थेल्सच्या प्रमेयावर अहवाल. थेल्सचे प्रमेय

द्या f (\ प्रदर्शन शैली f)- एका रेषेवरील बिंदूंमधील प्रक्षेपित पत्रव्यवहार l (\ प्रदर्शन शैली l)आणि सरळ m (\ डिस्प्लेस्टाइल m). मग रेषांचा संच काही शंकूच्या भागाच्या स्पर्शिकेचा संच असेल (शक्यतो अधोगती).

द्या f (\ प्रदर्शन शैली f)- शंकूचे प्रक्षेपित परिवर्तन. मग सरळ रेषांच्या संचाचा लिफाफा X f (X) (\displaystyle Xf(X))एक कोनिक असेल (शक्यतो अधोगती).

समांतर आणि secants बद्दल.

रशियन भाषेतील साहित्याच्या बाहेर, थॅलेसच्या प्रमेयाला कधीकधी प्लॅनिमेट्रीचे दुसरे प्रमेय म्हटले जाते, म्हणजे, वर्तुळाच्या व्यासाने कोरलेला कोन काटकोन असतो असे विधान. या प्रमेयाच्या शोधाचे श्रेय खरोखरच थेल्सला दिले जाते, जसे की प्रोक्लसने पुरावा दिला आहे.

फॉर्म्युलेशन

जर दोन ओळींपैकी एका ओळीवर एकापाठोपाठ अनेक समान रेषा घातल्या गेल्या असतील आणि त्यांच्या टोकांमधून समांतर रेषा काढल्या गेल्या असतील ज्या दुसऱ्या ओळीला छेदतात, तर ते दुसऱ्या ओळीवरील समान खंड कापतील.

अधिक सामान्य फॉर्म्युलेशन, याला देखील म्हणतात आनुपातिक विभाग प्रमेय

समांतर रेषांनी आनुपातिक विभागांना सेकंट्समध्ये कापले:

(\डिस्प्लेस्टाइल (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

• प्रमेयाला सेकंट्सच्या सापेक्ष स्थितीवर कोणतेही बंधन नाही (हे दोन्ही छेदणाऱ्या आणि समांतर रेषांसाठी सत्य आहे). सेकंट्सवरील विभाग कोठे आहेत हे देखील महत्त्वाचे नाही.

• नोट्स

थेल्सचे प्रमेय हे आनुपातिक विभागांच्या प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे, कारण समान खंड 1 च्या समानतेच्या गुणांकासह आनुपातिक विभाग मानले जाऊ शकतात.

सेकंट्सच्या बाबतीत पुरावा खंडांच्या असंबद्ध जोड्यांसह पर्यायाचा विचार करूया: कोन सरळ रेषांनी छेदू द्या A A 1 | |.

B B 1 |

| C C 1 || D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))आणि त्याच वेळी A B = C D (\ displaystyle AB=CD)समांतर रेषांच्या बाबतीत पुरावा चला डायरेक्ट करूआणि त्याच वेळी B.C.. कोन C C 1 | ABC आणिआणि त्याच वेळी BCDसमांतर रेषांच्या बाबतीत पुरावा समांतर रेषांसह आतील आडव्या दिशेने पडलेल्या समानआणि त्याच वेळी एबी. कोन C C 1 |सीडी D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))आणि त्याच वेळी आणि secant, आणि कोन समांतर रेषांसह आतील आडव्या दिशेने पडलेल्या समान = एबीआणि त्याच वेळी चला डायरेक्ट करू = B.C.. ■

एसीबी

CBD

A.C.

बी.डी

. मग, त्रिकोणांच्या समानतेच्या दुसऱ्या निकषानुसार, त्रिकोण DCBसमान आहेत. ते त्याचे पालन करते भिन्नता आणि सामान्यीकरण.

जर सेकंट्स समांतर असतील, तर दोन्ही सेकंट्सवरील सेगमेंट्स एकमेकांशी समान असणे आवश्यक आहे, अन्यथा हे विधान चुकीचे ठरते (काउंटरउदाहरण म्हणजे बेसच्या मध्यबिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेने छेदलेला ट्रॅपेझॉइड आहे).

हे प्रमेय नेव्हिगेशनमध्ये वापरले जाते: एका जहाजातून दुसऱ्या जहाजाकडे जाणारी दिशा कायम ठेवल्यास स्थिर वेगाने जाणाऱ्या जहाजांमध्ये टक्कर होणे अपरिहार्य असते.

सोलर्टिन्स्कीचा लेमा

खालील विधान सोलर्टिन्स्कीच्या लेमाशी दुहेरी आहे:

थॅलेसच्या प्रमेयाच्या बाबतीत, शंकू हा समांतर रेषांच्या दिशेशी संबंधित असणा-या अनंताचा बिंदू असेल.

