Bir parametreyle ilgili birçok problem, ikinci dereceden bir trinomialin incelenmesiyle ilgilidir, bu yüzden bu problemleri daha ayrıntılı olarak ele alalım.
I. En basit problemleri çözerken ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü ve Vieta teoremi yeterlidir.
a a parametresinin hangi değerleri için $$x^2+ax-1 eşitsizliğinin çözüm kümesidir
x 2 x^2'nin katsayısı pozitif olduğundan, eşitsizliğin çözümü $$D > 0$$ durumunda kökler ile D ≤ 0 D \leq 0 ise boş küme arasındaki aralıktır.
Diskriminantı buluyoruz: D = a 2 + 4 D = a^2+4 (tüm a a için $$D>0$$). O halde çözüm kümesi aralıktır
x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac(-a-\sqrt(a^2+4))(2); \dfrac(-a+ \sqrt(a^2+4))(2)) . Bu aralığın uzunluğunun 5'e eşit olması gerekmektedir.
A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac(-a+\sqrt(a^2+4))(2) = \ dfrac(-a-\sqrt(a^2+4))(2) + 5 \Leftrightarrow \sqrt(a^2+4)=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt(21) .
CEVAP
A = ± 21 a = \pm \sqrt(21)
p p parametresinin hangi değerleri için x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt(p^2+4p)\cdot x +p-1 denkleminin kökleri vardır ve köklerin kareleri toplamı minimum mudur?
Denklemin köklerinin karelerinin toplamını Vieta teoremini kullanarak ifade etmek uygundur:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2 +x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt(p^2+4p))^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .
Ancak Vieta teoremini uygulamadan önce denklemin köklerinin olup olmadığını kontrol etmelisiniz! Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Diskriminantın herhangi biri için pozitif olduğunu görüyoruz. kabul edilebilir değerler p p , yani ne zaman
p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞) (5) p \in (- \infty; -4]\bigcup, vb.), burada kendiniz bir çizim çizmeniz ve uygun olanı çizmeniz gerekir sonuçlar.
Notlar. 1. Formdaki denklemler ve eşitsizlikler için
$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0,\: ax^2 + bx + c a = 0 a =0 durumu ayrıca dikkate alınmalıdır. O zaman işe yarayacak doğrusal denklem (eşitsizlik).
2. Çoğu görevde dikkate alınması önemlidir imza sayılar a a - parabolün dallarının yönü buna bağlıdır.
3. İki sistemden oluşan kümenin
$$\begin(cases) a > 0, \\ f(a) > 0 \end(case) ve \begin(cases) a
$$a f(a) > 0$$ eşitsizliğine eşdeğerdir. Bu nedenle, 1 ° 1^(\circ) koşulunda bir sistem yazabiliriz $$\begin(cases) D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_(\text(c))
Diğer koşullar da benzer şekilde basitleştirilebilir:
$$2^(\circ) \Leftrightarrow \begin(cases) D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_(\text(в)) > A .\end(cases) \:\:\ : 3^(\circ) \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A
Örneklere geçelim.
Ne a a için (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 denkleminin kökleri vardır ve bunların tümü bunlar (- 2 ; 0) (-2; 0) aralığına aittirler?
1) Eğer 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) ise denklem 2 x + 1 = 0 2x+1=0 formunu alır. Bu denklemin (- 2; 0) (-2; 0) aralığına ait olan tek bir kökü x = - 0,5 x=-0,5'tir. Bu, a = 1 a =1'in problemin koşullarını karşıladığı anlamına gelir.
2) Eğer 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 ise denklem ikinci derecedendir. Diskriminantı buluyoruz:
D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^ 2-6a+9=(a-3)^2 .
Diskriminant tam bir kare olduğundan, kökleri buluruz (kural olarak, köklerin yerini belirlemek için yukarıda açıklanan yöntemlerin, kök formülleri kullanışsızsa kullanılması uygundur. Diskriminant tam bir kareyse ve kökler dönüyorsa) "iyi" çıkarsa sorunu doğrudan çözmek daha kolaydır):
Problemin koşullarını yerine getirmek için $$-2 \dfrac(3)(2)$$ eşitsizliğinin sağlanması gerekir.
