Logaritmik eşitsizlikler
Önceki derslerde logaritmik denklemlerle tanışmıştık ve artık bunların ne olduğunu ve nasıl çözüleceğini biliyoruz. Bugünün dersi logaritmik eşitsizliklerin incelenmesine ayrılacak. Bu eşitsizlikler nelerdir ve logaritmik bir denklem ile bir eşitsizliği çözmek arasındaki fark nedir?
Logaritmik eşitsizlikler- bunlar logaritmanın işareti altında veya tabanında değişkeni olan eşitsizliklerdir.
Veya logaritmik bir eşitsizliğin, logaritmik bir denklemde olduğu gibi bilinmeyen değerinin logaritmanın işareti altında görüneceği bir eşitsizlik olduğunu da söyleyebiliriz.
En basit logaritmik eşitsizlikler aşağıdaki forma sahiptir:
burada f(x) ve g(x), x'e bağlı bazı ifadelerdir.
Şu örneği kullanarak buna bakalım: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme
Logaritmik eşitsizlikleri çözmeden önce, çözüldüğünde bunların benzer olduğunu belirtmekte fayda var. üstel eşitsizlikler yani:
Öncelikle logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken logaritmanın tabanını da bir ile karşılaştırmamız gerekir;
İkinci olarak, değişkenlerin değişimini kullanarak logaritmik bir eşitsizliği çözerken, en basit eşitsizliği elde edene kadar eşitsizlikleri değişime göre çözmemiz gerekir.
Ama sen ve ben logaritmik eşitsizlikleri çözmenin benzer yönlerini düşündük. Şimdi oldukça önemli bir farklılığa dikkat edelim. Logaritmik fonksiyonun sınırlı bir tanım alanına sahip olduğunu biliyoruz, bu nedenle logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken izin verilen değer aralığını (ADV) dikkate almamız gerekir.
Yani karar verirken dikkate alınmalıdır. logaritmik denklem Sen ve ben önce denklemin köklerini bulabiliriz, sonra da bu çözümü kontrol ederiz. Ancak logaritmik bir eşitsizliği çözmek bu şekilde işe yaramayacaktır çünkü logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçerken eşitsizliğin ODZ'sini yazmak gerekecektir.
Ayrıca eşitsizlikler teorisinin 0 sayısının yanı sıra pozitif ve negatif sayılar olan reel sayılardan oluştuğunu da hatırlamakta fayda var.
Örneğin, “a” sayısı pozitif olduğunda şu gösterimi kullanmanız gerekir: a >0. Bu durumda bu sayıların hem toplamı hem de çarpımı pozitif olacaktır.
Bir eşitsizliği çözmenin temel ilkesi, onu daha basit bir eşitsizlikle değiştirmektir, ancak asıl önemli olan, verilen eşitsizlikle eşdeğer olmasıdır. Ayrıca bir eşitsizlik elde ettik ve onu yine daha basit bir forma sahip olanla değiştirdik, vb.
Bir değişkenle eşitsizlikleri çözerken tüm çözümlerini bulmanız gerekir. İki eşitsizlik aynı x değişkenine sahipse, bu tür eşitsizlikler, çözümlerinin çakışması koşuluyla eşdeğerdir.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme görevlerini yerine getirirken, a> 1 olduğunda logaritmik fonksiyonun arttığını ve 0 olduğunda şunu hatırlamanız gerekir:< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri
Şimdi logaritmik eşitsizliklerin çözümünde kullanılan bazı yöntemlere bakalım. Daha iyi anlaşılması ve özümsenmesi için bunları belirli örneklerle anlamaya çalışacağız.
Hepimiz en basit logaritmik eşitsizliğin aşağıdaki forma sahip olduğunu biliyoruz:
Bu eşitsizlikte V – aşağıdaki eşitsizlik işaretlerinden biridir:<,>, ≤ veya ≥.
