सूत्र: खोलीचे क्षेत्रफळ आणि त्याचे परिमाण. आकृतीचे क्षेत्रफळ आणि क्षेत्रफळ वेगळे कसे मोजायचे

आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे?

केवळ साध्या भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठीच नव्हे तर विविध आकृत्यांचे क्षेत्र जाणून घेणे आणि त्यांची गणना करण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे. आवश्यक उपभोग्य वस्तूंच्या रकमेची गणना करताना, परिसराच्या दुरुस्तीसाठी अंदाज काढताना किंवा तपासताना आपण या ज्ञानाशिवाय करू शकत नाही. तर मग वेगवेगळ्या आकारांचे क्षेत्र कसे शोधायचे ते शोधूया.

बंद समोच्च मध्ये असलेल्या विमानाच्या भागाला या विमानाचे क्षेत्र म्हणतात. त्यात समाविष्ट असलेल्या चौरस एककांच्या संख्येने क्षेत्रफळ व्यक्त केले जाते.

मूळ भूमितीय आकारांचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, तुम्ही योग्य सूत्र वापरणे आवश्यक आहे.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

1. जर h, a ज्ञात असेल, तर आवश्यक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीच्या गुणाकारानुसार आणि या बाजूने कमी केलेल्या त्रिकोणाची उंची, अर्ध्या भागात विभागली जाते: S=(a h)/2
2. जर a, b, c ज्ञात असेल, तर हेरॉनचे सूत्र वापरून आवश्यक क्षेत्रफळ मोजले जाते: त्रिकोणाच्या अर्ध्या परिमितीच्या गुणाकारातून घेतलेले वर्गमूळ आणि अर्ध्या परिमितीचे तीन फरक आणि त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजू: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
3. जर a, b, γ ज्ञात असेल, तर त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 2 बाजूंच्या निम्मा गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते, या बाजूंमधील कोनाच्या साइनच्या मूल्याने गुणाकार केला जातो: S=(a b sin γ)/2
4. जर a, b, c, R ज्ञात असेल, तर त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराला परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या चार त्रिज्याने भागून आवश्यक क्षेत्रफळ निश्चित केले जाते: S=(a b c)/4R
5. जर p, r ज्ञात असेल, तर त्रिकोणाचे आवश्यक क्षेत्रफळ त्यामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याने अर्ध्या परिमितीचा गुणाकार करून निर्धारित केले जाते: S=p·r

चौरस क्षेत्र

पदनाम:

1. जर बाजू ज्ञात असेल, तर या आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरस म्हणून निर्धारित केले जाते: S=a 2
2. जर d ज्ञात असेल, तर चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरस म्हणून निर्धारित केले जाते: S=d 2/2

आयताचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

• एस - निर्धारित क्षेत्र,
• a, b - आयताच्या बाजूंची लांबी.

1. जर a, b ज्ञात असेल, तर दिलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ त्याच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराने ठरवले जाते: S=a b
2. जर बाजूंची लांबी अज्ञात असेल तर आयताचे क्षेत्र त्रिकोणांमध्ये विभागले पाहिजे. या प्रकरणात, आयताचे क्षेत्रफळ त्याच्या घटक त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून निर्धारित केले जाते.

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

• S आवश्यक क्षेत्र आहे,
• a, b - बाजूची लांबी,
• h ही दिलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या उंचीची लांबी आहे,
• d1, d2 - दोन कर्णांची लांबी,
• α हा बाजूंमधील कोन आहे,
• γ हा कर्णांमधील कोन आहे.

1. जर a, h ज्ञात असेल, तर आवश्यक क्षेत्रफळ बाजूची लांबी आणि या बाजूला कमी केलेली उंची यांचा गुणाकार करून निर्धारित केले जाते: S=a h
2. जर a, b, α ज्ञात असेल, तर समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या लांबी आणि या बाजूंमधील कोनाचा साइन यांचा गुणाकार करून समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ निश्चित केले जाते: S=a b sin α
3. जर d 1 , d 2 , γ ज्ञात असेल, तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांच्या लांबीच्या आणि या कर्णांमधील कोनाच्या साइनच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे निर्धारित केले जाते: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

• S आवश्यक क्षेत्र आहे,
• अ - बाजूची लांबी,
• h - उंचीची लांबी,
• α हा दोन बाजूंमधील लहान कोन आहे,
• d1, d2 - दोन कर्णांची लांबी.

