नैसर्गिक लॉगरिदमसह समीकरणे कशी सोडवायची. लॉगरिदम पद्धतीने सोडवलेली समीकरणे

बीजगणित 11 वी इयत्ता

विषय: "उपाय पद्धती लॉगरिदमिक समीकरणे »

धड्याची उद्दिष्टे:

शैक्षणिक: लॉगरिदमिक समीकरणे सोडविण्याच्या विविध मार्गांबद्दल ज्ञान विकसित करणे, प्रत्येक विशिष्ट परिस्थितीत ते लागू करण्याची क्षमता आणि सोडवण्याची कोणतीही पद्धत निवडणे;

विकसनशील: नवीन परिस्थितीत निरीक्षण करणे, तुलना करणे, ज्ञान लागू करणे, नमुने ओळखणे, सामान्यीकरण करणे या कौशल्यांचा विकास; परस्पर नियंत्रण आणि आत्म-नियंत्रण कौशल्ये विकसित करणे;

शैक्षणिक: शैक्षणिक कार्यासाठी जबाबदार वृत्ती जोपासणे, धड्यातील सामग्रीचे लक्षपूर्वक आकलन आणि काळजीपूर्वक नोंद घेणे.

धडा प्रकार : नवीन साहित्य सादर करण्याचा धडा.

"लोगॅरिथमच्या शोधामुळे, खगोलशास्त्रज्ञाचे कार्य कमी होत असताना, त्याचे आयुष्य वाढले."
फ्रेंच गणितज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ पी.एस. लाप्लेस

धडा प्रगती

I. धड्याचे ध्येय निश्चित करणे

लॉगरिदमची अभ्यासलेली व्याख्या, लॉगरिदमचे गुणधर्म आणि लॉगरिदमिक फंक्शन आपल्याला लॉगरिदमिक समीकरणे सोडविण्यास अनुमती देईल. सर्व लॉगरिदमिक समीकरणे, ती कितीही गुंतागुंतीची असली तरीही, एकसमान अल्गोरिदम वापरून सोडवली जातात. आजच्या धड्यात आपण हे अल्गोरिदम पाहू. त्यापैकी बरेच नाहीत. तुम्ही त्यात प्रभुत्व मिळवल्यास, लॉगरिदमसह कोणतेही समीकरण तुमच्या प्रत्येकासाठी व्यवहार्य असेल.

तुमच्या वहीत धड्याचा विषय लिहा: "लोगॅरिदमिक समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती." मी सर्वांना सहकार्य करण्याचे आवाहन करतो.

II. संदर्भ ज्ञान अद्यतनित करणे

धड्याच्या विषयाचा अभ्यास करण्याची तयारी करूया. तुम्ही प्रत्येक कार्य सोडवा आणि उत्तर लिहा; तुम्हाला अट लिहायची गरज नाही. जोड्यांमध्ये काम करा.

1) x च्या कोणत्या मूल्यांसाठी फंक्शनला अर्थ प्राप्त होतो:

अ)

ब)

V)

ड)

(प्रत्येक स्लाइडसाठी उत्तरे तपासली जातात आणि त्रुटी दूर केल्या जातात)

२) फंक्शन्सचे आलेख जुळतात का?

a) y = x आणि

ब)आणि

3) समानता लॉगरिदमिक समानता म्हणून पुन्हा लिहा:

4) बेस 2 सह लॉगरिदम म्हणून संख्या लिहा:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) गणना करा :

6) या समानतांमधील गहाळ घटक पुनर्संचयित करण्याचा किंवा पूरक करण्याचा प्रयत्न करा.

III. नवीन साहित्याचा परिचय

खालील विधान स्क्रीनवर प्रदर्शित केले आहे:

"समीकरण हे सर्व गणिती तीळ उघडणारी सुवर्ण की आहे."
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवाल

लॉगरिदमिक समीकरणाची व्याख्या तयार करण्याचा प्रयत्न करा. (लॉगरिदम चिन्हाखाली अज्ञात असलेले समीकरण ).

चला विचार करूयासर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण: लॉग ए x = b (जेथे a>0, a ≠ 1). कारण लॉगरिदमिक कार्यधन संख्यांच्या संचावर वाढते (किंवा कमी होते) आणि सर्व वास्तविक मूल्ये घेते, नंतर मूळ प्रमेयाद्वारे हे खालीलप्रमाणे होते की कोणत्याही b साठी या समीकरणाचे फक्त एकच समाधान आहे आणि एक सकारात्मक आहे.

