विषयअयोग्य इंटिग्रल्स

“निश्चित अविभाज्य” या विषयामध्ये मर्यादित अंतराच्या बाबतीत निश्चित अविभाज्य संकल्पना विचारात घेण्यात आली.
आणि मर्यादित कार्य
(§3 मधील प्रमेय 1 पहा). आता ही संकल्पना अनंत अंतराल आणि अमर्याद फंक्शनच्या बाबतीत सामान्यीकृत करू. अशा सामान्यीकरणाची आवश्यकता दर्शविली जाते, उदाहरणार्थ, खालील परिस्थितींद्वारे.

1. जर, कंस लांबीचे सूत्र वापरून, चतुर्थांश वर्तुळाची लांबी मोजण्याचा प्रयत्न करा
,
, नंतर आपण अमर्याद फंक्शनच्या अविभाज्य भागावर पोहोचतो:

, कुठे
.

2. शरीराला वस्तुमान द्या
प्रतिकार शक्तीसह माध्यमात जडत्वाने हालचाल करते
, कुठे
- शरीराचा वेग. न्यूटनचा दुसरा नियम वापरणे (
, कुठे
प्रवेग), आम्हाला समीकरण मिळते:
, कुठे
. या (भिन्न!) समीकरणाचे समाधान हे कार्य आहे हे दाखवणे अवघड नाही
पूर्ण थांबण्याआधी आपल्याला शरीराद्वारे प्रवास केलेल्या मार्गाची गणना करायची असल्यास, म्हणजे. क्षणापर्यंत जेव्हा
, नंतर आम्ही अनंत अंतराने अविभाज्य स्थानावर पोहोचतो:

§1. 1ल्या प्रकारचे अयोग्य अविभाज्य

मी व्याख्या

कार्य करू द्या
अंतराल वर परिभाषित आणि सतत
. मग कोणासाठीही
ते मध्यांतरावर अविभाज्य आहे
, म्हणजे, एक अविभाज्य आहे
.

व्याख्या १ . येथे या इंटिग्रलची मर्यादित किंवा अनंत मर्यादा
फंक्शनच्या 1ल्या प्रकारचा अयोग्य अविभाज्य असे म्हणतात
मध्यांतर बाजूने
आणि चिन्हाद्वारे नियुक्त केले आहे
. शिवाय, जर निर्दिष्ट मर्यादा मर्यादित असेल, तर अयोग्य अविभाज्य अभिसरण म्हणतात, अन्यथा (
किंवा अस्तित्वात नाही) – भिन्न.

तर, व्याख्येनुसार

उदाहरणे

2.
.

3.
- अस्तित्वात नाही.

उदाहरण 1 मधील अयोग्य अविभाज्य अभिसरण उदाहरण 2 आणि 3 मधील अविभाज्य घटक वेगळे होतात.

II न्यूटन-लेबनिझ सूत्र पहिल्या प्रकारच्या अयोग्य अविभाज्यतेसाठी

द्या
- फंक्शनसाठी काही अँटीडेरिव्हेटिव्ह
(वर अस्तित्वात आहे
, कारण
- सतत). मग

येथून हे स्पष्ट होते की अयोग्य अविभाज्य (1) चे अभिसरण मर्यादित मर्यादेच्या अस्तित्वाच्या समतुल्य आहे.
. जर ही मर्यादा परिभाषित केली असेल
, तर आपण इंटिग्रल (1) साठी न्यूटन-लेबनिझ सूत्र लिहू शकतो:

, कुठे
.

उदाहरणे .

5.
.

6. अधिक जटिल उदाहरण:
. प्रथम, अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधूया:

आता आपण अविभाज्य शोधू शकतो , ते दिले

:

III गुणधर्म

अयोग्य अविभाज्य (1) चे अनेक गुणधर्म सादर करूया, जे मर्यादा आणि निश्चित अविभाज्य गुणधर्मांच्या सामान्य गुणधर्मांचे अनुसरण करतात:

IV इतर व्याख्या

व्याख्या २ . जर
सतत चालू
, ते

.

व्याख्या 3 . जर
सतत चालू
, मग आम्ही व्याख्येनुसार स्वीकारतो

(- अनियंत्रित),

शिवाय, उजव्या बाजूचे दोन्ही अविभाज्य अभिसरण झाले तरच डाव्या बाजूचे अयोग्य अविभाज्य अभिसरण होते.

या अविभाज्यांसाठी, तसेच अविभाज्य (1) साठी, कोणीही संबंधित न्यूटन-लेबनिझ सूत्रे लिहू शकतो.

उदाहरण 7 .

§2.

1ल्या प्रकारच्या अयोग्य अविभाज्य अभिसरणासाठी चाचण्या

बर्याचदा, व्याख्येनुसार अयोग्य अविभाज्य गणना करणे अशक्य आहे, म्हणून ते अंदाजे समानता वापरतात ).

(मोठ्यासाठी

तथापि, हा संबंध केवळ अभिसरण पूर्णांकांसाठीच अर्थपूर्ण आहे. व्याख्या बायपास करून अविभाज्य वर्तन स्पष्ट करण्यासाठी पद्धती असणे आवश्यक आहे. आय

द्या
सकारात्मक कार्यांचे अविभाज्य घटक
वर
. मग निश्चित अभिन्न

वरच्या मर्यादेचे फंक्शन म्हणून ते वाढते फंक्शन आहे (हे निश्चित इंटिग्रलच्या सामान्य गुणधर्मांनुसार येते). प्रमेय १
. पहिल्या प्रकारच्या गैर-ऋणात्मक फंक्शनचे अयोग्य इंटिग्रल जर आणि फक्त फंक्शनमध्ये अभिसरण होते. .