हे विधान, यामधून, खालील विधानाचे मर्यादित प्रकरण आहे:

धड्याचा विषय

धड्याची उद्दिष्टे

• नवीन व्याख्यांसह परिचित व्हा आणि काही आधीच अभ्यासलेले लक्षात ठेवा.
• चौरसाचे गुणधर्म तयार करा आणि सिद्ध करा, त्याचे गुणधर्म सिद्ध करा.
• समस्या सोडवताना आकारांचे गुणधर्म लागू करायला शिका.
• विकासात्मक - विद्यार्थ्यांचे लक्ष, चिकाटी, चिकाटी विकसित करण्यासाठी, तार्किक विचार, गणितीय भाषण.
• शैक्षणिक - धड्याद्वारे, एकमेकांबद्दल लक्ष देण्याची वृत्ती जोपासा, कॉम्रेड्सचे ऐकण्याची क्षमता, परस्पर सहाय्य आणि स्वातंत्र्य निर्माण करा.

धड्याची उद्दिष्टे

• विद्यार्थ्यांच्या समस्या सोडवण्याच्या कौशल्यांची चाचणी घ्या.

पाठ योजना

1. ऐतिहासिक माहिती.
2. थेल्स एक गणितज्ञ म्हणून आणि त्यांची कामे.
3. हे लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे.

ऐतिहासिक पार्श्वभूमी

• सागरी नेव्हिगेशनमध्ये थेल्सचा प्रमेय अजूनही वापरला जातो की जर जहाजे एकमेकांच्या दिशेने जात असतील तर स्थिर वेगाने जाणाऱ्या जहाजांमध्ये टक्कर होणे अपरिहार्य आहे.

• रशियन भाषेतील साहित्याच्या बाहेर, थॅलेसच्या प्रमेयाला कधीकधी प्लॅनिमेट्रीचे दुसरे प्रमेय म्हटले जाते, म्हणजे वर्तुळाच्या व्यासावर आधारित कोन बरोबर असल्याचे विधान. या प्रमेयाच्या शोधाचे श्रेय खरंच थॅलेसला आहे, जसे प्रोक्लसने पुरावा दिला आहे.

• थेल्सने इजिप्तमध्ये भूमितीच्या मूलभूत गोष्टी शिकल्या.

त्याच्या लेखकाचे शोध आणि गुणवत्ते

तुम्हाला माहित आहे का की मिलेटसचे थेलेस हे ग्रीसचे ऋषी त्या काळातील सात सर्वात प्रसिद्ध लोकांपैकी एक होते. त्यांनी आयोनियन शाळेची स्थापना केली. थॅलेसने या शाळेत जो विचार मांडला तो सर्व गोष्टींचा एकता होता. ऋषींचा असा विश्वास होता की सर्व गोष्टींची उत्पत्ती एकच सुरुवात आहे.

थेल्स ऑफ मिलेटसची महान योग्यता म्हणजे वैज्ञानिक भूमितीची निर्मिती. ही महान शिकवण इजिप्शियन कलेच्या मोजमापातून वजावटी भूमिती तयार करण्यास सक्षम होती, ज्याचा आधार सामान्य आधार आहे.

भूमितीच्या प्रचंड ज्ञानाव्यतिरिक्त, थेल्स खगोलशास्त्रातही पारंगत होते. सूर्याच्या संपूर्ण ग्रहणाची भविष्यवाणी करणारा तो पहिला होता. पण २०१५ मध्ये हे घडले नाही आधुनिक जग, आणि परत 585 मध्ये, अगदी इ.स.पू.

थेल्स ऑफ मिलेटस हा माणूस होता ज्याला हे समजले होते की उर्सा मायनर नक्षत्राद्वारे उत्तर अचूकपणे निर्धारित केले जाऊ शकते. परंतु हा त्याचा शेवटचा शोध नव्हता, कारण तो वर्षाची लांबी अचूकपणे ठरवू शकला, त्याला तीनशे पासष्ट दिवसांत विभागू शकला आणि विषुववृत्ताची वेळ देखील स्थापित केली.

थेलेस खरं तर सर्वसमावेशक विकसित होते आणि शहाणा माणूस. तो एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, भौतिकशास्त्रज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ म्हणून प्रसिद्ध होता या व्यतिरिक्त, तो एक वास्तविक हवामानशास्त्रज्ञ देखील होता आणि ऑलिव्ह कापणीचा अचूक अंदाज लावण्यास सक्षम होता.

परंतु सर्वात उल्लेखनीय गोष्ट अशी आहे की थेल्सने कधीही आपले ज्ञान केवळ वैज्ञानिक आणि सैद्धांतिक क्षेत्रापुरतेच मर्यादित ठेवले नाही, तर सरावात त्याच्या सिद्धांतांचे पुरावे एकत्रित करण्याचा नेहमीच प्रयत्न केला. आणि सर्वात मनोरंजक गोष्ट अशी आहे की महान ऋषींनी त्यांच्या ज्ञानाच्या कोणत्याही एका क्षेत्रावर लक्ष केंद्रित केले नाही, त्यांच्या आवडीच्या विविध दिशा होत्या.

