अंशतः तर्कसंगत असमानतेची उदाहरणे. मध्यांतर पद्धत वापरून तर्कसंगत असमानता सोडवणे

समजा आपल्याला x ची संख्यात्मक मूल्ये शोधायची आहेत ज्यावर अनेक तर्कसंगत असमानता एकाच वेळी खऱ्या संख्यात्मक असमानतेत बदलतात. अशा परिस्थितीत, ते म्हणतात की एका अज्ञात x सह तर्कसंगत असमानतेची प्रणाली सोडवणे आवश्यक आहे.

तर्कसंगत असमानतेची व्यवस्था सोडवण्यासाठी, प्रत्येक असमानतेसाठी सर्व उपाय शोधले पाहिजेत. मग सापडलेल्या सर्व उपायांचा सामान्य भाग प्रणालीचा उपाय असेल.

उदाहरण:असमानतेची व्यवस्था सोडवा

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

प्रथम आपण असमानता सोडवू

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

मध्यांतर पद्धत (चित्र 1) वापरून, आम्हाला आढळले की असमानतेच्या सर्व उपायांच्या संचामध्ये (2) दोन मध्यांतरे असतात: (-, 1) आणि (5, 7).

आकृती 1

आता विषमता सोडवू

मध्यांतर पद्धत (चित्र 2) वापरून, आम्हाला आढळले की असमानतेच्या (3) सर्व उपायांच्या संचामध्ये दोन मध्यांतरे आहेत: (2, 3) आणि (4, +).

आता आपल्याला असमानता (2) आणि (3) च्या निराकरणाचा समान भाग शोधण्याची आवश्यकता आहे. चला एक समन्वय अक्ष x काढू आणि त्यावर सापडलेल्या उपायांना चिन्हांकित करू. आता हे स्पष्ट झाले आहे की असमानता (2) आणि (3) च्या समाधानाचा सामान्य भाग मध्यांतर (5, 7) (चित्र 3) आहे.

परिणामी, असमानतेच्या प्रणालीवरील सर्व उपायांचा संच (1) मध्यांतर (5, 7) बनवतो.

उदाहरण: असमानतेची व्यवस्था सोडवा

x2 - 6x + 10< 0,

प्रथम विषमता सोडवू

x 2 - 6x + 10< 0.

पूर्ण चौरस वेगळे करण्याची पद्धत वापरून, आपण ते लिहू शकतो

x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

म्हणून, असमानता (2) फॉर्ममध्ये लिहिता येते

(x - 3) 2 + 1< 0,

ज्यावरून हे स्पष्ट होते की त्याला कोणताही उपाय नाही.

आता तुम्हाला विषमता सोडवायची गरज नाही

कारण उत्तर आधीच स्पष्ट आहे: सिस्टम (1) ला कोणताही उपाय नाही.

उदाहरण:असमानतेची व्यवस्था सोडवा

प्रथम प्रथम असमानता पाहू; आमच्याकडे आहे

1 < 0, < 0.

चिन्ह वक्र वापरून आम्ही या असमानतेवर उपाय शोधतो: x< -2; 0 < x < 2.

आता दिलेल्या प्रणालीची दुसरी असमानता सोडवू. आमच्याकडे x 2 - 64 आहे< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

सामान्य संख्या रेषेवर (चित्र 6) पहिल्या आणि दुसऱ्या असमानतेसाठी सापडलेल्या उपायांची नोंद केल्यावर, आम्हाला असे मध्यांतर सापडतात जिथे ही सोल्यूशन्स एकरूप होतात (सोल्यूशनचे छेदनबिंदू): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

उदाहरण:असमानतेची व्यवस्था सोडवा

चला प्रणालीची पहिली असमानता बदलूया:

x 3 (x - 10)(x + 10) 0, किंवा x(x - 10)(x + 10) 0

(विषम शक्तींमधील घटक पहिल्या पॉवरच्या संबंधित घटकांद्वारे बदलले जाऊ शकतात); मध्यांतर पद्धतीचा वापर करून, आपण शेवटच्या असमानतेवर उपाय शोधू: -10 x 0, x 10.

प्रणालीची दुसरी असमानता विचारात घ्या; आमच्याकडे आहे

आम्ही शोधू (Fig. 8) x -9; 3< x < 15.

सापडलेल्या उपायांना एकत्र करून, आम्ही (Fig. 9) x 0 प्राप्त करतो; x > ३.

