Diferansiyel denklemlerin pratik değeri, bunları kullanarak temel bir fiziksel veya kimyasal yasayla ve sıklıkla bir grup değişkenle bağlantı kurmanın mümkün olması gerçeğiyle belirlenir. büyük değer Teknik sorunları araştırırken.

En basit fizik kanununun bile değişken koşullar altında meydana gelen bir sürece uygulanması, değişken büyüklükler arasında çok karmaşık bir ilişkiye yol açabilir.

Diferansiyel denklemlere yol açan fiziksel ve kimyasal problemleri çözerken, çözümün verilen soruna karşılık gelmesi için denklemin genel integralini bulmak ve bu integralin içerdiği sabitlerin değerlerini belirlemek önemlidir.

İstenilen tüm niceliklerin yalnızca bir bağımsız değişkenin fonksiyonu olduğu süreçlerin incelenmesi, sıradan diferansiyel denklemlere yol açar.

Kararlı durum süreçleri kısmi diferansiyel denklemlere yol açabilir.

Çoğu durumda diferansiyel denklemlerin çözümü integrallerin bulunmasına yol açmaz; bu tür denklemlerin çözümü için yaklaşık yöntemlerin kullanılması gerekir.

Kinetik problemleri çözmek için diferansiyel denklem sistemleri kullanılır.

Adi diferansiyel denklemleri çözmek için en yaygın ve evrensel sayısal yöntem sonlu farklar yöntemidir.

Adi diferansiyel denklemler, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin sürekli değiştiği koşullar altında aralarındaki ilişkiyi bulmanın gerekli olduğu problemleri çözmek için kullanılır. Sorunun çözümü sonlu fark denklemlerine yol açar.

X argümanındaki sürekli değişim bölgesi, düğüm adı verilen bir dizi noktayla değiştirilir. Bu düğümler fark ızgarasını oluşturur. Sürekli bir argümanın gerekli fonksiyonu, belirli bir ızgaradaki argümanın fonksiyonu ile yaklaşık olarak değiştirilir. Bu fonksiyona ızgara fonksiyonu denir. Bir diferansiyel denklemin bir fark denklemiyle değiştirilmesine, bunun grid üzerinde yaklaşımı denir. Orijinal diferansiyel denkleme ve ek başlangıç ​​koşullarına yaklaşan bir dizi fark denklemine fark şeması denir. Girdi verilerindeki küçük bir değişiklik, çözümdeki küçük bir değişikliğe karşılık geliyorsa, fark şemasına kararlı denir. Bir fark şemasının çözümü mevcutsa ve herhangi bir girdi verisi için benzersizse ve ayrıca bu şema kararlıysa doğru olarak adlandırılır.

Cauchy problemini çözerken denklemi karşılayan y=y(x) fonksiyonunu bulmanız gerekir:

ve başlangıç ​​koşulu: x = x 0'da y = y 0.

x 0, x 1, ... x n noktaları ve h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...) adımlarından oluşan bir diziyi tanıtalım. Her xi noktasında, tam y çözümüne yaklaşan yi sayıları eklenir. Orijinal denklemdeki türevi sonlu fark ilişkisiyle değiştirdikten sonra diferansiyel problemden fark problemine geçiş gerçekleştirilir:

y ben+1 = F(x ben , h ben , y ben+1 , y ben , … y i-k+1),

burada ben = 0, 1, 2…

Bu, k adımlı sonlu farklar yöntemiyle sonuçlanır. Tek adımlı yöntemlerde, y i +1'i hesaplamak için, önceki adımda yalnızca önceden bulunan bir değer y i kullanılır; çok adımlı yöntemlerde birkaçı kullanılır.

Cauchy problemini çözmek için en basit tek adımlı sayısal yöntem Euler yöntemidir.

y ben+1 = y ben + h f(x i, y ben).

Bu şema birinci doğruluk derecesine sahip bir fark şemasıdır.

Eğer y " =f(x,y) denkleminde sağ taraf, f(x i ,y i) ve f(x i+1 ,y i+1) arasındaki aritmetik ortalama değerle değiştirilirse, yani , sonra Euler yönteminin örtülü fark şemasını elde ederiz:

,

ikinci dereceden doğruluğa sahiptir.

Bu denklemde y i+1'in y i +h f(xi, y i) ile değiştirilmesiyle şema, yine ikinci bir mertebeye sahip olan yeniden hesaplamalı Euler yöntemine girer:

Daha yüksek doğruluk derecesine sahip fark şemaları arasında dördüncü dereceden Runge-Kutta yönteminin şeması yaygındır:

y ben +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, ...

1'e = f(x ben , y ben)

2'ye = f(x ben + , y ben + )

3'e = f(x ben + , y ben + )

k 4 = f(x ben +h, y ben +k 3).

Bilgisayar zamanında önemli bir artış olmadan sayısal çözümün doğruluğunu arttırmak için Runge yöntemi kullanılır. Özü, aynı fark şemasını farklı adımlarla kullanarak tekrarlanan hesaplamalar yapmaktır.

Bir dizi hesaplama kullanılarak rafine bir çözüm oluşturulur. Sıra şemasına göre iki seri hesaplama yapılırsa İle sırasıyla h ve h/2 adımlarıyla ve ızgara fonksiyonunun y h ve y h /2 değerleri elde edilir, daha sonra ızgara düğümlerindeki ızgara fonksiyonunun h adımlı rafine değeri aşağıdaki formülle hesaplanır:

.