वाढीसह मर्यादित राहते

हे प्रमेय मोनोटोन फंक्शन्सच्या सामान्य गुणधर्मांचा परिणाम आहे. प्रमेयाचा जवळजवळ कोणताही व्यावहारिक अर्थ नाही, परंतु तो आपल्याला तथाकथित प्राप्त करण्यास अनुमती देतो अभिसरणाची चिन्हे. प्रमेय 2
(पहिले तुलना चिन्ह). कार्ये करू द्या
आणि
साठी सतत
आणि असमानता पूर्ण करा

. मग:
1) अविभाज्य असल्यास
converges, नंतर

अभिसरण
2) अविभाज्य असल्यास
वळते, नंतर

वळवते पुरावा
(पहिले तुलना चिन्ह). कार्ये करू द्या
. चला सूचित करूया:
, ते

. कारण
. अविभाज्य होऊ द्या
converges, नंतर (प्रमेय 1 द्वारे) फंक्शन
- मर्यादित. पण मग
मर्यादित आहे, आणि म्हणून अविभाज्य

देखील अभिसरण. प्रमेयाचा दुसरा भागही अशाच प्रकारे सिद्ध होतो.
अविभाज्य मधून वेगळे झाल्यास हा निकष लागू होणार नाही
च्या इंटिग्रलचे किंवा अभिसरण

. ही कमतरता 2 रा तुलना वैशिष्ट्यामध्ये अनुपस्थित आहे. प्रमेय 3
(पहिले तुलना चिन्ह). कार्ये करू द्या
(तुलनेचे दुसरे चिन्ह). कार्ये करू द्या
सतत आणि गैर-नकारात्मक चालू
. मग जर
येथे
(पहिले तुलना चिन्ह). कार्ये करू द्या
, नंतर अयोग्य इंटिग्रल्स

वळवते एकाच वेळी अभिसरण किंवा वळवा.

, ,

.

. प्रमेयाच्या अटींवरून आपल्याला खालील समतुल्य विधानांची साखळी मिळते:
आणि असमानता पूर्ण करा

चला, उदाहरणार्थ,

प्रमेय 2 आणि गुणधर्म 1) §1 वरून लागू करू आणि प्रमेय 3 चे विधान मिळवू.
,
ज्या मानक फंक्शनची तुलना केली जाते ते पॉवर फंक्शन आहे

. अविभाज्य असल्याचे सिद्ध करण्यासाठी आम्ही विद्यार्थ्यांना आमंत्रित करतो
येथे एकत्रित होते
.

उदाहरणे . 1.
.

आणि येथे वळते
:

,
.

इंटरव्हलवरील इंटिग्रँडचा विचार करा
अविभाज्य
अभिसरण, कारण
. 2 रा तुलना निकषावर आधारित, अविभाज्य देखील अभिसरण होते

2.
.

, आणि गुणधर्मामुळे 2) §1 पासून, मूळ अविभाज्य देखील एकत्र होते.
कारण
, नंतर अस्तित्वात आहे

जसे की जेव्हा

. अशा व्हेरिएबल मूल्यांसाठी: अशी माहिती आहेलॉगरिदमिक कार्य

,

पॉवर कायद्यापेक्षा हळू हळू वाढते, म्हणजे

.

इंटरव्हलवरील इंटिग्रँडचा विचार करा संदर्भ म्हणून एकत्रित होते. 1ल्या तुलनात्मक निकषानुसार, ते एकत्र होते आणि
. 2रा निकष लागू करून, आम्ही ते अविभाज्य प्राप्त करतो
अभिसरण आणि पुन्हा गुणधर्म 2) §1 वरून मूळ अविभाज्यतेचे अभिसरण सिद्ध होते.