लॉगरिदमची व्याख्या लक्षात ठेवा. (x चे बेस a चे लॉगॅरिथम हे त्या शक्तीचे सूचक आहे ज्यावर x संख्या प्राप्त करण्यासाठी बेस a वर करणे आवश्यक आहे ). लॉगरिथमच्या व्याख्येवरून ते लगेच त्याचे अनुसरण करतेए व्ही असा उपाय आहे.

शीर्षक लिहा:लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

1. लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार .

अशा प्रकारे फॉर्मची सर्वात सोपी समीकरणे सोडवली जातात.

चला विचार करूयाक्रमांक ५१४(अ) ): समीकरण सोडवा

आपण ते सोडवण्याचा प्रस्ताव कसा मांडता? (लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार )

उपाय . , म्हणून 2x – 4 = 4; x = 4.

उत्तर: ४.

या कार्यात 2x – 4 > 0, पासून> 0, त्यामुळे कोणतीही बाह्य मुळे दिसू शकत नाहीत, आणितपासण्याची गरज नाही . या टास्कमध्ये 2x – 4 > 0 ही अट लिहिण्याची गरज नाही.

2. पोटेंटायझेशन (दिलेल्या अभिव्यक्तीच्या लॉगरिथममधून या अभिव्यक्तीमध्ये संक्रमण).

चला विचार करूयाक्रमांक ५१९(जी): लॉग 5 ( x 2 +8)- लॉग 5 ( x+1)=3 लॉग 5 2

तुम्हाला कोणते वैशिष्ट्य लक्षात आले?(बेस समान आहेत आणि दोन अभिव्यक्तींचे लॉगरिदम समान आहेत) . काय करता येईल?(संभाव्य).

हे लक्षात घेतले पाहिजे की सर्व x मध्ये कोणतेही समाधान समाविष्ट आहे ज्यासाठी लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती सकारात्मक आहेत.

उपाय: ODZ:

एक्स 2 +8>0 अनावश्यक असमानता

लॉग 5 ( x 2 +8) = लॉग 5 2 3 + लॉग 5 ( x+1)

लॉग 5 ( x 2 +8)= लॉग 5 (8 x+8)

मूळ समीकरणाची क्षमता वाढवू

x 2 +8= 8 x+8

आम्हाला समीकरण मिळतेx 2 +8= 8 x+8

चला ते सोडवू:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

उत्तर: 0; 8

सर्वसाधारणपणेसमतुल्य प्रणालीमध्ये संक्रमण :

समीकरण

(सिस्टममध्ये एक अनावश्यक स्थिती आहे - असमानतेपैकी एक विचारात घेणे आवश्यक नाही).

वर्गासाठी प्रश्न : या तीनपैकी कोणता उपाय तुम्हाला सर्वात जास्त आवडला? (पद्धतींची चर्चा).

तुम्हाला कोणत्याही प्रकारे निर्णय घेण्याचा अधिकार आहे.

3. नवीन व्हेरिएबलचा परिचय .

चला विचार करूयाक्रमांक ५२०(ग्रॅ) . .

काय लक्षात आले? (या चतुर्भुज समीकरण log3x च्या सापेक्ष) तुमच्या सूचना काय आहेत? (नवीन व्हेरिएबल सादर करा)

उपाय . ODZ: x > 0.

द्या, नंतर समीकरण फॉर्म घेईल:. भेदभाव D > 0. व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार मूळ:.

चला बदलीकडे परत जाऊया:किंवा.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवल्यानंतर, आम्हाला मिळते:

; .

उत्तर द्या : 27;

4. समीकरणाच्या दोन्ही बाजू लॉगरिदम.

समीकरण सोडवा:.

उपाय : ODZ: x>0, बेस 10 मधील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे लॉगरिदम घेऊ:

. चला एका पॉवरच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म लागू करू:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

logx = y, नंतर (y + 3)y = 4 समजा

, (D > 0) व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार मुळे: y1 = -4 आणि y2 = 1.

चला बदलीकडे परत जाऊ, आम्हाला मिळेल: lgx = -4,; logx = 1,. . ते खालीलप्रमाणे आहे: फंक्शन्सपैकी एक असल्यास y = f(x) वाढते, आणि इतर y = g(x) मध्यांतर X वर कमी होते, नंतर समीकरण f(x) = g(x) अंतराल X वर जास्तीत जास्त एक रूट आहे .