Yaklaşık hesaplamalar

Fiziksel ve kimyasal hesaplamalarda kesin çözüm veren tekniklerin ve formüllerin kullanılmasına nadiren ihtiyaç duyulur. Çoğu durumda, doğru sonuçlara götüren denklem çözme yöntemleri ya çok karmaşıktır ya da yoktur. Genellikle yaklaşık problem çözme yöntemleri kullanılır.

Kimyasal kinetiğe ilişkin fizikokimyasal problemleri çözerken ve deneysel verileri işlerken, genellikle çeşitli denklemleri çözme ihtiyacı ortaya çıkar. Bazı denklemlerin kesin çözümü bazı durumlarda büyük zorluklar ortaya çıkarmaktadır. Bu durumlarda, görevi yerine getiren bir doğrulukla sonuçlar elde ederek yaklaşık çözüm yöntemlerini kullanabilirsiniz. Birkaç yöntem vardır: teğet yöntemi (Newton yöntemi), doğrusal enterpolasyon yöntemi, tekrarlama yöntemi (yineleme), vb.

f(x)=0 denklemi olsun ve f(x) sürekli bir fonksiyon olsun. a ve b değerlerini f(a) ve f(b) olacak şekilde seçmenin mümkün olduğunu varsayalım. farklı işaretler, örneğin f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Bir denklemin köklerini grafiksel olarak bulma. Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için grafik yönteminin kullanılması uygundur. Denklem verilsin:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

burada a, b, … , p, q sayıları verilmiştir.

Geometrik açıdan bakıldığında denklem

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

bir çeşit eğriyi temsil ediyor. Rastgele x değerlerine karşılık gelen y değerlerini hesaplayarak istediğiniz sayıda noktasını bulabilirsiniz. Eğrinin OX ekseni ile kesiştiği her nokta, bu denklemin köklerinden birinin değerini verir. Bu nedenle denklemin köklerinin bulunması, karşılık gelen eğrinin OX ekseni ile kesişme noktalarının belirlenmesine indirgenir.

Yineleme yöntemi. Bu yöntem, çözülecek f(x)=0 denkleminin yeni bir x=j(x) denklemine dönüştürülmesini ve ilk x 1 yaklaşımı verildiğinde, art arda daha doğru x 2 =j(x 1), x yaklaşımlarını bulmayı içerir. 3 =j(x 2) vb. Çözüm, ilk yaklaşım ile |j"(x)| denkleminin kökü arasındaki aralıkta olması koşuluyla, herhangi bir doğruluk derecesiyle elde edilebilir.<1.

Doğrusal olmayan bir denklemi çözmek için aşağıdaki yöntemler kullanılır:

a) yarım bölme yöntemi:

Gerçek bir kökün izolasyon aralığı, f(x) fonksiyonunun orijinal aralığın hangi bölümünün işaretini değiştirdiğinin sınırlarında belirlenerek, örneğin ikiye bölünerek her zaman azaltılabilir. Daha sonra ortaya çıkan aralık tekrar iki parçaya vb. bölünür. Bu işlem, yanıtta saklanan ondalık basamaklar artık değişmeyene kadar devam eder.

Çözümün içerildiği aralığı seçiyoruz. f(a) > 0 ve f(b) ise f(a) ve f(b)'yi hesaplarız< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 ve f(c) > 0, bu durumda a = c ve b = b. Aksi takdirde, eğer f(a)< 0 и f(c) >0 veya f(a) > 0 ve f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) teğet yöntemi (Newton yöntemi):

Denklemin gerçel kökü f(x) = 0 parçası üzerinde izole edilsin. f(x0)'ın f'(x0) ile aynı işarete sahip olduğu doğru parçası üzerinde bir x 0 sayısı alalım. y = f(x) eğrisine M 0 noktasında bir teğet çizelim. Kökün yaklaşık değeri olarak bu teğetin Ox ekseni ile kesiştiği noktanın apsisini alıyoruz. Kökün bu yaklaşık değeri aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu tekniği M1 noktasında ikinci kez uygulayarak şunu elde ederiz:

vesaire. Bu şekilde elde edilen x 0, x 1, x 2, ... dizisinin limiti istenen köktür. Genel olarak şu şekilde yazılabilir:

.

Cebirsel denklemlerin doğrusal sistemlerini çözmek için yinelemeli Gauss-Seidel yöntemi kullanılır. Malzeme ve ısı dengelerinin hesaplanması gibi kimyasal teknolojinin bu tür problemleri, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne indirgenir.

Yöntemin özü, basit dönüşümler yoluyla x 1, x 2, ..., x n bilinmeyenlerinin sırasıyla 1.2, ..., n denklemlerinden ifade edilmesidir. Bilinmeyenler x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0)'ın ilk yaklaşımlarını ayarlayın, bu değerleri x 1 ifadesinin sağ tarafına yerleştirin ve x 1 (1)'i hesaplayın. Daha sonra x 2 ifadesinin sağ tarafına x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0)'ı yazın ve x 2 (1), vb.'yi bulun. x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) hesaplandıktan sonra ikinci yineleme gerçekleştirilir. Yinelemeli işlem, x 1 (k), x 2 (k), ... değerleri belirli bir hatayla x 1 (k-1), x 2 (k) değerlerine yaklaşana kadar devam eder. -2), ....

Kimyasal dengenin hesaplanması vb. gibi kimyasal teknolojideki problemler, doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözümüne indirgenir. Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için yinelemeli yöntemler de kullanılır. Karmaşık dengenin hesaplanması, doğrusal olmayan cebirsel denklem sistemlerinin çözülmesine bağlıdır.

