काटकोनांसह पॉलीहेड्रॉनची मात्रा. पॉलीहेड्रॉनची मात्रा कशी शोधावी

सर्व प्रथम, पॉलिहेड्रॉन म्हणजे काय ते परिभाषित करूया. हे 3D आहे भौमितिक आकृती, ज्याचे चेहरे सपाट बहुभुजांच्या स्वरूपात सादर केले जातात. पॉलीहेड्रॉनची मात्रा शोधण्यासाठी कोणतेही एक सूत्र नाही, कारण पॉलिहेड्रा असू शकते विविध आकार. कॉम्प्लेक्स पॉलिहेड्रॉनचे व्हॉल्यूम शोधण्यासाठी, ते सशर्तपणे अनेक साध्या भागांमध्ये विभागले गेले आहे, जसे की समांतर, प्रिझम, एक पिरॅमिड आणि नंतर साध्या पॉलीहेड्राचे खंड जोडले जातात आणि आकृतीचा इच्छित आकारमान प्राप्त केला जातो. .

पॉलीहेड्रॉनचे व्हॉल्यूम कसे शोधायचे - समांतर पाईप

प्रथम, आयताकृती समांतर पाईपचे क्षेत्रफळ शोधू. अशा भौमितिक आकृतीमध्ये, सर्व चेहरे सपाट आयताकृती आकाराच्या स्वरूपात सादर केले जातात.

• सर्वात सोपा आयताकृती समांतर पाईप एक घन आहे. क्यूबच्या सर्व कडा एकमेकांच्या समान आहेत. एकूण, अशा समांतर पाईपमध्ये 6 चेहरे आहेत, म्हणजेच 6 एकसारखे चौरस. अशा आकृतीची मात्रा खालीलप्रमाणे मोजली जाते:

जेथे a ही घनाच्या कोणत्याही काठाची लांबी असते.

• आयताकृती समांतर पाईपचे आकारमान, ज्याच्या बाजूंना भिन्न परिमाण आहेत, खालील सूत्र वापरून मोजले जातात:

जेथे a, b आणि c या बरगड्याच्या लांबी आहेत.

पॉलीहेड्रॉनची मात्रा कशी शोधावी - एक कलते समांतर पाईप

झुकलेल्या समांतर पाईपमध्ये 6 चेहरे असतात, त्यापैकी 2 आकृतीचा आधार असतो, आणखी 4 बाजूचे चेहरे असतात. कलते समांतर नलिका सरळ समांतर पट्टीपेक्षा भिन्न असते कारण त्याचे बाजूचे चेहरे पायाच्या काटकोनात नसतात. अशा आकृतीची मात्रा बेसचे क्षेत्रफळ आणि उंची यांच्यातील उत्पादन म्हणून मोजली जाते:

जेथे S हे पायथ्याशी असलेल्या चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे, h ही इच्छित आकृतीची उंची आहे.

पॉलिहेड्रॉनची मात्रा कशी शोधावी - प्रिझम

त्रिमितीय भौमितिक आकृती, ज्याचा पाया कोणत्याही आकाराच्या बहुभुजाने दर्शविला जातो आणि बाजूचे चेहरे समांतरभुज चौकोन असतात ज्यांच्या पायाशी सामान्य बाजू असतात, त्याला प्रिझम म्हणतात. प्रिझमला दोन पायथ्या असतात आणि आकृतीच्या ज्या बाजू असतात तितक्या बाजूचे चेहरे असतात.

कोणत्याही प्रिझमची मात्रा शोधण्यासाठी, सरळ आणि कलते, पायाचे क्षेत्रफळ उंचीने गुणाकार करा:

जेथे S हे आकृतीच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजाचे क्षेत्रफळ आहे आणि h ही प्रिझमची उंची आहे.

पॉलीहेड्रॉनची मात्रा कशी शोधावी - एक पिरॅमिड

जर आकृतीच्या पायथ्याशी बहुभुज असेल आणि बाजूचे चेहरे त्रिकोणाच्या रूपात सादर केले गेले असतील जे सामान्य शिरोबिंदूवर भेटतात, तर अशा आकृतीला पिरॅमिड म्हणतात. हे वरील आकृत्यांपेक्षा वेगळे आहे की त्यात फक्त एक आधार आहे, या व्यतिरिक्त, त्यात एक शीर्ष आहे. पिरॅमिडची मात्रा शोधण्यासाठी, त्याच्या पायाचा त्याच्या उंचीने गुणाकार करा आणि परिणाम 3 ने विभाजित करा.

16) № 27044 17) № 27187 18) № 27188 19) № 27189 20) № 27190 21) № 27191

16) 17) 18) 19) 20) 21)

22) № 27192 23) № 27193 24) № 27194 25) № 27195 26) № 27210 27) № 27211

22) 23) 24) 25) 26) 27)

28) № 27212 29) № 27213 30) № 27216

28) 29) 30)

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या आणि एकक घनांनी बनलेल्या अवकाशीय क्रॉसचे आकारमान शोधा.

