Okulda incelenen dönme cisimleri silindir, koni ve toptur.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili bir problemde, bir koninin hacmini veya bir kürenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, kendinizi şanslı sayın.
Silindir, koni ve kürenin hacim ve yüzey alanı formüllerini uygulayın. Hepsi masamızda. Ezbere öğrenin. Burası stereometri bilgisinin başladığı yerdir.
Bazen manzarayı yukarıdan çizmek iyi olur. Veya bu problemde olduğu gibi aşağıdan.
2. Düzgün bir dörtgen piramit etrafında çevrelenen bir koninin hacmi, bu piramidin içine yazılan bir koninin hacminden kaç kat daha büyüktür?
Çok basit; görünümü aşağıdan çizin. Büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapından kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Her iki koninin yüksekliği aynıdır. Bu nedenle büyük koninin hacmi iki kat daha büyük olacaktır.
Bir diğer önemli nokta. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı B bölümünün problemlerinde cevabın tam sayı veya son ondalık kesir olarak yazıldığını hatırlıyoruz. Bu nedenle B kısmındaki cevabınızda veya olmamalıdır. Sayının yaklaşık değerini değiştirmeye de gerek yoktur! Kesinlikle küçülmeli! Bu amaçla bazı problemlerde görev şu şekilde formüle edilmiştir: "Silindirin yan yüzeyinin alanını bölerek bul."
Devrim cisimlerinin hacmi ve yüzey alanı formülleri başka nerede kullanılıyor? Elbette problem C2'de (16). Bunu da size anlatacağız.
Bir koninin yüzey alanı (veya basitçe bir koninin yüzeyi), taban ve yan yüzey alanlarının toplamına eşittir.
Koninin yan yüzeyinin alanı şu formülle hesaplanır: S = πR ben burada R, koninin tabanının yarıçapıdır ve ben- bir koni oluşturmak.
Koninin tabanının alanı πR2'ye (bir dairenin alanı olarak) eşit olduğundan, o zaman alan tam yüzey koni şuna eşit olacaktır: πR 2 + πR ben= πR(R+ ben).
Bir koninin yan yüzeyinin alanı için formülün elde edilmesi aşağıdaki mantıkla açıklanabilir. Çizimde bir koninin yan yüzeyinin gelişimini gösterelim. AB yayını mümkün olanlara bölelim daha büyük sayı eşit parçalar ve tüm bölme noktalarını yayın merkezine ve komşu noktaları birbirine akorlarla bağlayın.
Bir dizi eşit üçgen elde ediyoruz. Her üçgenin alanı Ah / 2 nerede A- üçgenin tabanının uzunluğu, a H- yüksekliği.
Tüm üçgenlerin alanlarının toplamı şu şekilde olacaktır: Ah / 2 N = anh / 2 nerede N- üçgen sayısı.
Çok sayıda bölünmeyle, üçgenlerin alanlarının toplamı, gelişme alanına, yani koninin yan yüzeyinin alanına çok yakın hale gelir. Üçgenlerin tabanlarının toplamı, yani. BİR AB yayının uzunluğuna, yani koninin tabanının çevresine çok yaklaşır. Her üçgenin yüksekliği yayın yarıçapına, yani koninin generatrisine çok yaklaşır.
Bu miktarların boyutlarındaki küçük farklılıkları göz ardı ederek, koninin yan yüzeyinin alanı için formülü (S) elde ederiz:
S=C ben / 2, burada C koninin tabanının çevresidir, ben- bir koni oluşturmak.
R'nin koninin taban dairesinin yarıçapı olduğu C = 2πR olduğunu bilerek şunu elde ederiz: S = πR ben.
Not. Formülde S = C ben / Şekil 2'de yaklaşık değil tam bir eşitlik işareti vardır, ancak yukarıdaki akıl yürütmeye dayanarak bu eşitliğin yaklaşık olduğunu düşünebiliriz. Ancak lise son sınıfta eşitliğin olduğu kanıtlandı
S=C ben / 2 kesindir, yaklaşık değildir.
Teorem. Koninin yan yüzeyi, tabanın çevresi ile generatriksin yarısının çarpımına eşittir.
Koninin içine (Şek.) biraz yazalım doğru piramit ve harflerle belirtmek R Ve ben bu piramidin tabanının çevresinin uzunluğunu ve özünü ifade eden sayılar.
Daha sonra yan yüzeyi 1/2 çarpımı ile ifade edilecektir. R ben .