Basit yineleme yöntemini kullanarak bir sistemi çözmeye yönelik algoritma, doğrusal sistemleri çözmek için kullanılan Gauss-Seidel yöntemini anımsatır.

Newton yöntemi, basit yineleme yöntemine göre daha hızlı yakınsamaya sahiptir. F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) fonksiyonlarının Taylor serisine genişletilmesinin kullanımına dayanmaktadır. Bu durumda ikinci türevleri içeren terimler atılır.

Önceki iterasyonda elde edilen sistem bilinmeyenlerinin yaklaşık değerleri a 1, a 2, ...a n'ye eşit olsun. Görev, bilinmeyenlerin yeni değerlerinin elde edileceği bu değerlere Δx 1, Δx 2, ... Δx n artışlarını bulmaktır:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = bir n + Δx n.

Denklemlerin sol taraflarını Taylor serisine genişletelim ve kendimizi doğrusal terimlerle sınırlayalım:

Denklemlerin sol taraflarının sıfıra eşit olması gerektiğinden sağ taraflarını sıfıra eşitliyoruz. Δx artışları için bir doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ederiz.

F 1, F 2, … F n değerleri ve bunların kısmi türevleri x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n olarak hesaplanır.

Bu sistemi matris şeklinde yazalım:

Bu formdaki bir G matrisinin determinantına Jacobian denir. Böyle bir matrisin determinantına Jacobian denir. Sisteme benzersiz bir çözümün var olması için her yinelemede sıfırdan farklı olması gerekir.

Bu nedenle, Newton yöntemini kullanarak bir denklem sisteminin çözülmesi, her yinelemede Jacobian matrisinin (kısmi türevler) belirlenmesinden ve her yinelemede bilinmeyenlerin değerlerine Δх 1, Δх 2, ... Δх n artışlarının belirlenmesinden oluşur. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme.

Her yinelemede Jacobi matrisini bulma ihtiyacını ortadan kaldırmak için geliştirilmiş bir Newton yöntemi önerilmiştir. Bu yöntem, önceki yinelemelerde elde edilen F 1 , F 2 , ... , F n değerlerini kullanarak Jacobian matrisini düzeltmenize olanak tanır.

Bu bölümü en basit formdaki diferansiyel denklem sistemlerini çözmeye ayırmaya karar verdik d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, burada a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - bazı gerçek sayılar. Bu tür denklem sistemlerini çözmenin en etkili yöntemi entegrasyon yöntemidir. Konuyla ilgili bir örneğin çözümünü de ele alacağız.

Diferansiyel denklem sisteminin çözümü, sistemin her iki denklemini de özdeşliğe dönüştürebilen bir x (t) ve y (t) fonksiyonu çifti olacaktır.

DE sisteminin integralini alma yöntemini düşünelim d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Bilinmeyen x(t) fonksiyonunu 1. denklemden çıkarmak için sistemin 2. denkleminden x'i ifade edelim:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

2. denklemin türevini alalım T ve denklemini d x d t için çözün:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Şimdi önceki hesaplamaların sonucunu sistemin 1. denkleminde yerine koyalım:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Böylece bilinmeyen x(t) fonksiyonunu ortadan kaldırdık ve 2. dereceden sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde ettik. Bu y(t) denkleminin çözümünü bulalım ve onu sistemin 2. denkleminde yerine koyalım. bulacağız x(t). Bunun denklem sisteminin çözümünü tamamladığını varsayacağız.

Örnek 1

Diferansiyel denklem sisteminin çözümünü bulun d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Çözüm

Sistemin ilk denklemiyle başlayalım. Bunu x'e göre çözelim:

x = d y d t - 2 y + 3

Şimdi sistemin 2. denkleminin türevini alalım ve ardından bunu d x d t'ye göre çözelim: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Hesaplamalar sırasında elde edilen sonucu uzaktan kumanda sisteminin 1. denklemine koyabiliriz:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Dönüşümler sonucunda, sabit katsayılı d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 ile 2. dereceden doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde ettik. Genel çözümünü bulursak fonksiyonu elde ederiz. y(t).

Karşılık gelen LOD y 0'ın genel çözümünü k 2 - 3 k + 2 = 0 karakteristik denkleminin köklerini hesaplayarak bulabiliriz:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Elde ettiğimiz kökler gerçek ve belirgindir. Bu bağlamda, LODE'nin genel çözümü y 0 = C 1 · et t + C 2 · e 2 t şeklinde olacaktır.

Şimdi doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem y ~ için özel bir çözüm bulalım:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Denklemin sağ tarafı sıfır dereceli bir polinomdur. Bu, A'nın belirlenmemiş bir katsayı olduğu y ~ = A formunda özel bir çözüm arayacağımız anlamına gelir.

Belirsiz katsayıyı d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 eşitliğinden belirleyebiliriz:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 Bir = 2 ⇒ 2 Bir = 2 ⇒ Bir = 1

Böylece, y ~ = 1 ve y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Bilinmeyen bir işlev bulduk.

Şimdi bulduğumuz fonksiyonu DE sisteminin 2. denkleminde yerine koyalım ve yeni denklemi çözelim. x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Böylece ikinci bilinmeyen fonksiyonu x (t) = - C 1 · e t + 1'i hesapladık.

