हे दोन समांतर समतल आणि दंडगोलाकार पृष्ठभागाने बांधलेले एक भौमितिक शरीर आहे.

सिलेंडरमध्ये बाजूची पृष्ठभाग आणि दोन बेस असतात. सिलेंडरच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रामध्ये बेस आणि बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्राची स्वतंत्र गणना समाविष्ट असते. सिलेंडरमधील बेस समान असल्याने, त्याचे एकूण क्षेत्रफळ सूत्रानुसार मोजले जाईल:

सर्व आवश्यक सूत्रे जाणून घेतल्यानंतर आम्ही सिलेंडरचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू. प्रथम आपल्याला सिलेंडरच्या पायाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र आवश्यक आहे. सिलेंडरचा पाया एक वर्तुळ असल्याने, आम्हाला अर्ज करणे आवश्यक आहे:
आम्ही लक्षात ठेवतो की या गणनेमध्ये स्थिर संख्या Π = 3.1415926 वापरली जाते, जी वर्तुळाच्या परिघाच्या व्यासाचे गुणोत्तर म्हणून मोजली जाते. ही संख्या गणितीय स्थिरांक आहे. आपण थोड्या वेळाने सिलेंडरच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण देखील पाहू.

सिलेंडर बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र हे बेसची लांबी आणि त्याची उंची यांचे उत्पादन आहे:

आता एक समस्या पाहू ज्यामध्ये आपल्याला सिलेंडरचे एकूण क्षेत्रफळ मोजावे लागेल. दिलेल्या आकृतीमध्ये, उंची h = 4 सेमी, r = 2 सेमी आहे, आपण सिलेंडरचे एकूण क्षेत्रफळ काढू.
प्रथम, बेसचे क्षेत्रफळ काढूया:
आता सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू. विस्तारित केल्यावर, ते आयताचे प्रतिनिधित्व करते. त्याचे क्षेत्रफळ वरील सूत्र वापरून मोजले जाते. चला त्यामध्ये सर्व डेटा बदलूया:
वर्तुळाचे एकूण क्षेत्रफळ म्हणजे पाया आणि बाजूच्या दुप्पट क्षेत्रफळाची बेरीज:

अशा प्रकारे, पायाचे क्षेत्रफळ आणि आकृतीच्या पार्श्व पृष्ठभागासाठी सूत्रे वापरून, आम्ही सिलेंडरचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधू शकलो.
सिलेंडरचा अक्षीय विभाग हा एक आयत आहे ज्यामध्ये बाजू सिलेंडरच्या उंची आणि व्यासाच्या समान आहेत.

सिलेंडरच्या अक्षीय क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्राचे सूत्र गणना सूत्रावरून घेतले आहे:

सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ एका आयताच्या क्षेत्रफळाइतके असते ज्याचा पाया 2π आहे आर, आणि उंची सिलेंडरच्या उंचीइतकी आहे h, म्हणजे 2π आरएच.

सिलेंडरची एकूण पृष्ठभाग असेल: 2π आर 2 + 2π आरएच= 2π आर(आर+ h).

सिलेंडरच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ घेतले जाते स्वीप क्षेत्रत्याची बाजूकडील पृष्ठभाग.

म्हणून, उजव्या वर्तुळाकार सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ संबंधित आयताच्या क्षेत्रफळाइतके असते (चित्र.) आणि सूत्रानुसार मोजले जाते.

S b.c. = 2πRH, (1)

सिलिंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळात त्याच्या दोन तळांचे क्षेत्रफळ जोडल्यास, आपल्याला सिलेंडरचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मिळते.

एस पूर्ण =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

सरळ सिलेंडरचा आवाज

जेथे Q हे पायाचे क्षेत्रफळ आहे आणि H ही सिलेंडरची उंची आहे.

सिलिंडरच्या पायाचे क्षेत्रफळ Q असल्याने, परिक्रमा केलेल्या आणि कोरलेल्या बहुभुजांचे अनुक्रम Q क्षेत्रासह आहेत. nआणि प्रश्न' nअसे की

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) प्र n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= प्र.