जर मूळ असेल तर त्याचा अंदाज लावता येतो. .

उत्तर द्या : 2

“पद्धतींचा योग्य वापर करून शिकता येते
केवळ त्यांना विविध उदाहरणांवर लागू करून.”
गणिताचा डॅनिश इतिहासकार जी. जी. झेटेन

आय व्ही. गृहपाठ

पी. 39 उदाहरण 3 विचारात घ्या, क्र. 514(ब), क्र. 529(ब), क्र. 520(ब), क्र. 523(ब) सोडवा

व्ही. धड्याचा सारांश

वर्गात आपण लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याच्या कोणत्या पद्धती पाहिल्या?

पुढील धड्यांमध्ये आपण अधिक गुंतागुंतीची समीकरणे पाहू. त्यांचे निराकरण करण्यासाठी, अभ्यास केलेल्या पद्धती उपयुक्त ठरतील.

दाखवलेली शेवटची स्लाइड:

“जगातील कोणत्याही गोष्टीपेक्षा अधिक काय आहे?
जागा.
सर्वात शहाणपणाची गोष्ट कोणती आहे?
वेळ.
सर्वोत्तम भाग काय आहे?
तुला पाहिजे ते साध्य कर."
थेल्स

प्रत्येकाने त्यांना हवे ते साध्य करावे अशी माझी इच्छा आहे. तुमच्या सहकार्याबद्दल आणि समजून घेतल्याबद्दल धन्यवाद.

या धड्यात आपण लॉगरिदमच्या मूलभूत सैद्धांतिक तथ्यांचे पुनरावलोकन करू आणि सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याचा विचार करू.

आपण मध्यवर्ती व्याख्या आठवूया - लॉगरिथमची व्याख्या. तो निर्णयाशी संबंधित आहे घातांकीय समीकरण. या समीकरणाला एकच मूळ आहे, त्याला b ते बेस a चे लॉगरिथम म्हणतात:

व्याख्या:

b ते बेस a चे लॉगरिदम हे b मिळवण्यासाठी a a ला वाढवणे आवश्यक आहे हे घातांक आहे.

आम्हाला तुमची आठवण करून द्या मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख.

अभिव्यक्ती (अभिव्यक्ती 1) हे समीकरणाचे मूळ आहे (अभिव्यक्ती 2). अभिव्यक्ती 1 मधून x ऐवजी एक्स ऐवजी एक्सप्रेशन 2 मध्ये मूल्य बदला आणि मुख्य लॉगरिदमिक ओळख मिळवा:

म्हणून आपण पाहतो की प्रत्येक मूल्य एका मूल्याशी संबंधित आहे. आम्ही b द्वारे x(), c द्वारे y दर्शवतो आणि अशा प्रकारे लॉगरिदमिक फंक्शन प्राप्त करतो:

उदाहरणार्थ:

लॉगरिदमिक फंक्शनचे मूलभूत गुणधर्म आठवूया.

येथे आपण पुन्हा एकदा लक्ष देऊ या, कारण लॉगॅरिथम अंतर्गत लॉगरिदमचा आधार म्हणून कठोरपणे सकारात्मक अभिव्यक्ती असू शकते.

तांदूळ. 1. वेगवेगळ्या बेससह लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख

वरील फंक्शनचा आलेख काळ्या रंगात दाखवला आहे. तांदूळ. 1. वितर्क शून्य ते अनंतापर्यंत वाढल्यास, फंक्शन वजा ते प्लस अनंतापर्यंत वाढते.

वरील फंक्शनचा आलेख लाल रंगात दाखवला आहे. तांदूळ. १.

या कार्याचे गुणधर्म:

व्याप्ती: ;

मूल्यांची श्रेणी: ;

फंक्शन त्याच्या संपूर्ण परिभाषेत मोनोटोनिक आहे. जेव्हा नीरस (कठोरपणे) वाढते, उच्च मूल्ययुक्तिवाद फंक्शनच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित आहे. जेव्हा मोनोटोनिकली (कडकपणे) कमी होते, तेव्हा युक्तिवादाचे मोठे मूल्य फंक्शनच्या लहान मूल्याशी संबंधित असते.