Cevap: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Dışarıda bunaltıcı bir hava var, kavak tüyleri uçuyor ve bu hava rahatlamaya elverişli. Okul yılı boyunca herkeste yorgunluk birikmiştir, ancak yaz tatili/tatil beklentisi, sınavları ve testleri başarıyla geçmeleri için onlara ilham vermelidir. Bu arada, öğretmenler de sezon boyunca sıkıcı oluyor, bu yüzden yakında ben de beynimi boşaltmak için bir mola vereceğim. Ve şimdi kahve var, sistem biriminin ritmik uğultusu, pencere kenarında birkaç ölü sivrisinek ve tamamen çalışır durumda bir durum... ...ah, kahretsin... kahrolası şair.

Asıl mesele. Kimin umurunda, ama bugün benim için 1 Haziran ve karmaşık analizin başka bir tipik sorununa bakacağız - operasyonel hesap yöntemini kullanarak bir diferansiyel denklem sistemine özel bir çözüm bulma. Sorunu nasıl çözeceğinizi öğrenmek için bilmeniz ve yapabilmeniz gerekenler nelerdir? Öncelikle, şiddetle tavsiye ederim derse bakın. Lütfen giriş kısmını okuyun, konunun genel anlatımını, terminolojiyi, notasyonu ve en az iki veya üç örneği anlayın. Gerçek şu ki, difüzör sistemlerinde her şey neredeyse aynı ve hatta daha basit olacak!

Tabii ne olduğunu anlamalısın diferansiyel denklem sistemi Bu, sisteme genel bir çözüm ve sisteme özel bir çözüm bulmak anlamına gelir.

Diferansiyel denklem sisteminin “geleneksel” yöntemle çözülebileceğini hatırlatmama izin verin: eleme yoluyla veya karakteristik denklemi kullanarak. Tartışılacak operasyonel hesaplama yöntemi, görev aşağıdaki gibi formüle edildiğinde uzaktan kontrol sistemine uygulanabilir:

Homojen bir diferansiyel denklem sistemine özel bir çözüm bulun başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen .

Alternatif olarak sistem, işlevler biçiminde ve sağ tarafta "ek ağırlıklar" ile heterojen olabilir:

Ancak her iki durumda da durumun iki temel noktasına dikkat etmeniz gerekir:

1) Yaklaşık sadece özel bir çözüm hakkında.
2) Başlangıç ​​koşullarının parantezleri içinde öyle kesinlikle sıfırlar ve başka hiçbir şey yok.

Genel gidişat ve algoritma şuna çok benzer olacaktır: operasyonel yöntemi kullanarak diferansiyel denklem çözme. Referans materyallerinden aynısına ihtiyacınız olacak orijinaller ve görseller tablosu.

Örnek 1

, ,

Çözüm: Başlangıç ​​önemsizdir: kullanmak Laplace dönüşüm tabloları Orijinallerden ilgili görsellere geçelim. Uzaktan kumanda sistemlerindeki bir sorunda bu geçiş genellikle basittir:

Başlangıç ​​​​koşulunu dikkate alarak 1, 2 numaralı tablo formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

“Oyunlar”la ne yapmalı? Tablodaki “X”leri zihinsel olarak “I” olarak değiştirin. Başlangıç ​​​​koşulunu dikkate alarak aynı 1, 2 numaralı dönüşümleri kullanarak şunları buluruz:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirelim :

Şimdi sol kısımlarda denklemlerin toplanması gerekiyor Tüm veya mevcut olduğu terimler. Doğru parçalara Denklemlerin “formalize edilmesi” gerekiyor diğer herkesşartlar:

Daha sonra, her denklemin sol tarafında parantezleme işlemini gerçekleştiriyoruz:

Bu durumda, birinci konumlara ve ikinci konumlara aşağıdakiler yerleştirilmelidir:

Ortaya çıkan iki bilinmeyenli denklem sistemi genellikle çözülür Cramer'in formüllerine göre. Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:

Determinantın hesaplanması sonucunda bir polinom elde edildi.

Önemli teknik! Bu polinom daha iyi hemen bunu hesaba katmaya çalışın. Bu amaçlar için ikinci dereceden denklem çözülmeye çalışılmalıdır. , ancak ikinci yıl eğitimli gözlere sahip birçok okuyucu bunu fark edecektir. .

Dolayısıyla sistemin temel belirleyicisi:

Kramer sayesinde sistemin daha fazla sökülmesi standarttır:

Sonuç olarak elde ederiz sistemin operatör çözümü:

Söz konusu görevin avantajı, kesirlerin genellikle basit çıkması ve bunlarla baş etmenin, problemlerdeki kesirlerle uğraşmaktan çok daha kolay olmasıdır. operasyonel yöntemi kullanarak DE'ye özel bir çözüm bulma. Önsezileriniz sizi aldatmadı - eski güzel belirsiz katsayılar yöntemi, bunun yardımıyla her kesiri temel kesirlere ayırıyoruz:

1) İlk kesirle ilgilenelim:

Böylece:

2) İkinci kesri benzer bir şemaya göre ayırıyoruz, ancak diğer sabitleri (tanımsız katsayılar) kullanmak daha doğrudur:

Böylece:

Aptallara ayrıştırılmış operatör çözümünü aşağıdaki biçimde yazmalarını tavsiye ediyorum:
- bu son aşamayı daha net hale getirecek - ters Laplace dönüşümü.