आपण प्रिझम्सचा एक क्रम तयार करू या ज्यांचे तळ वर वर्णन केलेले आणि कोरलेले बहुभुज आहेत आणि ज्यांच्या बाजूच्या कडा दिलेल्या सिलेंडरच्या जनरेटिक्सच्या समांतर आहेत आणि त्यांची लांबी H आहे. हे प्रिझम दिलेल्या सिलेंडरसाठी परिक्रमा केलेले आहेत आणि कोरलेले आहेत. त्यांचे खंड सूत्रांद्वारे आढळतात

व्ही n=प्र n H आणि V' n= Q' nएच.

त्यामुळे,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n H = QH.

परिणाम.
उजव्या गोलाकार सिलेंडरची मात्रा सूत्राद्वारे मोजली जाते

V = π R 2 H

जेथे R ही पायाची त्रिज्या आहे आणि H ही सिलेंडरची उंची आहे.

वर्तुळाकार सिलेंडरचा पाया R त्रिज्याचे वर्तुळ असल्याने, Q = π R 2, आणि म्हणून

एक सिलेंडर एक आकृती आहे ज्याचा समावेश आहे दंडगोलाकार पृष्ठभागआणि दोन वर्तुळे समांतर स्थित आहेत. सिलेंडरचे क्षेत्रफळ मोजणे ही गणिताच्या भौमितिक शाखेतील समस्या आहे, जी अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवता येते. त्याचे निराकरण करण्याच्या अनेक पद्धती आहेत, ज्या शेवटी नेहमी एका सूत्रावर येतात.

सिलेंडरचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे - गणना नियम

• सिलेंडरचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासह बेसचे दोन क्षेत्र जोडणे आवश्यक आहे: S = Sside + 2Sbase. अधिक तपशीलवार आवृत्तीमध्ये, हे सूत्र असे दिसते: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• दिलेल्या भौमितिक शरीराचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजले जाऊ शकते जर त्याची उंची आणि त्याच्या पायथ्याशी असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या ज्ञात असेल. या प्रकरणात, दिले असल्यास, परिघातून त्रिज्या व्यक्त करू शकता. जर जनरेटरचे मूल्य स्थितीत निर्दिष्ट केले असेल तर उंची शोधली जाऊ शकते. या प्रकरणात, जनरेटरिक्स उंचीच्या समान असेल. या शरीराच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे सूत्र असे दिसते: S= 2 π rh.
• वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्र वापरून पायाचे क्षेत्रफळ मोजले जाते: S osn = π r 2 . काही समस्यांमध्ये, त्रिज्या दिली जाऊ शकत नाही, परंतु परिघ दिले जाऊ शकते. या सूत्रासह, त्रिज्या अगदी सहजपणे व्यक्त केली जाते. С=2π r, r= С/2π. आपण हे देखील लक्षात ठेवले पाहिजे की त्रिज्या अर्धा व्यास आहे.
• ही सर्व गणना करताना, π ही संख्या सहसा 3.14159 मध्ये भाषांतरित होत नाही... ती फक्त गणनाच्या परिणामी प्राप्त झालेल्या संख्यात्मक मूल्याच्या पुढे जोडणे आवश्यक आहे.
• पुढे, आपल्याला फक्त पायाचे आढळलेले क्षेत्र 2 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी संख्येमध्ये आकृतीच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे गणना केलेले क्षेत्र जोडणे आवश्यक आहे.
• जर समस्या सूचित करते की सिलेंडरमध्ये अक्षीय विभाग आहे आणि तो एक आयत आहे, तर उपाय थोडे वेगळे असेल. या प्रकरणात, आयताची रुंदी शरीराच्या पायथ्याशी असलेल्या वर्तुळाचा व्यास असेल. आकृतीची लांबी जनरेटरिक्स किंवा सिलेंडरच्या उंचीइतकी असेल. आवश्यक मूल्यांची गणना करणे आणि त्यांना आधीच ज्ञात सूत्रामध्ये बदलणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, बेसचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी आयताची रुंदी दोनने विभाजित करणे आवश्यक आहे. पार्श्व पृष्ठभाग शोधण्यासाठी, लांबी दोन त्रिज्या आणि संख्या π ने गुणाकार केली जाते.
• तुम्ही दिलेल्या भौमितिक शरीराचे क्षेत्रफळ त्याच्या खंडावरून काढू शकता. हे करण्यासाठी, तुम्हाला V=π r 2 h या सूत्रातून गहाळ मूल्य मिळवावे लागेल.
• सिलेंडरचे क्षेत्रफळ मोजण्यात काहीही क्लिष्ट नाही. तुम्हाला फक्त सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे आणि गणनेसाठी आवश्यक ते प्रमाण त्यांच्याकडून मिळवण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