थॅलेस हे नाव तेव्हाही ऋषींचे घरगुती नाव बनले. ग्रीससाठी त्याचे महत्त्व आणि महत्त्व रशियासाठी लोमोनोसोव्हच्या नावाइतकेच मोठे होते. अर्थात, त्याच्या शहाणपणाचा वेगवेगळ्या प्रकारे अर्थ लावला जाऊ शकतो. परंतु आपण निश्चितपणे असे म्हणू शकतो की कल्पकता, व्यावहारिक कल्पकता आणि काही प्रमाणात अलिप्तपणा हे त्याचे वैशिष्ट्य होते.

मिलेटसचे थेल्स हे एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, तत्वज्ञानी, खगोलशास्त्रज्ञ होते, प्रवासाची आवड होती, एक व्यापारी आणि उद्योजक होता, व्यापारात गुंतलेला होता, तसेच एक चांगला अभियंता, मुत्सद्दी, द्रष्टा होता आणि राजकीय जीवनात सक्रियपणे भाग घेतला होता.

त्याने स्टाफ आणि सावलीचा वापर करून पिरॅमिडची उंची देखील निश्चित केली. आणि ते असे होते. एक चांगला सनी दिवस, थॅलेसने आपला स्टाफ सीमेवर ठेवला जिथे पिरॅमिडची सावली संपली. पुढे, त्याने त्याच्या स्टाफच्या सावलीची लांबी त्याच्या उंचीइतकी होईपर्यंत वाट पाहिली आणि पिरॅमिडच्या सावलीची लांबी मोजली. तर, असे दिसते की थॅलेसने फक्त पिरॅमिडची उंची निश्चित केली आणि हे सिद्ध केले की एका सावलीची लांबी दुसऱ्या सावलीच्या लांबीशी संबंधित आहे, ज्याप्रमाणे पिरॅमिडची उंची स्टाफच्या उंचीशी संबंधित आहे. खुद्द फारो अमासिसला याचाच फटका बसला.

थॅलेसचे आभार, त्या वेळी ज्ञात असलेले सर्व ज्ञान वैज्ञानिक स्वारस्याच्या क्षेत्रात हस्तांतरित केले गेले. ठराविक संकल्पनांवर प्रकाश टाकून वैज्ञानिक वापरासाठी योग्य अशा पातळीवर तो परिणाम पोहोचवू शकला. आणि कदाचित थेल्सच्या मदतीने प्राचीन तत्त्वज्ञानाचा पुढील विकास सुरू झाला.

थेल्सचे प्रमेय गणितात महत्त्वाची भूमिका बजावते. ती केवळ मध्येच प्रसिद्ध नव्हती प्राचीन इजिप्तआणि बॅबिलोन, परंतु इतर देशांमध्ये देखील आणि गणिताच्या विकासाचा आधार होता. होय आणि मध्ये दैनंदिन जीवन, इमारती, संरचना, रस्ते इत्यादींच्या बांधकामादरम्यान, थॅलेसच्या प्रमेयाशिवाय करू शकत नाही.

संस्कृतीत थेल्सचे प्रमेय

थेल्सचे प्रमेय केवळ गणितातच प्रसिद्ध झाले नाही, तर संस्कृतीलाही त्याची ओळख झाली. एके दिवशी, अर्जेंटिनाच्या संगीत समूह लेस लुथियर्स (स्पॅनिश) ने प्रेक्षकांना एक गाणे सादर केले, जे त्यांनी एका प्रसिद्ध प्रमेयाला समर्पित केले. लेस लुथियर्सच्या सदस्यांनी, त्यांच्या व्हिडिओ क्लिपमध्ये विशेषतः या गाण्यासाठी, आनुपातिक विभागांसाठी थेट प्रमेयाचे पुरावे दिले.

प्रश्न

1. कोणत्या रेषांना समांतर म्हणतात?
2. थेल्सचे प्रमेय प्रत्यक्ष व्यवहारात कुठे लागू होते?
3. थॅलेसचे प्रमेय काय सांगते?

वापरलेल्या स्त्रोतांची यादी

1. मुलांसाठी विश्वकोश. T.11. गणित/संपादक-इन-चीफ M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. "अविवाहित राज्य परीक्षा 2006. गणित. विद्यार्थ्यांच्या तयारीसाठी शैक्षणिक आणि प्रशिक्षण साहित्य / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "भूमिती, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक"

1. 
   सूत्रीकरण;
2. 
   पुरावा;

1. 
   आनुपातिक विभागांवर प्रमेय;
2. 
   Ceva चे प्रमेय;

1. 
   सूत्रीकरण;
2. 
   पुरावा;

1. 
   मेनेलॉसचे प्रमेय;

1. 
   सूत्रीकरण;
2. 
   पुरावा;

1. 
   समस्या आणि त्यांचे निराकरण;
2. 
   निष्कर्ष;
3. 
   वापरलेल्या स्त्रोतांची आणि साहित्याची यादी.

परिचय.

सर्व काही थोडे आवश्यक आहे

लक्षणीय होण्यासाठी...