1. जर a, h ज्ञात असेल, तर समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ या बाजूने कमी केलेल्या उंचीच्या लांबीने बाजूच्या लांबीने गुणाकार करून निश्चित केले जाते: S=a h
2. जर a, α ज्ञात असेल, तर समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीच्या चौरसाला बाजूंच्या कोनाच्या साइनने गुणाकारून निश्चित केले जाते: S=a 2 sin α
3. जर d 1 आणि d 2 ज्ञात असतील, तर आवश्यक क्षेत्र समभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या लांबीच्या अर्धा गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते: S=(d 1 d 2)/2

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

1. जर a, b, c, d ज्ञात असेल, तर आवश्यक क्षेत्र सूत्रानुसार निर्धारित केले जाते: S= (a+b) /2 *√.
2. ज्ञात a, b, h सह, आवश्यक क्षेत्र हे पायाच्या अर्ध्या बेरीजचे गुणाकार आणि ट्रॅपेझॉइडची उंची म्हणून निर्धारित केले जाते: S=(a+b)/2 h

बहिर्वक्र चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

1. जर d 1 , d 2 , α ज्ञात असेल, तर उत्तल चौकोनाचे क्षेत्रफळ हे या कर्णांमधील कोनाच्या साइनने गुणाकार केलेल्या चौकोनाच्या कर्णांच्या अर्धा गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
2. ज्ञात p, r साठी, बहिर्वक्र चौकोनाचे क्षेत्रफळ हे चौकोनाच्या अर्ध-परिमितीचे गुणाकार आणि या चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याप्रमाणे ठरवले जाते: S=p r
3. जर a, b, c, d, θ ज्ञात असेल, तर बहिर्वक्र चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ अर्ध-परिमितीमधील फरकाच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ आणि प्रत्येक बाजूची लांबी वजा गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते. सर्व बाजूंची लांबी आणि दोन विरुद्ध कोनांच्या बेरीजच्या अर्ध्या कोसाइनचा वर्ग: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+) β)/2)

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

पदनाम:

जर r ज्ञात असेल, तर आवश्यक क्षेत्रफळ संख्या π आणि वर्ग त्रिज्याचे गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते: S=π r 2

जर d ज्ञात असेल, तर वर्तुळाचे क्षेत्रफळ चार ने भागलेल्या व्यासाच्या वर्गाने π या संख्येचे गुणाकार म्हणून निर्धारित केले जाते: S=(π d 2)/4

जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ

गुंतागुंतीचे साध्या भौमितिक आकारात मोडले जाऊ शकतात. जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या घटक क्षेत्रांची बेरीज किंवा फरक म्हणून परिभाषित केले जाते. उदाहरणार्थ, अंगठीचा विचार करा.

पदनाम:

• एस - रिंग क्षेत्र,
• आर, आर - अनुक्रमे बाह्य वर्तुळ आणि आतील वर्तुळाची त्रिज्या,
• D, d हे अनुक्रमे बाह्य आणि आतील वर्तुळांचे व्यास आहेत.

रिंगचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळातून क्षेत्र वजा करणे आवश्यक आहे लहान वर्तुळ. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

अशाप्रकारे, जर R आणि r ओळखले गेले, तर रिंगचे क्षेत्रफळ बाह्य आणि आतील वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या वर्गांमधील फरक म्हणून निर्धारित केले जाते, pi: S=π(R 2 -r 2) ने गुणाकार केला.

जर D आणि d ज्ञात असेल, तर रिंगचे क्षेत्रफळ बाह्य आणि आतील वर्तुळांच्या व्यासांच्या वर्गांमधील फरकाच्या चतुर्थांश म्हणून निर्धारित केले जाते, pi: S= (1/4)(D 2) ने गुणाकार केला. -d 2) π.

पॅच क्षेत्र

समजू की एका चौकोनामध्ये (A) दुसरा (B) (लहान आकाराचा) आहे आणि आपल्याला "A" आणि "B" आकृत्यांमधील छायांकित पोकळी शोधण्याची आवश्यकता आहे. समजा, लहान चौकोनाची "फ्रेम". हे करण्यासाठी:

1. "A" आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा (चौरसाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्र वापरून गणना केली जाते).
2. त्याचप्रमाणे, आपल्याला आकृती "B" चे क्षेत्रफळ सापडते.
3. क्षेत्र "A" मधून क्षेत्र "B" वजा करा. आणि अशा प्रकारे आपल्याला छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ मिळते.

