कोणत्या संख्येवरून मूळ काढता येत नाही? प्राइम फॅक्टरायझेशन

मूळ सूत्रे. वर्गमुळांचे गुणधर्म.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

मागील पाठात आपण वर्गमूळ म्हणजे काय हे शोधून काढले. कोणते अस्तित्वात आहेत हे शोधण्याची वेळ आली आहे मुळांसाठी सूत्रेकाय आहेत मुळांचे गुणधर्म, आणि या सर्वांसह काय केले जाऊ शकते.

मुळांची सूत्रे, मुळांचे गुणधर्म आणि मुळांसह काम करण्याचे नियम- ही मूलत: समान गोष्ट आहे. साठी सूत्रे चौरस मुळेआश्चर्यकारकपणे थोडे. जे मला नक्कीच आनंदित करते! किंवा त्याऐवजी, आपण बरीच भिन्न सूत्रे लिहू शकता, परंतु मुळांसह व्यावहारिक आणि आत्मविश्वासपूर्ण कार्यासाठी, फक्त तीन पुरेसे आहेत. बाकी सर्व काही या तिघांमधून वाहत असते. जरी बरेच लोक तीन मूळ सूत्रांमध्ये गोंधळलेले असले तरी, होय...

चला सर्वात सोप्यापासून सुरुवात करूया. येथे आहे:

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

तुमच्याकडे आहे का कॅल्क्युलेटर व्यसन? किंवा तुम्हाला असे वाटते की गणना करणे खूप कठीण आहे, उदाहरणार्थ, कॅल्क्युलेटरशिवाय किंवा चौरसांचे टेबल वापरणे.

असे घडते की शाळकरी मुले कॅल्क्युलेटरला बांधली जातात आणि खजिना बटणे दाबून 0.7 ने 0.5 गुणाकार करतात. ते म्हणतात, बरं, मला अजून हिशोब कसा करायचा हे माहित आहे, पण आता माझा वेळ वाचेल... परीक्षा आल्यावर... मग मी स्वतःला ताणून घेईन...

तर वस्तुस्थिती अशी आहे की परीक्षेदरम्यान आधीच भरपूर "तणावपूर्ण क्षण" असतील... जसे ते म्हणतात, पाणी दगड घालवते. त्यामुळे परीक्षेत, छोट्या छोट्या गोष्टी, जर त्यात भरपूर असतील तर, तुमचा नाश करू शकतात...

चला संभाव्य त्रासांची संख्या कमी करूया.

मोठ्या संख्येचे वर्गमूळ घेणे

वर्गमूळ काढण्याचा निकाल पूर्णांक असेल तेव्हाच आपण आता फक्त त्या केसबद्दल बोलू.

केस १.

तर, कोणत्याही किंमतीवर (उदाहरणार्थ, भेदभावाची गणना करताना) 86436 चे वर्गमूळ काढणे आवश्यक आहे.

आम्ही 86436 या संख्येला प्राइम फॅक्टरमध्ये गुणांकन करू. 2 ने भागल्यास 43218 मिळेल; 2 ने भागाकार केल्यास 21609 मिळेल. संख्या 2 ने भागता येत नाही. परंतु अंकांची बेरीज 3 ने भाग जात असल्याने, संख्या स्वतःच 3 ने भाग जाते (सामान्यतः, हे स्पष्ट आहे की ते 9 ने देखील भाग जाते). . पुन्हा 3 ने भागा, आणि आपल्याला 2401 मिळेल. 2401 हा 3 ने पूर्ण भाग जात नाही. पाच ने भाग जात नाही (0 किंवा 5 मध्ये संपत नाही).

आम्हाला 7 ने विभाज्यतेचा संशय आहे. खरंच, आणि ,

तर, ऑर्डर पूर्ण करा!

केस 2.

आम्हाला गणना करणे आवश्यक आहे. वर वर्णन केल्याप्रमाणे कृती करणे गैरसोयीचे आहे. आम्ही फॅक्टराइज करण्याचा प्रयत्न करत आहोत...