I. सेवेरियनिन
हा निबंध प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आणि समस्या सोडवण्यासाठी समांतर रेषा पद्धतीचा वापर करण्यासाठी समर्पित आहे. आपण या पद्धतीकडे का वळतो? यामध्ये दि शैक्षणिक वर्षगणितातील शालेय ऑलिम्पियाडमध्ये, एक भौमितिक समस्या प्रस्तावित करण्यात आली होती, जी आम्हाला खूप कठीण वाटली. या समस्येमुळेच विभागांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्याच्या समस्या सोडवताना समांतर रेषांच्या पद्धतीचा अभ्यास आणि त्यावर प्रभुत्व मिळवण्याच्या कामाच्या सुरूवातीस चालना मिळाली.

पद्धतीची कल्पना सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयच्या वापरावर आधारित आहे. थेल्सच्या प्रमेयाचा अभ्यास आठव्या इयत्तेत केला जातो, त्याचे सामान्यीकरण आणि नवव्या आणि फक्त दहाव्या वर्गात “आकृतींची समानता” हा विषय प्रास्ताविक योजनेत, चेवा आणि मेनेलॉस या दोन महत्त्वाच्या प्रमेयांचा अभ्यास केला जातो, ज्याच्या मदतीने विभागांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्यावरील अनेक समस्या तुलनेने सहजपणे सोडवल्या जातात. म्हणून, मूलभूत शिक्षणाच्या पातळीवर आपण या क्षेत्रातील समस्यांची एक ऐवजी संकुचित श्रेणी सोडवू शकतो. शैक्षणिक साहित्य. जरी मूलभूत शालेय अभ्यासक्रमासाठी अंतिम प्रमाणपत्र आणि गणिताच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या वेळी, या विषयावरील समस्या (थेल्सचे प्रमेय. त्रिकोणांची समानता, समानता गुणांक. त्रिकोणांच्या समानतेची चिन्हे) परीक्षेच्या पेपरच्या दुसऱ्या भागात ऑफर केली जातात. आणि उच्च पातळीच्या जटिलतेशी संबंधित आहे.

ॲबस्ट्रॅक्टवर काम करण्याच्या प्रक्रियेत, या विषयावरील आपले ज्ञान अधिक सखोल करणे शक्य झाले. त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवर प्रमेयाचा पुरावा (प्रमेय यात समाविष्ट नाही शालेय अभ्यासक्रम) समांतर रेषांच्या पद्धतीवर आधारित आहे. बदल्यात, या प्रमेयाने Ceva आणि Menelaus च्या प्रमेये सिद्ध करण्याचा दुसरा मार्ग प्रस्तावित करणे शक्य केले. आणि परिणामी, आम्ही विभागांच्या लांबीची तुलना करणाऱ्या समस्यांच्या विस्तृत श्रेणीचे निराकरण कसे करावे हे शिकू शकलो. ही आमच्या कामाची प्रासंगिकता आहे.

सामान्यीकृत थेल्सचे प्रमेय.

सूत्रीकरण:

दिलेल्या दोन रेषांना छेदणाऱ्या समांतर रेषा या रेषांवरील आनुपातिक भाग कापतात.
दिले:

सरळ एसमांतर रेषा कापून ( ए 1 IN 1 , ए 2 IN 2 , ए 3 IN 3 ,…, ए n बी n) विभागांमध्ये ए 1 ए 2 , ए 2 ए 3 , …, ए n -1 ए n, आणि सरळ रेषा b- विभागांमध्ये IN 1 IN 2 , IN 2 IN 3 , …, IN n -1 IN n .

पुरावा:

उदाहरणार्थ, ते सिद्ध करूया

चला दोन प्रकरणांचा विचार करूया:

1 केस (Fig. b)

थेट aआणि त्याच वेळी bसमांतर मग चतुर्भुज

ए 1 ए 2 IN 2 IN 1 आणि त्याच वेळी ए 2 ए 3 IN 3 IN 2 - समांतरभुज चौकोन. त्यामुळेच

ए 1 ए 2 =IN 1 IN 2 आणि त्याच वेळी ए 2 ए 3 =IN 2 IN 3 , ज्यावरून ते त्याचे अनुसरण करते

केस 2 (चित्र c)

रेषा a आणि b समांतर नाहीत. बिंदू माध्यमातून ए 1 चला थेट करूया सह, रेषेच्या समांतर b. ती ओळी पार करेल ए 2 IN 2 आणि त्याच वेळी ए 3 IN 3 काही ठिकाणी सह 2 आणि त्याच वेळी सह 3 . त्रिकोण ए 1 ए 2 सह 2 आणि त्याच वेळी ए 1 ए 3 सह 3 दोन कोनांवर समान (कोन ए 1 - सामान्य, कोन ए 1 ए 2 सह 2 आणि त्याच वेळी ए 1 ए 3 सह 3 समांतर रेषा असताना समरूप ए 2 IN 2 आणि त्याच वेळी ए 3 IN 3 secant ए 2 ए 3 ), म्हणूनच

1+

किंवा प्रमाणांच्या गुणधर्माने

दुसरीकडे, पहिल्या प्रकरणात जे सिद्ध झाले त्यानुसार, आमच्याकडे आहे ए 1 सह 2 =IN 1 IN 2 , सह 2 सह 3 =IN 2 IN 3 . प्रमाणात बदलणे (1) ए 1 सह 2 वर IN 1 IN 2 आणि त्याच वेळी सह 2 सह 3 वर IN 2 IN 3 , आम्ही समानतेकडे आलो आहोत

Q.E.D.
त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवर प्रमेय.