आता तुम्हाला विविध आकारांचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे माहित आहे.

पृथ्वीचे मोजमाप कसे करावे याचे ज्ञान प्राचीन काळात प्रकट झाले आणि हळूहळू भूमितीच्या विज्ञानात आकार घेतला. हा शब्द ग्रीक भाषेतून "जमीन सर्वेक्षण" म्हणून अनुवादित आहे.

पृथ्वीच्या लांबी आणि रुंदीच्या सपाट भागाच्या व्याप्तीचे मोजमाप म्हणजे क्षेत्रफळ. गणितात, हे सहसा लॅटिन अक्षर S (इंग्रजी "स्क्वेअर" - "क्षेत्र", "चौरस") किंवा ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) द्वारे दर्शविले जाते. S हे विमानावरील आकृतीचे क्षेत्रफळ किंवा शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दर्शवते आणि σ हे भौतिकशास्त्रातील वायरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे. ही मुख्य चिन्हे आहेत, जरी इतर असू शकतात, उदाहरणार्थ, सामग्रीच्या सामर्थ्याच्या क्षेत्रात, A हे प्रोफाइलचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे.

गणना सूत्रे

साध्या आकृत्यांचे क्षेत्र जाणून घेतल्यास, आपण अधिक जटिल गोष्टींचे मापदंड शोधू शकता.. प्राचीन गणितज्ञांनी अशी सूत्रे विकसित केली जी सहजपणे गणना करण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात. अशा आकृत्या म्हणजे त्रिकोण, चतुर्भुज, बहुभुज, वर्तुळ.

जटिल समतल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, ते त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड किंवा आयत यांसारख्या अनेक साध्या आकृत्यांमध्ये विभागले गेले आहे. त्यानंतर, गणितीय पद्धती वापरून, या आकृतीच्या क्षेत्रासाठी एक सूत्र काढले जाते. अशीच पद्धत केवळ भूमितीमध्येच नाही तर वक्रांनी बांधलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी गणितीय विश्लेषणात देखील वापरली जाते.

त्रिकोण

चला सर्वात सोप्या आकृतीसह प्रारंभ करूया - एक त्रिकोण. ते आयताकृती, समद्विभुज आणि समभुज आहेत. AB=a, BC=b आणि AC=c (∆ ABC) बाजू असलेला कोणताही ABC त्रिकोण घ्या. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमातून ज्ञात असलेल्या साइन आणि कोसाइन प्रमेयांचे स्मरण करूया. सर्व गणने सोडून, ​​आम्ही खालील सूत्रांवर पोहोचतो:

• S=√ - हेरॉनचे सूत्र, सर्वांना माहीत आहे, जेथे p=(a+b+c)/2 हा त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे;
• S=a h/2, जेथे h ही उंची a कडे कमी केली जाते;
• S=a b (sin γ)/2, जेथे γ हा a आणि b बाजूंमधील कोन आहे;
• S=a b/2, जर ∆ ABC आयताकृती असेल (येथे a आणि b पाय आहेत);
• S=b² (sin (2 β))/2, जर ∆ ABC समद्विभुज असेल (येथे b "हिप्स" पैकी एक आहे, β हा त्रिकोणाच्या "हिप्स" मधील कोन आहे);
• S=a² √¾, जर ∆ ABC समभुज असेल (येथे a त्रिकोणाची एक बाजू आहे).

चौकोन

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d सह एक चतुर्भुज ABCD असू द्या. अनियंत्रित 4-गोनचे क्षेत्र S शोधण्यासाठी, तुम्हाला ते कर्णरेषेने दोन त्रिकोणांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ S1 आणि S2 सामान्यतः समान नाहीत.