1849 ही संख्या 2 ने भागता येत नाही (ते सुद्धा नाही)…

हे पूर्णपणे 3 ने भाग जात नाही (अंकांची बेरीज 3 चा गुणाकार नाही)...

याला 5 ने पूर्ण भाग जात नाही (शेवटचा अंक 5 किंवा 0 नाही)…

ते 7 ने पूर्णतः भाग जात नाही, ते 11 ने भाग जात नाही, ते 13 ने भाग जात नाही... बरं, सर्व मूळ संख्यांची क्रमवारी लावायला किती वेळ लागेल?

थोडा वेगळा विचार करूया.

आम्ही ते समजतो

आम्ही आमचा शोध कमी केला आहे. आता आपण 41 ते 49 पर्यंतच्या आकड्यांमधून जातो. शिवाय, हे स्पष्ट आहे की संख्येचा शेवटचा अंक 9 असल्याने, आपण 43 किंवा 47 या पर्यायांवर थांबले पाहिजे - फक्त या संख्यांचा वर्ग केल्यावर शेवटचा अंक 9 मिळेल. .

बरं, इथे, अर्थातच, आम्ही 43 वाजता थांबतो. खरंच,

P.S.आपण ०.७ ला ०.५ ने कसे गुणू शकतो?

तुम्ही शून्य आणि चिन्हांकडे दुर्लक्ष करून, 5 ने 7 ने गुणाकार केला पाहिजे आणि नंतर उजवीकडून डावीकडे, दोन दशांश ठिकाणी वेगळे केले पाहिजे. आम्हाला 0.35 मिळतात.

चौरस भूखंडाचे क्षेत्रफळ 81 dm² आहे. त्याची बाजू शोधा. समजा चौरसाच्या बाजूची लांबी आहे एक्सडेसिमीटर मग प्लॉटचे क्षेत्रफळ आहे एक्स² चौरस डेसिमीटर. कारण, स्थितीनुसार, हे क्षेत्र 81 dm² इतके आहे एक्स² = 81. चौरसाच्या बाजूची लांबी ही धन संख्या असते. एक धन संख्या ज्याचा वर्ग 81 आहे ती संख्या 9 आहे. समस्या सोडवताना, x ही संख्या शोधणे आवश्यक होते ज्याचा वर्ग 81 आहे, म्हणजे समीकरण सोडवा. एक्स² = 81. या समीकरणाला दोन मुळे आहेत: x 1 = 9 आणि x 2 = - 9, 9² = 81 आणि (- 9)² = 81 पासून. 9 आणि - 9 या दोन्ही संख्यांना 81 चे वर्गमूळ म्हणतात.

वर्गमूळांपैकी एक लक्षात घ्या एक्स= 9 ही धन संख्या आहे. याला 81 चे अंकगणित वर्गमूळ म्हणतात आणि √81 असे दर्शवले जाते, म्हणून √81 = 9.

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ एएक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे ए.

उदाहरणार्थ, संख्या 6 आणि - 6 ही संख्या 36 चे वर्गमूळ आहेत. तथापि, संख्या 6 हे 36 चे अंकगणितीय वर्गमूळ आहे, कारण 6 ही नकारात्मक नसलेली संख्या आहे आणि 6² = 36. संख्या - 6 ही नाही. अंकगणित मूळ.

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ एखालीलप्रमाणे दर्शविले: √ ए.

चिन्हाला अंकगणित वर्गमूळ चिन्ह म्हणतात; ए- एक मूलगामी अभिव्यक्ती म्हणतात. अभिव्यक्ती √ एवाचा याप्रमाणे: संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ ए.उदाहरणार्थ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. ज्या प्रकरणांमध्ये हे स्पष्ट आहे की आपण अंकगणितीय मुळाबद्दल बोलत आहोत, ते थोडक्यात म्हणतात: “चे वर्गमूळ ए«.