विद्यार्थ्यांनी आणि शाळकरी मुलांसाठी त्यांनी समाविष्ट केलेली सामग्री एकत्रित करण्यासाठी साइटवर निश्चित अविभाज्य घटक. आणि तुमची व्यावहारिक कौशल्ये प्रशिक्षित करा. तुमच्यासाठी काही क्षणांतच ऑनलाइन अविभाज्यांचे संपूर्ण समाधान तुम्हाला प्रक्रियेचे सर्व टप्पे निश्चित करण्यात मदत करेल - निश्चित इंटिग्रल ऑनलाइन. विद्यार्थ्यांनी आणि शाळकरी मुलांसाठी त्यांनी समाविष्ट केलेली सामग्री पूर्णपणे एकत्रित करण्यासाठी आणि त्यांची व्यावहारिक कौशल्ये प्रशिक्षित करण्यासाठी साइटवर काही विशिष्ट घटक ऑनलाइन. तुमच्यासाठी काही क्षणांतच ऑनलाइन अविभाज्यांचे संपूर्ण समाधान तुम्हाला प्रक्रियेचे सर्व टप्पे निश्चित करण्यात मदत करेल - निश्चित इंटिग्रल ऑनलाइन. आमच्यासाठी, उत्कृष्ट लेखकांच्या पुस्तकातून या विषयाचा अभ्यास केल्यामुळे, एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन घेणे हे काही अति नैसर्गिक आहे असे वाटत नाही. आम्ही त्यांचे मनःपूर्वक आभार मानतो आणि या व्यक्तींबद्दल आदर व्यक्त करतो. निश्चित इंटिग्रल निश्चित करण्यात मदत करते ऑनलाइन सेवावेळेत अशा समस्यांची गणना करण्यासाठी. फक्त योग्य माहिती द्या आणि सर्वकाही चांगले होईल! समस्येचे निराकरण म्हणून कोणतेही निश्चित अविभाज्य घटक विद्यार्थ्यांची साक्षरता सुधारतील. प्रत्येक आळशी व्यक्ती याचे स्वप्न पाहते आणि आम्हीही त्याला अपवाद नाही, आम्ही ते प्रामाणिकपणे कबूल करतो. जर तुम्ही अद्याप विनामूल्य समाधानासह एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन गणना करू शकत असाल, तर कृपया वेबसाइटचा पत्ता लिहा ज्यांना ते वापरू इच्छित आहे. जसे ते म्हणतात, आपण उपयुक्त दुवा सामायिक केल्यास, चांगले लोक काहीही न करता धन्यवाद देतील. एखाद्या समस्येचे विश्लेषण करण्याचा प्रश्न ज्यामध्ये कॅल्क्युलेटरद्वारे एक विशिष्ट अविभाज्य स्वतःच सोडवला जाईल आणि आपला मौल्यवान वेळ वाया घालवू नये, तो खूप मनोरंजक असेल. म्हणूनच ते लोकांसाठी काम करण्यासाठी मशीन आहेत. तथापि, विशिष्ट अविभाज्यांचे ऑनलाइन निराकरण करणे ही प्रत्येक साइट हाताळू शकते असे नाही आणि हे तपासणे सोपे आहे, म्हणजे, फक्त एक जटिल उदाहरण घ्या आणि अशा प्रत्येक सेवेचा वापर करून ते सोडवण्याचा प्रयत्न करा. तुम्हाला पहिला फरक जाणवेल. बऱ्याचदा, कोणत्याही प्रयत्नाशिवाय एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन शोधणे खूप कठीण होईल आणि निकालाच्या एकूण चित्राच्या पार्श्वभूमीवर तुमचे उत्तर हास्यास्पद वाटेल. तरुण फायटरसाठी प्रथम कोर्स घेणे चांगले होईल. अयोग्य अविभाज्यांचे ऑनलाइन कोणतेही समाधान प्रथम अनिश्चित गणनेसाठी कमी केले जाते, आणि नंतर, मर्यादांच्या सिद्धांताद्वारे, नियमानुसार, प्रतिस्थापित सीमा A आणि B सह परिणामी अभिव्यक्तींमधून एकतर्फी मर्यादा मोजण्यासाठी. निश्चित पूर्णांकाचे परीक्षण केल्यावर आपण तपशीलवार समाधानासह ऑनलाइन सूचित केले आहे, आम्ही निष्कर्ष काढला की आपण पाचव्या पायरीवर चूक केली आहे, म्हणजे चेबिशेव्ह व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट फॉर्म्युला वापरताना. पुढील निर्णयात खूप सावधगिरी बाळगा. जर तुमचे निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर जर तुम्ही ते पहिल्यांदा घेऊ शकत नसाल, तर सर्वप्रथम तुम्ही वेबसाइटवरील योग्य फॉर्ममध्ये लिखित डेटा दोनदा तपासावा. सर्वकाही व्यवस्थित असल्याची खात्री करा आणि जा, गो-जा! प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी, शिक्षकांसोबत अयोग्य अविभाज्य घटकांची ऑनलाइन गणना करणे हा अडथळा आहे, कारण ही एकतर परीक्षा आहे, किंवा संभाषण आहे, किंवा फक्त एका जोडीवर चाचणी आहे. नंतर दिलेले फंक्शन ताबडतोब प्रविष्ट करा, दिलेल्या एकात्मिक मर्यादा बदला आणि सोल्यूशन बटणावर क्लिक करा, त्यानंतर तुम्हाला संपूर्ण, तपशीलवार उत्तरात प्रवेश मिळेल. तरीही, जेव्हा साइट म्हणून अशी अद्भुत साइट असेल तेव्हा ते चांगले आहे, कारण ती विनामूल्य, वापरण्यास सोपी आहे आणि त्यात बरेच विभाग आहेत. जे विद्यार्थी दररोज वापरतात, त्यापैकी एक पूर्ण स्वरूपात समाधानासह एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन आहे. त्याच विभागात, तुम्ही संस्थेत आणि अभियांत्रिकी कार्यात उत्तराच्या पुढील अनुप्रयोगांसाठी तपशीलवार समाधानासह अयोग्य अविभाज्य ऑनलाइन गणना करू शकता. असे दिसते की एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन निश्चित करणे ही प्रत्येकासाठी एक सोपी बाब आहे जर तुम्ही असे उदाहरण अप्पर आणि लोअर बाउंडशिवाय आधीच सोडवले, म्हणजे लीबनिझ इंटिग्रल नाही तर अनिश्चित अविभाज्य. परंतु येथे आपण आणि मी स्पष्टपणे असहमत आहोत, कारण पहिल्या दृष्टीक्षेपात हे अगदी असेच वाटू शकते, परंतु एक महत्त्वपूर्ण फरक आहे, चला सर्वकाही क्रमवारी लावूया. समाधान स्पष्टपणे असे निश्चित अविभाज्य प्रदान करत नाही, परंतु अभिव्यक्तीचे एका मर्यादित मूल्यामध्ये रूपांतर करण्याच्या परिणामी. दुसऱ्या शब्दांत, आपण प्रथम सीमांच्या प्रतिकात्मक मूल्यांना बदलून अविभाज्य निराकरण करणे आवश्यक आहे आणि नंतर अमर्याद किंवा विशिष्ट बिंदूवर मर्यादा मोजणे आवश्यक आहे. म्हणून, विनामूल्य समाधानासह एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन गणना करणे म्हणजे न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून अचूक समाधान सादर करण्यापेक्षा अधिक काही नाही. जर आम्ही आमच्या निश्चित अविभाज्य कॅल्क्युलेटरचा विचार केला तर ते तुमच्या डोळ्यांसमोर काही सेकंदात त्याची गणना करण्यात मदत करेल. ही गर्दी प्रत्येकासाठी आवश्यक आहे ज्यांना शक्य तितक्या लवकर कार्य पूर्ण करायचे आहे आणि वैयक्तिक बाबींसाठी मोकळे होणे आहे. तुम्ही अशा साइट्ससाठी इंटरनेटवर शोधू नये ज्या तुम्हाला नोंदणी करण्यास सांगतील, नंतर तुमच्या शिल्लक रकमेमध्ये पैसे जोडा, हे सर्व काही हुशार व्यक्ती ऑनलाइन समजल्या जाणाऱ्या विशिष्ट अविभाज्य घटकांसाठी उपाय तयार करण्याच्या हेतूने. लक्षात ठेवा Math24 हा पत्ता अनेक गणिती समस्या सोडवण्यासाठी एक विनामूल्य सेवा आहे, ज्यामध्ये आम्ही तुम्हाला एक विशिष्ट अविभाज्य ऑनलाइन शोधण्यात मदत करू आणि याची खात्री करण्यासाठी, कृपया आमचे विधान तपासा. विशिष्ट उदाहरणे. योग्य फील्डमध्ये इंटिग्रँड प्रविष्ट करा, नंतर एकतर अनंत मर्यादा मूल्ये निर्दिष्ट करा (या प्रकरणात, अयोग्य पूर्णांकांचे समाधान मोजले जाईल आणि ऑनलाइन प्राप्त केले जाईल), किंवा तपशीलवार समाधानासह तुमची संख्यात्मक किंवा प्रतीकात्मक मर्यादा आणि निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन निर्दिष्ट करा. "सोल्यूशन" बटणावर क्लिक केल्यानंतर पृष्ठावर प्रदर्शित केले जाईल. नाही का - हे अगदी सोपे आहे, त्यासाठी तुमच्याकडून कोणत्याही अनावश्यक कृतीची आवश्यकता नाही, ते विनामूल्य आहे, जी सर्वात महत्वाची गोष्ट आहे आणि त्याच वेळी ते प्रभावी आहे. तुम्ही सेवा स्वतः वापरू शकता जेणेकरून विशिष्ट अविभाज्य ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर तुम्हाला जास्तीत जास्त फायदा मिळवून देईल आणि तुम्हाला सर्व संगणकीय प्रक्रियेच्या जटिलतेवर ताण न देता आरामदायी स्थिती मिळेल, आम्ही तुमच्यासाठी सर्वकाही करू आणि संगणक तंत्रज्ञानाची संपूर्ण शक्ती प्रदर्शित करू. आधुनिक जग. जर तुम्ही जटिल सूत्रांच्या जंगलात डुबकी मारली आणि अयोग्य अविभाज्य घटकांच्या गणनेचा स्वतःहून अभ्यास केला, तर हे प्रशंसनीय आहे आणि तुम्ही पीएचडी थीसिस लिहिण्याच्या संधीसाठी पात्र होऊ शकता, परंतु विद्यार्थी जीवनातील वास्तविकतेकडे परत जाऊ या. विद्यार्थी कोण आहे? सर्व प्रथम, तो एक तरुण, उत्साही आणि आनंदी आहे, ज्याला आराम करण्यासाठी आणि गृहपाठ करण्यासाठी वेळ हवा आहे! म्हणूनच, आम्ही अशा विद्यार्थ्यांची काळजी घेतली आहे जे जागतिक नेटवर्कच्या विशालतेवर अयोग्य अविभाज्य ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर शोधण्याचा प्रयत्न करीत आहेत आणि ते येथे आपल्या लक्षासाठी आहे - साइट तरुणांसाठी सर्वात उपयुक्त ऑनलाइन सॉल्व्हर आहे. तसे, जरी आमची सेवा विद्यार्थी आणि शालेय मुलांसाठी सहाय्यक म्हणून सादर केली गेली असली तरी ती कोणत्याही अभियंत्यासाठी पूर्णपणे योग्य आहे, कारण आम्ही कोणत्याही प्रकारच्या समस्येस सक्षम आहोत आणि त्यांचे निराकरण व्यावसायिक स्वरूपात सादर केले आहे. उदाहरणार्थ, आम्ही टप्प्याटप्प्याने संपूर्ण सोल्यूशनसह एक निश्चित अविभाज्य ऑनलाइन ऑफर करतो, म्हणजेच, प्रत्येक तार्किक ब्लॉकला (सबटास्क) एकूण सोल्यूशन प्रक्रियेदरम्यान सर्व गणनेसह स्वतंत्र एंट्री दिली जाते. हे अर्थातच, मल्टी-स्टेज अनुक्रमिक लेआउट्सची धारणा सुलभ करते आणि अशा प्रकारे तपशीलवार समाधानासह अयोग्य अविभाज्य ऑनलाइन शोधण्यासाठी समान सेवांपेक्षा साइट प्रकल्पाचा एक फायदा आहे.