लॉगरिदमिक फंक्शनचे गुणधर्म विविध लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याची गुरुकिल्ली आहेत.

चला सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक समीकरणाचा विचार करू या;

लॉगरिदमचे बेस आणि लॉगरिदम स्वतः समान असल्याने, लॉगरिदम अंतर्गत फंक्शन्स देखील समान आहेत, परंतु आपण परिभाषाचे डोमेन चुकवू नये. लॉगरिदम अंतर्गत फक्त एक सकारात्मक संख्या दिसू शकते, आमच्याकडे आहे:

आम्हाला आढळले की फंक्शन्स f आणि g समान आहेत, म्हणून ODZ चे पालन करण्यासाठी कोणतीही एक असमानता निवडणे पुरेसे आहे.

अशा प्रकारे, आपल्याकडे एक मिश्रित प्रणाली आहे ज्यामध्ये समीकरण आणि असमानता आहे:

एक नियम म्हणून, असमानता सोडवणे आवश्यक नाही; समीकरण सोडवणे आणि असमानतेमध्ये सापडलेल्या मुळे बदलणे पुरेसे आहे, अशा प्रकारे तपासणी करणे.

सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी एक पद्धत तयार करूया:

लॉगरिदमच्या पाया समान करा;

समतुल्य सबलॉगरिथमिक फंक्शन्स;

तपासणी करा.

चला विशिष्ट उदाहरणे पाहू.

उदाहरण 1 - समीकरण सोडवा:

लॉगरिदमचे आधार सुरुवातीला समान असतात, आम्हाला उपलोगॅरिदमिक अभिव्यक्ती समतुल्य करण्याचा अधिकार आहे, ODZ बद्दल विसरू नका, आम्ही असमानता तयार करण्यासाठी प्रथम लॉगरिदम निवडतो:

उदाहरण 2 - समीकरण सोडवा:

हे समीकरण मागील समीकरणापेक्षा वेगळे आहे कारण लॉगरिदमचे बेस एकापेक्षा कमी आहेत, परंतु हे कोणत्याही प्रकारे समाधानावर परिणाम करत नाही:

चला मूळ शोधू आणि त्यास असमानतेमध्ये बदलू:

आम्हाला एक चुकीची असमानता प्राप्त झाली आहे, याचा अर्थ असा आहे की सापडलेले रूट ODZ चे समाधान करत नाही.

उदाहरण 3 - समीकरण सोडवा:

लॉगरिदमचे बेस सुरुवातीला समान असतात, आम्हाला उपलोगॅरिदमिक अभिव्यक्ती समान करण्याचा अधिकार आहे, ODZ बद्दल विसरू नका, आम्ही असमानता तयार करण्यासाठी दुसरा लॉगरिदम निवडतो:

चला मूळ शोधू आणि त्यास असमानतेमध्ये बदलू:

अर्थात, फक्त पहिले रूट ODZ चे समाधान करते.

लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती, उदाहरणे सोडवणे. या लेखात आपण लॉगरिदम सोडवण्याशी संबंधित समस्या पाहू. कार्ये अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधण्याचा प्रश्न विचारतात. हे नोंद घ्यावे की लॉगरिथमची संकल्पना अनेक कार्यांमध्ये वापरली जाते आणि त्याचा अर्थ समजून घेणे अत्यंत आवश्यक आहे. युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी, समीकरणे सोडवताना, लागू केलेल्या समस्यांमध्ये आणि फंक्शन्सच्या अभ्यासाशी संबंधित कामांमध्ये लॉगरिदम वापरला जातो.

लॉगॅरिथमचा अर्थ समजून घेण्यासाठी उदाहरणे देऊ:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

लॉगरिदमचे गुणधर्म जे नेहमी लक्षात ठेवले पाहिजेत:

*उत्पादनाचा लॉगरिदम घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतका असतो.

* * *

*भागफलाचा (अपूर्णांक) लॉगरिदम हा घटकांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका असतो.

* * *

*घातांकाचा लॉगरिदम हा घातांकाच्या गुणाकार आणि त्याच्या पायाच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचा असतो.

* * *

*नवीन पायावर संक्रमण

* * *

अधिक गुणधर्म:

* * *

लॉगरिदमची गणना घातांकांच्या गुणधर्मांच्या वापराशी जवळून संबंधित आहे.