नंतर त्यांची गणना करण्यासाठी सूत्रे वापरा आणि त्यांना जोडा, म्हणजे S=S1+S2. तथापि, जर 4-गोन एका विशिष्ट वर्गाशी संबंधित असेल, तर त्याचे क्षेत्र पूर्वी ज्ञात सूत्रे वापरून शोधले जाऊ शकते:

• S=(a+c) h/2=e h, जर टेट्रागॉन समलंब चौकोन असेल (येथे a आणि c हे पाया आहेत, e समलंब रेषा आहे, h ही समलंबाच्या पायांपैकी एकापर्यंत कमी केलेली उंची आहे;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, जर ABCD समांतरभुज चौकोन असेल (येथे φ हा बाजू a आणि b मधला कोन आहे, h ही बाजू a कडे सोडलेली उंची आहे, d1 आणि d2 कर्ण आहेत);
• S=a b=d²/2, जर ABCD आयत असेल (d एक कर्ण असेल);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, जर ABCD समभुज चौकोन असेल (a समभुज चौकोनाची बाजू आहे, φ त्याच्या कोनांपैकी एक आहे, P परिमिती आहे);
• S=a²=P²/16=d²/2, जर ABCD हा वर्ग असेल.

बहुभुज

एन-गॉनचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, गणितज्ञ त्याला सर्वात सोप्या समान आकृत्यांमध्ये विभाजित करतात - त्रिकोण, त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ शोधा आणि नंतर त्यांना जोडा. परंतु जर बहुभुज नियमित वर्गाशी संबंधित असेल तर सूत्र वापरा:

S=a n h/2=a² n/=P²/, जेथे n ही बहुभुजाच्या शिरोबिंदूंची (किंवा बाजूंची) संख्या आहे, a ही n-gon ची बाजू आहे, P ही त्याची परिमिती आहे, h हा अपोथेम आहे, म्हणजे a बहुभुजाच्या मध्यभागी 90° च्या कोनात त्याच्या एका बाजूने काढलेला खंड.

वर्तुळ

वर्तुळ हा एक परिपूर्ण बहुभुज आहे ज्याच्या असंख्य बाजू आहेत. आपल्याला बहुभुजाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्रामध्ये उजवीकडील अभिव्यक्तीची मर्यादा मोजणे आवश्यक आहे ज्यामध्ये बाजूंची संख्या अनंताकडे आहे. या प्रकरणात, बहुभुजाची परिमिती त्रिज्या R च्या वर्तुळाच्या लांबीमध्ये बदलेल, जी आपल्या वर्तुळाची सीमा असेल आणि P=2 π R च्या बरोबरीची होईल. वरील सूत्रामध्ये ही अभिव्यक्ती बदला. आम्ही प्राप्त करू:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

या अभिव्यक्तीची मर्यादा n→∞ म्हणून शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की n→∞ साठी lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 (lim हे मर्यादेचे चिन्ह आहे) आणि n→∞ साठी lim = lim आहे. 1/π च्या बरोबरी (आम्ही π rad=180° संबंध वापरून पदवी मापाचे रेडियनमध्ये रूपांतर केले आणि x→∞ वर पहिले उल्लेखनीय मर्यादा लिम (sin x)/x=1 लागू केले). प्राप्त मूल्यांना S साठी शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही सुप्रसिद्ध सूत्रावर पोहोचतो:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

मोजमापाची एकके

मापनाची पद्धतशीर आणि नॉन-सिस्टमिक युनिट्स वापरली जातात. सिस्टम युनिट्स एसआय (सिस्टम इंटरनॅशनल) च्या मालकीचे आहेत. हा एक चौरस मीटर आहे (चौ. मीटर, m²) आणि त्यातून मिळालेली एकके: mm², cm², km².

चौरस मिलिमीटर (mm²) मध्ये, उदाहरणार्थ, ते विद्युत अभियांत्रिकीमध्ये तारांचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र मोजतात, चौरस सेंटीमीटर (cm²) मध्ये - स्ट्रक्चरल मेकॅनिक्समध्ये बीमचा क्रॉस-सेक्शन, चौरस मीटर (m²) मध्ये - अपार्टमेंट किंवा घरात, चौरस किलोमीटर (किमी²) मध्ये - भूगोल मध्ये.

तथापि, कधीकधी मोजमापाची नॉन-सिस्टमिक युनिट्स वापरली जातात, जसे की: विणणे, एआर (अ), हेक्टर (हे) आणि एकर (एसी). चला खालील संबंध सादर करूया:

• 1 सौ चौरस मीटर = 1 a = 100 m² = 0.01 हेक्टर;
• 1 हेक्टर = 100 a = 100 एकर = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 एकर = 0.405 हेक्टर.

भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ- या आकृतीचा आकार दर्शविणाऱ्या भौमितिक आकृतीचे संख्यात्मक वैशिष्ट्य (या आकृतीच्या बंद समोच्चने मर्यादित पृष्ठभागाचा भाग). क्षेत्रफळाचा आकार त्यात असलेल्या चौरस एककांच्या संख्येने व्यक्त केला जातो.