उदाहरण:असमानता प्रणालीवर पूर्णांक उपाय शोधा:

x + y< 2,5,

उपाय: चला सिस्टीम फॉर्ममध्ये आणू

पहिली आणि दुसरी असमानता जोडून, ​​आपल्याकडे y आहे< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

कुठे -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

आम्ही "एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडवणे" या विषयाचा शोध घेत आहोत. आपण रेखीय असमानता आणि चतुर्भुज असमानता आधीच परिचित आहोत. ते विशेष प्रकरणे आहेत तर्कसंगत असमानता, ज्याचा आपण आता अभ्यास करू. कोणत्या प्रकारच्या असमानतेला तर्कसंगत म्हणतात ते शोधून प्रारंभ करूया. पुढे आपण संपूर्ण तर्कसंगत आणि अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता मध्ये त्यांची विभागणी पाहू. आणि यानंतर आम्ही एका चलने तर्कसंगत असमानता कशी सोडवायची याचा अभ्यास करू, संबंधित अल्गोरिदम लिहू आणि तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह ठराविक उदाहरणांवर उपाय विचारात घेऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

तर्कसंगत असमानता काय आहेत?

शाळेत बीजगणित वर्गात, विषमता सोडवण्याबद्दल संभाषण सुरू होताच, आपल्याला ताबडतोब तर्कसंगत असमानतेचा सामना करावा लागतो. तथापि, प्रथम त्यांना त्यांच्या नावाने संबोधले जात नाही, कारण या टप्प्यावर असमानतेचे प्रकार थोडेसे स्वारस्य नसतात आणि असमानतेसह कार्य करण्यासाठी प्रारंभिक कौशल्ये प्राप्त करणे हे मुख्य ध्येय आहे. "तर्कसंगत असमानता" हा शब्द स्वतःच नंतर 9 व्या वर्गात, जेव्हा तपशीलवार अभ्यासया विशिष्ट प्रकारच्या असमानता.

चला तर्कसंगत असमानता काय आहेत ते शोधूया. येथे व्याख्या आहे:

नमूद केलेल्या व्याख्येमध्ये व्हेरिएबल्सच्या संख्येबद्दल काहीही सांगितले जात नाही, याचा अर्थ त्यांच्यापैकी कोणत्याही संख्येस परवानगी आहे. यावर अवलंबून, एक, दोन, इत्यादीसह तर्कसंगत असमानता ओळखली जातात. चल तसे, पाठ्यपुस्तक एक समान व्याख्या देते, परंतु एका व्हेरिएबलसह तर्कसंगत असमानतेसाठी. हे समजण्यासारखे आहे, कारण शाळा एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडविण्यावर लक्ष केंद्रित करते (खाली आपण केवळ एका चलने तर्कसंगत असमानता सोडविण्याबद्दल देखील बोलू). दोन चलांसह असमानताथोडे मानले जाते, आणि असमानता तीन आणि मोठ्या संख्येनेव्हेरिएबल्सकडे अजिबात लक्ष दिले जात नाही.

तर, तर्कसंगत असमानता त्याच्या नोटेशनद्वारे ओळखली जाऊ शकते, हे करण्यासाठी, फक्त त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूच्या अभिव्यक्ती पहा आणि ते तर्कसंगत अभिव्यक्ती आहेत याची खात्री करा. हे विचार आपल्याला तर्कसंगत असमानतेची उदाहरणे देण्यास अनुमती देतात. उदाहरणार्थ, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), तर्कसंगत असमानता आहेत. आणि असमानता तर्कसंगत नाही, कारण त्याच्या डाव्या बाजूला मूळ चिन्हाखाली एक व्हेरिएबल आहे, आणि म्हणून, तर्कसंगत अभिव्यक्ती नाही. असमानता देखील तर्कसंगत नाही, कारण त्याचे दोन्ही भाग तर्कसंगत अभिव्यक्ती नाहीत.

पुढील वर्णनाच्या सोयीसाठी, आम्ही परिमेय असमानतेची पूर्णांक आणि अपूर्णांकात विभागणी सादर करतो.

व्याख्या.

आपण तर्कसंगत असमानता म्हणू संपूर्ण, जर त्याचे दोन्ही भाग संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ती असतील.

व्याख्या.

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानताही एक तर्कसंगत असमानता आहे, ज्याचा किमान एक भाग अंशात्मक अभिव्यक्ती आहे.

तर 0.5 x≤3 (2−5 y) , पूर्णांक असमानता आहेत, आणि 1:x+3>0 आणि - अंशतः तर्कसंगत.