चला त्यापैकी काहींची यादी करूया:

या मालमत्तेचा सार असा आहे की जेव्हा अंश भाजकाकडे हस्तांतरित केला जातो आणि त्याउलट, घातांकाचे चिन्ह विरुद्ध बदलते. उदाहरणार्थ:

या मालमत्तेचा परिणाम:

* * *

पॉवरला पॉवर वाढवताना, बेस समान राहतो, परंतु घातांक गुणाकार केला जातो.

* * *

तुम्ही पाहिल्याप्रमाणे, लॉगरिथमची संकल्पना स्वतःच सोपी आहे. मुख्य गोष्ट अशी आहे की आपल्याला चांगल्या सरावाची आवश्यकता आहे, जे आपल्याला एक विशिष्ट कौशल्य देते. अर्थात, सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे. जर प्राथमिक लॉगरिदम रूपांतरित करण्याचे कौशल्य विकसित केले गेले नसेल, तर सोडवताना साधी कामेचूक करणे सोपे आहे.

सराव करा, प्रथम गणिताच्या अभ्यासक्रमातील सर्वात सोपी उदाहरणे सोडवा, नंतर अधिक जटिल उदाहरणांकडे जा. भविष्यात, मी निश्चितपणे दर्शवेल की "कुरूप" लॉगरिदम कसे सोडवले जातात ते युनिफाइड स्टेट परीक्षेत दिसणार नाहीत, परंतु ते स्वारस्यपूर्ण आहेत, त्यांना चुकवू नका!

इतकंच! तुम्हाला शुभेच्छा!

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख

P.S: तुम्ही मला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगितल्यास मी आभारी राहीन.

लॉगरिदमिक समीकरणे. आम्ही गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग बी मधील समस्यांचा विचार करत आहोत. “”, “” या लेखातील काही समीकरणांचे निराकरण आम्ही आधीच तपासले आहे. या लेखात आपण लॉगरिदमिक समीकरणे पाहू. मी लगेच म्हणेन की युनिफाइड स्टेट परीक्षेत अशी समीकरणे सोडवताना कोणतेही जटिल परिवर्तन होणार नाही. ते साधे आहेत.

लॉगरिदमचे गुणधर्म जाणून घेण्यासाठी मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख जाणून घेणे आणि समजून घेणे पुरेसे आहे. कृपया लक्षात घ्या की ते सोडवल्यानंतर, तुम्हाला एक तपासणी करणे आवश्यक आहे - परिणामी मूल्य मूळ समीकरणात बदला आणि गणना करा, शेवटी तुम्हाला योग्य समानता मिळेल.

व्याख्या:

बेस b ते संख्येचा लॉगरिदम हा घातांक आहे.ज्यावर अ प्राप्त करण्यासाठी b वाढवणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ:

लॉग 3 9 = 2, 3 2 = 9 पासून

लॉगरिदमचे गुणधर्म:

लॉगरिदमची विशेष प्रकरणे:

समस्या सोडवू. पहिल्या उदाहरणात आपण एक तपासणी करू. भविष्यात, ते स्वतः तपासा.

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 3 (4–x) = 4

लॉग b a = x b x = a असल्याने, नंतर

३ ४ = ४ – x

x = ४ – ८१

x = – ७७

परीक्षा:

लॉग ३ (४–(–७७)) = ४

लॉग 3 81 = 4

3 4 = 81 बरोबर.

उत्तर:- ७७

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 2 (4 – x) = 7

लॉग 5 समीकरणाचे मूळ शोधा(4 + x) = 2

आम्ही मूळ लॉगरिदमिक ओळख वापरतो.

लॉग a b = x b x = a, नंतर

५ २ = ४ + x

x = 5 2 – 4

x = २१

परीक्षा:

लॉग 5 (4 + 21) = 2

लॉग 5 25 = 2

5 2 = 25 बरोबर.

उत्तर: २१

लॉग 3 (14 – x) = लॉग 3 5 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

खालील गुणधर्म घडतात, त्याचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: जर समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला समान आधार असलेले लॉगरिदम असतील तर आपण लॉगरिदमच्या चिन्हांखालील अभिव्यक्ती समान करू शकतो.

14 – x = 5

x=9

एक चेक करा.

उत्तरः ९

स्वतःसाठी ठरवा:

लॉग 5 (5 – x) = लॉग 5 3 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 4 (x + 3) = लॉग 4 (4x – 15).