अविभाज्य बेरीजची मर्यादा म्हणून निश्चित पूर्णांक

अटींची पूर्तता झाली तरच अस्तित्वात असू शकते (म्हणजे विशिष्ट अंतिम मूल्य असू शकते).

जर यापैकी किमान एक अटींचे उल्लंघन केले गेले तर व्याख्या त्याचा अर्थ गमावते. खरंच, अनंत विभागाच्या बाबतीत, उदाहरणार्थ [ a; ) ते यात विभागले जाऊ शकत नाही nमर्यादित लांबीचे भाग
, जे, शिवाय, विभागांच्या संख्येच्या वाढीसह शून्याकडे झुकते. काही ठिकाणी अमर्यादित बाबतीत सह[a; b] अनियंत्रित बिंदू निवडीसाठी आवश्यकतेचे उल्लंघन केले आहे आंशिक विभागांवर - निवडले जाऊ शकत नाही =सह, कारण या टप्प्यावर फंक्शनचे मूल्य अपरिभाषित आहे. तथापि, या प्रकरणांसाठी देखील मर्यादेसाठी दुसरा उतारा सादर करून निश्चित अविभाज्य संकल्पना सामान्य करणे शक्य आहे. अनंत अंतराल आणि ओव्हर अखंड (अनबाउंड) फंक्शन्सवर इंटिग्रल्स म्हणतात तुमचे स्वतःचे नाही.

व्याख्या.

कार्य करू द्या
मध्यांतरावर परिभाषित केले आहे [ a; ) आणि कोणत्याही मर्यादित अंतरावर अविभाज्य आहे [ a; b], म्हणजे अस्तित्वात आहे
कोणासाठीही b > a. प्रकार मर्यादा
म्हणतात अयोग्य अविभाज्य पहिला प्रकार (किंवा अनंत अंतरालवर एक अयोग्य अविभाज्य) आणि सूचित करा
.

अशा प्रकारे, व्याख्येनुसार,
=
.