सिलेंडरच्या पायथ्याशी लंब असलेल्या अक्षीय विभागाचे क्षेत्रफळ शोधा. या आयताच्या बाजूंपैकी एक बाजू सिलेंडरच्या उंचीइतकी आहे, दुसरी - बेस वर्तुळाच्या व्यासापर्यंत. त्यानुसार, या प्रकरणातील क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आयताच्या बाजूंच्या गुणाकाराच्या समान असेल. S=2R*h, जेथे S हे क्रॉस-विभागीय क्षेत्र आहे, R ही मूळ वर्तुळाची त्रिज्या आहे, जी समस्येच्या परिस्थितीनुसार दिली जाते आणि h ही सिलेंडरची उंची आहे, तसेच समस्येच्या परिस्थितीनुसार दिलेली आहे.

जर विभाग तळाशी लंब असेल, परंतु रोटेशनच्या अक्षातून जात नसेल, तर आयत वर्तुळाच्या व्यासाच्या बरोबरीने होणार नाही. त्याची गणना करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, सेक्शन प्लेन फिरण्याच्या अक्षापासून किती अंतरावर आहे हे समस्येने सांगितले पाहिजे. गणनेच्या सोप्यासाठी, सिलेंडरच्या पायथ्याशी एक वर्तुळ तयार करा, त्रिज्या काढा आणि त्यावर वर्तुळाच्या मध्यभागी भाग असलेल्या अंतरावर प्लॉट करा. या बिंदूपासून, वर्तुळासह त्यांच्या छेदनबिंदूवर लंब काढा. छेदनबिंदू केंद्राशी कनेक्ट करा. आपल्याला जीवा शोधण्याची आवश्यकता आहे. पायथागोरियन प्रमेय वापरून अर्ध्या जीवाचा आकार शोधा. ते केंद्रापासून विभाग रेषेपर्यंत वर्तुळाच्या त्रिज्येच्या वर्गांमधील फरकाच्या वर्गमूळाच्या समान असेल. a2=R2-b2. संपूर्ण जीवा, त्यानुसार, 2a समान असेल. क्रॉस-विभागीय क्षेत्राची गणना करा, जे आयताच्या बाजूंच्या गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, S=2a*h.

बेसच्या विमानातून न जाता सिलेंडर कापला जाऊ शकतो. जर क्रॉस सेक्शन रोटेशनच्या अक्षाला लंब असेल तर ते वर्तुळ असेल. या प्रकरणात त्याचे क्षेत्रफळ बेसच्या क्षेत्रफळाइतके आहे, म्हणजेच S = πR2 या सूत्राद्वारे गणना केली जाते.

उपयुक्त सल्ला

विभागाची अधिक अचूक कल्पना करण्यासाठी, त्यासाठी एक रेखाचित्र आणि अतिरिक्त बांधकाम करा.

स्रोत:

• सिलेंडर क्रॉस सेक्शन क्षेत्र

विमानासह पृष्ठभागाच्या छेदनबिंदूची रेषा पृष्ठभाग आणि कटिंग प्लेन दोन्हीशी संबंधित आहे. सरळ जनरेटिक्सच्या समांतर कटिंग प्लेनसह दंडगोलाकार पृष्ठभागाच्या छेदनबिंदूची रेषा ही सरळ रेषा आहे. जर कटिंग प्लेन क्रांतीच्या पृष्ठभागाच्या अक्षावर लंब असेल तर विभाग एक वर्तुळ असेल. सर्वसाधारणपणे, कटिंग प्लेनसह बेलनाकार पृष्ठभागाच्या छेदनबिंदूची रेषा वक्र रेषा असते.