जर log c a = log c b असेल तर a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

एक चेक करा.

उत्तरः ६

लॉग 1/8 (13 – x) = – 2 समीकरणाचे मूळ शोधा.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = १३ – ६४

x = – ५१

एक चेक करा.

एक लहान जोड - येथे मालमत्ता वापरली जाते

अंश ().

उत्तर: – ५१

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 1/7 (7 – x) = – 2

लॉग 2 (4 – x) = 2 लॉग 2 5 या समीकरणाचे मूळ शोधा.

चला उजवी बाजू बदलूया. चला गुणधर्म वापरू:

log a b m = m∙ log a b

लॉग 2 (4 – x) = लॉग 2 5 2

जर log c a = log c b असेल तर a = b

४ – x = ५ २

४ – x = २५

x = – २१

एक चेक करा.

उत्तर:- २१

स्वतःसाठी ठरवा:

समीकरणाचे मूळ शोधा: लॉग 5 (5 – x) = 2 लॉग 5 3

लॉग 5 (x 2 + 4x) = लॉग 5 (x 2 + 11) समीकरण सोडवा

जर log c a = log c b असेल तर a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

एक चेक करा.

उत्तर: 2.75

स्वतःसाठी ठरवा:

लॉग 5 (x 2 + x) = लॉग 5 (x 2 + 10) समीकरणाचे मूळ शोधा.

लॉग 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 हे समीकरण सोडवा.

समीकरणाच्या उजव्या बाजूला फॉर्मची अभिव्यक्ती प्राप्त करणे आवश्यक आहे:

लॉग 2 (......)

आम्ही 1 ला बेस 2 लॉगरिथम म्हणून प्रस्तुत करतो:

1 = लॉग 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

लॉग 2 (2 – x) = लॉग 2 (2 – 3x) + लॉग 2 2

आम्हाला मिळते:

लॉग 2 (2 – x) = लॉग 2 2 (2 – 3x)

जर log c a = log c b असेल तर a = b असेल तर

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = ०.४

एक चेक करा.

उत्तर: 0.4

स्वतःसाठी ठरवा: पुढे तुम्हाला चतुर्भुज समीकरण सोडवायचे आहे. तसे,

मुळे 6 आणि – 4 आहेत.

रूट "-4" हा उपाय नाही, कारण लॉगॅरिथमचा पाया शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे आणि "– 4"ते समान आहे" – ५" उपाय रूट 6 आहे.एक चेक करा.

उत्तर: 6.

आर स्वतः खा:

समीकरण लॉग x –5 49 = 2 सोडवा. जर समीकरणात एकापेक्षा जास्त मूळ असतील तर लहान मूळसह उत्तर द्या.

तुम्ही पाहिल्याप्रमाणे, लॉगरिदमिक समीकरणांसह कोणतेही क्लिष्ट परिवर्तन नाहीनाही. लॉगरिथमचे गुणधर्म जाणून घेणे आणि ते लागू करण्यास सक्षम असणे पुरेसे आहे. IN युनिफाइड राज्य परीक्षा कार्येलॉगरिदमिक अभिव्यक्ती रूपांतरित करताना, अधिक गंभीर रूपांतरणे केली जातात आणि अधिक प्रगत समाधान कौशल्ये आवश्यक असतात. आम्ही अशी उदाहरणे पाहू, त्यांना चुकवू नका!तुम्हाला शुभेच्छा!!!

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख.

P.S: तुम्ही मला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगितल्यास मी आभारी राहीन.