Şimdi tabana yazılan çokgenin kenar sayısının sınırsız arttığını varsayalım. Daha sonra çevre R taban çevresinin uzunluğu C olarak alınan sınıra yönelecektir ve özdeyiş ben koninin generatrisine bir limit olarak sahip olacaktır (ΔSAK'tan bu yana SA - SK sonucu çıkar)
1 / 2 R ben, 1/2 C sınırına doğru yönelecek
L. Bu sınır koninin yan yüzeyinin boyutu olarak alınır. Belirledikten sonra yan yüzey S harfi olan koniyi yazabiliriz:
S = 1/2 C L = C 1/2L
Sonuçlar.
1) C = 2 olduğundan π
R ise koninin yan yüzeyi aşağıdaki formülle ifade edilir:
S = 1/2 2π R L= π R.L.
2) Yan yüzeyi taban alanına eklersek koninin tam yüzeyini elde ederiz; bu nedenle, tüm yüzeyi T ile göstererek şunu elde ederiz:
T= π RL+ π R2= π R(Sol+Sağ)
Teorem. Kesik bir koninin yan yüzeyi, tabanların ve jeneratörün dairelerinin uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.
Kesik koninin içine düzenli bir kesik piramit yazalım (Şek.) ve onu harflerle belirtelim. r, r 1 ve ben Bu piramidin alt ve üst tabanlarının çevre uzunluklarını ve özünü aynı doğrusal birimlerle ifade eden sayılar.
Daha sonra yazılı piramidin yan yüzeyi 1/2'ye eşittir ( p + p 1) ben
Yazılı piramidin yan yüzlerinin sayısında sınırsız bir artışla çevreleri R Ve R 1, taban dairelerinin C ve C 1 uzunlukları olarak alınan sınırlara eğilimlidir ve apothem ben kesik koninin L üretecinin bir limiti vardır. Sonuç olarak, yazılı piramidin yan yüzeyinin boyutu (C + C 1) L'ye eşit bir sınıra yönelir. Bu sınır, kesik koninin yan yüzeyinin boyutu olarak alınır. Kesik koninin yan yüzeyini S harfiyle göstererek şunu elde ederiz:
S = 1/2 (C + C 1) L
Sonuçlar.
1) R ve R1, alt ve üst tabanların dairelerinin yarıçapları anlamına geliyorsa, kesik koninin yan yüzeyi şöyle olacaktır:
S = 1/2 (2 π R+2 π R1)L = π (R + R 1) L.
2) Dönmesinden kesik bir koninin elde edildiği yamuk OO 1 A 1 A'da (Şek.), BC orta çizgisini çizersek, şunu elde ederiz:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R1 = 2VS.
Buradan,
S=2 π BC L,
yani. kesik bir koninin yan yüzeyi, orta bölümün çevresi ile generatrix'in çarpımına eşittir.
3) Kesik bir koninin toplam yüzeyi T aşağıdaki şekilde ifade edilecektir:
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
İşte konilerle ilgili problemler, durum yüzey alanıyla ilgilidir. Özellikle bazı problemlerde, koninin yüksekliğini veya tabanının yarıçapını arttırırken (azaltırken) alanı değiştirme sorunu ortaya çıkar. Sorunları çözmek için teori. Aşağıdaki görevleri ele alalım:
27135. Koninin tabanının çevresi 3, genatrix ise 2'dir. Koninin yan yüzeyinin alanını bulun.
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Verilerin değiştirilmesi:
75697. Generatrix 36 kat arttırılırsa ve tabanın yarıçapı aynı kalırsa, koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artacaktır?
Koni yan yüzey alanı:
Generatrix 36 kat artar. Yarıçap aynı kalır, bu da tabanın çevresinin değişmediği anlamına gelir.
Bu, değiştirilmiş koninin yan yüzey alanının şu şekilde olacağı anlamına gelir:
Böylece 36 kat artacak.
*İlişki basittir, dolayısıyla bu sorun sözlü olarak kolayca çözülebilir.
27137. Tabanının yarıçapı 1,5 kat azaltılırsa koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat azalacaktır?
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Yarıçap 1,5 kat azalır, yani:
Yan yüzey alanının 1,5 kat azaldığı tespit edildi.
27159. Koninin yüksekliği 6, jeneratör 10'dur. Toplam yüzeyinin alanını Pi'ye bölerek bulun.
Tam koni yüzeyi:
Yarıçapı bulmanız gerekir:
Yükseklik ve cins matrisi biliniyor, Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı hesaplıyoruz:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
76299. Koninin toplam yüzey alanı 108'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir bölüm çizilir. Kesilen koninin toplam yüzey alanını bulun.