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या आणि एकक घनांनी बनलेल्या अवकाशीय क्रॉसचे पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा.

घनाचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 18 आहे. त्याचा कर्ण काढा.

घनाचे परिमाण 8 आहे. त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

जर घनाची प्रत्येक धार 1 ने वाढवली तर त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 54 ने वाढते. घनाची धार शोधा.

36) क्रमांक 27098_ घनाचा कर्ण आहे. त्याची मात्रा शोधा.

37) क्रमांक 27099_ घनाची मात्रा आहे. त्याचे कर्ण शोधा.

जर घनाची प्रत्येक धार 1 ने वाढवली तर त्याची मात्रा 19 ने वाढेल. घनाची किनार शोधा.

घनाचा कर्ण 1 आहे. त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

घनाचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ २४ आहे. त्याची मात्रा शोधा.

एका घनाची मात्रा दुसऱ्या घनाच्या 8 पट असते. पहिल्या घनाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या घनाच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळापेक्षा किती पटीने जास्त आहे?

एकाच शिरोबिंदूवरून येणाऱ्या घनाच्या दोन कडा 3 आणि 4 आहेत. या घनदाटाचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 94 आहे. त्याच शिरोबिंदूवरून येणारी तिसरी किनार शोधा.

समान शिरोबिंदूपासून विस्तारलेल्या घनाच्या दोन कडा 1, 2 आहेत. घनदाटाचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 16 आहे. त्याचा कर्ण शोधा.

आयताकृती समांतर पट्टीच्या चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ 12 आहे. या चेहऱ्याला लंब असलेला किनारा 4 आहे. समांतर पट्टीचे आकारमान शोधा.

आयताकृती समांतर पट्टीचे आकारमान 24 आहे. त्याची एक धार 3 आहे. या काठावर लंब असलेल्या समांतर पट्टीच्या चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधा.

आयताकृती समांतर पट्टीचे आकारमान 60 आहे. त्याच्या एका चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ 12 आहे. या चेहऱ्याला लंब असलेल्या समांतर पट्टीची धार शोधा.

एकाच शिरोबिंदूवरून येणाऱ्या घनाकृतीच्या दोन कडा 2 आणि 6 आहेत. घनफळाचा आकारमान 48 आहे. त्याच शिरोबिंदूवरून येणाऱ्या घनाकृतीची तिसरी किनार शोधा.

एका शिरोबिंदूवरून येणाऱ्या आयताकृती समांतर पट्टीच्या तीन कडा 4, 6, 9 च्या समान आहेत. समान आकाराच्या घनाची एक किनार शोधा.

समान शिरोबिंदूपासून विस्तारलेल्या आयताकृती समांतर पट्टीच्या दोन कडा 2, 4 आहेत. समांतर पट्टीचा कर्ण 6 आहे. समांतर पट्टीचा आकारमान शोधा.

एका शिरोबिंदूवरून येणाऱ्या आयताकृती समांतर पट्टीच्या दोन कडा 2, 3 च्या बरोबरीच्या आहेत. समांतर पट्टीचे आकारमान 36 आहे. त्याचा कर्ण शोधा.

51) क्र. 27103_ आयताकृती समांतर नालेचा कर्ण समान असतो आणि तो समांतरच्या चेहऱ्यांच्या समतलांसह 30, 30 आणि 45 कोन बनवतो. समांतर पाईपची मात्रा शोधा.

एका शिरोबिंदूपासून विस्तारलेल्या घनदाटाच्या कडा 1, 2, 3 आहेत. त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

एकाच शिरोबिंदूपासून विस्तारलेल्या घनाच्या दोन कडा 2, 4 आहेत. घनदाटाचा कर्ण 6 आहे. घनदाटाचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ शोधा.

समान शिरोबिंदूपासून विस्तारलेल्या आयताकृती समांतर पट्टीच्या दोन कडा 1, 2 आहेत. समांतर पट्टीचे आकारमान 6 आहे. त्याचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ शोधा.

55) क्र. 27104_ समांतर नलिका असलेला चेहरा 1 ची बाजू आणि 60 चा तीव्र कोन असलेला समभुज चौकोन आहे. समांतर पाईपच्या काठांपैकी एक किनार या चेहऱ्यासह 60 चा कोन बनवते आणि 2 च्या बरोबरीची आहे. समांतर पाईपची मात्रा शोधा.

सरळ प्रिझमचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा ज्याचा पाया 6 आणि 8 च्या समान कर्ण असलेला समभुज चौकोन आहे आणि 10 च्या बरोबरीचा पार्श्व किनार आहे.

नियमित चतुर्भुज प्रिझमची पार्श्व किनार शोधा जर त्याच्या पायाची बाजू 20 असेल आणि त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 1760 असेल.

सरळ प्रिझमच्या पायथ्याशी 6 आणि 8 समान कर्ण असलेला समभुज चौकोन असतो.

त्याचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ 248 आहे. या प्रिझमची बाजूची किनार शोधा.