CEVAP
A ∈ ( 1 ) ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \(1\)\bigcup (\dfrac(3)(2); +\infty) .
a'nın hangi değerleri için $$4^(\textrm(sin)\:x)-2\cdot (a-3) \cdot 2^(\textrm(sin)\:x) + a+3 eşitsizliği > 0$$ tüm x x için tutulsun mu?
2 sin x = y 2^(\textrm(sin)\:x)=y olduğunu gösterelim. - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm(sin)\:x \leq 1 olduğundan, 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac(1)(2) \leq 2^(\textrm'i elde ederiz (sin)\:x) \leq 2 . Orijinal eşitsizlik şu şekli alır:
$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$
Bu problem şuna eşdeğerdir: “bunun için a a eşitsizliği $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ tüm y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac(1)(2);2] ?
Bu eşitsizliğin sol tarafının grafiği, yukarı doğru uzanan dalları olan bir paraboldür. Görev gerekleri iki durumda yerine getirilecektir. 1) $$D
a) Parabolün bu konumu (kökler [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac(1)(2);2] doğru parçasının solundadır) koşullarla verilir (sistemi yazıp çözüyoruz):
$$\begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end(case) \Leftrightarrow \begin(case) a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end(case) \ Sol sağ ok a \leq 1 $$.
b) Bu durum $$D koşuluyla verilir
c) a) durumuna benzer şekilde sistemi elde ederiz:
$$\!\!\!\! \begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) > 2,\\ f(2) > 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3 -(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end(case) \Leftrightarrow \begin(case) a\in ( -\infty;1]\bigcup ?
1) a = 0 a = 0 durumunu düşünün (bu durumda denklem ikinci dereceden değildir). Denklem - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 olur. Segmentteki kökler [ 0 ; 2 ] mevcut olmadığından a = 0 a = 0 uygun değildir.
2) Denklem ikinci derecedendir. Denklemin sol tarafını f(x) f(x) ile gösterelim. Denklem [ 0 ; 2 ] iki durumda tam olarak bir kök.
A) Denklemin tek kökü vardır ve [ 0 ; 2]. Bu D = 0 D = 0 ile mümkündür. Diskriminantı hesaplıyoruz:
D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .
Diskriminant a = - 25 4 a=-\dfrac(25)(4) noktasında sıfıra gider. Bu durumda, orijinal denklem şu formu alır - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac(25)(4)x^2-\dfrac(35)(2)x - \dfrac( 49)(4 ) = 0, dolayısıyla x = - 7 5 x = -\dfrac(7)(5) . Segmentteki kökler [ 0 ; 2 ] hayır, bu durum a a parametresinin herhangi bir değeri için gerçekleşmediği anlamına gelir.
B) Denklemin iki kökü vardır ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac(25)(4)$$), bunlardan biri [ 0 ; 2 ] ve diğeri yok. Bu koşulu sağlamak için, (a) f(x) f(x) fonksiyonunun [ 0 ; 2 ] farklı işaretlerin değerleri - o zaman kök (0; 2) (0;2) aralığında yer alır (örnek olarak (parabolün diğer olası konumlarını bağımsız olarak düşünebilirsiniz), bkz. Şekil 7) veya (b) segmentin uçlarından birinde sıfır olur - bu durumda kök, segmentin uçlarından birinde yer alır.
(a) “f (0) f(0) ve f (2) f(2) sayıları farklı işaretlere sahiptir” koşulu $$f(0)\cdot f(2) eşitsizliğine eşdeğerdir
$$\left(a-6\sağ)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)
(b) Eğer f(0) = 0 f(0) = 0 ise a = 6 a=6. O zaman denklem 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 olur. Kökleri x = 0 x=0 ve x = - 7 6 x=-\dfrac(7)(6) sayılarıdır, yani [ 0 ; 2 ] tam olarak bir köke sahiptir.