तुम्हाला लागेल

• पेन्सिल, शासक, त्रिकोण, नमुने, होकायंत्र, मीटर.

सूचना

प्रोजेक्शन П₂ च्या फ्रंटल प्लेनवर, सेक्शन लाइन कटिंग प्लेन Σ₂ च्या प्रोजेक्शनशी एक सरळ रेषेच्या स्वरूपात एकरूप होते.
प्रोजेक्शन Σ₂ 1₂, 2₂, इ. सह सिलेंडरच्या जनरेटिसिसच्या छेदनबिंदूचे बिंदू नियुक्त करा. गुण 10₂ आणि 11₂ पर्यंत.

विमानात P₁ एक वर्तुळ आहे. बिंदू 1₂, 2₂, इ. विभाग समतल Σ₂ वर चिन्हांकित. प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन वापरून या वर्तुळाच्या बाह्यरेषावर प्रक्षेपित केले जाते. वर्तुळाच्या क्षैतिज अक्षाशी संबंधित त्यांचे क्षैतिज अंदाज सममितीयपणे चिन्हांकित करा.

अशा प्रकारे, इच्छित विभागाचे अंदाज निर्धारित केले जातात: P₂ विमानावर - एक सरळ रेषा (गुण 1₂, 2₂…10₂); P₁ विमानावर - एक वर्तुळ (गुण 1₁, 2₁…10₁).

दोन वापरून, दिलेल्या सिलेंडरच्या विभागाचा नैसर्गिक आकार फ्रंटल-प्रोजेक्टिंग प्लेन Σ द्वारे तयार करा. हे करण्यासाठी, प्रोजेक्शन पद्धत वापरा.

विमान Σ₂ च्या प्रक्षेपणाला समांतर П₄ विमान काढा. या नवीन x₂₄ अक्षावर, बिंदू 1₀ चिन्हांकित करा. बिंदूंमधील अंतर 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂, इ. विभागाच्या पुढच्या प्रक्षेपणातून, त्याला x₂₄ अक्षावर ठेवा, x₂₄ अक्षावर लंब असलेल्या प्रोजेक्शन कनेक्शनच्या पातळ रेषा काढा.

या पद्धतीमध्ये, P₄ समतल P₄ विमानाने बदलले जाते, म्हणून, क्षैतिज प्रक्षेपणातून, अक्षापासून बिंदूंपर्यंतचे परिमाण P₄ विमानाच्या अक्षावर हस्तांतरित करा.

उदाहरणार्थ, बिंदू 2 आणि 3 साठी P₁ वर हे 2₁ आणि 3₁ पासून अक्ष (बिंदू A) पर्यंतचे अंतर असेल.

क्षैतिज प्रक्षेपणापासून सूचित अंतर बाजूला ठेवून, तुम्हाला 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ गुण मिळतील. नंतर, बांधकामाच्या अधिक अचूकतेसाठी, उर्वरित मध्यवर्ती बिंदू निर्धारित केले जातात.

सर्व बिंदूंना पॅटर्न वक्रसह जोडून, ​​आपण फ्रंटल प्रोजेक्टिंग प्लेनद्वारे सिलेंडरच्या विभागाचा आवश्यक नैसर्गिक आकार प्राप्त करता.

स्रोत:

• विमान कसे बदलायचे

टीप 3: कापलेल्या शंकूचे अक्षीय क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र कसे शोधायचे

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की कापलेला शंकू काय आहे आणि त्याचे गुणधर्म काय आहेत. रेखाचित्र बनवण्याची खात्री करा. हे आपल्याला कोणते हे निर्धारित करण्यास अनुमती देईल भौमितिक आकृतीविभागाचे प्रतिनिधित्व करते. हे शक्य आहे की यानंतर, समस्येचे निराकरण करणे आपल्यासाठी यापुढे कठीण होणार नाही.