बाजूंना एसीआणि त्याच वेळी रवित्रिकोण ABCगुण चिन्हांकित TOआणि त्याच वेळी एमतर AK:KS=मी: n, बी.एम.: एम.सी.= p: q. खंड एएमआणि त्याच वेळी व्ही.केएका बिंदूला छेदणे बद्दल(Fig. 124b).

पुरावा:
बिंदू माध्यमातून एमचला थेट करूया एम.डी.(Fig. 124a), समांतर व्ही.के. ती बाजू पार करते एसीबिंदूवर डी, आणि थेल्सच्या प्रमेयच्या सामान्यीकरणानुसार

द्या एके =mx. मग, समस्येच्या स्थितीनुसार KS =nx, आणि पासून केडी: डीसी= p: q, नंतर पुन्हा आम्ही थेल्सच्या प्रमेयाचे सामान्यीकरण वापरतो:

तसेच हे सिद्ध झाले आहे .

Ceva चे प्रमेय.
प्रमेयाचे नाव इटालियन गणितज्ञ जिओव्हानी सेवा यांच्या नावावर आहे, ज्यांनी हे 1678 मध्ये सिद्ध केले.

सूत्रीकरण:

बिंदू C हे अनुक्रमे ABC त्रिकोणाच्या AB, BC आणि CA या बाजूंवर घेतले तर 1 , ए 1 आणि बी 1 , नंतर विभाग AA 1 , बी.बी 1 आणि एसएस 1 जर आणि फक्त जर एका बिंदूवर छेदतात

दिले:

त्रिकोण ABCआणि त्याच्या बाजूला एबी, रविआणि त्याच वेळी एसीगुण चिन्हांकित सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 .

2.विभाग ए ए 1 , बीबी 1 आणि त्याच वेळी एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात.

दोन्ही बाजूंना उजव्या बाजूने विभागून, आपण समानतेवर पोहोचतो (3).

2. परस्पर विधान सिद्ध करूया. गुण द्या सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 बाजूने घेतले एबी, रविआणि त्याच वेळी एसएजेणेकरून समानता (3) समाधानी आहे. आपण ते खंड सिद्ध करू ए.ए 1 , बीबी 1 आणि त्याच वेळी एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात. अक्षराने सूचित करूया बद्दलविभागांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू ए ए 1 आणि त्याच वेळी बीबी 1 आणि थेट करूया CO. ती बाजू पार करते एबीकाही ठिकाणी, जे आम्ही सूचित करतो सह 2 . सेगमेंट्स पासून ए.ए 1 , बीबी 1 आणि त्याच वेळी एस.एस 1 एका बिंदूवर छेदतात, नंतर पहिल्या बिंदूमध्ये काय सिद्ध झाले होते

तर, समानता (3) आणि (4) धारण करतात.

त्यांची तुलना करून, आपण समानता = वर पोहोचतो, जे बिंदू दर्शविते सी 1 आणि त्याच वेळी सी 2 बाजू शेअर करा चला डायरेक्ट करू सी 1 आणि त्याच वेळी सी 2 एकरूप, आणि, म्हणून, विभाग ए.ए 1 , बीबी 1 आणि त्याच वेळी एस.एस 1 एका बिंदूला छेदणे ओ.

Q.E.D.
मेनेलॉसचे प्रमेय.

सूत्रीकरण:

जर AB आणि BC बाजू आणि बाजू AC ची सातत्य (किंवा AB, BC आणि AC बाजूंच्या निरंतरतेवर) अनुक्रमे बिंदू C घेतले. 1 , ए 1 , IN 1 , नंतर हे बिंदू एकाच रेषेवर आहेत if आणि only if

दिले:

त्रिकोण ABCआणि त्याच्या बाजूला एबी, रविआणि त्याच वेळी एसीगुण चिन्हांकित सह 1 ,ए 1 आणि IN 1 .

2. गुण ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच सरळ रेषेवर झोपा
पुरावा:
1. गुण द्या ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच सरळ रेषेवर झोपा. समानता (5) समाधानी आहे हे सिद्ध करूया. चला पार पाडूया इ.स,बी.ईआणि त्याच वेळी CFरेषेच्या समांतर IN 1 ए 1 (बिंदू डीसरळ रेषेत आहे रवि). सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार आमच्याकडे आहे:

या समानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंचा गुणाकार केल्यास आपल्याला मिळते