परिचय

गणना वेगवान आणि सोपी करण्यासाठी लॉगरिदमचा शोध लावला गेला. लॉगॅरिथमची कल्पना, म्हणजे, संख्या समान बेसची शक्ती म्हणून व्यक्त करण्याची कल्पना मिखाईल स्टिफेलची आहे. पण स्टीफेलच्या काळात गणित इतके विकसित झाले नव्हते आणि लॉगरिथमची कल्पनाही विकसित झाली नव्हती. स्कॉटिश शास्त्रज्ञ जॉन नेपियर (1550-1617) आणि स्विस जॉबस्ट बुर्गी (1552-1632) यांनी 1614 मध्ये हे काम प्रकाशित करणारे प्रथम लॉगरिदम्सचा शोध लावला. "लोगॅरिथमच्या आश्चर्यकारक सारणीचे वर्णन" या शीर्षकाखाली, नेपियरचा लॉगरिदमचा सिद्धांत बऱ्यापैकी पूर्ण व्हॉल्यूममध्ये देण्यात आला होता, लॉगरिदमची गणना करण्याची पद्धत सर्वात सोपी दिली गेली होती, म्हणून लॉगरिदमच्या शोधात नेपियरचे गुण बुर्गीपेक्षा जास्त होते. बुर्गी यांनी नेपियर प्रमाणेच टेबलवर काम केले, परंतु त्यांना बर्याच काळासाठी गुप्त ठेवले आणि त्यांना फक्त 1620 मध्ये प्रकाशित केले. नेपियरने 1594 च्या सुमारास लॉगॅरिथमची कल्पना मांडली. जरी टेबल 20 वर्षांनंतर प्रकाशित झाले. सुरुवातीला त्याने त्याच्या लॉगरिदमला “कृत्रिम संख्या” म्हटले आणि त्यानंतरच या “कृत्रिम संख्या” ला एका शब्दात “लोगॅरिथम” म्हणण्याचा प्रस्ताव ठेवला, ज्याचा ग्रीकमधून अनुवादित अर्थ “सहसंबंधित संख्या” असा होतो, एक अंकगणिताच्या प्रगतीतून घेतला गेला आणि दुसरा अंकगणिताच्या प्रगतीवरून घेतला गेला. भौमितिक प्रगती विशेषतः त्याच्या प्रगतीसाठी निवडली. रशियन भाषेतील पहिली सारणी 1703 मध्ये प्रकाशित झाली. 18 व्या शतकातील एका अद्भुत शिक्षकाच्या सहभागाने. एल. एफ. मॅग्निटस्की. लॉगरिदमच्या सिद्धांताच्या विकासामध्ये महान मूल्यसेंट पीटर्सबर्गचे शिक्षणतज्ज्ञ लिओनहार्ड यूलर यांची कामे होती. लॉगरिदमला पॉवर वाढवण्याचे व्युत्क्रम मानणारे ते पहिले होते; त्यांनी "लोगॅरिथम बेस" आणि "मँटिसा" या संज्ञा 10 सह लॉगरिदम संकलित केल्या. दशांश सारण्या व्यावहारिक वापरासाठी अधिक सोयीस्कर आहेत. नेपियरच्या लॉगरिदमपेक्षा सोपे. म्हणून, दशांश लॉगरिदमला कधीकधी ब्रिग्ज लॉगरिदम म्हणतात. "कॅरेक्टरायझेशन" हा शब्द ब्रिग्जने आणला होता.

त्या दूरच्या काळात, जेव्हा ऋषींनी प्रथम अज्ञात प्रमाण असलेल्या समानतेबद्दल विचार करायला सुरुवात केली, तेव्हा कदाचित नाणी किंवा पाकीट नव्हते. परंतु तेथे ढीग, तसेच भांडी आणि टोपल्या होत्या, जे स्टोरेज कॅशेच्या भूमिकेसाठी योग्य होते जे अज्ञात संख्येने वस्तू ठेवू शकतात. मेसोपोटेमिया, भारत, चीन, ग्रीसच्या प्राचीन गणितीय समस्यांमध्ये, अज्ञात प्रमाणांनी बागेतील मोरांची संख्या, कळपातील बैलांची संख्या आणि मालमत्तेचे विभाजन करताना विचारात घेतलेल्या गोष्टींची संपूर्णता व्यक्त केली. लेखा शास्त्रात उत्तम प्रशिक्षित लेखक, अधिकारी आणि आरंभी गुप्त ज्ञानयाजकांनी अशा कार्यांचा यशस्वीपणे सामना केला.

आमच्यापर्यंत पोहोचलेले स्त्रोत सूचित करतात की प्राचीन शास्त्रज्ञांकडे अज्ञात प्रमाणांसह समस्या सोडवण्यासाठी काही सामान्य तंत्रे होती. तथापि, एकाही पॅपिरस किंवा मातीच्या टॅब्लेटमध्ये या तंत्रांचे वर्णन नाही. लेखकांनी अधूनमधून त्यांची संख्यात्मक गणने अधूनमधून दिली आहेत जसे की: “पाहा!”, “हे करा!”, “तुम्हाला योग्य सापडले.” या अर्थाने, अपवाद म्हणजे अलेक्झांड्रिया (तिसरे शतक) च्या ग्रीक गणितज्ञ डायओफँटसचे "अंकगणित" - त्यांच्या निराकरणाच्या पद्धतशीर सादरीकरणासह समीकरणे तयार करण्यासाठी समस्यांचा संग्रह.