Eğer f (2) = 0 f(2) = 0 ise, a = 16 9 a=\dfrac(16)(9) . O zaman 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac(16)(9)x^2 - \dfrac(13)(9)x - \dfrac(38)(9) = 0 elde ederiz, dolayısıyla x = 2 x=2 veya x = - 19 16 x=-\dfrac(19)(16), yani yine iki kökten yalnızca biri [ 0 ; 2].
Bu, a = 6 a=6 ve a = 16 9 a=\dfrac(16)(9) değerlerinin her ikisinin de problemin koşullarını karşıladığı anlamına gelir (f (2) = 0 f(2) = 0 veya f ile) (0) = 0 f(0) = 0, ikinci kökü bulmalı ve bunun [ 0 ; 2 ] segmentinde olup olmadığına bakmalısınız.
Sonuçları birleştirerek bir ∈ [ 16 9 ; 6 ] a\in [\dfrac(16)(9); 6].
CEVAP
16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac(16)(9) \leq a \leq 6
a a parametresinin hangi değerlerinde denklem | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a'nın tam olarak 8 çözümü var mı?
XOy düzleminde sol ve sağ kısımların grafiklerini çizelim.
Sol tarafı çizmek için önce bir parabol çizin y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3. Daha sonra bu parabolün x ekseninin altında kalan tüm noktalarını bu eksene göre yansıtır ve y = | fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (Şekil 8a). Daha sonra, x ekseninin solunda bulunan tüm noktaları atıyoruz ve bu eksene göre geri kalan noktaları yansıtıyoruz - y = | fonksiyonunun bir grafiğini elde ediyoruz. x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .
Sağ taraftaki grafik yatay bir çizgidir y = a y=a . Bu doğru y = | grafiğiyle kesiştiğinde denklemin 8 çözümü vardır. x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| sekiz noktada. Bunun $$0RESPONSE'da gerçekleştiğini görmek kolaydır
bir ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)
4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 2 1 - x 4^x+2^(x+2)+7=p- denkleminin geçerli olduğu p p parametresinin tüm değerlerini bulun 4^( -x)-2\cdot 2^(1-x)'in en az bir çözümü var.
Denklemi (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^(-x))+4\cdot (2) formunda yeniden yazalım. ^x+2^ (-x))=p-7 ve yerine 2 x + 2 - x = t 2^x+2^(-x)=t değerini koyun. Son eşitliğin her iki tarafının karesini alarak t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^(-x))^2 sonucunu elde ederiz. = 4^x+2+4^(-x) , buradan 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^(-x) = t^2-2 . Denklem şu şekilde olur: t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .
Denklemin sol tarafının değerler kümesini bulalım. Çünkü (karşılıklı ters iki pozitif sayının toplamının ikiden az olmadığını kullanırız: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac(1)(a) \geq 2 for $$a>0$$ 0 (eşitlik mümkündür) yalnızca a = 1 a = 1 için). Bu, örneğin Cauchy eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir: pozitif sayılar için aritmetik ortalama, geometrik ortalamadan küçük değildir (a 1 + a 2 + . . + a k k ≥ a) 1 · a 2 · . · a k k) ( \dfrac(a_1+a_2+...+a_k)(k) \geq \sqrt[k](a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k)) ve eşitlik yalnızca a 1 = a 2 = = a k a_1=a_2=...=a_k durumunda elde edilir. İki pozitif sayı için bu eşitsizlik a + b 2 ≥ a b \dfrac(a+b) formunu alır. (2) \geq \sqrt(ab) = 1 a b = \dfrac(1)(a) olursa gerekli eşitsizliği elde ederiz.) t ≥ 2 t \geq 2 olursa denklemin sol tarafının alındığını görürüz. [ 16 ; + ∞) .
Çözüm. Bu eşitsizliğin sol tarafını şu şekilde dönüştürelim:
(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =
Ax (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(ax- 2a - 3).
Bu eşitsizlik şu şekilde olacaktır: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.
a = 0 ise - Zx ≥ 0 x ≤ 0 elde ederiz.
a ≠ 0 ise -3 a
Çünkü A 0 ise bu eşitsizliğin çözümü, eşitsizliğe karşılık gelen denklemin kökleri arasında bulunan sayısal eksenin aralığı olacaktır.