Kesit yüksekliğin ortasından tabana paralel olarak geçer. Bu, taban yarıçapının ve kesme konisinin generatrisinin, orijinal koninin yarıçapından ve generatriksinden 2 kat daha az olacağı anlamına gelir. Kesilen koninin yüzey alanını yazalım:
Orijinalin yüzey alanından 4 kat daha az yani 108:4=27 olacağını tespit ettik.
*Orijinal ve kesik koni benzer gövdeler olduğundan benzerlik özelliğini kullanmak da mümkün olmuştur:
27167. Koninin taban yarıçapı 3 ve yüksekliği 4'tür. Koninin toplam yüzey alanını Pi'ye bölerek bulun.
Bir koninin toplam yüzeyinin formülü:
Yarıçap biliniyor, generatrix'i bulmak gerekiyor. 
Pisagor teoremine göre:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
Görev. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının dört katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açının kosinüsünü bulun.
Koninin tabanının alanı: 
Yani kosinüs şuna eşit olacaktır:
Cevap: 0,25
Kendiniz karar verin:
27136. Generatrix 3 kat arttırılırsa koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artacaktır?
27160. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının iki katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin. .
27161. Koninin toplam yüzey alanı 12'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir bölüm çizilir. Kesilen koninin toplam yüzey alanını bulun.
Hepsi bu. Size iyi şanslar!
Saygılarımla, İskender.
*Site hakkındaki bilgileri sosyal ağlar aracılığıyla arkadaşlarınızla paylaşın.
Koninin ne olduğunu biliyoruz, hadi yüzey alanını bulmaya çalışalım. Neden böyle bir sorunu çözmeniz gerekiyor? Örneğin, bir waffle külahı yapmak için ne kadar hamurun harcanacağını anlamanız mı gerekiyor? Veya bir tuğla kale çatısı yapmak için kaç tuğla gerekir?
Bir koninin yan yüzey alanının ölçülmesi basitçe yapılamaz. Ama aynı boynuzun kumaşa sarılı olduğunu hayal edelim. Bir kumaş parçasının alanını bulmak için onu kesip masanın üzerine koymanız gerekir. Sonuç düz bir şekildir, alanını bulabiliriz.
Pirinç. 1. Generatrix boyunca bir koninin kesiti
Aynısını koni için de yapalım. Örneğin yan yüzeyini herhangi bir cins boyunca "keselim" (bkz. Şekil 1).
Şimdi yan yüzeyi bir düzlem üzerine “açalım”. Bir sektör elde ediyoruz. Bu sektörün merkezi koninin tepe noktasıdır, sektörün yarıçapı koninin generatrisine eşittir ve yayının uzunluğu koninin tabanının çevresi ile çakışmaktadır. Bu sektöre koninin yan yüzeyinin gelişimi denir (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 2. Yan yüzeyin geliştirilmesi
Pirinç. 3. Radyan cinsinden açı ölçümü
Mevcut verileri kullanarak sektörün alanını bulmaya çalışalım. Öncelikle gösterimi tanıtalım: sektörün tepe noktasındaki açının radyan cinsinden olmasına izin verin (bkz. Şekil 3).
Sorunlarda sıklıkla taramanın en üstündeki açıyla uğraşmak zorunda kalacağız. Şimdilik şu soruya cevap vermeye çalışalım: Bu açı 360 dereceden fazla olamaz mı? Yani taramanın kendisiyle örtüşeceği ortaya çıkmaz mı? Tabii ki değil. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım. Taramanın kendi üzerine "üst üste binmesine" izin verin. Bu, tarama yayının uzunluğunun yarıçaplı dairenin uzunluğundan daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak daha önce de belirtildiği gibi tarama yayının uzunluğu yarıçaplı dairenin uzunluğuna eşittir. Ve koninin tabanının yarıçapı elbette cinsten daha küçüktür, örneğin bir dik üçgenin kenarı hipotenüsten daha küçüktür.
O halde planimetri dersinden iki formülü hatırlayalım: yay uzunluğu. Sektör alanı: .
Bizim durumumuzda rol jeneratör tarafından oynanıyor , ve yayın uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir, yani. Sahibiz:
Sonunda şunu elde ederiz: .
Yan yüzey alanının yanı sıra toplam yüzey alanı da bulunabilir. Bunu yapmak için tabanın alanını yan yüzeyin alanına ekleyin. Ancak taban, formüle göre alanı eşit olan yarıçaplı bir dairedir.