त्या समानता (5) समाधानी आहे.
2. परस्पर विधान सिद्ध करूया. मुद्दा द्या IN 1 सुरू ठेवण्याच्या बाजूने घेतले एसी, आणि गुण सह 1 आणि त्याच वेळी ए 1 - बाजूंनी एबीआणि रवि, आणि अशा प्रकारे की समानता (5) समाधानी आहे. ते गुण सिद्ध करू ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच सरळ रेषेवर झोपा. A 1 C 1 ही सरळ रेषा बिंदू B 2 वरील बाजूच्या AC च्या निरंतरतेला छेदू द्या, नंतर, पहिल्या बिंदूमध्ये सिद्ध झालेल्या गोष्टीनुसार

(5) आणि (6) ची तुलना करून, आपण समानता = वर पोहोचतो, जे बिंदू दर्शविते IN 1 आणि त्याच वेळी IN 2 बाजू शेअर करा एसीत्याच संदर्भात. म्हणून, गुण IN 1 आणि त्याच वेळी IN 2 एकरूप, आणि, म्हणून, गुण ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 त्याच सरळ रेषेवर झोपा. जेव्हा सर्व तीन मुद्द्यांवर संवाद साधला जातो तेव्हा समान विधान सिद्ध होते ए 1 ,सह 1 आणि IN 1 संबंधित बाजूंच्या निरंतरतेवर झोपा.

Q.E.D.

समस्या सोडवणे.

उपाय: तुम्हाला AB 1:B 1 C हे गुणोत्तर शोधावे लागेल, AC हा इच्छित विभाग आहे ज्यावर B 1 स्थित आहे.

समांतर पद्धत खालीलप्रमाणे आहे:

1. 
   समांतर रेषांसह आवश्यक विभाग कट करा. एक BB 1 आधीपासून अस्तित्वात आहे, आणि आम्ही BB 1 च्या समांतर, बिंदू M द्वारे दुसरा MN काढू.
2. 
   ज्ञात गुणोत्तर कोनाच्या एका बाजूपासून त्याच्या दुसऱ्या बाजूला हस्तांतरित करा, म्हणजे. या सरळ रेषांनी कापलेल्या बाजूंच्या कोनांचा विचार करा.

चला AB 1:B 1 C= AB 1:(B 1 N+ NC)= 2n:(3p+2p)=(2*3p):(5p)=6:5 मध्ये स्वारस्य असलेल्या नातेसंबंधाकडे जाऊ या.

उत्तर: AB 1:B 1 C = 6:5.

टिप्पणी द्या: मेनेलॉसच्या प्रमेयाचा वापर करून ही समस्या सोडवली जाऊ शकते. त्रिकोण AMC वर लागू करणे. मग सरळ रेषा BB 1 त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना B 1 आणि P या बिंदूंना छेदते आणि बिंदू B वर तिसऱ्याची सातत्य. याचा अर्थ समानता लागू होते: , म्हणून
समस्या क्रमांक 2 त्रिकोणामध्ये ABC AN हा मध्यक आहे. बाजूच्या AC वर, एक बिंदू M घेतला आहे जेणेकरून AM: MC = 1: 3. AN आणि BM हे खंड O बिंदूला छेदतात आणि किरण CO AB ला K बिंदूवर छेदतो. बिंदू K कोणत्या प्रमाणात AB खंडाला विभाजित करतो? .

उपाय:आपल्याला AK ते HF चे गुणोत्तर शोधावे लागेल.

१) सरळ रेषेला SK समांतर सरळ रेषा NN 1 आणि VM ला समांतर असलेली सरळ रेषा NN 2 काढू.

2) ABC च्या बाजू सरळ रेषा SC आणि NN 1 ने छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण BN 1:N 1 K=1:1 किंवा BN 1 = असा निष्कर्ष काढतो. एन 1 के= y.

3) ВСМ कोनाच्या बाजू BM आणि NN 2 ने सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार आपण CN 2:N 2 M=1:1 किंवा CN 2 = N 2 M=3:2=1.5 असा निष्कर्ष काढतो.

4) कोन NAC च्या बाजू BM आणि NN 2 ने सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण AO: ON=1:1.5 किंवा AO=m ON=1.5m असा निष्कर्ष काढतो.

5) कोन BAN च्या बाजू SK आणि NN 1 या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण AK: KN 1 = 1: 1.5 किंवा AK = n असा निष्कर्ष काढतो. के.एन 1 =1,5 n.

6) KN 1 =y=1.5n.

उत्तर: AK:KV=1:3.

टिप्पणी द्या: ही समस्या Ceva चे प्रमेय वापरून सोडवली जाऊ शकते, त्रिकोण ABC वर लागू करून. स्थितीनुसार, बिंदू N, M, K त्रिकोणाच्या ABC च्या बाजूंवर आहेत आणि AN, CK आणि BM हे खंड एका बिंदूला छेदतात, याचा अर्थ समानता सत्य आहे: , ज्ञात गुणोत्तरांची जागा घेऊ, आमच्याकडे आहे , AK:KV=1:3.