जर उजवीकडील मर्यादा अस्तित्त्वात असेल आणि मर्यादित असेल, तर अयोग्य अविभाज्य
म्हणतात अभिसरण . जर ही मर्यादा अमर्याद असेल, किंवा मुळीच अस्तित्वात नसेल, तर ते म्हणतात की अयोग्य अविभाज्य वळवते .

त्याचप्रमाणे, आपण फंक्शनच्या अयोग्य इंटिग्रलची संकल्पना सादर करू शकतो
मध्यांतर (–; b]:

=
.

आणि फंक्शनचे अयोग्य इंटिग्रल
मध्यांतरावर (–; +) वर सादर केलेल्या अविभाज्यांची बेरीज म्हणून परिभाषित केले आहे:

=
+
,

कुठे ए- अनियंत्रित बिंदू. हे अविभाज्य दोन्ही संज्ञा एकत्र आल्यास अभिसरण होते आणि किमान एक पद वळवल्यास ते वळते.

भौमितिक दृष्टिकोनातून, अविभाज्य
,
, फंक्शनच्या आलेखाने वर बांधलेल्या असीम वक्र ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राचे संख्यात्मक मूल्य निर्धारित करते
, डावीकडे - सरळ
, खालून - OX अक्षाद्वारे. इंटिग्रलचे अभिसरण म्हणजे अशा ट्रॅपेझॉइडच्या मर्यादित क्षेत्राचे अस्तित्व आणि त्याची समानता जंगम उजव्या भिंतीसह वक्र ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रफळाच्या मर्यादेपर्यंत आहे.
.

अमर्याद मर्यादा असलेल्या अविभाज्यतेच्या बाबतीत, आपण सामान्यीकरण करू शकतो न्यूटन-लेबनिझ सूत्र:

=
=F( + ) - F( a),

कुठे F( + ) =
. जर ही मर्यादा अस्तित्त्वात असेल, तर अविभाज्य अभिसरण होते, अन्यथा ते वेगळे होते.

आम्ही अनंत अंतराच्या बाबतीत निश्चित अविभाज्य संकल्पनेचे सामान्यीकरण मानले.

आता आपण अमर्याद फंक्शनच्या बाबतीत सामान्यीकरणाचा विचार करू.

व्याख्या

कार्य करू द्या
मध्यांतरावर परिभाषित केले आहे [ a; b) बिंदूच्या काही अतिपरिचित क्षेत्रामध्ये अमर्यादित आहे b, आणि कोणत्याही अंतराने सतत आहे
, जेथे>0 (आणि, म्हणून, या मध्यांतरावर अविभाज्य आहे, उदा.
अस्तित्वात आहे). प्रकार मर्यादा
म्हणतात दुसऱ्या प्रकारचे अयोग्य अविभाज्य (किंवा अमर्याद कार्याचे अयोग्य अविभाज्य) आणि दर्शविले जाते
.

अशाप्रकारे, बिंदूवर अनबाउंडेडचे अयोग्य अविभाज्य bफंक्शन्स परिभाषानुसार अस्तित्वात आहेत

=
.

जर उजवीकडील मर्यादा अस्तित्वात असेल आणि मर्यादित असेल तर अविभाज्य म्हणतात अभिसरण. जर कोणतीही मर्यादित मर्यादा नसेल, तर अयोग्य अविभाज्य म्हणतात भिन्न

त्याचप्रमाणे, आपण फंक्शनचे अयोग्य इंटिग्रल परिभाषित करू शकतो
बिंदूवर असीम खंडितता असणे ए:

=
.

फंक्शन असल्यास
आतील बिंदूवर असीम खंडितता आहे सह
, नंतर अयोग्य अविभाज्य खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे

=
+
=
+
.

हे अविभाज्य दोन्ही संज्ञा एकत्र आल्यास अभिसरण होते आणि किमान एक पद वळल्यास वळते.

भौमितिक दृष्टिकोनातून, अमर्याद फंक्शनचे अयोग्य अविभाज्य देखील अमर्याद वक्र ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र दर्शवते:

अयोग्य अविभाज्य हे निश्चित पूर्णांकापासून मर्यादेपर्यंत जात असल्याने, निश्चित अविभाज्यांचे सर्व गुणधर्म (योग्य शुद्धीकरणांसह) पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकारच्या अयोग्य अविभाज्यांमध्ये हस्तांतरित केले जाऊ शकतात.

अयोग्य अविभाज्य घटकांना कारणीभूत असलेल्या बर्याच समस्यांमध्ये, हे अविभाज्य काय समान आहे हे जाणून घेणे आवश्यक नाही, फक्त त्याचे अभिसरण किंवा विचलन सत्यापित करणे पुरेसे आहे. यासाठी ते वापरतात अभिसरणाची चिन्हे. अयोग्य इंटिग्रल्सच्या अभिसरणाची चिन्हे:

1) तुलना चिन्ह.

ते सर्वांसाठी असू द्या एक्स

सतत आणि गैर-नकारात्मक चालू
अभिसरण, नंतर अभिसरण
, आणि

. जर
diverges, नंतर diverges आणि
.

2) अभिसरण झाल्यास
, नंतर अभिसरण आणि
(या प्रकरणात शेवटचा अविभाज्य म्हणतात पूर्णपणे अभिसरण).

अमर्याद फंक्शन्सच्या अयोग्य अविभाज्य घटकांच्या अभिसरण आणि विचलनाचे निकष वर तयार केलेल्या प्रमाणेच आहेत.

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे.

उदाहरण १.

अ)
; ब)
; V)

जी)
; ड)
.

उपाय.

अ) व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

.

b) त्याचप्रमाणे

म्हणून, हे अविभाज्य अभिसरण आणि समान आहे .

c) व्याख्येनुसार
=
+
, आणि ए- अनियंत्रित संख्या. चला आमच्या बाबतीत मांडूया
, मग आम्हाला मिळेल:

हे अविभाज्य अभिसरण होते.

याचा अर्थ असा की हे अविभाज्य वेगळे होते.

e) चला विचार करूया
.