Sonunda elimizde: , silindir tabanının yarıçapı nerede, generatrix'tir.
Verilen formülleri kullanarak birkaç problemi çözelim.
Pirinç. 4. Gerekli açı
Örnek 1. Koninin yan yüzeyinin gelişimi, tepe noktasında açılı bir sektördür. Koninin yüksekliği 4 cm ve taban yarıçapı 3 cm ise bu açıyı bulun (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Sağ üçgen, bir koni oluşturan
Pisagor teoremine göre ilk eylemde jeneratörü buluyoruz: 5 cm (bkz. Şekil 5). Sonra şunu biliyoruz .
Örnek 2. Kare eksenel bölüm koni eşittir, yükseklik eşittir. Toplam yüzey alanını bulun (bkz. Şekil 6).
Koninin ne olduğunu biliyoruz, hadi yüzey alanını bulmaya çalışalım. Neden böyle bir sorunu çözmeniz gerekiyor? Örneğin, bir waffle külahı yapmak için ne kadar hamurun harcanacağını anlamanız mı gerekiyor? Veya bir tuğla kale çatısı yapmak için kaç tuğla gerekir?
Bir koninin yan yüzey alanının ölçülmesi basitçe yapılamaz. Ama aynı boynuzun kumaşa sarılı olduğunu hayal edelim. Bir kumaş parçasının alanını bulmak için onu kesip masanın üzerine koymanız gerekir. Sonuç düz bir şekildir, alanını bulabiliriz.
Pirinç. 1. Generatrix boyunca bir koninin kesiti
Aynısını koni için de yapalım. Örneğin yan yüzeyini herhangi bir cins boyunca "keselim" (bkz. Şekil 1).
Şimdi yan yüzeyi bir düzlem üzerine “açalım”. Bir sektör elde ediyoruz. Bu sektörün merkezi koninin tepe noktasıdır, sektörün yarıçapı koninin generatrisine eşittir ve yayının uzunluğu koninin tabanının çevresi ile çakışmaktadır. Bu sektöre koninin yan yüzeyinin gelişimi denir (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 2. Yan yüzeyin geliştirilmesi
Pirinç. 3. Radyan cinsinden açı ölçümü
Mevcut verileri kullanarak sektörün alanını bulmaya çalışalım. Öncelikle gösterimi tanıtalım: sektörün tepe noktasındaki açının radyan cinsinden olmasına izin verin (bkz. Şekil 3).
Sorunlarda sıklıkla taramanın en üstündeki açıyla uğraşmak zorunda kalacağız. Şimdilik şu soruya cevap vermeye çalışalım: Bu açı 360 dereceden fazla olamaz mı? Yani taramanın kendisiyle örtüşeceği ortaya çıkmaz mı? Tabii ki değil. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım. Taramanın kendi üzerine "üst üste binmesine" izin verin. Bu, tarama yayının uzunluğunun yarıçaplı dairenin uzunluğundan daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak daha önce de belirtildiği gibi tarama yayının uzunluğu yarıçaplı dairenin uzunluğuna eşittir. Ve koninin tabanının yarıçapı elbette cinsten daha küçüktür, örneğin bir dik üçgenin kenarı hipotenüsten daha küçüktür.
O halde planimetri dersinden iki formülü hatırlayalım: yay uzunluğu. Sektör alanı: .
Bizim durumumuzda rol jeneratör tarafından oynanıyor , ve yayın uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir, yani. Sahibiz:
Sonunda şunu elde ederiz: .
Yan yüzey alanının yanı sıra toplam yüzey alanı da bulunabilir. Bunu yapmak için tabanın alanını yan yüzeyin alanına ekleyin. Ancak taban, formüle göre alanı eşit olan yarıçaplı bir dairedir.
Sonunda elimizde: , silindir tabanının yarıçapı nerede, generatrix'tir.
Verilen formülleri kullanarak birkaç problemi çözelim.
Pirinç. 4. Gerekli açı
Örnek 1. Koninin yan yüzeyinin gelişimi, tepe noktasında açılı bir sektördür. Koninin yüksekliği 4 cm ve taban yarıçapı 3 cm ise bu açıyı bulun (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Koni Oluşturan Sağ Üçgen
Pisagor teoremine göre ilk eylemde jeneratörü buluyoruz: 5 cm (bkz. Şekil 5). Sonra şunu biliyoruz .
Örnek 2. Koninin eksenel kesit alanı eşittir, yüksekliği eşittir. Toplam yüzey alanını bulun (bkz. Şekil 6).