समस्या क्रमांक 3 त्रिकोण ABC च्या BC बाजूला, बिंदू D असा घेतला आहे की ВD: DC = 2:5, आणि बाजूला AC बिंदू E असा आहे की . BE आणि AD हे विभाग त्यांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदू K ने कोणत्या गुणोत्तराने भागले आहेत?
उपाय:आम्हाला 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) रेषा BE ला समांतर DD 1 रेषा काढा.

2) ALL च्या बाजू BE आणि DD 1 या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय वापरून आपण CD 1:D 1 E=5:2 किंवा CD 1 = 5z, D 1 E=2z असा निष्कर्ष काढतो.

3) स्थितीनुसार AE:EC = 1:2, म्हणजे AE=x, EC=2x, पण EC= CD 1 + D 1 E, म्हणजे 2u = 5z+2 z=7 z, z=

4) DСA कोनाच्या बाजू BE आणि DD 1 या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण निष्कर्ष काढतो

5) गुणोत्तर VC:KE निश्चित करण्यासाठी, आपण सरळ रेषा EE 1 काढतो आणि त्याच प्रकारे तर्क केल्यास आपल्याला मिळते

उपाय: O बिंदू असू द्या दुभाजक AD आणि मध्य CE चे छेदनबिंदू. आम्हाला AO:OD गुणोत्तर शोधण्याची आवश्यकता आहे.

1) सरळ रेषा CE ला समांतर DD 1 सरळ रेषा काढा.

2) ABC च्या बाजू सरळ रेषा CE आणि DD 1 ने छेदलेल्या आहेत आणि, सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय वापरून, आपण ВD 1:D 1 E=2:1 किंवा ВD 1 = 2p, D 1 E=p असा निष्कर्ष काढतो.

3) स्थितीनुसार AE:EB=1:1, म्हणजे AE=y, EB=y, पण EB= BD 1 + D 1 E, म्हणजे y=2p+ p=3 p, p =
4) BAD कोनाच्या बाजू OE आणि DD 1 या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय वापरून आपण निष्कर्ष काढतो .

उत्तर: AO:OD=3:1.

समस्या क्रमांक 6 त्रिकोण ABC च्या मध्यक AM वर, बिंदू K घेतला आहे, आणि AK: KM = 1: 3. बाजू AC च्या समांतर बिंदू K मधून जाणारी रेषा बाजू BC ला भाग करते ते गुणोत्तर शोधा.

उपाय: M ला 1 बिंदू समजा बाजूच्या AC आणि बाजू BC च्या समांतर बिंदू K मधून जाणाऱ्या सरळ रेषेचा छेदनबिंदू. आम्हाला VM 1:M 1 C हे गुणोत्तर शोधावे लागेल.

1) AMC कोनाच्या बाजू KM 1 आणि AC या सरळ रेषांनी छेदलेल्या आहेत आणि सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयानुसार, आपण MM 1: M 1 C = 3: 1 किंवा MM 1 = 3z, M 1 C = z असा निष्कर्ष काढतो.

2) स्थितीनुसार VM:MS = 1:1, म्हणजे VM=y, MS=y, परंतु MS= MM 1 + M 1 C, म्हणजे y=3z+ z=4 z,

3) .

उत्तर: VM 1:M 1 C =7:1.

टिप्पणी:मेनेलॉसच्या प्रमेयाचा वापर करून ही समस्या सोडवली जाऊ शकते. त्रिकोण ABC वर लागू करणे. नंतर KN ही रेषा त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना K आणि K 1 बिंदूंवर छेदते आणि N बिंदूवर तिसऱ्याची निरंतरता. याचा अर्थ समानता लागू होते: , म्हणून VK 1:K 1 C=2:1.

समस्या क्रमांक 8

वेबसाइट्स:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2011 गणित समस्या C4 R.K Gordin M.: MCNMO, 2011, - 148 s

निष्कर्ष:

खंडांच्या लांबीचे गुणोत्तर शोधण्यासाठी समस्या आणि प्रमेयांचे निराकरण सामान्यीकृत थेल्स प्रमेयावर आधारित आहे. आम्ही एक पद्धत तयार केली आहे जी थेल्सचे प्रमेय लागू न करता, समांतर सरळ रेषा वापरण्यास, ज्ञात प्रमाण कोनाच्या एका बाजूपासून दुसऱ्या बाजूला हस्तांतरित करू देते आणि अशा प्रकारे, आम्हाला आवश्यक असलेल्या बिंदूंचे स्थान शोधून लांबीची तुलना करू देते. अमूर्तावर काम केल्याने आम्हाला उच्च पातळीच्या जटिलतेच्या भौमितिक समस्या सोडवण्यास शिकण्यास मदत झाली. आम्हाला प्रसिद्ध रशियन कवी इगोर सेव्हेरियनिन यांच्या शब्दांची सत्यता लक्षात आली: "प्रत्येक गोष्ट महत्वाची असणे आवश्यक आहे ..." आणि आम्हाला खात्री आहे की युनिफाइड स्टेट परीक्षेत आम्ही प्रस्तावित समस्यांवर उपाय शोधण्यात सक्षम होऊ. समांतर रेषांची पद्धत.