Sayıların göreceli konumunu bulalım bir ve , koşulu dikkate alarak - 3 ≤ a
3 ≤a
bir = -1.
Ele alınan tüm durumlarda, parametre değerlerine bağlı olarak bu eşitsizliğin çözümlerini sunalım:
a parametresinin herhangi bir değeri için bu eşitsizliğe yalnızca x = -1'in çözüm olduğunu bulduk. .
Cevap: -1
- Çözüm.
Neden “Geliştirme” konulu bir proje seçtim metodolojik önerilerİkinci dereceden denklemlerin ve eşitsizliklerin parametrelerle çözümleri"? Herhangi bir trigonometrik, üstel çözümü çözerken, logaritmik denklemler, eşitsizlikler, sistemler, çoğunlukla bazen doğrusal ve çoğunlukla ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikleri dikkate alırız. Parametrelerle karmaşık problemleri çözerken, çoğu görev, eşdeğer dönüşümler kullanılarak aşağıdaki türdeki çözümlerin seçimine indirgenir: a (x – a) (x – c) > 0 (
İnceledik teorik temellerİkinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözmek için. Gerekli formülleri ve dönüşümleri hatırladık, diskriminantın değerine, baş katsayının işaretine, köklerin konumuna ve parabolün köşelerine bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiklerinin farklı düzenlemelerini inceledik. Sonuçları çözmek ve seçmek için bir şema belirledik ve bir tablo derledik.
Proje ikinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için analitik ve grafiksel yöntemler göstermektedir. Bir meslek okulundaki öğrencilerin materyali daha iyi özümsemeleri için materyalin görsel algısına ihtiyaçları vardır. X değişkeninin nasıl değiştirilebileceği ve parametrenin eşit değer olarak nasıl kabul edilebileceği gösterilir.
Bu konunun net bir şekilde anlaşılması için, her bölüm için 1 – 2 parametreli 8 problemin çözümü ele alınmıştır. Örnek No. 1, aşağıdaki durumlarda çözüm sayısını dikkate alır: farklı anlamlar parametresi, örnek No. 3'te ikinci dereceden bir denklemin çözümü çeşitli başlangıç koşulları altında analiz edilir. Çözmek için ikinci dereceden eşitsizlikler grafik illüstrasyonu yapıldı. 5 numaralı örnekte bir parametrenin eşit değer olarak değiştirilmesi yöntemi kullanılmıştır. Proje, Birleşik Devlet Sınavını geçmeye yönelik yoğun hazırlık için C bölümünde yer alan görevlerden 8 numaralı örneğin dikkate alınmasını içermektedir.
Öğrencilerin parametrelerle ilgili problemleri çözme konusunda yüksek kaliteli eğitimi için, multimedya teknolojilerinin tam olarak kullanılması tavsiye edilir, yani: dersler için sunumlar, elektronik ders kitapları ve kitaplar ve medya kütüphanesinden kendi geliştirmelerinizi kullanın. Matematik + bilgisayar bilimleri ikili dersleri çok etkilidir. İnternet öğretmenler ve öğrenciler için vazgeçilmez bir yardımcıdır. Sunum, mevcut eğitim kaynaklarından içe aktarılmış nesneler gerektirir. Çalışmak için en uygun ve kabul edilebilir olanı “Okulda Microsoft Office Kullanımı” merkezidir.
Bu konuyla ilgili metodolojik önerilerin geliştirilmesi, okula çalışmaya gelen genç öğretmenlerin işini kolaylaştıracak, öğretmen portföyüne eklenecek, özel konularda model oluşturacak ve örnek çözümler, öğrencilerin karmaşık görevlerle başa çıkmalarına yardımcı olacaktır.
- Edebiyat.
1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Parametrelerle ilgili sorunlar. “Ilexa”, “Spor Salonu”, Moskova - Kharkov, 2002.
2. Balayan E.N. Birleşik Devlet Sınavı ve Olimpiyatlara hazırlanmak için matematikte bir problemler koleksiyonu. 9-11 sınıflar. "Phoenix", Rostov-na-Donu, 2010.
3. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. M., "Aydınlanma", 1986.
4. Kolesnikova S.I. Matematik. Bir'in karmaşık sorunlarını çözme devlet sınavı. M. "IRIS - basın", 2005.
5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. Matematik. Üniversitelere başvuranlar için rehber. Eğitim merkezi "Orientir" MSTU adını almıştır. N.E. Bauman, M., 2004.
6. Skanavi M.I. Üniversitelere girenler için matematik problemlerinin derlemesi: 2 kitapta. Kitap 1, M., 2009.
eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi çözüm hemen hemen her eşitsizlik çevrimiçi. Matematiksel çevrimiçi eşitsizlikler matematik çözmek için. Hızlıca bulun eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi bulmanızı sağlar çözüm neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın eşitsizlik çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her dalını okurken farklı aşamalar karar vermek zorundayım çevrimiçi eşitsizlikler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site sitesi sayesinde çevrimiçi eşitsizliği çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi eşitsizlikler- bu, sağlanan yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel eşitsizlikler çevrimiçi, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, aşkın eşitsizlikler çevrimiçi ve ayrıca eşitsizlikler modunda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Eşitsizlikler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik problemler. yardımıyla matematiksel eşitsizliklerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. Bilinmeyen miktarlar eşitsizlikler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil eşitsizlikler Ve karar vermek modunda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel eşitsizlik, trigonometrik eşitsizlik veya eşitsizlikler içeren transandantal kolayca yapabileceğiniz özellikler karar vermekçevrimiçi olun ve kesin cevabı alın. Doğa bilimleri okurken kaçınılmaz olarak bir ihtiyaçla karşılaşırsınız. eşitsizliklere çözümler. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle matematiksel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme, trigonometrik eşitsizliklerçevrimiçi ve ayrıca aşkın eşitsizlikler çevrimiçi veya eşitsizlikler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli sorunlara çevrimiçi çözümler bulmanın pratik sorunları için matematiksel eşitsizlikler kaynak www.. Çözme çevrimiçi eşitsizlikler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. çevrimiçi çözüm eşitsizlikler www.site web sitesinde. Eşitsizliği doğru yazmanız ve anında elde etmeniz gerekir. çevrimiçi çözüm Bundan sonra geriye kalan tek şey cevabı eşitsizliğin çözümüyle karşılaştırmaktır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, yeterli çevrimiçi eşitsizliği çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi eşitsizlikleri çözmeöyle olsun cebirsel, trigonometrik, transandantal veya eşitsizlik bilinmeyen parametrelerle
Eşitsizlikleri bir parametreyle çözme.
ax > b, ax biçimindeki eşitsizlikler< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются doğrusal eşitsizlikler.
Çözüm ilkeleri doğrusal eşitsizlikler parametre ile çözüm prensiplerine çok benzer doğrusal denklemler parametre ile.
Örnek 1.
5x – a > ax + 3 eşitsizliğini çözün.
Çözüm.
İlk önce orijinal eşitsizliği dönüştürelim:
5x – ax > a + 3, eşitsizliğin sol tarafındaki parantezlerden x'i çıkaralım:
(5 – a)x > a + 3. Şimdi düşünün olası durumlar a parametresi için:
a > 5 ise x< (а + 3) / (5 – а).
a = 5 ise çözüm yoktur.
eğer bir< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).
Bu çözüm eşitsizliğin cevabı olacaktır.
Örnek 2.
a ≠ 1 için x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a eşitsizliğini çözün.
Çözüm.
Orijinal eşitsizliği dönüştürelim:
x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Eşitsizliğin her iki tarafını (-1) ile çarparsak şunu elde ederiz:
ax/(a – 1) ≥ a/3. a parametresi için olası durumları inceleyelim:
1 vaka.
a/(a – 1) > 0 veya a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) olsun. O halde x ≥ (a – 1)/3.
Durum 2.< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
a/(a – 1) = 0 olsun, yani. a = 0. O halde x herhangi bir gerçek sayıdır.
Durum 3.
a/(a – 1) olsun
Cevap: x € [(a – 1)/3; +∞) bir € için (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] (0; 1) € karşılığında;
Çözüm.
a = 0 için x € R.