संख्येचे वर्गमूळ शोधण्याच्या क्रियेला वर्गमूळ म्हणतात. ही क्रिया स्क्वेअरिंगच्या उलट आहे.

तुम्ही कोणत्याही संख्येचा वर्ग करू शकता, परंतु तुम्ही कोणत्याही संख्येतून वर्गमूळ काढू शकत नाही. उदाहरणार्थ, संख्येचे वर्गमूळ काढणे अशक्य आहे - 4. जर असे मूळ अस्तित्त्वात असेल तर, त्यास अक्षराने सूचित करणे एक्स, आपल्याला चुकीची समानता x² = - 4 मिळेल, कारण डावीकडे ऋण नसलेली संख्या आणि उजवीकडे ऋण संख्या आहे.

अभिव्यक्ती √ एतेव्हाच अर्थ प्राप्त होतो a ≥ 0. वर्गमूळाची व्याख्या थोडक्यात अशी लिहिता येईल: √ a ≥ 0, (√ए)² = ए. समानता (√ ए)² = एसाठी वैध a ≥ 0. अशा प्रकारे, नॉन-ऋणात्मक संख्येचे वर्गमूळ याची खात्री करण्यासाठी एसमान b, म्हणजे √ ए =b, तुम्हाला खालील दोन अटी पूर्ण झाल्या आहेत हे तपासण्याची आवश्यकता आहे: b ≥ 0, b² = ए.

अपूर्णांकाचे वर्गमूळ

चला गणना करूया. लक्षात घ्या की √25 = 5, √36 = 6, आणि समानता आहे का ते तपासू.

कारण आणि मग समानता खरी आहे. तर, .

प्रमेय:जर ए≥ ० आणि b> 0, म्हणजे, अपूर्णांकाचे मूळ भाजकाच्या मुळाने भागलेल्या अंशाच्या मूळ बरोबर असते. हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे: आणि .

√ पासून ए≥0 आणि √ b> 0, नंतर.

अपूर्णांकाला घात वाढवण्याच्या गुणधर्मावर आणि वर्गमूळाची व्याख्या प्रमेय सिद्ध झाले आहे. चला काही उदाहरणे पाहू.

सिद्ध प्रमेय वापरून गणना करा .

दुसरे उदाहरण: ते सिद्ध करा , जर ए ≤ 0, b < 0. .

दुसरे उदाहरण: गणना करा.

.

स्क्वेअर रूट रूपांतरण

मूळ चिन्हाखालील गुणक काढून टाकत आहे. अभिव्यक्ती द्यावी. जर ए≥ ० आणि b≥ 0, नंतर उत्पादन मूळ प्रमेय वापरून आपण लिहू शकतो:

या परिवर्तनास मूळ चिन्हापासून घटक काढून टाकणे म्हणतात. एक उदाहरण पाहू;

येथे गणना करा एक्स= 2. थेट प्रतिस्थापन एक्समूलगामी अभिव्यक्तीमध्ये = 2 जटिल गणनाकडे नेतो. जर तुम्ही प्रथम मूळ चिन्हाखालील घटक काढून टाकले तर ही गणना सरलीकृत केली जाऊ शकते: . आता x = 2 बदलल्यास, आपल्याला मिळते:.

म्हणून, मूळ चिन्हाखालील घटक काढून टाकताना, मूलगामी अभिव्यक्ती एका उत्पादनाच्या स्वरूपात दर्शविली जाते ज्यामध्ये एक किंवा अधिक घटक गैर-ऋणात्मक संख्यांचे वर्ग असतात. नंतर उत्पादनाचे मूळ प्रमेय लागू करा आणि प्रत्येक घटकाचे मूळ घ्या. चला एक उदाहरण विचारात घेऊया: मूळ चिन्हाखालील पहिल्या दोन पदांमधील घटक काढून A = √8 + √18 - 4√2 ही अभिव्यक्ती सोपी करा, आपल्याला मिळते:. आम्ही त्या समानतेवर भर देतो फक्त तेव्हाच वैध ए≥ ० आणि b≥ 0. जर ए < 0, то .