Tablonun sağ sütununu kullanarak resimlerden ilgili orijinallere geçelim:

İyi matematik görgü kurallarına göre sonucu biraz düzelteceğiz:

Cevap:

Cevap, derste ayrıntılı olarak tartışılan standart şemaya göre kontrol edilir. Bir diferansiyel denklem sistemi nasıl çözülür? Göreve büyük bir artı katmak için her zaman tamamlamaya çalışın.

Örnek 2

İşlemsel hesabı kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen bir diferansiyel denklem sistemine özel bir çözüm bulun.
, ,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Sorunun son halinin yaklaşık bir örneği ve dersin sonundaki cevap.

Homojen olmayan bir diferansiyel denklem sistemini çözmek, teknik olarak biraz daha karmaşık olması dışında algoritmik olarak farklı değildir:

Örnek 3

İşlemsel hesabı kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen bir diferansiyel denklem sistemine özel bir çözüm bulun.
, ,

Çözüm: Başlangıç ​​koşullarını dikkate alarak Laplace dönüşüm tablosunu kullanma , orijinallerden ilgili görsellere geçelim:

Ama hepsi bu değil, denklemlerin sağ tarafında yalnız sabitler var. Sabitin tamamen tek başına kaldığı durumlarda ne yapılmalı? Bu zaten sınıfta tartışılmıştı. Operasyonel yöntemi kullanarak bir DE nasıl çözülür?. Tekrarlayalım: Tek sabitler zihinsel olarak bir ile çarpılmalı ve birimlere aşağıdaki Laplace dönüşümü uygulanmalıdır:

Bulunan görselleri orijinal sisteme yerleştirelim:

İçinde , bulunan terimleri sola, kalan terimleri de sağ taraflara yerleştirelim:

Sol tarafta parantezleme yapacağız, ayrıca ikinci denklemin sağ tarafını ortak bir paydaya getireceğiz:

Sonucu hemen çarpanlara ayırmaya çalışmanın tavsiye edildiğini unutmadan, sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Devam edelim:



Buna göre sistemin operatör çözümü şu şekildedir:

Bazen kesirlerden biri veya her ikisi de azaltılabilir ve bazen o kadar başarılı olur ki hiçbir şeyi genişletmenize bile gerek kalmaz! Ve bazı durumlarda hemen bir bedava alırsınız, bu arada, aşağıdaki ders örneği gösterge niteliğinde bir örnek olacaktır.

Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak temel kesirlerin toplamlarını elde ederiz.

İlk kesri parçalayalım:

Ve ikincisine ulaşıyoruz:

Sonuç olarak operatör çözümü ihtiyacımız olan formu alır:

Sağ sütunu kullanma orijinal ve resim tabloları ters Laplace dönüşümünü gerçekleştiriyoruz:

Ortaya çıkan görüntüleri sistemin operatör çözümüne yerleştirelim:

Cevap:özel çözüm:

Gördüğünüz gibi heterojen bir sistemde homojen bir sisteme göre daha emek yoğun hesaplamalar yapmak gerekiyor. Sinüs ve kosinüslerle ilgili birkaç örneğe daha bakalım ve bu yeterli çünkü neredeyse tüm problem türleri ve çözümün nüanslarının çoğu dikkate alınacak.

Örnek 4

İşlemsel hesap yöntemini kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarına sahip bir diferansiyel denklem sistemine özel bir çözüm bulun,

Çözüm: Bu örneği de kendim analiz edeceğim ama yorumlar sadece özel anları ilgilendirecek. Çözüm algoritması konusunda zaten bilgili olduğunuzu varsayıyorum.

Orijinallerden ilgili görsellere geçelim:

Bulunan görüntüleri orijinal uzaktan kumanda sistemine yerleştirelim:

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözelim:
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Ortaya çıkan polinom çarpanlara ayrılamaz. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Kesinlikle hiçbir şey. Bu da işe yarayacak.

Sonuç olarak sistemin operatör çözümü şu şekildedir:

İşte şanslı bilet! Belirsiz katsayılar yöntemini kullanmaya hiç gerek yok! Tek şey, tablo dönüşümlerini uygulamak için çözümü aşağıdaki biçimde yeniden yazmamızdır:

Görsellerden ilgili orijinallere geçelim:

Ortaya çıkan görüntüleri sistemin operatör çözümüne yerleştirelim:

Bir diferansiyel denklem sistemi nasıl çözülür?

Okuyucunun özellikle diferansiyel denklemleri çözmede oldukça iyi olduğu varsayılmaktadır. homojen ikinci dereceden denklemler Ve homojen olmayan ikinci dereceden denklemler sabit katsayılarla. Diferansiyel denklem sistemlerinde karmaşık hiçbir şey yoktur ve eğer yukarıdaki denklem türlerinden memnunsanız, sistemlerde uzmanlaşmak zor olmayacaktır.

İki ana tür diferansiyel denklem sistemi vardır:

– Lineer homojen diferansiyel denklem sistemleri
– Lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri

Ve bir diferansiyel denklem sistemini çözmenin iki ana yolu:

– Eliminasyon yöntemi. Yöntemin özü, çözüm sırasında diferansiyel denklem sisteminin bir diferansiyel denkleme indirgenmesidir.

– Karakteristik denklemin kullanılması(sözde Euler yöntemi).

Çoğu durumda, bir diferansiyel denklem sisteminin ilk yöntem kullanılarak çözülmesi gerekir. İkinci yöntem problem durumlarında çok daha az yaygındır; tüm uygulamalarımda onunla en fazla 10-20 sistem çözdüm. Ancak bu makalenin son paragrafında bunu da kısaca ele alacağız.

