"Preparação para o exame: Tarefas com parâmetros." Resolvendo um problema com parâmetros

1. Sistemas equações lineares com parâmetro

Os sistemas de equações lineares com um parâmetro são resolvidos pelos mesmos métodos básicos que os sistemas de equações convencionais: o método de substituição, o método de adição de equações e o método gráfico. Conhecimento em interpretação gráfica sistemas lineares torna fácil responder à pergunta sobre o número de raízes e sua existência.

Exemplo 1

Encontre todos os valores para o parâmetro a para o qual o sistema de equações não possui soluções.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Solução.

Vejamos várias maneiras de resolver esse problema.

1 caminho. Usamos a propriedade: o sistema não tem soluções se a razão dos coeficientes na frente de x for igual à razão dos coeficientes na frente de y, mas não igual à razão dos termos livres (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Então nós temos:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ou um sistema

(e 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Da primeira equação a 2 \u003d 4, portanto, levando em consideração a condição de que a ≠ 2, obtemos a resposta.

Resposta: a = -2.

2 maneiras. Resolvemos pelo método de substituição.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Depois de tirar o fator comum y dos colchetes na primeira equação, temos:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

O sistema não tem soluções se a primeira equação não tem soluções, isto é

(e 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

É óbvio que a = ±2, mas levando em consideração a segunda condição, apenas a resposta com menos é dada.

Responda: a = -2.

Exemplo 2

Encontre todos os valores para o parâmetro a para o qual o sistema de equações tem um número infinito de soluções.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Solução.

Por propriedade, se a razão dos coeficientes em x e y for a mesma e for igual à razão dos membros livres do sistema, ele terá um conjunto infinito de soluções (ou seja, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Portanto, 8/a = a/2 = 2/1. Resolvendo cada uma das equações obtidas, descobrimos que um \u003d 4 é a resposta neste exemplo.

Responda: a = 4.

2. Sistemas de equações racionais com um parâmetro

Exemplo 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Solução.

Multiplique a primeira equação do sistema por 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Subtraia a segunda equação da primeira, obtemos 5|x| = 4 – a. Esta equação terá uma solução única para a = 4. Em outros casos, esta equação terá duas soluções (para um< 4) или ни одного (при а > 4).

Resposta: a = 4.

Exemplo 4

Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais o sistema de equações tem uma solução única.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Solução.

Vamos resolver este sistema usando o método gráfico. Assim, o gráfico da segunda equação do sistema é uma parábola, elevada ao longo do eixo Oy por um segmento unitário. A primeira equação define o conjunto de linhas paralelas à linha y = -x (Imagem 1). A figura mostra claramente que o sistema tem uma solução se a linha reta y \u003d -x + a for tangente à parábola no ponto com coordenadas (-0,5; 1,25). Substituindo essas coordenadas na equação de uma linha reta em vez de x e y, encontramos o valor do parâmetro a:

1,25 = 0,5 + a;

Resposta: a = 0,75.

Exemplo 5

Usando o método de substituição, descubra em qual valor do parâmetro a, o sistema tem uma solução única.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Solução.

Expresse y da primeira equação e substitua na segunda:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Trazemos a segunda equação para a forma kx = b, que terá uma única solução para k ≠ 0. Temos:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

O trinômio quadrado a 2 + 3a + 2 pode ser representado como um produto de colchetes

(a + 2)(a + 1), e à esquerda tiramos x dos colchetes:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Obviamente, a 2 + 3a não deve ser igual a zero, portanto,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, o que significa a ≠ 0 e ≠ -3.

Responda: a ≠ 0; ≠ -3.

Exemplo 6

Usando o método de solução gráfica, determine em qual valor do parâmetro a, o sistema tem uma solução única.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Solução.

Com base na condição, construímos um círculo com centro na origem das coordenadas e raio de 3 segmentos unitários, é esse círculo que define a primeira equação do sistema

x 2 + y 2 = 9. A segunda equação do sistema (y = |x| + a) é uma linha tracejada. Usando Figura 2 consideramos tudo casos possíveis sua posição em relação ao círculo. É fácil ver que a = 3.

Resposta: a = 3.

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Tarefa 1 #6329

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais o sistema \[\begin(cases) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(cases)\]

tem exatamente quatro soluções.