आता आपल्याला तर्कसंगत असमानता काय आहेत हे स्पष्टपणे समजले आहे आणि आपण एका चलने पूर्णांक आणि अपूर्णांक परिमेय असमानता सोडवण्याची तत्त्वे सुरक्षितपणे समजून घेणे सुरू करू शकतो.

संपूर्ण असमानता सोडवणे

चला स्वतःसाठी एक कार्य सेट करूया: समजा की आपल्याला r(x) फॉर्मच्या एका व्हेरिएबल x सह संपूर्ण तर्कसंगत असमानता सोडवायची आहे. , ≥), जेथे r(x) आणि s(x) काही पूर्णांक परिमेय अभिव्यक्ती आहेत. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही समतुल्य असमानता परिवर्तनांचा वापर करू.

आपण अभिव्यक्ती उजवीकडून डावीकडे हलवू या, जे आपल्याला r(x)−s(x) फॉर्मच्या समतुल्य असमानतेकडे घेऊन जाईल.<0 (≤, >, ≥) उजवीकडे शून्यासह. साहजिकच, डाव्या बाजूला तयार झालेली r(x)−s(x) ही अभिव्यक्ती देखील पूर्णांक आहे आणि हे ज्ञात आहे की कोणतीही . अभिव्यक्ती r(x)−s(x) चे एकसमान समान बहुपदी h(x) मध्ये रूपांतर केल्यावर (येथे आम्ही लक्षात घेतो की r(x)−s(x) आणि h(x) या अभिव्यक्तींमध्ये समान चल x आहे ), आपण समतुल्य असमानता h(x) वर जाऊ<0 (≤, >, ≥).

सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, केलेले परिवर्तन इच्छित समाधान मिळविण्यासाठी पुरेसे असतील, कारण ते आपल्याला मूळ संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेपासून अशा असमानतेकडे नेतील ज्याचे निराकरण कसे करायचे हे आपल्याला माहित आहे, उदाहरणार्थ, रेखीय किंवा चतुर्भुज एकाकडे. उदाहरणे पाहू.

उदाहरण.

संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेचे समाधान शोधा x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

उपाय.

प्रथम आपण अभिव्यक्ती उजवीकडून डावीकडे हलवू: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. डाव्या बाजूला सर्वकाही पूर्ण केल्यावर, आम्ही रेखीय असमानता 3 x−2≤0 वर पोहोचतो, जी मूळ पूर्णांक असमानतेच्या समतुल्य आहे. उपाय कठीण नाही:
3 x≤2 ,
x≤2/3.

उत्तर:

x≤2/3.

उदाहरण.

विषमता सोडवा (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

उपाय.

उजव्या बाजूने अभिव्यक्ती हस्तांतरित करून आम्ही नेहमीप्रमाणे सुरुवात करतो आणि नंतर डावीकडे हे वापरून परिवर्तन करतो:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

अशा प्रकारे, समतुल्य परिवर्तने करून, आम्ही असमानता 1>0 वर पोहोचलो, जी व्हेरिएबल x च्या कोणत्याही मूल्यासाठी सत्य आहे. याचा अर्थ मूळ पूर्णांक असमानतेवर उपाय म्हणजे कोणतीही वास्तविक संख्या.

उत्तर:

x - कोणताही.

उदाहरण.

विषमता सोडवा x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

उपाय.

उजव्या बाजूला शून्य आहे, त्यामुळे त्यातून काहीही हलवण्याची गरज नाही. चला डावीकडील संपूर्ण अभिव्यक्ती बहुपदीमध्ये रूपांतरित करूया:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

आम्ही एक चतुर्भुज असमानता प्राप्त केली, जी मूळ असमानतेच्या समतुल्य आहे. आम्हाला ज्ञात असलेली कोणतीही पद्धत वापरून आम्ही ते सोडवतो. चतुर्भुज असमानता ग्राफिक पद्धतीने सोडवू.

मुळे शोधणे चतुर्भुज त्रिपदी−2 x 2 +11 x+6 :

आम्ही एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवतो ज्यावर आम्ही सापडलेल्या शून्य चिन्हांकित करतो आणि लक्षात घेतो की पॅराबोलाच्या शाखा खाली निर्देशित केल्या आहेत, कारण अग्रगण्य गुणांक नकारात्मक आहे:

आपण > चिन्हासह असमानता सोडवत असल्यामुळे, पॅराबोला x-अक्षाच्या वर स्थित असलेल्या मध्यांतरांमध्ये आपल्याला स्वारस्य आहे. हे मध्यांतर (−0.5, 6) वर येते, जे इच्छित समाधान आहे.