इंटिग्रँडचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधण्यासाठी, भागांद्वारे एकत्रीकरणाची पद्धत लागू करणे आवश्यक आहे. मग आम्हाला मिळते:
दोन्ही पासून
, किंवा

अस्तित्वात नाही, नंतर अस्तित्वात नाही आणि

म्हणून, हे अविभाज्य वेगळे होते.

उदाहरण २. इंटिग्रलच्या अभिसरणाची चौकशी करा n.

उपाय.

वर अवलंबून आहे
येथे

आमच्याकडे आहे:
, ते
जर

आमच्याकडे आहे:
, ते
आणि. म्हणून, अविभाज्य वेगळे होते.
, ए

=,

, नंतर

आमच्याकडे आहे:
, ते

म्हणून, अविभाज्य अभिसरण होते.

म्हणून, अविभाज्य वेगळे होते.

अशा प्रकारे,

उदाहरण ३.

अ)
अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा:
;
.

उपाय.

ब)
;
V)

अ) अविभाज्य

.

इंटिग्रँड असल्याने, दुसऱ्या प्रकारचा अयोग्य अविभाज्य आहे .

एका बिंदूवर मर्यादित नाही
. मग, व्याख्येनुसार,
अविभाज्य अभिसरण आणि समान आहे

ब) विचार करा

. येथे देखील इंटिग्रँड बिंदूवर मर्यादित नाही
. म्हणून, हे अविभाज्य दुसऱ्या प्रकारचे अयोग्य आहे आणि व्याख्येनुसार,
म्हणून, अविभाज्य वेगळे होते.
(पहिले तुलना चिन्ह). कार्ये करू द्या
c) विचार करा
. इंटिग्रँड

=

=

.

दोन बिंदूंवर असीम अंतर सहन करा:
.

, त्यातील पहिला एकीकरण मध्यांतराचा आहे

. म्हणून, हा अविभाज्य दुसऱ्या प्रकारचा अयोग्य अविभाज्य आहे. मग, व्याख्येनुसार

म्हणून, अविभाज्य अभिसरण होते आणि समान असते

निश्चित अविभाज्य

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

$a,\,b$ या संख्या मर्यादित आहेत आणि $f(x)$ हे सतत फंक्शन आहे असे गृहीत धरून तयार केले आहे. यापैकी एक गृहितकांचे उल्लंघन झाल्यास, आम्ही अयोग्य इंटिग्रल्सबद्दल बोलतो.

जेव्हा एकीकरणाची खालची मर्यादा मर्यादित असते आणि वरची मर्यादा $+\infty$ इतकी असते तेव्हा आपण प्रथम परिस्थितीचा विचार करूया; $f(x)$ साठी, आमच्या सर्व $x$ व्याजासाठी सतत, अविभाज्य विचारात घ्या

\begin(समीकरण) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(समीकरण)

सर्व प्रथम, आपल्याला या अभिव्यक्तीचा अर्थ स्थापित करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही फंक्शन सादर करतो

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

आणि $N\rightarrow +\infty$ साठी त्याचे वर्तन विचारात घ्या.

व्याख्या. एक मर्यादित मर्यादा असू द्या

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

मग आपण असे म्हणतो की 1ल्या प्रकारचा (19) अयोग्य अविभाज्य अभिसरण आहे आणि त्याला $A$ हे मूल्य नियुक्त केले आहे; $. जर निर्दिष्ट मर्यादा अस्तित्वात नसेल किंवा ती $\pm \infty$ च्या बरोबर असेल, तर अविभाज्य (19) वळते असे म्हटले जाते.

1ल्या प्रकारच्या अभिसरण अयोग्य अविभाज्यांमध्ये सामान्य निश्चित पूर्णांकांचे सर्व मानक गुणधर्म असतात.

1. जर $f(x)$, $g(x)$ मध्यांतर $\left[ a, \, +\infty \right)$ वर अविभाज्य असतील, तर त्यांची बेरीज $f(x)+g(x) या मध्यांतरावर $ देखील अविभाज्य आहे, आणि \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. जर $f(x)$ हे $\left[ a, \, +\infty \right)$ वर एकत्रित करता येत असेल, तर कोणत्याही स्थिर $C$ साठी $C\cdot f(x)$ फंक्शन या मध्यांतरावर देखील अविभाज्य आहे, आणि \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] ३. जर $f(x)$ $\left[ a, \, +\infty \right)$ आणि या मध्यांतरावर $f(x)>0$, तर \[ \int _a^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] ४. जर $f(x)$ हे $\left[ a, \, +\infty \right)$ वर अविभाज्य असेल, तर कोणत्याही $b>a$ साठी अविभाज्य \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] अभिसरण, आणि \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (इंटरव्हलवर इंटिग्रलची जोड).

व्हेरिएबल बदलणे, भागांद्वारे एकत्रीकरण इत्यादीची सूत्रे देखील वैध आहेत. (नैसर्गिक आरक्षणासह).

एकीकरणाची खालची मर्यादा $-\infty$ सारखी असते आणि वरची मर्यादा मर्यादित असते तेव्हा पर्यायाचा विचार करूया. चला पूर्णांक पाहू

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

तथापि, जर आपण $x=-s$ व्हेरिएबल्समध्ये बदल केला आणि नंतर ठिकाणी एकत्रीकरणाची मर्यादा बदलली तर हा पर्याय मागील पर्यायापर्यंत कमी केला जाऊ शकतो, जेणेकरून

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. आता दोन अमर्याद मर्यादा असताना या प्रकरणाचा विचार करूया, म्हणजे. अविभाज्य

\begin(समीकरण) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(समीकरण)

आणि $f(x)$ सर्व $x \in \mathbb(R)$ साठी सतत आहे. चला मध्यांतर दोन भागांमध्ये विभाजित करू या: $c \in \mathbb(R)$ घ्या आणि दोन अविभाज्यांचा विचार करा,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

व्याख्या. जर दोन्ही अविभाज्य $I_1$, $I_2$ अभिसरण झाले, तर अविभाज्य (21) ला अभिसरण असे म्हणतात आणि $I=I_1+I_2$ (अंतरालावरील अतिरिक्ततेनुसार) मूल्य नियुक्त केले जाते. अविभाज्यांपैकी किमान एक $I_1$, $I_2$ विचलित झाल्यास, अविभाज्य (21) याला डायव्हर्जंट म्हणतात.