(USE 2018, onda principal)

A segunda equação do sistema pode ser reescrita como \(y=\pm x\) . Portanto, considere dois casos: quando \(y=x\) e quando \(y=-x\) . Então o número de soluções do sistema será igual à soma do número de soluções no primeiro e segundo casos.

1) \(y=x\) . Substitua na primeira equação e obtenha: \ (note que no caso de \(y=-x\) faremos o mesmo e também obteremos uma equação quadrática)
Para que o sistema original tenha 4 soluções diferentes, é necessário que em cada um dos dois casos sejam obtidas 2 soluções.
Uma equação quadrática tem duas raízes quando é \(D>0\) . Vamos encontrar o discriminante da equação (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Discriminante maior que zero: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . Obtemos uma equação quadrática: \ O discriminante é maior que zero: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , de onde \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).

É necessário verificar se as soluções do primeiro caso são as mesmas do segundo caso.

Seja \(x_0\) a solução geral das equações (1) e (2), então \ A partir daqui, obtemos \(x_0=0\) ou \(a=0\) .
Se \(a=0\) , então as equações (1) e (2) são as mesmas, portanto, elas têm as mesmas raízes. Este caso não nos convém.
Se \(x_0=0\) é sua raiz comum, então \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), de onde \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , de onde \(a=-1\) ou \(a=-0,6\) . Então todo o sistema original terá 3 soluções diferentes, o que não nos convém.

Diante de tudo isso, a resposta será:

Responda:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \certo)\)

Tarefa 2 #4032

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

Encontre todos os valores \(a\) , para cada um dos quais o sistema \[\begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

tem uma solução única.

Vamos reescrever o sistema como: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\] Considere três funções: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Segue do sistema que \(y\leqslant g\) , mas \(y\geqslant h\) . Portanto, para que o sistema tenha soluções, o gráfico \(y\) deve estar na área, que é dada pelas condições: “acima” do gráfico \(h\) , mas “abaixo” do gráfico \(g\ ):

(vamos chamar a região “esquerda” de região I, a região “direita” - região II)
Observe que para todo grafo \(a\ne 0\) fixo \(y\) é uma parábola cujo vértice está no ponto \((-1;0)\) , e cujos ramos são para cima ou para baixo. Se \(a=0\) , então a equação se parece com \(y=0\) e o gráfico é uma linha reta que coincide com o eixo x.
Observe que para que o sistema original tenha uma única solução, é necessário que o gráfico \(y\) tenha exatamente um ponto comum com a região I ou região II (isso significa que o gráfico \(y\) deve ter um único ponto comum com a fronteira de uma dessas regiões).

Vamos considerar vários casos separadamente.

1) \(a>0\) . Em seguida, os ramos da parábola \(y\) são voltados para cima. Para que o sistema original tenha uma única solução, é necessário que a parábola \(y\) toque a fronteira da região I ou a fronteira da região II, ou seja, toque a parábola \(g\) , e a abcissa do ponto de contato deve ser \(\leqslant -3\) ou \(\geqslant 2\) (ou seja, a parábola \(y\) deve tocar a borda de uma das regiões que está acima do x -eixo, pois a parábola \(y\) está acima do eixo x).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Condições para que os gráficos \(y\) e \(g\) toquem no ponto com abcissa \(x_0\leqslant -3\) ou \(x_0\geqslant 2\): \[\begin(cases) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(alinhado)\end(reunido)\right. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(cases)\] Do sistema dado \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Obtemos o primeiro valor do parâmetro \(a\) .

2) \(a=0\) . Então \(y=0\) e fica claro que a reta tem um número infinito de pontos em comum com a região II. Portanto, este valor de parâmetro não nos convém.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Encontre \(a\) para a qual a parábola \(y\) passa pelo ponto \(B\): \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Garantimos que com esse valor do parâmetro, o segundo ponto de interseção da parábola \(y=-\frac34(x+1)^2\) com a linha \(h=-2x-1\) é um ponto com coordenadas \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Assim, temos mais um valor de parâmetro.

Como consideramos todos os casos possíveis para \(a\) , a resposta final é: \

Responda:

\(\esquerda\(-\frac34; \frac43\direita\)\)

Tarefa 3 #4013

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais o sistema de equações \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]

tem exatamente duas soluções.