Belirli bir logaritmanın tabanı birden büyük olduğunda (a>1), logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçiş yaparak, bu versiyonda eşitsizlik işareti korunur ve eşitsizlik aşağıdaki forma sahip olacaktır:
bu sisteme eşdeğerdir:
Logaritmanın tabanının sıfırdan büyük ve birden küçük olması durumunda (0 Bu, bu sisteme eşdeğerdir: Aşağıdaki resimde gösterilen en basit logaritmik eşitsizliklerin çözümüne ilişkin daha fazla örneğe bakalım: Egzersiz yapmak. Bu eşitsizliği çözmeye çalışalım: Kabul edilebilir değer aralığının çözümü. Şimdi sağ tarafını şununla çarpmaya çalışalım: Gelin neler bulabileceğimize bir bakalım: Şimdi sublogaritmik ifadeleri dönüştürmeye geçelim. Logaritmanın tabanı 0 olduğundan< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Ve bundan, elde ettiğimiz aralığın tamamen ODZ'ye ait olduğu ve böyle bir eşitsizliğin çözümü olduğu sonucu çıkıyor. İşte aldığımız cevap: Şimdi logaritmik eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için neye ihtiyacımız olduğunu analiz etmeye çalışalım. Öncelikle tüm dikkatinizi yoğunlaştırın ve bu eşitsizlikte verilen dönüşümleri gerçekleştirirken hata yapmamaya çalışın. Ayrıca bu tür eşitsizlikleri çözerken, eşitsizliklerin yabancı çözümlerin kaybına veya edinilmesine yol açabilecek genişleme ve daralmalarından kaçınmak gerektiği de unutulmamalıdır. İkinci olarak, logaritmik eşitsizlikleri çözerken, mantıksal düşünmeyi öğrenmeniz ve eşitsizlik sistemi ile bir eşitsizlik kümesi gibi kavramlar arasındaki farkı anlamanız gerekir; böylece DL'nin rehberliğinde eşitsizliğin çözümlerini kolayca seçebilirsiniz. Üçüncüsü, bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için, her birinizin temel fonksiyonların tüm özelliklerini mükemmel bir şekilde bilmesi ve anlamlarını açıkça anlaması gerekir. Bu tür işlevler yalnızca logaritmik değil, aynı zamanda rasyonel, kuvvet, trigonometrik vb. kısacası baştan sona incelediğiniz işlevleri de içerir. okullaşma cebir. Gördüğünüz gibi logaritmik eşitsizlikler konusunu inceledikten sonra, hedeflerinize ulaşmada dikkatli ve ısrarcı olmanız koşuluyla bu eşitsizlikleri çözmede zor bir şey yoktur. Eşitsizlikleri çözmede herhangi bir sorundan kaçınmak için, mümkün olduğunca pratik yapmanız, çeşitli görevleri çözmeniz ve aynı zamanda bu tür eşitsizlikleri çözmenin temel yöntemlerini ve sistemlerini hatırlamanız gerekir. Logaritmik eşitsizlikleri çözemezseniz, gelecekte tekrar dönmemek için hatalarınızı dikkatlice analiz etmelisiniz. Konuyu daha iyi anlamak ve kapsanan materyali pekiştirmek için aşağıdaki eşitsizlikleri çözün: Bir eşitsizlik, logaritmik bir fonksiyon içeriyorsa logaritmik olarak adlandırılır. Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri iki şey dışında farklı değildir. İlk olarak, logaritmik eşitsizlikten aşağıdaki eşitsizliğe geçerken logaritmik fonksiyonlar yapmalı ortaya çıkan eşitsizliğin işaretini takip edin. Aşağıdaki kurala uyar. Logaritmik fonksiyonun tabanı $1$'dan büyükse, logaritmik eşitsizlikten alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizliğin işareti korunur, ancak $1$'dan küçükse ters yönde değişir. . İkincisi, herhangi bir eşitsizliğin çözümü bir aralıktır ve bu nedenle alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğinin çözülmesinin sonunda iki eşitsizlikten oluşan bir sistem oluşturmak gerekir: Bu sistemin ilk eşitsizliği, alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliği olacaktır, ikincisi ise logaritmik eşitsizliğin içerdiği logaritmik fonksiyonların tanım kümesinin aralığı olacaktır. Eşitsizlikleri çözelim: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Logaritmanın tabanı $2>1$ olduğundan işaret değişmez. Logaritmanın tanımını kullanarak şunu elde ederiz: $x+3 \geq 2^(3),$ $x\inç)
Örnekleri Çözme
3x > 24;
x > 8. 
Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için neye ihtiyaç vardır?
Ev ödevi
Pratik.