Örnek 3.
|1 + x| eşitsizliğini çözün ≤ x'e göre balta.
Eşitsizlik ekseninin sağ tarafının negatif olmaması koşulundan çıkar; ax ≥ 0. |1 + x| eşitsizliğinden modülü açığa çıkarma kuralına göre ≤ balta çift eşitsizliğimiz var
Balta ≤ 1 + x ≤ balta. Sonucu bir sistem biçiminde yeniden yazalım:
(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.
Bunu şuna dönüştürelim: ((a – 1)x ≥ 1;:
((a + 1)x ≥ -1.
Ortaya çıkan sistemi aralıklarla ve noktalarda inceliyoruz< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
(Şekil 1)
≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)] için.< а ≤ 1 решений нет.
-1'de
a = 0 x = -1 olduğunda.
0'da
Örnek 1.
Eşitsizlikleri çözmek için grafiksel yöntem< bx.
Çözüm.
Grafiklerin çizilmesi, bir parametre içeren denklemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirir. Eşitsizlikleri bir parametreyle çözerken grafik yöntemini kullanmak daha net ve daha uygundur. f(x) ≥ g(x) formundaki eşitsizliklerin grafiksel olarak çözülmesi, f(x) fonksiyonunun grafiğinin g(x) fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer aldığı x değişkeninin değerlerini bulmak anlamına gelir. Bunu yapmak için her zaman grafiklerin kesişme noktalarını (varsa) bulmak gerekir.|x + 5| eşitsizliğini çözün 
y = |x + 5| fonksiyonlarının grafiklerini oluşturuyoruz ve y = bx
1) b > 1 için doğrular kesişir. Bu fonksiyonların grafiklerinin kesişme noktasının apsisi x + 5 = bx denkleminin çözümüdür, dolayısıyla x = 5/(b – 1). Y = bx grafiği yukarıda x noktasında (5/(b – 1); +∞) aralığında yer alır, bu da bu kümenin eşitsizliğin çözümü olduğu anlamına gelir.
2) Benzer şekilde bunu -1'de buluyoruz< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)) için.
4) 0 ≤ b ≤ 1 için grafikler kesişmez, bu da eşitsizliğin çözümü olmadığı anlamına gelir.
Cevap: b ≤ -1 için x € (-∞; 5/(b – 1));
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1'de< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1 için çözüm yoktur; b > 1 için x € (5/(b – 1); +∞).
Örnek 2.
a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) eşitsizliğini çözün.
Çözüm.
1) a parametresi için “kontrol” değerlerini bulalım: a 1 = 0 ve 2 = -1.
2) Bu eşitsizliği reel sayıların her bir alt kümesi üzerinde çözelim: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).
a)a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1 ise bu eşitsizlik 0 x > 0 formunu alacaktır – çözüm yoktur;
c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0 ise bu eşitsizlik 0 x > 4 şeklinde olur – çözüm yoktur;
e) a > 0, bu eşitsizlikten x > (a + 4)/a sonucu çıkar.
Cevap: x € [(a – 1)/3; +∞) bir € için (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
|2 – |x|| eşitsizliğini çözün< a – x.
Çözüm.
y = |2 – |x|| fonksiyonunun grafiğini oluşturuyoruz (Şekil 3) ve y = -x + a düz çizgisinin konumuna ilişkin tüm olası durumları göz önünde bulundurun. 
Yanıt: ≤ -2 için eşitsizliğin çözümü yoktur;
x € (-∞; (a – 2)/2) için a € (-2; 2];
a > 2 için x € (-∞; (a + 2)/2).
Çeşitli problemleri, denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözerken, matematiğin diğer dallarında başarıyla uygulanabilecek önemli sayıda sezgisel teknik keşfedilir.
Parametrelerle ilgili problemler oluşumunda önemli rol oynuyor mantıksal düşünme ve matematik kültürü. Bu nedenle parametrelerle problem çözme yöntemlerine hakim olarak diğer problemlerle başarılı bir şekilde başa çıkacaksınız.
Hala sorularınız mı var? Eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.