1) Considere a primeira equação do sistema como quadrática em relação a \(x\) : \ O discriminante é igual a \(D=9y^2\) , portanto, \ Então a equação pode ser reescrita como \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Portanto, todo o sistema pode ser reescrito como \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0.5x\end(aligned)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(cases)\] O conjunto define duas retas, a segunda equação do sistema define um círculo com centro \((a;a)\) e raio \(R=\sqrt5a^2\) . Para que a equação original tenha duas soluções, o círculo deve interceptar o gráfico da população em exatamente dois pontos. Aqui está o desenho quando, por exemplo, \(a=1\) :

Observe que, como as coordenadas do centro do círculo são iguais, o centro do círculo “corre” ao longo da linha reta \(y=x\) .

2) Como a linha \(y \u003d kx\) tem a tangente do ângulo de inclinação desta linha à direção positiva do eixo \(Ox\) é \(k\), então a tangente da inclinação de a linha \(y=0.5x\) é igual a \(0,5\) (vamos chamá-la de \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), a linha reta \(y=2x\) é igual a \(2\) (vamos chamá-lo de \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). notar que \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), Consequentemente, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Daí \(\alpha=90^\circ-\beta\) , de onde \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Isso significa que o ângulo entre \(y=2x\) e a direção positiva \(Oy\) é igual ao ângulo entre \(y=0,5x\) e a direção positiva \(Ox\):

E como a reta \(y=x\) é a bissetriz do ângulo coordenado I (ou seja, os ângulos entre ela e as direções positivas \(Ox\) e \(Oy\) são iguais em \(45^\ circ\) ), então os ângulos entre \(y=x\) e as linhas \(y=2x\) e \(y=0,5x\) são iguais.
Precisávamos de tudo isso para dizer que as linhas \(y=2x\) e \(y=0,5x\) são simétricas entre si em relação a \(y=x\) , portanto, se o círculo tocar uma deles , então ele necessariamente toca a segunda linha.
Observe que se \(a=0\) , então o círculo degenera no ponto \((0;0)\) e tem apenas um ponto de interseção com ambas as linhas. Ou seja, este caso não nos convém.
Assim, para que o círculo tenha 2 pontos de interseção com as retas, ele deve ser tangente a essas retas:

Vemos que o caso em que o círculo está localizado no terceiro quarto é simétrico (em relação à origem das coordenadas) ao caso em que está localizado no primeiro quarto. Ou seja, no primeiro trimestre \(a>0\) , e no terceiro \(a<0\) (но такие же по модулю).
Portanto, consideraremos apenas o primeiro trimestre.

notar que \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Então então \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Mas do outro lado, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] Consequentemente, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm \ dfrac15\] Assim, já obtivemos imediatamente um valor positivo e negativo para \(a\) . Portanto, a resposta é: \

Responda:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Tarefa 4 #3278

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

Encontre todos os valores \(a\) , para cada um dos quais a equação \

tem uma solução única.

(USE 2017, julgamento oficial 21/04/2017)

Vamos fazer a substituição \(t=5^x, t>0\) e mover todos os termos para uma parte: \ Obtivemos uma equação quadrática cujas raízes, segundo o teorema de Vieta, são \(t_1=a+6\) e \(t_2=5+3|a|\) . Para que a equação original tenha uma raiz, basta que a equação resultante com \(t\) também tenha uma raiz (positiva!).
Notamos imediatamente que \(t_2\) para todo \(a\) será positivo. Assim, obtemos dois casos:

1) \(t_1=t_2\): \ &a=-\dfrac14 \end(alinhado) \end(reunido) \right.\]

2) Como \(t_2\) é sempre positivo, \(t_1\) deve ser \(\leqslant 0\): \

Responda:

\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

Tarefa 5 #3252

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

tem exatamente uma raiz no intervalo \(\) .

(Exame Estadual Unificado 2017, dia de reserva)

A equação pode ser reescrita como: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Assim, observe que \(x=a\) é a raiz da equação para qualquer \(a\) , já que a equação se torna \(0=0\) . Para que esta raiz pertença ao segmento \(\) , você precisa de \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
A segunda raiz da equação é encontrada em \(x+a=3x-1\) , ou seja, \(x=\frac(a+1)2\) . Para que esse número seja a raiz da equação, ele deve satisfazer a ODZ da equação, ou seja: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Para que esta raiz pertença ao segmento \(\) , é necessário que \ Assim, para que a raiz \(x=\frac(a+1)2\) exista e pertença ao segmento \(\) , é necessário que \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Observe que para \(0\leqslant a\leqslant 1\) ambas as raízes \(x=a\) e \(x=\frac(a+1)2\) pertencem ao segmento \(\) (isto é , a equação tem duas raízes neste segmento), exceto no caso em que coincidem: \ Então nos encaixamos \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) e \(a=1\) .