सूचना

गोल शंकू हे एक शरीर आहे जे त्याच्या एका पायाभोवती त्रिकोण फिरवून मिळते. शिखरातून निघणाऱ्या सरळ रेषा शंकूआणि त्याच्या पायाला छेदणाऱ्यांना जनरेटर म्हणतात. जर सर्व जनरेटर समान असतील तर शंकू सरळ आहे. फेरीच्या पायथ्याशी शंकूएक वर्तुळ आहे. शिरोबिंदूपासून पायथ्यापर्यंत सोडलेला लंब म्हणजे उंची शंकू. सरळ फेरीत शंकूउंची त्याच्या अक्षाशी जुळते. अक्ष ही बेसच्या मध्यभागी जोडणारी सरळ रेषा आहे. जर गोलाकाराचे क्षैतिज कटिंग प्लेन शंकू, नंतर त्याचा वरचा पाया एक वर्तुळ आहे.

या प्रकरणात दिलेला हा शंकू आहे हे प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमध्ये नमूद केलेले नसल्यामुळे, हा सरळ कापलेला शंकू आहे, ज्याचा क्षैतिज भाग पायाशी समांतर आहे असा निष्कर्ष आपण काढू शकतो. त्याचा अक्षीय विभाग, i.e. अनुलंब विमान, जे गोलाच्या अक्षातून जाते शंकू, समभुज ट्रॅपेझॉइड आहे. सर्व अक्षीय विभागगोल सरळ शंकूएकमेकांना समान आहेत. म्हणून, शोधण्यासाठी चौरसअक्षीय विभाग, आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहे चौरसट्रॅपेझॉइड, ज्याचे तळ कापलेल्या पायाचे व्यास आहेत शंकू, आणि पार्श्व बाजू त्याच्या घटक आहेत. फ्रस्टमची उंची शंकूट्रॅपेझॉइडची उंची देखील आहे.

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ सूत्रानुसार निर्धारित केले जाते: S = ½(a+b) h, जेथे S – चौरसट्रॅपेझॉइड - ट्रॅपेझॉइडच्या खालच्या पायाचा आकार - त्याच्या वरच्या पायाचा आकार;

अटी कोणती दिली आहे हे निर्दिष्ट करत नसल्यामुळे, हे शक्य आहे की दोन्ही तळांचे व्यास कापले गेले आहेत शंकूज्ञात: AD = d1 – कापलेल्या खालच्या पायाचा व्यास शंकू;BC = d2 – त्याच्या वरच्या पायाचा व्यास; EH = h1 - उंची शंकू.अशा प्रकारे, चौरसअक्षीय विभागकापलेले शंकूपरिभाषित केले आहे: S1 = ½ (d1+d2) h1

स्रोत:

• कापलेल्या शंकूचे क्षेत्र

सिलेंडर एक अवकाशीय आकृती आहे आणि त्यामध्ये दोन समान तळ असतात, ज्यात वर्तुळे असतात आणि तळांना मर्यादित करणाऱ्या रेषांना जोडणारी बाजूची पृष्ठभाग असते. गणना करणे चौरस सिलेंडर, त्याच्या सर्व पृष्ठभागांचे क्षेत्र शोधा आणि त्यांना जोडा.

सिलिंडरशी संबंधित समस्या मोठ्या प्रमाणात आहेत. त्यामध्ये आपल्याला शरीराची त्रिज्या आणि उंची किंवा त्याच्या विभागाचा प्रकार शोधण्याची आवश्यकता आहे. शिवाय, काहीवेळा आपल्याला सिलेंडरचे क्षेत्रफळ आणि त्याची मात्रा मोजण्याची आवश्यकता असते.

कोणते शरीर सिलेंडर आहे?

माहितीत शालेय अभ्यासक्रमएक गोलाकार सिलेंडर, म्हणजे, पायावर एक, अभ्यास केला जातो. परंतु या आकृतीचे लंबवर्तुळाकार स्वरूप देखील वेगळे केले जाते. नावावरून हे स्पष्ट होते की त्याचा आधार लंबवर्तुळाकार किंवा अंडाकृती असेल.