हे सिद्ध केले जाऊ शकते की अविभाज्य (21) चे अभिसरण बिंदू $c$ च्या निवडीवर अवलंबून नाही.

$\left(-\infty, \, c \right]$ किंवा $(-\infty, \, +\infty)$ सह 1ल्या प्रकारच्या अयोग्य पूर्णांकांमध्ये निश्चित पूर्णांकांचे सर्व मानक गुणधर्म आहेत (योग्य सह निवड एकीकरण मध्यांतर लक्षात घेऊन सुधारणा).

10.1.2 पहिल्या प्रकारच्या अयोग्य अविभाज्य घटकांच्या अभिसरणासाठी चाचण्या

प्रमेय (तुलनेचे पहिले चिन्ह). $f(x)$, $g(x)$ $x>a$ आणि $0 a$ साठी सतत राहू द्या. मग

1. जर अविभाज्य \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] अभिसरण होते, तर अविभाज्य \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx एकत्र होते. \] २. जर अविभाज्य \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] वळते, तर अविभाज्य \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx वळते. \]

प्रमेय (दुसरा तुलना निकष). $f(x)$, $g(x)$ सतत आणि $x>a$ साठी सकारात्मक असू द्या आणि एक मर्यादित मर्यादा असू द्या

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

मग अखंड

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

, नंतर अयोग्य इंटिग्रल्स

असीम एकीकरण मर्यादेसह अयोग्य इंटिग्रल

काहीवेळा अशा अयोग्य इंटिग्रलला पहिल्या प्रकारचे..gif" width="49" height="19 src="> अयोग्य इंटिग्रल असेही म्हणतात.

अनंत खालच्या मर्यादेसह किंवा दोन अमर्याद मर्यादा असलेले अविभाज्य कमी सामान्य आहेत: .

आम्ही सर्वात लोकप्रिय प्रकरणाचा विचार करू https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? नाही, नेहमी नाही. इंटिग्रँडhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

इंटिग्रँड फंक्शनचा आलेख चित्रात दाखवू. या केससाठी ठराविक आलेख आणि वक्र ट्रॅपेझॉइड असे दिसते:

अयोग्य अविभाज्यhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", दुसऱ्या शब्दांत, क्षेत्र देखील असीम आहे. असे असू शकते.या प्रकरणात ते म्हणतात की अयोग्य अविभाज्य वळवते.

2) पण. विरोधाभासी वाटेल तितके, अनंत आकृतीचे क्षेत्रफळ... एका मर्यादित संख्येइतके असू शकते! उदाहरणार्थ: .. दुसऱ्या प्रकरणात, अयोग्य अविभाज्य अभिसरण.

अनंत वक्र ट्रॅपेझॉइड अक्षाच्या खाली स्थित असल्यास काय होते?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

उदाहरण १

इंटिग्रँड फंक्शन https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, याचा अर्थ सर्वकाही ठीक आहे आणि अयोग्य इंटिग्रलची गणना " मानक" पद्धत.

आमच्या सूत्राचा वापर https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

म्हणजेच, अयोग्य अविभाज्य वळते आणि छायांकित वक्र ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ अनंताच्या बरोबरीचे आहे.

अयोग्य पूर्णांक सोडवताना, मूलभूत प्राथमिक कार्यांचे आलेख कसे दिसतात हे जाणून घेणे फार महत्वाचे आहे!

उदाहरण २

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

चला रेखाचित्र बनवूया:

प्रथम, आम्ही खालील गोष्टी लक्षात घेतो: अर्ध-मांतरावर इंटिग्रँड सतत असतो. चांगले..gif" width="327" height="53">

(१) आपण पॉवर फंक्शनचा सर्वात सोपा इंटिग्रल घेतो (हे विशेष केसअनेक सारण्यांमध्ये दिसते). वजा ताबडतोब मर्यादेच्या चिन्हाच्या बाहेर ठेवणे चांगले आहे जेणेकरुन पुढील गणनेमध्ये ते मार्गात येऊ नये.

(२) आम्ही न्यूटन-लीबनिझ सूत्र वापरून वरच्या आणि खालच्या मर्यादा बदलतो.

(३) आम्ही सूचित करतो की https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (सज्जनहो, हे दीर्घकाळ समजून घेणे आवश्यक आहे. वेळेपूर्वी) आणि उत्तर सोपे करा.

येथे अनंत वक्र ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ एक मर्यादित संख्या आहे! अविश्वसनीय पण खरे.

उदाहरण ३

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

इंटिग्रँड चालू आहे.

प्रथम, अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन (अनिश्चित अविभाज्य) शोधण्याचा प्रयत्न करूया.

कोणत्या तक्त्यातील अविभाज्य घटकांचे समाकलन समान आहे? हे मला एका आर्कटँजंटची आठवण करून देते: . हे विचार सूचित करतात की भाजकामध्ये एक चौरस असणे चांगले होईल. हे बदलीद्वारे केले जाते.

चला बदलू:

तपासणी करणे नेहमीच उपयुक्त असते, म्हणजे प्राप्त झालेल्या निकालामध्ये फरक करणे:

आता आम्हाला अयोग्य अविभाज्य आढळले:

(1) आम्ही सूत्रानुसार उपाय लिहितो . स्थिरांक ताबडतोब मर्यादेच्या चिन्हाच्या पलीकडे हलविणे चांगले आहे जेणेकरून ते पुढील गणनांमध्ये व्यत्यय आणू नये.

(२) आम्ही वरच्या आणि खालच्या मर्यादा न्यूटन-लीबनिझ सूत्रानुसार बदलतो..gif" width="56" height="19 src=">? आधीच वारंवार शिफारस केलेल्या लेखातील आर्कटँजंटचा आलेख पहा.