Responda:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)

Tarefa 6 #3238

Nível da tarefa: Igual ao Exame Estadual Unificado

Encontre todos os valores do parâmetro \(a\) , para cada um dos quais a equação \

tem uma única raiz no segmento \(.\)

(Exame Estadual Unificado 2017, dia de reserva)

A equação é equivalente: \ equação odz: \[\begin(cases) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(cases)\] Na ODZ, a equação será reescrita na forma: \

1) Seja \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Não corresponde a \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Seja \(a=0\) . Então a equação ODZ é: \(x\geqslant 0\) . A equação será reescrita como: \ A raiz resultante se encaixa na ODZ e é incluída no segmento \(\) . Portanto, \(a=0\) é adequado.

3) Seja \(a>0\) . Então ODZ: \(x\geqslant a\) e \(x\leqslant 1\) . Portanto, se \(a>1\) , então a ODZ é um conjunto vazio. Assim, \(0 Considere a função \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Vamos explorá-lo.
A derivada é \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Vamos determinar qual sinal a derivada pode ter. Para fazer isso, encontre o discriminante da equação \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a( a-9)\) Portanto, para \(a\in (0;1]\) o discriminante \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). Portanto, \(y\) é crescente. Assim, pela propriedade de uma função crescente, a equação \(y(x)=0\) pode ter no máximo uma raiz.

Portanto, para que a raiz da equação (o ponto de interseção do gráfico \(y\) com o eixo x) esteja no segmento \(\) , é necessário que \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Considerando que inicialmente no caso em consideração \(a\in (0;1]\) , então a resposta é \(a\in (0;1]\) . Observe que a raiz \(x_1\) satisfaz \( (1) \) , as raízes \(x_2\) e \(x_3\) satisfazem \((2)\) . Observe também que a raiz \(x_1\) pertence ao segmento \(\) .
Considere três casos:

1) \(a>0\) . Então \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) satisfaz \((2)\) , \(x_3\) não satisfaz \((1)\) , ou corresponde a \(x_1\) , ou satisfaz \((1)\) , mas não incluído no segmento \(\) (ou seja, menor que \(0\) );
- \(x_1\) não satisfaz \((2)\) , \(x_3\) satisfaz \((1)\) e não é igual a \(x_1\) .
Observe que \(x_3\) não pode ser menor que zero e satisfazer \((1)\) (ou seja, maior que \(\frac35\) ). Diante dessa observação, os casos são registrados no seguinte conjunto: \[\left[ \begin(reunido)\begin(alinhado) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Resolvendo esta coleção e levando em conta que \(a>0\) , obtemos: \

2) \(a=0\) . Então \(x_2=x_3=3\in .\) Observe que neste caso \(x_1\) satisfaz \((2)\) e \(x_2=3\) satisfaz \((1)\) , então é uma equação que tem duas raízes em \(\) . Este valor \(a\) não nos convém.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) e \(x_3\notin\) . Argumentando de forma semelhante ao parágrafo 1), você precisa resolver o conjunto: \[\left[ \begin(reunido)\begin(alinhado) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(reunido)\direito.\] Resolvendo esta coleção e levando em consideração que \(a<0\) , получим: \\]

Responda:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

O objetivo deste trabalho é estudar várias formas de resolver problemas com parâmetros. A habilidade e capacidade de resolver problemas com parâmetros demonstram domínio de métodos para resolver equações e desigualdades, uma compreensão significativa de informações teóricas, o nível de pensamento lógico e estimular a atividade cognitiva. Para o desenvolvimento dessas habilidades, são necessários mais esforços, razão pela qual nas séries de perfil 10-11 com um estudo aprofundado das ciências exatas, foi introduzido um curso: “Mathematical Practicum”, parte do qual é a solução de equações e desigualdades com parâmetros. O curso é uma das disciplinas incluídas no componente curricular da escola.

O estudo bem-sucedido de métodos para resolver problemas com parâmetros pode ser auxiliado por um curso eletivo ou opcional, ou um componente por trás de uma grade sobre o tema: “Problemas com parâmetros”.