Materyalin teorik eksikliğinden dolayı derhal özür dilerim, ancak derse yalnızca pratikte karşılaşılabilecek görevleri dahil ettim. Burada her beş yılda bir meteor yağmuruna düşen bir şey bulmanız pek mümkün değildir ve bu tür sürprizler söz konusu olduğunda özel difüzör tuğlalarına yönelmelisiniz.

Lineer homojen diferansiyel denklem sistemleri

En basit homojen diferansiyel denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir:

Aslında neredeyse tüm pratik örnekler böyle bir sistemle sınırlıdır =)

Orada ne var?

– bunlar sayılardır (sayısal katsayılar). En yaygın sayılar. Özellikle bir, birkaç veya hatta tüm katsayılar sıfır olabilir. Ancak bu tür hediyeler nadiren verilir, bu nedenle sayılar çoğunlukla sıfıra eşit değildir.

Ve bunlar bilinmeyen fonksiyonlardır. Bağımsız değişken görevi gören değişken "sıradan bir diferansiyel denklemdeki X gibidir."

Ve sırasıyla bilinmeyen fonksiyonların birinci türevleridir.

Bir diferansiyel denklem sistemini çözmek ne anlama gelir?

Bu bulma anlamına gelir çok işlevler ve tatmin edici hem birinci hem ikinci sistemin denklemi. Gördüğünüz gibi prensip geleneksel olana çok benziyor doğrusal denklem sistemleri. Sadece orada kökler sayılardır ve burada fonksiyonlardır.

Bulunan cevap forma yazılır bir diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü:

Kıvırcık parantez içinde! Bu işlevler "tek bir donanımdadır."

Uzaktan kumanda sistemi için Cauchy problemini çözebilirsiniz, yani sistemin özel çözümü, verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan. Sistemin özel bir çözümü de süslü parantezlerle yazılmıştır.

Sistem aşağıdaki gibi daha kompakt bir şekilde yeniden yazılabilir:

Ancak geleneksel olarak türevlerin diferansiyellerle yazıldığı çözüm daha yaygındır, bu nedenle lütfen hemen aşağıdaki gösterime alışın:
ve – birinci dereceden türevler;
ve ikinci dereceden türevlerdir.

Örnek 1

Bir diferansiyel denklem sistemi için Cauchy problemini çözün başlangıç ​​koşullarıyla , .

Çözüm: Problemlerde sistem çoğunlukla başlangıç ​​koşullarıyla karşılaşır, dolayısıyla bu dersteki örneklerin neredeyse tamamı Cauchy problemi ile olacaktır. Ancak bu önemli değil, çünkü yol boyunca yine de genel bir çözüm bulunması gerekecek.

Sistemi çözelim eleme yoluyla. Yöntemin esasının sistemi tek bir diferansiyel denkleme indirgemek olduğunu hatırlatmama izin verin. Umarım diferansiyel denklemleri iyi çözersiniz.

Çözüm algoritması standarttır:

1) Al sistemin ikinci denklemi ve ondan şunu ifade ediyoruz:

Çözümün sonuna doğru bu denkleme ihtiyacımız olacak ve bunu bir yıldız işaretiyle işaretleyeceğim. Ders kitaplarında 500 notasyonla karşılaşıyorlar ve sonra "formül (253)'e göre ..." diyorlar ve 50 sayfa geride bu formülü arıyorlar. Kendimi tek bir işaretle (*) sınırlayacağım.

2) Ortaya çıkan denklemin her iki tarafının türevini alın:

"Vuruşlarla" süreç şöyle görünür:

Bu basit noktanın açık olması önemli; bunun üzerinde daha fazla durmayacağım.

3) yerine koyalım ve sistemin ilk denklemi:

Ve maksimum basitleştirmeler yapalım:

Sonuç en sıradan şey homojen ikinci dereceden denklem sabit katsayılarla. “Vuruşlarla” şu şekilde yazılır: .

– farklı gerçek kökler elde edilir, dolayısıyla:
.

Fonksiyonlardan biri yarı yolda bulundu.

Evet, lütfen "iyi" bir diskriminantla karakteristik bir denklem elde ettiğimizi unutmayın; bu, ikame ve basitleştirmelerde hiçbir şeyi karıştırmadığımız anlamına gelir.

4) Fonksiyona geçelim. Bunu yapmak için zaten bulunan işlevi alıyoruz ve türevini bulun. Şunlarla farklılaşıyoruz:

Hadi değiştirelim ve denkleme (*):

Veya kısaca:

5) Her iki fonksiyon da bulundu, sistemin genel çözümünü yazalım:

Cevap:özel çözüm:

Alınan cevabın kontrol edilmesi oldukça kolaydır; doğrulama üç adımda gerçekleştirilir:

1) Başlangıç ​​koşullarının gerçekten karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin:

Her iki başlangıç ​​koşulu da sağlanmıştır.

2) Bulunan cevabın sistemin ilk denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Fonksiyonu cevaptan alıyoruz ve türevini bulun:

Hadi değiştirelim , Ve sistemin ilk denklemi:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da bulunan cevabın sistemin ilk denklemini sağladığı anlamına gelir.

3) Cevabın sistemin ikinci denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Yanıttan fonksiyonu alıp türevini buluyoruz:

Hadi değiştirelim , Ve sistemin ikinci denklemi:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da bulunan cevabın sistemin ikinci denklemini sağladığı anlamına gelir.