त्रिकोण क्षेत्र सूत्रे

1. त्रिकोणाच्या बाजूने आणि उंचीच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या एका बाजूच्या लांबीच्या आणि या बाजूला काढलेल्या उंचीच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे
   
2. त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासाठी तीन बाजू आणि परिमंडलाच्या त्रिज्यावर आधारित सूत्र
   
3. तीन बाजूंवर आधारित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या अर्ध-परिमितीच्या गुणाकार आणि अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्याशी समान आहे.
   
जेथे S हे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे,
- त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी,
- त्रिकोणाची उंची,
- बाजूंमधील कोन आणि,
- कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,
आर - परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,

चौरस क्षेत्र सूत्र

1. बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतकी.
2. कर्ण लांबीच्या बाजूने चौरसाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरसाच्या समान.
   

   एस =	1	2
   	2

जेथे S हे चौरसाचे क्षेत्रफळ आहे,
- चौरसाच्या बाजूची लांबी,
- चौरसाच्या कर्णाची लांबी.

आयत क्षेत्र सूत्र

आयताचे क्षेत्रफळत्याच्या दोन लगतच्या बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या समान

जेथे S हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे,
- आयताच्या बाजूंची लांबी.

समांतरभुज क्षेत्र सूत्रे

1. बाजूच्या लांबी आणि उंचीवर आधारित समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ
2. समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळासाठी दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील कोनावर आधारित सूत्र
   समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकार त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनने गुणाकार केल्यास समान आहे.
   

   a b पाप α

जेथे S हे समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंची लांबी,
- समांतरभुज चौकोन उंचीची लांबी,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन.

समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे

1. बाजूच्या लांबी आणि उंचीवर आधारित समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या आणि या बाजूला कमी केलेल्या उंचीच्या लांबीच्या समान.
2. बाजूच्या लांबी आणि कोनावर आधारित समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या गुणाकार आणि समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोनाच्या साइनच्या गुणाप्रमाणे आहे.
3. समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र त्याच्या कर्णांच्या लांबीवर आधारित आहे
   समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या कर्णांच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे.
जेथे S हे समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या उंचीची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन,
1, 2 - कर्णांची लांबी.

ट्रॅपेझॉइड क्षेत्र सूत्रे

1. ट्रॅपेझॉइडसाठी हेरॉनचे सूत्र

   जेथे S हे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ आहे,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या पायाची लांबी,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंची लांबी,
   

भौमितिक आकृत्यांचे क्षेत्र हे द्विमितीय जागेत त्यांचे आकार दर्शविणारी संख्यात्मक मूल्ये आहेत. हे मूल्य सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्समध्ये मोजले जाऊ शकते. तर, उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळाचे एक नॉन-सिस्टीमिक युनिट म्हणजे शंभरावा, हेक्टर. जर मोजला जाणारा पृष्ठभाग जमिनीचा तुकडा असेल तर ही स्थिती आहे. क्षेत्रफळाची प्रणाली एकक लांबीचा चौरस आहे. SI प्रणालीमध्ये, सपाट पृष्ठभागाचे एकक चौरस मीटर आहे. GHS मध्ये, क्षेत्रफळाचे एकक चौरस सेंटीमीटर म्हणून व्यक्त केले जाते.

भूमिती आणि क्षेत्र सूत्रे एकमेकांशी निगडीत आहेत. हे कनेक्शन या वस्तुस्थितीत आहे की विमान आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना त्यांच्या अनुप्रयोगावर तंतोतंत आधारित आहे. अनेक आकृत्यांसाठी, अनेक पर्याय तयार केले जातात ज्यावरून त्यांची चौरस परिमाणे मोजली जातात. प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमधील डेटाच्या आधारे, आम्ही सर्वात सोपा उपाय ठरवू शकतो. हे गणना सुलभ करेल आणि गणना त्रुटींची शक्यता कमीतकमी कमी करेल. हे करण्यासाठी, भूमितीमधील आकृत्यांच्या मुख्य क्षेत्रांचा विचार करा.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची सूत्रे अनेक पर्यायांमध्ये सादर केली जातात:

1) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया a आणि h उंचीवरून मोजले जाते. पायाला आकृतीची बाजू मानली जाते ज्यावर उंची कमी केली जाते. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