उत्तर:

(−0,5, 6) .

अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये, परिणामी असमानतेच्या डाव्या बाजूला h(x)<0 (≤, >, ≥) तृतीय किंवा उच्च पदवीचे बहुपद असेल. अशा असमानतेचे निराकरण करण्यासाठी, मध्यांतर पद्धत योग्य आहे, ज्याच्या पहिल्या चरणात तुम्हाला बहुपदी h(x) ची सर्व मुळे शोधावी लागतील, जी अनेकदा द्वारे केली जाते.

उदाहरण.

संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेवर उपाय शोधा (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

उपाय.

चला सर्वकाही डाव्या बाजूला हलवूया, त्यानंतर आहे:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

केलेले फेरफार आम्हाला मूळ असमानतेकडे घेऊन जातात. त्याच्या डाव्या बाजूला तिसऱ्या अंशाचा बहुपद आहे. मध्यांतर पद्धती वापरून ते सोडवता येते. हे करण्यासाठी, सर्वप्रथम, तुम्हाला x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 वर आधारित बहुपदीची मुळे शोधावी लागतील. त्याला तर्कसंगत मुळे आहेत की नाही ते शोधू या, जे केवळ मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये असू शकते, म्हणजेच ±1, ±2, ±3, ±6 या संख्यांमध्ये. x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 या समीकरणामध्ये x च्या ऐवजी या संख्यांना बदलल्यास, आपल्याला कळते की समीकरणाची मूळ संख्या 1, 2 आणि 3 आहेत. हे आम्हाला बहुपदी x 3 +4 x 2 +11 x−6 हे गुणाकार (x−1) (x−2) (x−3) , आणि विषमता x 3 +4 x 2 +11 x− म्हणून दर्शवू देते. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

आणि मग फक्त मध्यांतर पद्धतीच्या मानक पायऱ्या पार पाडणे बाकी आहे: अंक रेषेवर 1, 2 आणि 3 सह बिंदू चिन्हांकित करा, जे या रेषेला चार मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात, चिन्हे निर्धारित करतात आणि ठेवतात, त्यावर छायांकन काढतात. वजा चिन्हासह अंतराल (कारण आपण वजा चिन्हाने असमानता सोडवत आहोत<) и записать ответ.

आमच्याकडे (−∞, 1)∪(2, 3) आहे.

उत्तर:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

हे लक्षात घेतले पाहिजे की कधीकधी ते असमानता r(x)−s(x) पासून अनुचित असते<0 (≤, >, ≥) असमानता h(x) वर जा<0 (≤, >, ≥), जेथे h(x) हा दोन पेक्षा जास्त अंशाचा बहुपदी आहे. हे अशा प्रकरणांना लागू होते जेथे r(x)−s(x) ही अभिव्यक्ती रेखीय द्विपदी आणि द्विपदी त्रिपदी यांचे गुणाकार म्हणून दर्शविण्यापेक्षा बहुपदी h(x) चा घटक करणे अधिक कठीण असते, उदाहरणार्थ, सामान्य घटकांचे गुणांकन करून . हे एका उदाहरणाने स्पष्ट करू.

उदाहरण.

विषमता सोडवा (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

उपाय.

ही संपूर्ण असमानता आहे. जर आपण अभिव्यक्ती त्याच्या उजव्या बाजूकडून डावीकडे हलवली, तर कंस उघडून समान संज्ञा जोडल्यास, आपल्याला असमानता मिळेल. x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. ते सोडवणे खूप अवघड आहे, कारण त्यात चौथ्या अंशाच्या बहुपदीची मुळे शोधणे समाविष्ट आहे. त्याला तर्कसंगत मुळे नाहीत हे सत्यापित करणे सोपे आहे (ते संख्या 1, −1, 19 किंवा −19 असू शकतात), परंतु त्याची इतर मुळे शोधणे समस्याप्रधान आहे. त्यामुळे हा मार्ग बंद झाला आहे.

चला इतर संभाव्य उपाय शोधूया. हे पाहणे सोपे आहे की मूळ पूर्णांक असमानतेच्या उजव्या बाजूपासून डावीकडे अभिव्यक्ती हस्तांतरित केल्यानंतर, आपण कंसातून सामान्य घटक x 2 −2 x−1 घेऊ शकतो:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

केलेले परिवर्तन समतुल्य आहे, म्हणून परिणामी असमानतेचे निराकरण देखील मूळ असमानतेचे समाधान असेल.