Kontrol tamamlandı. Ne kontrol ediliyor? Başlangıç ​​koşullarının yerine getirildiği doğrulandı. Ve en önemlisi, bulunan özel çözümün olduğu gerçeği gösterilmiştir. tatmin eder herkese orijinal sistemin denklemi .

Benzer şekilde genel çözümü de kontrol edebilirsiniz. başlangıç ​​koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeye gerek olmadığından kontrol daha da kısa olacaktır.

Şimdi çözülen sisteme dönelim ve birkaç soru soralım. Çözüm şu şekilde başladı: Sistemin ikinci denklemini aldık ve ondan ifade ettik. “X”i değil “Y”yi ifade etmek mümkün müydü? Eğer ifade edersek bu bize hiçbir şey vermez - sağdaki bu ifadede hem "y" hem de "x" vardır, dolayısıyla değişkenden kurtulup sistemin çözümünü azaltamayız. bir diferansiyel denklemin çözümü.

İkinci soru. Sistemin ikinciden değil ilk denkleminden çözmeye başlamak mümkün müydü? Olabilmek. Sistemin ilk denklemine bakalım: . İçinde iki "X" ve bir "Y" var, dolayısıyla "Y"yi "X"e kadar tam olarak ifade etmek gerekiyor: . Sırada ilk türev var: . O zaman değiştirmelisin Ve sistemin ikinci denklemi. Çözüm tamamen eşdeğer olacaktır, tek farkı önce fonksiyonu sonra da bulmamızdır.

Ve sadece ikinci yöntem için bağımsız bir çözüm örneği olacak:

Örnek 2

Diferansiyel denklem sisteminin verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan özel bir çözümünü bulun.

Dersin sonunda verilen örnek çözümde ilk denklemden ifade edilmiştir. ve tüm dans bu ifadeden başlıyor. Örneğe bakmadan, kendiniz nokta nokta bir ayna çözümü yapmaya çalışın.

Ayrıca Örnek 1'in rotasına da gidebilirsiniz - ikinci denklemden, ifade edin (ifade edilmesi gerekenin “x” olduğuna dikkat edin). Ancak bu yöntem daha az rasyoneldir, çünkü sonunda bir kesir elde ettik ve bu da pek uygun değil.

Lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri

Hemen hemen aynı, yalnızca çözüm biraz daha uzun olacaktır.

Çoğu durumda problemlerde karşılaşabileceğiniz homojen olmayan diferansiyel denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir:

Homojen bir sistemle karşılaştırıldığında her denkleme ek olarak “te”ye bağlı belirli bir fonksiyon eklenir. Fonksiyonlar sabitler (ve bunlardan en az biri sıfıra eşit değildir), üsteller, sinüsler, kosinüsler vb. olabilir.

Örnek 3

Verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen doğrusal diferansiyel denklemler sistemine özel bir çözüm bulun

Çözüm: Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem sistemi verilmiştir; sabitler "katkı maddeleri" görevi görür. Kullanıyoruz eleme yöntemiçözüm algoritmasının kendisi tamamen korunur. Değişiklik olsun diye ilk denklemle başlayacağım.

1) Sistemin ilk denkleminden şunu ifade ediyoruz:

Bu önemli bir şey, o yüzden tekrar yıldız vereceğim. Parantezleri açmamak daha iyi; neden fazladan kesirler var?

Ve ilk denklemde iki "X" ve bir sabit aracılığıyla ifade edilenin "y" olduğuna tekrar dikkat edin.

2) Her iki tarafta da farklılaşın:

Sabitin türevinin sıfıra eşit olması nedeniyle sabit (üç) ortadan kaybolmuştur.

3) yerine koyalım Ve sistemin ikinci denklemine :

Değiştirmeden hemen sonra kesirlerden kurtulmanız tavsiye edilir; bunu yapmak için denklemin her bölümünü 5 ile çarparız:

Şimdi basitleştirmeler yapıyoruz:

Sonuç şuydu: doğrusal homojen olmayan ikinci dereceden denklem sabit katsayılarla. Aslında bu, önceki paragrafta tartışılan homojen denklem sisteminin çözümünden tüm farktır.

Not: Ancak homojen olmayan bir sistemde bazen homojen bir denklem elde edilebilir..

Karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünü bulalım:

Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

– eşlenik kompleks kökler elde edilir, bu nedenle:
.

Karakteristik denklemin kökleri yine “iyi” çıktı, bu da doğru yolda olduğumuz anlamına geliyor.

Formdaki homojen olmayan denkleme özel bir çözüm arıyoruz.
Birinci ve ikinci türevleri bulalım:

Homojen olmayan denklemin sol tarafını yerine koyalım:

Böylece:

Belirli bir çözümün sözlü olarak kolayca seçilebileceğine ve uzun hesaplamalar yerine şunu yazmanın oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edilmelidir: "Homojen olmayan denklemin belirli bir çözümünün olduğu açıktır: ."

Sonuç olarak:

4) Bir işlev arıyoruz. Öncelikle zaten bulunan fonksiyonun türevini buluyoruz:

Pek hoş bir durum değil ama bu tür türevler genellikle difüzörlerde bulunur.

Fırtına tüm hızıyla devam ediyor ve şimdi dokuzuncu bir dalga olacak. Kendinizi bir iple güverteye bağlayın.

Hadi değiştirelim
ve denkleme (*):

5) Sistemin genel çözümü:

6) Başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen özel bir çözüm bulun :

Son olarak özel bir çözüm:

Görüyorsunuz, ne mutlu sonla biten bir hikaye, artık yumuşak güneşin altında sakin denizde teknelerle korkusuzca yelken açabilirsiniz.