2) कर्ण आधार मानल्यास काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच प्रकारे मोजले जाते. जर आपण पाय आधार म्हणून घेतला, तर काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अर्धवट केलेल्या पायांच्या गुणाकाराइतके असेल.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची सूत्रे तिथेच संपत नाहीत. दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये a,b बाजू आणि a आणि b मधील कोन γ चे साइनसॉइडल फंक्शन असते. साइन व्हॅल्यू टेबलमध्ये आढळते. आपण कॅल्क्युलेटर वापरून देखील ते शोधू शकता. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

या समानतेचा वापर करून, आपण हे देखील सत्यापित करू शकता की काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्र पायांच्या लांबीद्वारे निर्धारित केले जाते. कारण कोन γ हा काटकोन आहे, म्हणून काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ साइन फंक्शनने न गुणाता मोजले जाते.

3) एक विशेष केस विचारात घ्या - एक नियमित त्रिकोण, ज्याची बाजू अ स्थितीनुसार ओळखली जाते किंवा सोडवताना त्याची लांबी शोधली जाऊ शकते. भूमितीच्या समस्येतील आकृतीबद्दल अधिक काही माहिती नाही. मग या स्थितीत क्षेत्र कसे शोधायचे? या प्रकरणात, नियमित त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू केले जाते:

आयत

आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे आणि समान शिरोबिंदू असलेल्या बाजूंचे परिमाण कसे वापरायचे? गणनासाठी अभिव्यक्ती आहे:

जर तुम्हाला आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी कर्णांची लांबी वापरायची असेल, तर तुम्हाला ते छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनाच्या साइनच्या फंक्शनची आवश्यकता असेल. आयताच्या क्षेत्रासाठी हे सूत्र आहे:

चौरस

चौरसाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीची दुसरी शक्ती म्हणून निर्धारित केले जाते:

चौरस हा आयत आहे या व्याख्येवरून पुरावा मिळतो. चौरस बनवणाऱ्या सर्व बाजूंचे परिमाण समान असतात. म्हणून, अशा आयताचे क्षेत्रफळ काढणे एकाला दुसऱ्याने गुणणे, म्हणजे बाजूच्या दुसऱ्या बळापर्यंत खाली येते. आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र इच्छित फॉर्म घेईल.

चौरसाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या मार्गाने मिळू शकते, उदाहरणार्थ, आपण कर्ण वापरल्यास:

वर्तुळाने बांधलेल्या विमानाच्या भागाने तयार झालेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे? क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, सूत्रे आहेत:

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोनासाठी, सूत्रामध्ये बाजू, उंची आणि गणितीय क्रिया - गुणाकार यांचे रेषीय परिमाण असतात. जर उंची माहित नसेल तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? गणना करण्याचा दुसरा मार्ग आहे. एक विशिष्ट मूल्य आवश्यक असेल, जे समीप बाजूंनी तयार केलेल्या कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्याद्वारे, तसेच त्यांची लांबी द्वारे घेतले जाईल.

समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे आहेत:

समभुज चौकोन

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांसह साधे गणित वापरून ठरवले जाते. d1 आणि d2 मधील कर्णरेषा काटकोनात छेदतात या वस्तुस्थितीवर पुरावा आधारित आहे. साइन्सचे टेबल दाखवते की काटकोनासाठी हे कार्य एकतेच्या समान आहे. म्हणून, समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या प्रकारे देखील शोधता येते. हे सिद्ध करणे देखील अवघड नाही, कारण त्याच्या बाजूंची लांबी समान आहे. नंतर त्यांचे उत्पादन समांतरभुज चौकोनासाठी समान अभिव्यक्तीमध्ये बदला. अखेरीस, या विशिष्ट आकृतीचा एक विशेष केस एक समभुज चौकोन आहे. येथे γ हा समभुज चौकोनाचा आतील कोन आहे. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे ठरवले जाते:

ट्रॅपेझॉइड

जर समस्या त्यांची लांबी दर्शवत असेल तर पायथ्या (a आणि b) द्वारे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र कसे शोधायचे? येथे, h उंचीच्या लांबीच्या ज्ञात मूल्याशिवाय, अशा ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करणे शक्य होणार नाही. कारण या मूल्यामध्ये गणनासाठी अभिव्यक्ती समाविष्ट आहे:

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचा चौरस आकार देखील त्याच प्रकारे मोजला जाऊ शकतो. हे लक्षात घेतले जाते की आयताकृती ट्रॅपेझॉइडमध्ये उंची आणि बाजूच्या संकल्पना एकत्र केल्या जातात. म्हणून, आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, आपल्याला उंचीऐवजी बाजूच्या बाजूची लांबी निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.