1 त्रिकोणातील आनुपातिक विभागांवरील प्रमेय - वर वर्णन केलेले प्रमेय.

जर कोनाच्या बाजूंना छेदणाऱ्या समांतर रेषा एका बाजूचे समान खंड कापतात, तर त्या दुसऱ्या बाजूचे समान खंड कापतात.

पुरावा. A 1, A 2, A 3 हे कोनाच्या एका बाजूने समांतर रेषांचे छेदनबिंदू असू द्या आणि A 1 आणि A 3 (चित्र 1) मध्ये A 2 आहे.

B 1 B 2, B 3 हे कोनाच्या दुसऱ्या बाजूने या रेषांच्या छेदनबिंदूचे संबंधित बिंदू असू द्या. जर A 1 A 2 = A 2 A 3 असेल तर B 1 B 2 = B 2 B 3 हे सिद्ध करूया.

बिंदू B 2 मधून सरळ रेषा A 1 A 3 च्या समांतर EF काढू. समांतरभुज चौकोनाच्या गुणधर्मानुसार A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

आणि A 1 A 2 = A 2 A 3 असल्याने FB 2 = B 2 E.

त्रिकोण B 2 B 1 F आणि B 2 B 3 E दुसऱ्या निकषानुसार समान आहेत. जे सिद्ध झाले आहे त्यानुसार त्यांच्याकडे B 2 F = B 2 E आहे. शिरोबिंदू B 2 वरील कोन उभ्या सारखे आहेत आणि B 2 FB 1 आणि B 2 EB 3 हे कोन A 1 B 1 आणि A 3 B 3 आणि सेकंट EF सह समांतर आडवे आडवे आहेत. त्रिकोणांच्या समानतेवरून बाजूंची समानता येते: B 1 B 2 = B 2 B 3. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

थेल्सचे प्रमेय वापरून, खालील प्रमेय स्थापित केला आहे.

प्रमेय 2. त्रिकोणाची मधली रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर आहे आणि तिच्या अर्ध्या बरोबर आहे.

त्रिकोणाची मध्यरेषा ही त्याच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा खंड आहे. आकृती 2 मध्ये, खंड ED ही ABC त्रिकोणाची मधली रेषा आहे.

ED - ABC त्रिकोणाची मध्यरेषा

उदाहरण १.या खंडाचे चार समान भाग करा.

उपाय. AB हा दिलेला सेगमेंट (Fig. 3) असू द्या, जो 4 समान भागांमध्ये विभागला गेला पाहिजे.

एका खंडाचे चार समान भागांमध्ये विभाजन करणे

हे करण्यासाठी, बिंदू A पासून एक अनियंत्रित अर्ध-रेषा काढा आणि त्यावर सलग चार समान खंड AC, CD, DE, EK काढा.

B आणि K बिंदूंना एका खंडासह जोडू. C, D, E या उर्वरित बिंदूंमधून रेषा BK ला समांतर सरळ रेषा काढू या, जेणेकरून ते AB खंडाला छेदतील.

थेल्सच्या प्रमेयानुसार, AB हा खंड चार समान भागांमध्ये विभागला जाईल.

उदाहरण २.आयताचा कर्ण a आहे. ज्या चौकोनाचे शिरोबिंदू आयताच्या बाजूंचे मध्यबिंदू आहेत त्या चौकोनाची परिमिती किती आहे?

उपाय. आकृती 4 समस्येच्या अटी पूर्ण करू द्या.

नंतर EF ही ABC त्रिकोणाची मध्यरेखा आहे आणि म्हणून, प्रमेय 2 नुसार. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

त्याचप्रमाणे $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2), EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2), FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ आणि म्हणून EFGH चा परिमिती 2a आहे.

उदाहरण ३.त्रिकोणाच्या बाजू 2 सेमी, 3 सेमी आणि 4 सेमी आहेत आणि त्याचे शिरोबिंदू हे दुसऱ्या त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू आहेत. मोठ्या त्रिकोणाची परिमिती शोधा.

उपाय. आकृती 5 समस्येच्या अटी पूर्ण करू द्या.

AB, BC, AC हे खंड DEF त्रिकोणाच्या मधली रेषा आहेत. म्हणून, प्रमेय 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) नुसार DF $$ किंवा $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ तेथून $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ ,\ \ DF = 8 $$ आणि म्हणून, त्रिकोण DEF ची परिमिती 18 सेमी आहे.

उदाहरण ४. IN काटकोन त्रिकोणकर्णाच्या मध्यभागी पायांच्या समांतर सरळ रेषा आहेत. त्रिकोणाच्या बाजू 10 सेमी आणि 8 सेमी असल्यास परिणामी आयताचा परिमिती शोधा.

उपाय. ABC त्रिकोणामध्ये (चित्र 6)

∠ A ही सरळ रेषा आहे, AB = 10 सेमी, AC = 8 सेमी, KD आणि MD या त्रिकोणाच्या मध्यरेषा आहेत, जेथून $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 सेमी. frac(1) (2)AB = 5 सेमी $$ आयत K DMA ची परिमिती 18 सेमी आहे.