घातांकामध्ये दिलेल्या संख्येचा स्वतःहून विशिष्ट संख्येने गुणाकार करणे समाविष्ट आहे. उदाहरणार्थ, संख्या 2 ते पाचव्या पॉवरवर वाढवणे असे दिसेल:

ज्या संख्येला स्वतःच गुणाकार करणे आवश्यक आहे त्याला घाताचा आधार म्हणतात आणि गुणाकारांच्या संख्येस त्याचे घातांक म्हणतात. शक्ती वाढवणे दोन विरुद्ध क्रियांशी संबंधित आहे: घातांक शोधणे आणि आधार शोधणे.

रूट काढणे

शक्तीचा पाया शोधणे याला रूट एक्स्ट्रॅक्शन म्हणतात. याचा अर्थ असा की दिलेली संख्या मिळविण्यासाठी तुम्हाला ती संख्या शोधणे आवश्यक आहे जी पॉवर n पर्यंत वाढवणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, 16 क्रमांकाचा 4 था रूट काढणे आवश्यक आहे, म्हणजे. निश्चित करण्यासाठी, शेवटी 16 मिळविण्यासाठी तुम्हाला स्वतः 4 वेळा गुणाकार करणे आवश्यक आहे. ही संख्या 2 आहे.

हे अंकगणित ऑपरेशन विशेष चिन्ह वापरून लिहिलेले आहे - मूलगामी: √, ज्याच्या वर डावीकडे घातांक दर्शविला आहे.

अंकगणित मूळ

जर घातांक सम संख्या असेल, तर मूळ समान निरपेक्ष मूल्य असलेल्या दोन संख्या असू शकतात, परंतु c धन आणि ऋण आहे. तर, दिलेल्या उदाहरणात, या संख्या २ आणि -२ असू शकतात.

अभिव्यक्ती अस्पष्ट असणे आवश्यक आहे, म्हणजे. एक परिणाम आहे. या उद्देशासाठी, अंकगणित रूटची संकल्पना सादर केली गेली, जी केवळ सकारात्मक संख्या दर्शवू शकते. अंकगणितीय मूळ शून्यापेक्षा कमी असू शकत नाही.

अशाप्रकारे, वर चर्चा केलेल्या उदाहरणामध्ये, फक्त 2 संख्या अंकगणित मूळ असेल आणि दुसरा पर्याय - -2 - व्याख्येनुसार वगळण्यात आला आहे.

वर्गमूळ

काही अंशांसाठी, जे इतरांपेक्षा अधिक वेळा वापरले जातात, अशी विशेष नावे आहेत जी मूळतः भूमितीशी संबंधित आहेत. याबद्दल आहेदुसऱ्या आणि तिसऱ्या शक्ती वाढवण्याबद्दल.

दुस-या बळावर चौरसाच्या एका बाजूची लांबी जेव्हा तुम्हाला त्याचे क्षेत्रफळ मोजायचे असते. जर तुम्हाला क्यूबचे व्हॉल्यूम शोधायचे असेल, तर त्याच्या काठाची लांबी तिसऱ्या पॉवरपर्यंत वाढवली जाते. म्हणून त्याला संख्येचा वर्ग म्हणतात आणि तिसऱ्याला घन म्हणतात.

त्यानुसार, दुस-या अंशाच्या मुळास वर्ग म्हणतात, आणि तृतीय अंशाच्या मुळास घन म्हणतात. वर्गमूळ हे एकमेव मूळ आहे जे मूलगामीच्या वर घातांकाने लिहिलेले नाही:

तर, दिलेल्या संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ ही सकारात्मक संख्या आहे जी दिलेली संख्या मिळविण्यासाठी दुसऱ्या घातापर्यंत वाढवली पाहिजे.