Considere quatro grandes classes de problemas com parâmetros:

Equações, desigualdades e seus sistemas que precisam ser resolvidos para qualquer valor de parâmetro, ou para valores de parâmetro que pertencem a um determinado conjunto.
Equações, desigualdades e seus sistemas, para os quais é necessário determinar o número de soluções em função do valor do parâmetro.
Equações, desigualdades e seus sistemas, para os quais é necessário encontrar todos os valores do parâmetro para os quais as equações especificadas (sistemas, desigualdades) têm um determinado número de soluções.
Equações, desigualdades e seus sistemas, para os quais, para os valores desejados do parâmetro, o conjunto de soluções satisfaz as condições dadas no domínio de definição.

Métodos para resolver problemas com parâmetros.

1. Método analítico.

Este é um método de solução direta que repete os procedimentos padrão para encontrar uma resposta em problemas sem parâmetro.

Exemplo 1: encontre todos os valores de parâmetro uma, para o qual a equação:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 tem no máximo uma raiz.

Às 2 uma– 1 = 0 esta equação não é quadrática, então o caso uma=1/2 são analisados separadamente.

Se um uma= 1/2, então a equação se torna 1/2 x– 2 = 0, tem uma raiz.

Se um uma≠ 1/2, então a equação é quadrática; para que tenha no máximo uma raiz é necessário e suficiente que o discriminante seja não positivo:

D= uma 2 – 4(2uma – 1)(2uma – 3) = -15uma 2 + 32uma – 12;

Para escrever a resposta final, é necessário entender

2. Método gráfico.

Dependendo da tarefa (com uma variável x e parâmetro uma) os gráficos são considerados no plano de coordenadas ( x;y) ou no avião ( x;a).

Exemplo 2. Para cada valor de parâmetro uma quantifique as soluções da equação .

Observe que o número de soluções da equação igual ao número de pontos de interseção de gráficos de funções e y = a.

Gráfico de funções mostrado na Fig.1.

y=aé uma linha horizontal. De acordo com o gráfico, é fácil estabelecer o número de pontos de interseção dependendo uma(por exemplo, quando uma= 11 – dois pontos de interseção; no uma= 2 – oito pontos de interseção).

Resposta: quando uma < 0 – решений нет; при uma= 0 e uma= 25/4 – quatro soluções; em 0< uma < 6 – восемь решений; при uma= 6 – sete soluções; no

6 < uma < 25/4 – шесть решений; при uma> 25/4 - duas soluções.

3. Método de decisão sobre o parâmetro.

Ao resolver desta forma, as variáveis X e uma são tomadas iguais, e a variável em relação à qual a solução analítica se torna mais simples é selecionada. Após simplificações, você precisa retornar ao significado original das variáveis X e uma e complete a solução.

Exemplo 3: encontre todos os valores de parâmetro uma, para cada um dos quais a equação = - machado +3uma+2 tem uma solução única.

Vamos resolver esta equação por mudança de variáveis. Deixe = t , t≥ 0 então x = t 2 + 8 e a equação se torna no 2 +t + 5uma– 2 = 0. Agora a tarefa é encontrar todos uma, para o qual a equação no 2 +t + 5uma– 2 = 0 tem uma única solução não negativa. Isso ocorre nos seguintes casos.

1) Se uma= 0, então a equação tem uma única solução t = 2.

Solução de alguns tipos de equações e inequações com parâmetros.

Tarefas com parâmetros auxiliam na formação do pensamento lógico, na aquisição de habilidades de pesquisa.

A solução de cada problema é única e requer uma abordagem individual e não padronizada, uma vez que não existe uma única maneira de resolver tais problemas.

. Equações lineares.

Tarefa número 1. Para quais valores do parâmetro b equação não tem raízes?

. Equações de potência, desigualdades e seus sistemas.

Tarefa número 2. Encontre todos os valores de parâmetro uma, para o qual o conjunto de soluções da desigualdade:

contém o número 6 e também contém dois segmentos de comprimento 6 que não possuem pontos comuns.

Vamos transformar ambos os lados da desigualdade.

Para que o conjunto de soluções da inequação contenha o número 6, é necessário e suficiente que a seguinte condição seja satisfeita:

Fig.4

No uma> 6 conjuntos de soluções para a desigualdade: .

O intervalo (0;5) não pode conter nenhum segmento de comprimento 6. Portanto, dois segmentos não-intersecionais de comprimento 6 devem estar contidos no intervalo (5; uma).

. Equações exponenciais, desigualdades e sistemas.