सिलेंडरला दोन बेस असतात. ते एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत आणि तळाशी संबंधित बिंदू एकत्र करणार्या विभागांद्वारे जोडलेले आहेत. त्यांना सिलेंडरचे जनरेटर म्हणतात. सर्व जनरेटर एकमेकांना समांतर आणि समान आहेत. ते शरीराच्या बाजूकडील पृष्ठभाग बनवतात.

सर्वसाधारणपणे, सिलेंडर हे झुकलेले शरीर असते. जर जनरेटर बेससह काटकोन बनवतात, तर आम्ही सरळ आकृतीबद्दल बोलतो.

विशेष म्हणजे, वर्तुळाकार सिलेंडर ही क्रांतीची बॉडी आहे. त्याच्या एका बाजूभोवती आयत फिरवून ते मिळवले जाते.

सिलेंडरचे मुख्य घटक

सिलेंडरचे मुख्य घटक असे दिसतात.

1. उंची. हे सिलेंडरच्या पायांमधील सर्वात कमी अंतर आहे. जर ते सरळ असेल तर उंची जनरेटिक्सशी जुळते.
2. त्रिज्या. बेसवर काढता येणाऱ्या एकाशी जुळते.
3. अक्ष. ही एक सरळ रेषा आहे ज्यामध्ये दोन्ही तळांची केंद्रे आहेत. अक्ष नेहमी सर्व जनरेटरला समांतर असतो. सरळ सिलेंडरमध्ये ते पायथ्याशी लंब असते.
4. अक्षीय विभाग. जेव्हा सिलेंडर अक्ष असलेल्या विमानाला छेदतो तेव्हा ते तयार होते.
5. स्पर्शिका विमान. ते एका जनरेटिसिसमधून जाते आणि अक्षीय विभागात लंब असते, जे या जनरेटिक्सद्वारे काढले जाते.

त्यात कोरलेल्या प्रिझमशी सिलिंडर कसा जोडला जातो किंवा त्याभोवती वर्णन केले जाते?

कधीकधी अशा समस्या असतात ज्यामध्ये आपल्याला सिलेंडरच्या क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक असते, परंतु संबंधित प्रिझमचे काही घटक ज्ञात असतात. हे आकडे कसे संबंधित आहेत?

जर सिलेंडरमध्ये प्रिझम कोरलेले असेल तर त्याचे तळ समान बहुभुज आहेत. शिवाय, ते सिलेंडरच्या संबंधित तळांमध्ये कोरलेले आहेत. प्रिझमच्या बाजूकडील कडा जनरेटरशी जुळतात.

वर्णन केलेल्या प्रिझमच्या पायावर नियमित बहुभुज असतात. ते सिलेंडरच्या वर्तुळाभोवती वर्णन केले आहेत, जे त्याचे तळ आहेत. प्रिझमचे चेहरे असलेली विमाने त्यांच्या जनरेटरसह सिलेंडरला स्पर्श करतात.

उजव्या गोलाकार सिलेंडरसाठी बाजूकडील पृष्ठभाग आणि पायाच्या क्षेत्रावर

जर तुम्ही बाजूची पृष्ठभाग उघडली तर तुम्हाला एक आयत मिळेल. त्याच्या बाजू जनरेटरिक्स आणि बेसच्या परिघाशी एकरूप असतील. त्यामुळेच बाजूकडील क्षेत्रसिलिंडर या दोन प्रमाणांच्या उत्पादनाप्रमाणे असेल. तुम्ही सूत्र लिहिल्यास, तुम्हाला खालील गोष्टी मिळतील:

S बाजू = l * n,

जेथे n जनरेटर आहे, l परिघ आहे.

शिवाय, शेवटचे पॅरामीटर सूत्र वापरून मोजले जाते:

l = 2 π * r,

येथे r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे, π ही 3.14 च्या बरोबरीची "pi" संख्या आहे.

पाया एक वर्तुळ असल्याने, त्याचे क्षेत्रफळ खालील अभिव्यक्ती वापरून मोजले जाते:

S मुख्य = π * r 2 .