तथापि, 9व्या शतकातील बगदादच्या शास्त्रज्ञाचे कार्य व्यापकपणे प्रसिद्ध झालेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठीचे पहिले मॅन्युअल होते. मुहम्मद बिन मुसा अल-ख्वारीझमी. या ग्रंथाच्या अरबी नावातील "अल-जबर" हा शब्द - "किताब अल-जबेर वाल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापना आणि विरोधाचे पुस्तक") - कालांतराने सुप्रसिद्ध शब्द "बीजगणित" मध्ये बदलला आणि अल- ख्वारिझ्मीच्या कार्यानेच समीकरणे सोडवण्याच्या विज्ञानाच्या विकासाची सुरुवात केली.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता

1. लॉगरिदमिक समीकरणे

लॉगरिदम चिन्हाखाली किंवा त्याच्या पायावर अज्ञात असलेल्या समीकरणाला लॉगरिदमिक समीकरण म्हणतात.

सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे

लॉग a x = b . (1)

विधान 1. जर a > 0, a≠ 1, समीकरण (1) कोणत्याही वास्तविक साठी bएक अद्वितीय उपाय आहे x = a b .

उदाहरण 1. समीकरणे सोडवा:

a) लॉग 2 x= 3, ब) लॉग 3 x= -1, c)

उपाय. विधान 1 वापरून, आम्ही प्राप्त करतो a) x= 2 3 किंवा x= 8; ब) x= 3 -1 किंवा x= १/३ ; c)

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म सादर करू.

P1. मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

कुठे a > 0, a≠ 1 आणि b > 0.

P2. सकारात्मक घटकांच्या उत्पादनाचे लॉगरिदम या घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतके आहे:

लॉग a एन१· एन 2 = लॉग a एन 1 + लॉग a एन 2 (a > 0, a ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी द्या. जर एन१· एन 2 > 0, नंतर प्रॉपर्टी P2 फॉर्म घेते

लॉग a एन१· एन 2 = लॉग a |एन 1 | + लॉग a |एन 2 | (a > 0, a ≠ 1, एन१· एन 2 > 0).

P3. दोन धनात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम हा लाभांश आणि विभाजक यांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका असतो.

टिप्पणी द्या. जर

P4. धनात्मक संख्येच्या घाताचा लॉगरिदम घातांकाच्या गुणाकार आणि या संख्येच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचा असतो:

लॉग a एन k = kलॉग a एन (a > 0, a ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी द्या. जर k- सम संख्या ( k = 2s), ते

लॉग a एन 2s = 2sलॉग a |एन | (a > 0, a ≠ 1, एन ≠ 0).

P5. दुसर्या बेसवर जाण्यासाठी सूत्र:

विशेषतः जर एन = b, आम्हाला मिळते

P4 आणि P5 गुणधर्म वापरून, खालील गुणधर्म मिळवणे सोपे आहे

आणि, जर (5) मध्ये c- सम संख्या ( c = 2n), धरतो

लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मुख्य गुणधर्मांची यादी करू f (x) = लॉग a x :

1. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन म्हणजे सकारात्मक संख्यांचा संच.

2. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी वास्तविक संख्यांचा संच आहे.

3. केव्हा a> 1 लॉगरिदमिक फंक्शन काटेकोरपणे वाढत आहे (0< x 1 < x 2 लॉग a x 1 < loga x 2), आणि 0 वर< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 लॉग a x 1 > लॉग a x 2).

4.लॉग a 1 = 0 आणि लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. जर a> 1, तेव्हा लॉगरिदमिक फंक्शन ऋण असेल तेव्हा x(0;1) आणि सकारात्मक येथे x(1;+∞), आणि जर 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) आणि नकारात्मक येथे x (1;+∞).

6. जर a> 1, नंतर लॉगरिदमिक फंक्शन बहिर्गोल आहे, आणि जर a(0;1) - उत्तल खालच्या दिशेने.

लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना खालील विधाने (उदाहरणार्थ पहा) वापरली जातात.