Tarefa número 3. No domínio da definição da função Pegue todos os inteiros positivos e some-os. Encontre todos os valores para os quais essa soma é maior que 5, mas menor que 10.

1) Gráfico de uma função linear-fracionária é uma hipérbole. Por condição x> 0. Com aumento ilimitado X fração diminui monotonicamente e se aproxima de zero, e os valores da função z aumente e se aproxime de 5. Além disso, z(0) = 1.

2) Por definição do grau, o domínio de definição D(s) consiste em soluções para a desigualdade . No uma= 1 obtemos uma inequação que não tem solução. Portanto, a função no em nenhum lugar definido.

3) Em 0< uma< 1 показательная функция с основанием uma diminui e a desigualdade é equivalente à desigualdade . Porque x> 0, então z(x) > z(0) = 1. Assim, todo valor positivo Xé solução da inequação. Portanto, para tal uma o valor especificado na condição não pode ser encontrado.

4) Quando uma> 1 função exponencial com base uma aumenta e a desigualdade é equivalente à desigualdade . Se um uma≥ 5, então qualquer número positivo é sua solução e a soma especificada na condição não pode ser encontrada. Se 1< uma < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), onde uma = z(x 0) .

5) Os inteiros estão localizados neste intervalo em uma linha, a partir de 1. Vamos calcular as somas dos números naturais consecutivos, a partir de 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Portanto, a soma indicada será maior que 5 e menor que 10 somente se o número 3 estiver no intervalo (0; x 0), e o número 4 não está nesse intervalo. Então 3< x 0 ≤ 4 . Como aumenta em , então z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

A solução de equações e inequações irracionais, bem como equações, inequações e sistemas contendo módulos são considerados em Anexo 1.

Problemas com parâmetros são complexos porque não existe um algoritmo único para resolvê-los. A especificidade de tais problemas é que, juntamente com quantidades desconhecidas, eles incluem parâmetros cujos valores numéricos não são especificados especificamente, mas são considerados conhecidos e dados em um determinado conjunto numérico. Ao mesmo tempo, os valores dos parâmetros afetam significativamente o curso lógico e técnico da solução do problema e a forma da resposta.

Segundo as estatísticas, muitos dos graduados não começam a resolver problemas com parâmetros para o USE. De acordo com a FIPI, apenas 10% dos graduados começam a resolver esses problemas, e a porcentagem de sua solução correta é baixa: 2-3%, portanto, a aquisição de habilidades para resolver tarefas difíceis e fora do padrão, incluindo tarefas com parâmetros, por escola alunos ainda é relevante.

Relatório sobre o professor de matemática OGM MBOU escola secundária No. 9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Preparação para o Exame Estadual Unificado em Matemática: Problemas com Parâmetros".

Como não há definição do parâmetro nos livros didáticos, sugiro tomar como base a seguinte versão simples.

Definição . Um parâmetro é uma variável independente, cujo valor no problema é considerado um dado número real fixo ou arbitrário, ou um número pertencente a um conjunto predeterminado.

O que significa "resolver um problema com um parâmetro"?

Naturalmente, depende da pergunta no problema. Se, por exemplo, for necessário resolver uma equação, uma desigualdade, seu sistema ou combinação, isso significa apresentar uma resposta razoável para qualquer valor de parâmetro ou para um valor de parâmetro pertencente a um conjunto predeterminado.

Se for necessário encontrar os valores dos parâmetros para os quais o conjunto de soluções da equação, desigualdade etc. satisfaça a condição declarada, então, obviamente, a solução do problema consiste em encontrar os valores dos parâmetros especificados.

Uma compreensão mais transparente do que significa resolver um problema com um parâmetro, o leitor formará depois de ler os exemplos de resolução de problemas nas páginas seguintes.

Quais são os principais tipos de tarefas com parâmetros?

Tipo 1. Equações, desigualdades, seus sistemas e conjuntos, que devem ser resolvidos para qualquer valor do parâmetro (parâmetros), ou para valores de parâmetro que pertencem a um conjunto predeterminado.

Esse tipo de problema é básico ao dominar o tópico "Problemas com parâmetros", pois o trabalho investido predetermina o sucesso na resolução de problemas de todos os outros tipos básicos.

Tipo 2. Equações, desigualdades, seus sistemas e conjuntos, para os quais é necessário determinar o número de soluções dependendo do valor do parâmetro (parâmetros).