(3) आम्हाला अंतिम उत्तर मिळते. एक वस्तुस्थिती जी मनापासून जाणून घेणे उपयुक्त आहे.

प्रगत विद्यार्थ्यांना अनिश्चित अविभाज्य स्वतंत्रपणे सापडणार नाही आणि ते बदलण्याची पद्धत वापरणार नाही, उलट विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन बदलण्याची आणि अयोग्य अविभाज्य "तात्काळ" सोडवण्याची पद्धत वापरा. या प्रकरणात, समाधान असे काहीतरी दिसले पाहिजे:

“

इंटिग्रँड फंक्शन https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104"> वर सतत आहे
“

उदाहरण ४

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

! हे एक नमुनेदार उदाहरण आहे आणि तत्सम अविभाज्य बरेचदा आढळतात. ते चांगले कार्य करा! पूर्ण चौरस वेगळे करण्याची पद्धत वापरून अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन येथे आढळते.

उदाहरण ५

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

हे अविभाज्य तपशीलवार निराकरण केले जाऊ शकते, म्हणजे, प्रथम व्हेरिएबलमध्ये बदल करून अनिश्चित पूर्णांक शोधा. किंवा तुम्ही ते "लगेच" सोडवू शकता - विभेदक चिन्हाखाली फंक्शन सब्सम करून..

अमर्यादित फंक्शन्सचे अयोग्य इंटिग्रल्स

कधीकधी अशा अयोग्य अविभाज्यांना दुसऱ्या प्रकारचे अयोग्य अविभाज्य असे म्हणतात. दुस-या प्रकारचे अयोग्य इंटिग्रल नेहमीच्या निश्चित इंटिग्रल अंतर्गत कपटीपणे “एनक्रिप्ट केलेले” असतात आणि अगदी सारखे दिसतात: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) किंवा बिंदूवर , 3) किंवा दोन्ही बिंदूंवर एकाच वेळी, 4) किंवा अगदी एकीकरण विभागावर आम्ही पहिल्या दोन प्रकरणांचा विचार करू 3-4 लेखाच्या शेवटी एक अतिरिक्त धडा आहे.

हे स्पष्ट करण्यासाठी फक्त एक उदाहरणः https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, नंतर आपला भाजक शून्यावर जातो, म्हणजेच, इंटिग्रँड फक्त या टप्प्यावर अस्तित्वात नाही!

सर्वसाधारणपणे, अयोग्य इंटिग्रलचे विश्लेषण करताना तुम्हाला नेहमी इंटिग्रँडमध्ये दोन्ही एकत्रीकरण मर्यादा बदलण्याची आवश्यकता असते..jpg" alt="अयोग्य अविभाज्य, समाकलनाच्या खालच्या मर्यादेवर खंडितता बिंदू" width="323" height="380">!}

येथे सर्व काही पहिल्या प्रकारच्या अविभाज्य प्रमाणेच आहे.
आमचे अविभाज्य संख्यात्मक आहे क्षेत्रफळाच्या समानएक छायांकित वक्र ट्रॅपेझॉइड जो शीर्षस्थानी मर्यादित नाही. या प्रकरणात, दोन पर्याय असू शकतात: अयोग्य अविभाज्य अविभाज्य (क्षेत्रफळ अनंत आहे) किंवा अयोग्य अविभाज्य एका मर्यादित संख्येइतके आहे (म्हणजे, अनंत आकृतीचे क्षेत्रफळ मर्यादित आहे!).

बाकी फक्त न्यूटन-लाइबनिझ फॉर्म्युला सुधारण्यासाठी आहे. हे एका मर्यादेच्या मदतीने देखील सुधारित केले आहे, परंतु मर्यादा यापुढे अनंताकडे झुकत नाही, परंतु मूल्य करण्यासाठीhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> बरोबर.

उदाहरण 6

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

इंटिग्रँडमध्ये एका बिंदूवर असीम खंड असतो (वरच्या मर्यादेसह सर्व काही ठीक आहे हे तोंडी किंवा मसुद्यावर तपासण्यास विसरू नका!)

प्रथम, अनिश्चित अविभाज्य गणना करूया:

बदली:

चला अयोग्य इंटिग्रलची गणना करूया:

(1) येथे नवीन काय आहे? सोल्यूशन तंत्रज्ञानाच्या बाबतीत व्यावहारिकदृष्ट्या काहीही नाही. बदललेली एकमेव गोष्ट म्हणजे मर्यादा चिन्हाखालील एंट्री: . जोडण्याचा अर्थ असा आहे की आम्ही उजवीकडील मूल्यासाठी प्रयत्न करीत आहोत (जे तार्किक आहे - आलेख पहा). मर्यादांच्या सिद्धांतामध्ये अशा मर्यादेला एकतर्फी मर्यादा म्हणतात. या प्रकरणात आमच्याकडे उजव्या हाताची मर्यादा आहे.

(२) आम्ही न्यूटन-लीबनिझ सूत्र वापरून वरच्या आणि खालच्या मर्यादा बदलतो.

(३) https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src="> समजून घेऊ. अभिव्यक्ती कुठे जावी हे कसे ठरवायचे? ढोबळपणे बोलायचे तर , यामध्ये तुम्हाला फक्त मूल्य बदलणे आवश्यक आहे, तीन चतुर्थांश बदलणे आवश्यक आहे आणि उत्तराची कंगवा दर्शवा.

या प्रकरणात, अयोग्य अविभाज्य एक ऋण संख्या समान आहे.

उदाहरण 7

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

उदाहरण 8

अयोग्य इंटिग्रलची गणना करा किंवा त्याचे विचलन स्थापित करा.

जर इंटिग्रँड बिंदूवर अस्तित्वात नसेल

अशा अयोग्य इंटिग्रलसाठी असीम वक्र ट्रॅपेझॉइड मूलभूतपणे असे दिसते:

येथे सर्व काही अगदी सारखेच आहे, त्याशिवाय आपली मर्यादा झुकते मूल्य करण्यासाठीhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> आपण ब्रेकिंग पॉइंटच्या अगदी जवळ जावे बाकी.