सिलेंडर आणि समांतर पाईप केलेले

संपूर्ण सिलेंडरच्या पृष्ठभागाची गणना करण्यासाठी काय आवश्यक आहे याचा विचार करूया. या आकृतीचे क्षेत्रफळ वर्तुळांची एक जोडी आहे ज्याला बेस आणि बाजूचा पृष्ठभाग म्हणतात. वर्तुळ बनवणाऱ्या वर्तुळांची त्रिज्या लांबी r च्या बरोबर असते. सिलेंडरच्या क्षेत्रासाठी खालील गणना केली जाते:

चेहऱ्याच्या तीन जोड्या असलेल्या समांतर पाईपचे क्षेत्र कसे शोधायचे? त्याची मोजमाप विशिष्ट जोडीशी जुळते. विरुद्ध चेहऱ्यांचे समान मापदंड आहेत. प्रथम, S(1), S(2), S(3) - असमान चेहऱ्यांचे चौरस परिमाण शोधा. मग समांतर पाईपचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

रिंग

सामान्य केंद्र असलेली दोन वर्तुळे एक रिंग बनवतात. ते रिंगचे क्षेत्र देखील मर्यादित करतात. या प्रकरणात, दोन्ही गणना सूत्रे प्रत्येक वर्तुळाची परिमाणे विचारात घेतात. त्यापैकी प्रथम, रिंगच्या क्षेत्राची गणना करताना, मोठ्या R आणि लहान r त्रिज्या असतात. अधिक वेळा त्यांना बाह्य आणि अंतर्गत म्हणतात. दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये, रिंग क्षेत्राची गणना मोठ्या डी आणि लहान डी व्यासांद्वारे केली जाते. अशा प्रकारे, ज्ञात त्रिज्यांवर आधारित रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

व्यासाच्या लांबीचा वापर करून रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते:

बहुभुज

ज्याचा आकार नियमित नाही अशा बहुभुजाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? अशा आकृत्यांच्या क्षेत्रासाठी कोणतेही सामान्य सूत्र नाही. परंतु जर ते समन्वयित विमानावर चित्रित केले गेले असेल, उदाहरणार्थ ते चेकर्ड पेपर असू शकते, तर या प्रकरणात पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? येथे ते एक पद्धत वापरतात ज्यास आकृतीचे अंदाजे मोजमाप करण्याची आवश्यकता नसते. ते असे करतात: जर त्यांना सेलच्या कोपऱ्यात पडलेले बिंदू सापडले किंवा संपूर्ण निर्देशांक आहेत, तर फक्त तेच विचारात घेतले जातात. नंतर क्षेत्र काय आहे हे शोधण्यासाठी, पीकने सिद्ध केलेले सूत्र वापरा. तुटलेल्या रेषेच्या आत असलेल्या बिंदूंची संख्या त्यावर पडलेल्या अर्ध्या बिंदूंसह जोडणे आवश्यक आहे आणि एक वजा करणे आवश्यक आहे, म्हणजे या प्रकारे गणना केली जाते:

जेथे B, G - अनुक्रमे आत आणि संपूर्ण तुटलेल्या रेषेवर स्थित बिंदूंची संख्या.

क्षेत्र सूत्रआकृतीचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी आवश्यक आहे, जे युक्लिडियन समतल आकृत्यांच्या विशिष्ट वर्गावर परिभाषित केलेले वास्तविक-मूल्य असलेले कार्य आहे आणि 4 अटी पूर्ण करतात:

1. सकारात्मकता - क्षेत्रफळ शून्यापेक्षा कमी असू शकत नाही;
2. सामान्यीकरण - बाजूच्या युनिटसह चौरस क्षेत्र 1 आहे;
3. एकरूपता - एकरूप आकृत्यांचे क्षेत्रफळ समान असते;
4. अतिरिक्तता - सामान्य अंतर्गत बिंदूंशिवाय 2 आकृत्यांच्या एकत्रीकरणाचे क्षेत्रफळ या आकृत्यांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे.