगत समाधान कौशल्ये आवश्यक असतात. आम्ही अशी उदाहरणे पाहू, त्यांना चुकवू नका!तुम्हाला शुभेच्छा!!!

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख.

P.S: तुम्ही मला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगितल्यास मी आभारी राहीन.

परिचय

गणना वेगवान आणि सोपी करण्यासाठी लॉगरिदमचा शोध लावला गेला. लॉगॅरिथमची कल्पना, म्हणजे, संख्या समान बेसची शक्ती म्हणून व्यक्त करण्याची कल्पना मिखाईल स्टिफेलची आहे. पण स्टीफेलच्या काळात गणित इतके विकसित झाले नव्हते आणि लॉगरिथमची कल्पनाही विकसित झाली नव्हती. स्कॉटिश शास्त्रज्ञ जॉन नेपियर (1550-1617) आणि स्विस जॉबस्ट बुर्गी (1552-1632) यांनी 1614 मध्ये हे काम प्रकाशित करणारे प्रथम लॉगरिदम्सचा शोध लावला. "लोगॅरिथमच्या आश्चर्यकारक सारणीचे वर्णन" या शीर्षकाखाली, नेपियरचा लॉगरिदमचा सिद्धांत बऱ्यापैकी पूर्ण व्हॉल्यूममध्ये देण्यात आला होता, लॉगरिदमची गणना करण्याची पद्धत सर्वात सोपी दिली गेली होती, म्हणून लॉगरिदमच्या शोधात नेपियरचे गुण बुर्गीपेक्षा जास्त होते. बुर्गी यांनी नेपियर प्रमाणेच टेबलवर काम केले, परंतु त्यांना बर्याच काळासाठी गुप्त ठेवले आणि त्यांना फक्त 1620 मध्ये प्रकाशित केले. नेपियरने 1594 च्या सुमारास लॉगॅरिथमची कल्पना मांडली. जरी टेबल 20 वर्षांनंतर प्रकाशित झाले. सुरुवातीला त्याने त्याच्या लॉगरिदमला “कृत्रिम संख्या” म्हटले आणि त्यानंतरच या “कृत्रिम संख्या” ला एका शब्दात “लोगॅरिथम” म्हणण्याचा प्रस्ताव ठेवला, ज्याचा ग्रीकमधून अनुवादित अर्थ “सहसंबंधित संख्या” असा होतो, एक अंकगणिताच्या प्रगतीतून घेतला गेला आणि दुसरा अंकगणिताच्या प्रगतीवरून घेतला गेला. भौमितिक प्रगती विशेषतः त्याच्या प्रगतीसाठी निवडली. रशियन भाषेतील पहिली सारणी 1703 मध्ये प्रकाशित झाली. 18 व्या शतकातील एका अद्भुत शिक्षकाच्या सहभागाने. एल. एफ. मॅग्निटस्की. लॉगरिदमच्या सिद्धांताच्या विकासामध्ये महान मूल्यसेंट पीटर्सबर्गचे शिक्षणतज्ज्ञ लिओनहार्ड यूलर यांची कामे होती. लॉगरिदमला पॉवर वाढवण्याचे व्युत्क्रम मानणारे ते पहिले होते; त्यांनी "लोगॅरिथम बेस" आणि "मँटिसा" या संज्ञा 10 सह लॉगरिदम संकलित केल्या. दशांश सारण्या व्यावहारिक वापरासाठी अधिक सोयीस्कर आहेत. नेपियरच्या लॉगरिदमपेक्षा सोपे. म्हणून, दशांश लॉगरिदमला कधीकधी ब्रिग्ज लॉगरिदम म्हणतात. "कॅरेक्टरायझेशन" हा शब्द ब्रिग्जने आणला होता.

त्या दूरच्या काळात, जेव्हा ऋषींनी प्रथम अज्ञात प्रमाण असलेल्या समानतेबद्दल विचार करायला सुरुवात केली, तेव्हा कदाचित नाणी किंवा पाकीट नव्हते. परंतु तेथे ढीग, तसेच भांडी आणि टोपल्या होत्या, जे स्टोरेज कॅशेच्या भूमिकेसाठी योग्य होते जे अज्ञात संख्येने वस्तू ठेवू शकतात. मेसोपोटेमिया, भारत, चीन, ग्रीसच्या प्राचीन गणितीय समस्यांमध्ये, अज्ञात प्रमाणांनी बागेतील मोरांची संख्या, कळपातील बैलांची संख्या आणि मालमत्तेचे विभाजन करताना विचारात घेतलेल्या गोष्टींची संपूर्णता व्यक्त केली. लेखा शास्त्रात उत्तम प्रशिक्षित लेखक, अधिकारी आणि आरंभी गुप्त ज्ञानयाजकांनी अशा कार्यांचा यशस्वीपणे सामना केला.

आमच्यापर्यंत पोहोचलेले स्त्रोत सूचित करतात की प्राचीन शास्त्रज्ञांकडे अज्ञात प्रमाणांसह समस्या सोडवण्यासाठी काही सामान्य तंत्रे होती. तथापि, एकाही पॅपिरस किंवा मातीच्या टॅब्लेटमध्ये या तंत्रांचे वर्णन नाही. लेखकांनी अधूनमधून त्यांची संख्यात्मक गणने अधूनमधून दिली आहेत जसे की: “पाहा!”, “हे करा!”, “तुम्हाला योग्य सापडले.” या अर्थाने, अपवाद म्हणजे अलेक्झांड्रिया (तिसरे शतक) च्या ग्रीक गणितज्ञ डायओफँटसचे "अंकगणित" - त्यांच्या निराकरणाच्या पद्धतशीर सादरीकरणासह समीकरणे तयार करण्यासाठी समस्यांचा संग्रह.

तथापि, 9व्या शतकातील बगदादच्या शास्त्रज्ञाचे कार्य व्यापकपणे प्रसिद्ध झालेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठीचे पहिले मॅन्युअल होते. मुहम्मद बिन मुसा अल-ख्वारीझमी. या ग्रंथाच्या अरबी नावातील "अल-जबर" हा शब्द - "किताब अल-जबेर वाल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापना आणि विरोधाचे पुस्तक") - कालांतराने सुप्रसिद्ध शब्द "बीजगणित" मध्ये बदलला आणि कार्य अल-ख्वारिझ्मीने स्वतः समीकरण सोडवण्याच्या विज्ञानाच्या विकासाचा प्रारंभ बिंदू म्हणून काम केले.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता

1. लॉगरिदमिक समीकरणे

लॉगरिदम चिन्हाखाली किंवा त्याच्या पायावर अज्ञात असलेल्या समीकरणाला लॉगरिदमिक समीकरण म्हणतात.

सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे

लॉग a x = b . (1)

विधान 1. जर a > 0, a≠ 1, समीकरण (1) कोणत्याही वास्तविक साठी bएक अद्वितीय उपाय आहे x = a b .

उदाहरण 1. समीकरणे सोडवा:

a) लॉग 2 x= 3, ब) लॉग 3 x= -1, c)

उपाय. विधान 1 वापरून, आम्ही प्राप्त करतो a) x= 2 3 किंवा x= 8; ब) x= 3 -1 किंवा x= १/३ ; c)

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म सादर करू.

P1. मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

कुठे a > 0, a≠ 1 आणि b > 0.

P2. सकारात्मक घटकांच्या उत्पादनाचे लॉगरिदम या घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतके आहे:

लॉग a एन१· एन 2 = लॉग a एन 1 + लॉग a एन 2 (a > 0, a ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी द्या. जर एन१· एन 2 > 0, नंतर प्रॉपर्टी P2 फॉर्म घेते

लॉग a एन१· एन 2 = लॉग a |एन 1 | + लॉग a |एन 2 | (a > 0, a ≠ 1, एन१· एन 2 > 0).

P3. दोन धनात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम हा लाभांश आणि विभाजक यांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका असतो.

टिप्पणी द्या. जर

P4. धनात्मक संख्येच्या घाताचा लॉगरिदम घातांकाच्या गुणाकार आणि या संख्येच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचा असतो:

लॉग a एन k = kलॉग a एन (a > 0, a ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी द्या. जर k- सम संख्या ( k = 2s), ते

लॉग a एन 2s = 2sलॉग a |एन | (a > 0, a ≠ 1, एन ≠ 0).

P5. दुसर्या बेसवर जाण्यासाठी सूत्र:

विशेषतः जर एन = b, आम्हाला मिळते

P4 आणि P5 गुणधर्म वापरून, खालील गुणधर्म मिळवणे सोपे आहे

आणि, जर (5) मध्ये c- सम संख्या ( c = 2n), धरतो

लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मुख्य गुणधर्मांची यादी करू f (x) = लॉग a x :

1. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन म्हणजे सकारात्मक संख्यांचा संच.

2. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

3. केव्हा a > 1 लॉगरिदमिक कार्यकाटेकोरपणे वाढत आहे (0< x 1 < x 2लॉग a x 1 < loga x 2), आणि 0 वर< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2लॉग a x 1 > लॉग a x 2).

4.लॉग a 1 = 0 आणि लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. जर a> 1, तेव्हा लॉगरिदमिक फंक्शन ऋण असेल तेव्हा x(0;1) आणि सकारात्मक येथे x(1;+∞), आणि जर 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) आणि नकारात्मक येथे x (1;+∞).

6. जर a> 1, नंतर लॉगरिदमिक फंक्शन बहिर्गोल आहे, आणि जर a(0;1) - उत्तल खालच्या दिशेने.

लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना खालील विधाने (उदाहरणार्थ पहा) वापरली जातात.