उजव्या गोलाकार सिलेंडरच्या संपूर्ण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळावर

ते दोन बेस आणि बाजूच्या पृष्ठभागाने बनलेले असल्याने, तुम्हाला हे तीन प्रमाण जोडणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, सिलेंडरचे एकूण क्षेत्रफळ सूत्रानुसार मोजले जाईल:

S मजला = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

हे सहसा वेगळ्या स्वरूपात लिहिले जाते:

S मजला = 2 π * r (n + r).

कलते गोलाकार सिलेंडरच्या क्षेत्रांवर

बेससाठी, सर्व सूत्रे समान आहेत, कारण ती अद्याप मंडळे आहेत. परंतु बाजूची पृष्ठभाग यापुढे आयत देत नाही.

झुकलेल्या सिलेंडरच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, आपल्याला जनरेटरिक्सची मूल्ये आणि विभागाची परिमिती गुणाकार करणे आवश्यक आहे, जे निवडलेल्या जनरेटिक्सला लंब असेल.

सूत्र असे दिसते:

S बाजू = x * P,

जेथे x ही सिलेंडर जनरेटरिक्सची लांबी आहे, P हा विभागाचा परिमिती आहे.

तसे, एक विभाग निवडणे चांगले आहे की ते लंबवर्तुळ बनवते. मग त्याच्या परिमितीची गणना सरलीकृत केली जाईल. लंबवर्तुळाची लांबी अंदाजे उत्तर देणारे सूत्र वापरून मोजली जाते. परंतु शालेय अभ्यासक्रमाच्या कार्यांसाठी ते बरेचदा पुरेसे असते:

l = π * (a + b),

जिथे “a” आणि “b” हे लंबवर्तुळाचे अर्ध-अक्ष आहेत, म्हणजेच केंद्रापासून त्याच्या जवळच्या आणि सर्वात दूरच्या बिंदूंचे अंतर.

संपूर्ण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ खालील अभिव्यक्ती वापरून मोजले जाणे आवश्यक आहे:

S मजला = 2 π * r 2 + x * R.

उजव्या गोलाकार सिलेंडरचे काही विभाग कोणते आहेत?

जेव्हा एखादा विभाग अक्षातून जातो तेव्हा त्याचे क्षेत्र जनरेटरिक्सचे उत्पादन आणि बेसचा व्यास म्हणून निर्धारित केले जाते. हे या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केले आहे की त्यात आयताचा आकार आहे, ज्याच्या बाजू नियुक्त घटकांशी जुळतात.

अक्षीय सिलिंडरच्या समांतर असलेल्या सिलेंडरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र शोधण्यासाठी, तुम्हाला आयतासाठी सूत्र देखील आवश्यक असेल. या परिस्थितीत, त्याची एक बाजू अद्याप उंचीशी जुळेल आणि दुसरी बेसच्या जीवाएवढी असेल. नंतरचे बेस बाजूने विभाग ओळ सह coincides.

जेव्हा विभाग अक्षाला लंब असतो तेव्हा तो वर्तुळासारखा दिसतो. शिवाय, त्याचे क्षेत्रफळ आकृतीच्या पायाइतकेच आहे.

अक्षाच्या काही कोनात छेदणे देखील शक्य आहे. मग क्रॉस-सेक्शनचा परिणाम ओव्हल किंवा त्याचा काही भाग होतो.

समस्यांची उदाहरणे

कार्य क्रमांक १.एक सरळ सिलेंडर दिलेला आहे ज्याचे पायाचे क्षेत्रफळ 12.56 सेमी 2 आहे. सिलेंडरची उंची 3 सेमी असल्यास त्याचे एकूण क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे.

उपाय. साठी सूत्र वापरणे आवश्यक आहे पूर्ण क्षेत्रगोलाकार सरळ सिलेंडर. परंतु त्यात डेटाचा अभाव आहे, म्हणजे बेसची त्रिज्या. पण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ माहीत आहे. यावरून त्रिज्या काढणे सोपे आहे.

ते भागाच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचे असल्याचे दिसून येते, जे पायाचे क्षेत्र पाई ने विभाजित करून प्राप्त केले जाते. 12.56 ला 3.14 ने भागल्यावर निकाल 4 येतो. वर्गमूळ 4 पैकी ते 2 आहे. म्हणून, त्रिज्याला हे मूल्य नक्की असेल.