उजव्या त्रिकोणी प्रिझमचा पाया 6 आणि 8 पाय असलेला काटकोन त्रिकोण आहे, बाजूची किनार 5 आहे. प्रिझमची मात्रा शोधा.

उजव्या त्रिकोणी प्रिझमचा पाया 3 आणि 5 पाय असलेला काटकोन त्रिकोण आहे. प्रिझमची मात्रा 30 आहे. त्याची बाजूची किनार शोधा.

उजव्या त्रिकोणी प्रिझमचा पाया 6 आणि 8 पाय असलेला काटकोन त्रिकोण आहे, प्रिझमची उंची 10 आहे. त्याचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ शोधा.

उजव्या त्रिकोणी प्रिझमचा पाया 6 आणि 8 पाय असलेला काटकोन त्रिकोण आहे. त्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 288 आहे. प्रिझमची उंची शोधा.

त्रिकोणी प्रिझममध्ये, दोन बाजूचे चेहरे लंब असतात. त्यांची सामान्य किनार 10 आहे आणि ती इतर पार्श्व किनारी 6 आणि 8 ने विभक्त केली आहे. या प्रिझमचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

त्रिकोणी प्रिझमच्या पायाच्या मध्यरेषेद्वारे, पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ 24 आहे, एक समतल बाजूच्या काठाला समांतर काढले जाते. ट्रिम केलेल्या त्रिकोणी प्रिझमचे पार्श्व पृष्ठभाग शोधा.

गणितातील युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनमध्ये पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आणि संमिश्र पॉलीहेड्राचे आकारमान ठरवण्यासाठी अनेक समस्या येतात. ही कदाचित स्टिरिओमेट्रीमधील सर्वात सोपी समस्यांपैकी एक आहे. पण! एक सूक्ष्मता आहे. गणना स्वतःच सोपी असूनही, अशा समस्येचे निराकरण करताना चूक करणे खूप सोपे आहे.

काय प्रकरण आहे? पॉलीहेड्रा बनवणारे सर्व चेहरे आणि समांतर पाईप्स ताबडतोब पाहण्यासाठी प्रत्येकाची स्थानिक विचारसरणी चांगली नसते. जरी आपल्याला हे कसे चांगले करायचे हे माहित असले तरीही, आपण मानसिकरित्या असे ब्रेकडाउन करू शकता, तरीही आपण आपला वेळ घ्यावा आणि या लेखातील शिफारसी वापरल्या पाहिजेत.

तसे, मी या सामग्रीवर काम करत असताना, मला साइटवरील एका कार्यात त्रुटी आढळली. आपल्याला पुन्हा सावधपणा आणि सावधगिरीची आवश्यकता आहे, यासारखे.

म्हणून, जर प्रश्न पृष्ठभागाच्या क्षेत्राबद्दल असेल, तर चेकबोर्डमधील कागदाच्या शीटवर, पॉलिहेड्रॉनचे सर्व चेहरे काढा आणि परिमाण दर्शवा. पुढे, सर्व परिणामी चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांच्या बेरीजची काळजीपूर्वक गणना करा. बांधकाम आणि गणना करताना आपण अत्यंत सावधगिरी बाळगल्यास, त्रुटी दूर केली जाईल.

आम्ही निर्दिष्ट पद्धत वापरतो. ते दृश्य आहे. चेकर्ड शीटवर आम्ही स्केल करण्यासाठी सर्व घटक (किनारे) तयार करतो. जर फास्यांची लांबी मोठी असेल तर त्यांना फक्त लेबल लावा.

उत्तर: ७२

स्वतःसाठी ठरवा:

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनचे पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा (सर्व डायहेड्रल कोन काटकोन आहेत).

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनचे पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा (सर्व डायहेड्रल कोन काटकोन आहेत).

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनचे पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा (सर्व डायहेड्रल कोन काटकोन आहेत).

अधिक कार्ये... ते वेगळ्या पद्धतीने (बांधकाम न करता) उपाय देतात, कुठून आले ते शोधण्याचा प्रयत्न करा. तसेच आधीच सादर केलेली पद्धत वापरून सोडवा.

* * *

जर तुम्हाला संमिश्र पॉलीहेड्रॉनची मात्रा शोधायची असेल. आम्ही पॉलिहेड्रॉनला त्याच्या घटक समांतर पाईप्समध्ये विभाजित करतो, त्यांच्या कडांची लांबी काळजीपूर्वक रेकॉर्ड करतो आणि गणना करतो.

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनची मात्रा 6,2,4 आणि 4,2,2 किनारी असलेल्या दोन पॉलिहेड्राच्या खंडांच्या बेरजेइतकी आहे.

उत्तर: ६४

स्वतःसाठी ठरवा:

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनची मात्रा शोधा (पॉलीहेड्रॉनचे सर्व डायहेड्रल कोन काटकोन आहेत).

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या आणि एकक घनांनी बनलेल्या अवकाशीय क्रॉसचे आकारमान शोधा.

आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या पॉलिहेड्रॉनची मात्रा शोधा (सर्व डायहेड्रल कोन काटकोन आहेत).