आणि आता आपण परिणामी असमानतेच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तीचे शून्य शोधू शकतो, यासाठी आपल्याला x 2 −2·x−1=0 आणि x 2 −2·x−19=0 आवश्यक आहे. त्यांची मुळे संख्या आहेत . हे आम्हाला समतुल्य असमानतेकडे जाण्यास अनुमती देते आणि आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरून त्याचे निराकरण करू शकतो:

आम्ही रेखाचित्रानुसार उत्तर लिहितो.

उत्तर:

या मुद्द्याचा निष्कर्ष काढण्यासाठी, मी हे जोडू इच्छितो की बहुपदी h(x) ची सर्व मुळे शोधणे नेहमीच शक्य नसते आणि परिणामी, रेखीय द्विपदी आणि चौरस त्रिपदाच्या गुणाकारात त्याचा विस्तार करा. या प्रकरणांमध्ये असमानता h(x) सोडवण्याचा कोणताही मार्ग नाही.<0 (≤, >, ≥), म्हणजे मूळ पूर्णांक परिमेय समीकरणावर उपाय शोधण्याचा कोणताही मार्ग नाही.

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता सोडवणे

आता खालील समस्या सोडवूया: r(x) फॉर्मच्या एका व्हेरिएबल x सह अपूर्णांक परिमेय असमानता सोडवायची आहे असे समजू. , ≥), जेथे r(x) आणि s(x) काही तर्कसंगत अभिव्यक्ती आहेत आणि त्यापैकी किमान एक अंशात्मक आहे. त्याचे निराकरण करण्यासाठी त्वरित अल्गोरिदम सादर करूया, त्यानंतर आम्ही आवश्यक स्पष्टीकरण देऊ.

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदमएक चल r(x) सह , ≥):

• प्रथम तुम्हाला मूळ असमानतेसाठी व्हेरिएबल x च्या स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी (APV) शोधणे आवश्यक आहे.
• पुढे, तुम्हाला विषमतेच्या उजव्या बाजूकडून डावीकडे अभिव्यक्ती हलवावी लागेल आणि तेथे तयार झालेल्या r(x)−s(x) ला p(x)/q(x) या अपूर्णांकाच्या रूपात रूपांतरित करावे लागेल. जेथे p(x) आणि q(x) पूर्णांक अभिव्यक्ती आहेत जी रेखीय द्विपदी, अविघटनशील द्विपदीय त्रिपदी आणि नैसर्गिक घातांकासह त्यांची शक्ती यांची उत्पादने आहेत.
• पुढे, आपल्याला मध्यांतर पद्धत वापरून परिणामी असमानता सोडवायची आहे.
• शेवटी, मागील चरणात मिळालेल्या सोल्यूशनमधून, मूळ असमानतेसाठी x च्या ODZ मध्ये समाविष्ट नसलेले गुण वगळणे आवश्यक आहे, जे पहिल्या चरणात आढळले होते.

अशा प्रकारे अपूर्णांक तर्कसंगत असमानतेचे इच्छित समाधान प्राप्त केले जाईल.

अल्गोरिदमच्या दुसऱ्या टप्प्यासाठी स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. विषमतेच्या उजव्या बाजूकडून डावीकडे अभिव्यक्ती हस्तांतरित केल्याने असमानता r(x)−s(x) मिळते.<0 (≤, >, ≥), जे मूळच्या समतुल्य आहे. येथे सर्व काही स्पष्ट आहे. परंतु p(x)/q(x) फॉर्ममध्ये त्याच्या पुढील परिवर्तनामुळे प्रश्न उपस्थित होतात.<0 (≤, >, ≥).

पहिला प्रश्न आहे: "ते पार पाडणे नेहमीच शक्य आहे का"? सैद्धांतिकदृष्ट्या, होय. आम्हाला माहित आहे की काहीही शक्य आहे. परिमेय अपूर्णांकाच्या अंश आणि भाजकामध्ये बहुपदी असतात. आणि बीजगणिताच्या मूलभूत प्रमेयातून आणि बेझाउटच्या प्रमेयावरून असे दिसून येते की एका चलसह पदवी n चे कोणतेही बहुपद रेषीय द्विपदांचे गुणाकार म्हणून दर्शविले जाऊ शकते. हे हे परिवर्तन पार पाडण्याची शक्यता स्पष्ट करते.