Chamo sua atenção para o fato de que, ao resolver problemas desse tipo, não há necessidade de resolver as equações dadas, desigualdades, seus sistemas e combinações, etc., nem fornecer essas soluções; esse trabalho extra na maioria dos casos é um erro tático, levando a um gasto injustificado de tempo. No entanto, isso não deve ser tomado como absoluto, pois às vezes uma solução direta de acordo com o tipo 1 é a única maneira razoável de obter uma resposta ao resolver um problema do tipo 2.

Tipo 3. Equações, desigualdades, seus sistemas e coleções, para os quais é necessário encontrar todos os valores do parâmetro para os quais as equações, desigualdades, seus sistemas e coleções indicados têm um determinado número de soluções (em particular, não têm ou ter um número infinito de soluções).

É fácil ver que os problemas do tipo 3 são, em certo sentido, o inverso dos problemas do tipo 2.

Tipo 4. Equações, desigualdades, seus sistemas e coleções, para as quais, para os valores desejados do parâmetro, o conjunto de soluções satisfaz as condições dadas no domínio de definição.

Por exemplo, encontre os valores dos parâmetros para os quais:

1) a equação é satisfeita para qualquer valor da variável do intervalo dado;
2) o conjunto de soluções da primeira equação é um subconjunto do conjunto de soluções da segunda equação, e assim por diante.

Comente. Uma variedade de tarefas com um parâmetro cobre todo o curso matemática escolar(tanto álgebra quanto geometria), mas a grande maioria deles nos exames finais e vestibulares pertence a um dos quatro tipos listados, que por isso são chamados de principais.

A classe mais popular de problemas com um parâmetro são os problemas com uma incógnita e um parâmetro. O próximo parágrafo indica as principais formas de resolver problemas dessa classe em particular.

Quais são as principais formas (métodos) para resolver problemas com um parâmetro?

Método I (analítico). Este é um método da chamada solução direta, que repete os procedimentos padrão para encontrar uma resposta em problemas sem parâmetro. Às vezes dizem que esta é uma forma de decisão contundente, no bom sentido, “insolente”.

Comente. O método analítico de resolver problemas com um parâmetro é o método mais difícil, exigindo alta alfabetização e o maior esforço para dominá-lo.

Método II (gráfico). Dependendo da tarefa (com variável x e parâmetrouma ) os gráficos são considerados no plano de coordenadas (x; y), ou no plano de coordenadas (x;uma ).

Comente. A excepcional clareza e beleza do método gráfico de resolução de problemas com um parâmetro cativa tanto aqueles que estudam o tópico “Problemas com um parâmetro” que começam a ignorar outros métodos de resolução, esquecendo o fato bem conhecido: para qualquer classe de problemas, seus autores podem formular um que é brilhantemente resolvido por esse método e com colossais dificuldades de outras maneiras. Portanto, na fase inicial do estudo, é perigoso começar com métodos gráficos para resolver problemas com um parâmetro.

Método III (decisão de parâmetro). Ao resolver desta forma, as variáveis x e a são tomadas iguais, e a variável é escolhida, em relação à qual a solução analítica é reconhecida como mais simples. Após simplificações naturais, voltamos ao significado original das variáveis x e a e completamos a solução.

Passo agora a demonstrar os métodos indicados para resolver problemas com um parâmetro, pois este é o meu método favorito para resolver problemas desse tipo.

Depois de analisar todas as tarefas com parâmetros resolvidos pelo método gráfico, começo meu conhecimento dos parâmetros com as tarefas do Exame Estadual Unificado B7 de 2002:

No qual valor inteiro para a equação 45x - 3x 2 - X 3 + 3k = 0 tem exatamente duas raízes?

Essas tarefas permitem, em primeiro lugar, lembrar como construir gráficos usando a derivada e, em segundo lugar, explicar o significado da linha reta y \u003d k.

Nas aulas subsequentes, uso uma seleção de tarefas competitivas de nível leve e médio com parâmetros de preparação para o exame, equações com um módulo. Essas tarefas podem ser recomendadas aos professores de matemática como um conjunto inicial de exercícios para ensinar como trabalhar com um parâmetro colocado sob o sinal do módulo. A maioria dos números são resolvidos graficamente e fornecidos ao professor plano pronto aula (ou duas aulas) com um aluno forte. Preparação inicial para o exame de matemática em exercícios próximos em complexidade aos números C5 reais. Muitas das tarefas propostas são retiradas de materiais de preparação para o USE em 2009, e algumas da Internet da experiência de colegas.