Cevap:özel çözüm:

Bu arada, bu sistemi ikinci denklemden çözmeye başlarsanız hesaplamalar çok daha basit olacaktır (deneyebilirsiniz), ancak birçok site ziyaretçisi daha zor şeyleri analiz etmek istedi. Nasıl reddedebilirsin? =) Daha ciddi örnekler olsun.

Kendi başınıza çözmeniz daha kolay bir örnek:

Örnek 4

Verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler sistemine özel bir çözüm bulun

Bu problemi Örnek 1'deki örneği kullanarak çözdüm, yani “x” ikinci denklemden ifade ediliyor. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Ele alınan örneklerde farklı notasyonlar kullanmam ve farklı çözümler uygulamam tesadüf değildi. Yani örneğin aynı görevdeki türevler üç şekilde yazılmıştır: . Yüksek matematikte her türlü dalgalı çizgiden korkmanıza gerek yok, asıl önemli olan çözüm algoritmasını anlamaktır.

Karakteristik denklem yöntemi(Eulerian yöntemi)

Makalenin başında belirtildiği gibi, karakteristik bir denklem kullanarak bir diferansiyel denklem sisteminin çözülmesi nadiren gerekli olur, bu nedenle son paragrafta sadece bir örneği ele alacağım.

Örnek 5

Doğrusal homojen bir diferansiyel denklem sistemi verildiğinde

Karakteristik denklemi kullanarak bir denklem sistemine genel bir çözüm bulun

Çözüm: Denklem sistemine bakıyoruz ve ikinci dereceden bir determinant oluşturuyoruz:

Determinantın hangi prensipte derlendiğini sanırım herkes görebilir.

Bunun için üzerinde yer alan her sayıdan karakteristik bir denklem oluşturalım. ana diyagonal, bazı parametreleri çıkarın:

Son kopyaya elbette hemen karakteristik denklemi yazmalısınız; ayrıntılı olarak adım adım açıklarım ki neyin nereden geldiği belli olsun.

Determinantı genişletiyoruz:

Ve ikinci dereceden denklemin köklerini buluyoruz:

Karakteristik denklem varsa iki farklı gerçek kök, o zaman diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü şu şekildedir:

Üslerdeki katsayıları zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey katsayıları bulmak

1) Kökü düşünün ve onu karakteristik denklemde değiştirin:

(Ayrıca bu iki belirleyiciyi boş kağıda yazmanıza gerek yok, hemen aşağıdaki sistemi sözlü olarak oluşturun)

Determinantın sayılarını kullanarak iki bilinmeyenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistem oluşturuyoruz:

Her iki denklemden de aynı eşitlik çıkar:

Şimdi seçmeniz gerekiyor en az value , öyle ki değer bir tamsayı olacaktır. Açıkçası, ayarlamanız gerekir. Ve eğer öyleyse

Sabit katsayılı bir adi diferansiyel denklemler sisteminin (SODE) matris gösterimi

Sabit katsayılı doğrusal homojen SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

burada $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\sol(x\sağ),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- bağımsız değişken $x$'ın gerekli fonksiyonları, katsayılar $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- verilen gerçek sayıları matris gösteriminde temsil ediyoruz:

1. gerekli fonksiyonların matrisi $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. türev çözümlerin matrisi $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE katsayı matrisi $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Şimdi, matris çarpımı kuralına dayanarak, bu SODE $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ matris denklemi biçiminde yazılabilir.

SODE'yi sabit katsayılarla çözmek için genel yöntem

Bazı sayıların bir matrisi olsun $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n)) ) \end(array)\right)$.

SODE'nin çözümü şu biçimde bulunur: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Matris biçiminde: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n)) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

Buradan şunu anlıyoruz:

Şimdi bu SODE'nin matris denklemi şu şekilde verilebilir:

Ortaya çıkan denklem aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Son eşitlik, $A$ matrisini kullanan $\alpha $ vektörünün, $k\cdot \alpha $ paralel vektörüne dönüştürüldüğünü gösterir. Bu, $\alpha $ vektörünün $A$ matrisinin bir özvektörü olduğu ve $k$ özdeğerine karşılık geldiği anlamına gelir.

$k$ sayısı $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) denkleminden belirlenebilir \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Bu denkleme karakteristik denir.

Karakteristik denklemin $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ köklerinin tümü farklı olsun. Sistemdeki her $k_(i) $ değeri için $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ bir değerler matrisi ​​tanımlanabilir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Bu matristeki değerlerden biri rastgele seçilir.

Son olarak bu sistemin matris formundaki çözümü şu şekilde yazılır:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x)) ) \end(array)\right)$,

burada $C_(i) $ isteğe bağlı sabitlerdir.

Görev

DE sistemini çözün $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.

Sistem matrisini yazıyoruz: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Matris formunda bu SODE şu şekilde yazılır: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (dizi)\sağ)=\left(\begin(dizi)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(dizi)\sağ)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Karakteristik denklemi elde ederiz:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, yani $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Karakteristik denklemin kökleri şöyledir: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 1\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(1) =1$ için:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0,\]

yani, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ elde ederiz.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 2\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(2) =9$ için:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0, \]

yani, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ elde ederiz.

SODE'nin çözümünü matris formunda elde ediyoruz:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x)) ) \end(array)\right).\]

Her zamanki formda, SODE'nin çözümü şu şekildedir: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x)) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x )) ) \end(array )\right.$.