सराव मध्ये, बहुपदी घटक करणे खूप कठीण आहे आणि जर त्यांची पदवी चारपेक्षा जास्त असेल तर ते नेहमीच शक्य नसते. जर फॅक्टरायझेशन अशक्य असेल, तर मूळ असमानतेवर उपाय शोधण्याचा कोणताही मार्ग नसेल, परंतु अशी प्रकरणे सहसा शाळेत घडत नाहीत.

दुसरा प्रश्न: “असमानता p(x)/q(x) असेल का<0 (≤, >, ≥) असमानता r(x)−s(x) च्या समतुल्य आहे<0 (≤, >, ≥), आणि म्हणून मूळ"? हे एकतर समतुल्य किंवा असमान असू शकते. p(x)/q(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ हा r(x)−s(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ शी एकरूप होतो तेव्हा ते समतुल्य असते. या प्रकरणात, अल्गोरिदमची शेवटची पायरी निरर्थक असेल. परंतु p(x)/q(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ r(x)−s(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ पेक्षा अधिक रुंद असू शकते. जेव्हा अपूर्णांक कमी केले जातात तेव्हा ओडीझेडचा विस्तार होऊ शकतो, उदाहरणार्थ, येथून हलताना ते . तसेच, ODZ चा विस्तार समान अटी आणून सुलभ केला जाऊ शकतो, उदाहरणार्थ, येथून जाताना ते . अल्गोरिदमची शेवटची पायरी या प्रकरणासाठी आहे, ज्यावर ओडीझेडच्या विस्तारामुळे उद्भवणारे बाह्य निर्णय वगळण्यात आले आहेत. खाली दिलेल्या उदाहरणांवर उपाय पाहिल्यावर याचे अनुसरण करूया.

उदाहरणे:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता सोडवताना, मध्यांतर पद्धत वापरली जाते. म्हणून, खाली दिलेल्या अल्गोरिदममुळे तुम्हाला अडचणी येत असल्यास, वरील लेख पहा .

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता कशी सोडवायची:

अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम.

उदाहरणे:



संख्या रेषेच्या अंतरावर चिन्हे ठेवा. मी तुम्हाला चिन्हे ठेवण्याच्या नियमांची आठवण करून देतो:

आम्ही सर्वात उजव्या मध्यांतरातील चिन्ह निर्धारित करतो - या मध्यांतरातून एक संख्या घ्या आणि X च्या ऐवजी असमानतेमध्ये बदला. यानंतर, आम्ही कंसातील चिन्हे निश्चित करतो आणि या चिन्हे गुणाकार केल्याचा परिणाम;

उदाहरणे:




आवश्यक अंतराल निवडा. वेगळे रूट असल्यास, उत्तरामध्ये ते समाविष्ट करण्यास विसरू नये म्हणून चेकबॉक्ससह चिन्हांकित करा (खाली उदाहरण पहा).

उदाहरणे:


तुमच्या उत्तरात हायलाइट केलेली जागा आणि ध्वजांकित मुळे (असल्यास) लिहा.

उदाहरणे:
उत्तर: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪. यात समन्वय रेषेवर ठेवलेल्या आणि सीमांसह -7 आणि 7 दरम्यान असलेल्या संख्यांचा संच असतो. या प्रकरणात, आलेखावरील बिंदू भरलेल्या वर्तुळांच्या स्वरूपात चित्रित केले जातात आणि मध्यांतर वापरून रेकॉर्ड केले जातात

दुसरी आकृती कठोर असमानतेचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व आहे. या प्रकरणात, सीमारेषा क्रमांक -7 आणि 7, पंक्चर केलेल्या (भरलेले नाही) ठिपक्यांद्वारे दर्शविलेले, निर्दिष्ट सेटमध्ये समाविष्ट केलेले नाहीत. आणि मध्यांतर स्वतः कंसात खालीलप्रमाणे लिहिलेले आहे: (-7; 7).

म्हणजेच, या प्रकारातील असमानता कशी सोडवायची हे शोधून काढल्यानंतर आणि तत्सम उत्तर मिळाल्यानंतर, आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की त्यामध्ये -7 आणि 7 वगळता प्रश्नातील सीमांमधील संख्या आहेत. पुढील दोन प्रकरणांचे मूल्यमापन करणे आवश्यक आहे. तत्सम मार्ग. तिसरी आकृती मध्यांतरांची प्रतिमा दर्शवते (-∞; -7] U)