उत्तर: S मजला = 50.24 सेमी 2.

कार्य क्रमांक 2. 5 सेमी त्रिज्या असलेला सिलेंडर अक्षाला समांतर असलेल्या विमानाने कापला जातो. विभागापासून अक्षापर्यंतचे अंतर 3 सेमी आहे सिलेंडरची उंची 4 सेमी आहे.

उपाय. क्रॉस-सेक्शनल आकार आयताकृती आहे. त्याची एक बाजू सिलेंडरच्या उंचीशी जुळते आणि दुसरी जीवाएवढी असते. जर पहिले प्रमाण ज्ञात असेल तर दुसरे प्रमाण शोधणे आवश्यक आहे.

हे करण्यासाठी, अतिरिक्त बांधकाम करणे आवश्यक आहे. पायथ्याशी आम्ही दोन विभाग काढतो. ते दोन्ही वर्तुळाच्या मध्यभागी सुरू होतील. पहिला जीवेच्या मध्यभागी संपेल आणि अक्षाच्या ज्ञात अंतराच्या समान असेल. दुसरा जीवाच्या शेवटी आहे.

तुम्हाला काटकोन त्रिकोण मिळेल. कर्ण आणि एक पाय त्यात ओळखला जातो. कर्ण त्रिज्याशी एकरूप होतो. दुसरा पाय अर्धा जीवा समान आहे. अज्ञात पाय 2 ने गुणाकार केल्याने इच्छित जीवा लांबी मिळेल. चला त्याचे मूल्य मोजूया.

अज्ञात पाय शोधण्यासाठी, तुम्हाला कर्ण आणि ज्ञात पाय यांचे वर्गीकरण करावे लागेल, पहिल्यापासून दुसरा वजा करा आणि वर्गमूळ घ्या. वर्ग 25 आणि 9 आहेत. त्यांचा फरक 16 आहे. वर्गमूळ घेतल्यावर, 4 हा इच्छित पाय आहे.

जीवा 4 * 2 = 8 (सेमी) च्या समान असेल. आता आपण क्रॉस-विभागीय क्षेत्राची गणना करू शकता: 8 * 4 = 32 (सेमी 2).

उत्तर: S क्रॉस 32 सेमी 2 च्या बरोबरीचा आहे.

कार्य क्रमांक 3.सिलेंडरच्या अक्षीय क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक आहे. हे ज्ञात आहे की त्यामध्ये 10 सेमीच्या काठासह एक घन कोरलेला आहे.

उपाय. सिलेंडरचा अक्षीय विभाग एका आयताशी जुळतो जो घनाच्या चार शिरोबिंदूंमधून जातो आणि त्यात त्याच्या पायाचे कर्ण असतात. घनाची बाजू सिलेंडरचा जनरेटरिक्स आहे आणि बेसचा कर्ण व्यासाशी एकरूप होतो. या दोन प्रमाणांचे उत्पादन आपल्याला समस्येमध्ये शोधण्यासाठी आवश्यक असलेले क्षेत्र देईल.

व्यास शोधण्यासाठी, तुम्हाला हे ज्ञान वापरावे लागेल की घनाचा पाया चौरस आहे आणि त्याचा कर्ण समभुज बनतो. काटकोन त्रिकोण. त्याचे कर्ण आकृतीचे इच्छित कर्ण आहे.

त्याची गणना करण्यासाठी, आपल्याला पायथागोरियन प्रमेयच्या सूत्राची आवश्यकता असेल. आपल्याला क्यूबची बाजू चौरस करणे आवश्यक आहे, त्यास 2 ने गुणाकार करा आणि वर्गमूळ घ्या. दहा ते दुसरी शक्ती शंभर आहे. 2 ने गुणाकार केल्यास दोनशे होतात. 200 चे वर्गमूळ 10√2 आहे.

विभाग पुन्हा 10 आणि 10√2 बाजू असलेला एक आयत आहे. या मूल्यांचा गुणाकार करून त्याचे क्षेत्रफळ सहज काढता येते.

उत्तर द्या. S विभाग = 100√2 सेमी 2.