1) Especifique todos os valores dos parâmetrosp , para o qual a equação tem 4 raízes?
Responda:

2) Em quais valores do parâmetrouma a equação não tem soluções?
Responda:

3) Encontre todos os valores de a, para cada um dos quais a equação tem exatamente 3 raízes?
Resposta: a=2

4) Em quais valores do parâmetrob a equação tem uma solução única? Responda:

5) Encontre todos os valoresm , para o qual a equação não tem soluções.
Responda:

6) Encontre todos os valores de a para os quais a equação tem exatamente 3 raízes distintas. (Se houver mais de um valor de a, anote sua soma na resposta.)

Resposta: 3

7) Em que valoresb a equação tem exatamente 2 soluções?
Responda:

8) Especifique tais parâmetrosk , para o qual a equação tem pelo menos duas soluções.
Responda:

9) Em quais valores do parâmetrop a equação tem apenas uma solução?
Responda:

10) Encontre todos os valores de a, para cada um dos quais a equação (x + 1)tem exatamente 2 raízes? Se houver vários valores de a, anote sua soma em resposta.

Resposta: - 3

11) Encontre todos os valores de a para os quais a equação tem exatamente 3 raízes? (Se houver mais de um valor de a, anote sua soma em resposta).

Resposta: 4

12) Qual é o menor valor natural do parâmetro a a equação – = 11 tem apenas raízes positivas?

Resposta: 19

13) Encontre todos os valores de a, para cada um dos quais a equação = 1 tem exatamente 3 raízes? (Se houver mais de um valor de a, anote sua soma na resposta).

Resposta:- 3

14) Especifique esses valores de parâmetrot , para o qual a equação tem 4 soluções diferentes. Responda:

15) Encontre esses parâmetrosm , para o qual a equação tem duas soluções diferentes. Responda:

16) Em quais valores do parâmetrop a equação tem exatamente 3 extremos? Responda:

17) Indique todos os parâmetros possíveis n para os quais a função tem exatamente um ponto mínimo. Responda:

O conjunto publicado é usado regularmente por mim para trabalhar com um aluno capaz, mas não o mais forte, que, no entanto, reivindica uma alta pontuação de USE resolvendo o número C5. O professor prepara esse aluno em várias etapas, alocando aulas separadas para treinar as habilidades individuais necessárias para encontrar e implementar soluções longas. Esta seleção é adequada para a fase de formação de ideias sobre figuras flutuantes, dependendo do parâmetro. Os números 16 e 17 são modelados em uma equação real com um parâmetro para o USE 2011. As tarefas são organizadas em ordem crescente de complexidade.

Tarefa C5 em matemática USE 2012

Aqui temos um problema tradicional com um parâmetro, exigindo um conhecimento moderado do material e a aplicação de várias propriedades e teoremas. Esta tarefa é uma das tarefas mais difíceis do Exame Estadual Unificado de Matemática. Ele é projetado, em primeiro lugar, para aqueles que vão continuar seus estudos em universidades com requisitos aumentados para a preparação matemática dos candidatos. Para resolver o problema com sucesso, é importante operar livremente com as definições, propriedades, teoremas estudados, aplicá-los em diferentes situações, analise a condição e encontre possíveis soluções.

No site de preparação para o Exame Estadual Unificado, Alexander Larin, a partir de 11/05/2012, foram oferecidas as opções de treinamento nº 1 a 22 com tarefas de nível "C", algumas das quais C5 eram semelhantes às tarefas que foram no exame real. Por exemplo, encontre todos os valores do parâmetro a, para cada um dos quais os gráficos da funçãof(x) = eg(x) = a(x + 5) + 2 não possuem pontos comuns?

Vamos analisar a solução da tarefa C5 do exame de 2012.

Tarefa C5 do USE-2012

Para quais valores do parâmetro a equação tem pelo menos duas raízes.

Vamos resolver este problema graficamente. Vamos plotar o lado esquerdo da equação: e o gráfico do lado direito:e formule a questão do problema da seguinte forma: para quais valores do parâmetro a os gráficos de funções etêm dois ou mais pontos em comum.

Não há parâmetro no lado esquerdo da equação original, então podemos plotar a função.

Vamos construir este gráfico usando funções: