Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Konu: Çember

Ders: Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası

Üçgenin üç yüksekliği bir noktada kesişir, bu noktaya denir. ortomerkez.

Bir üçgen verildiğinde, kesinlik açısından onun dar üçgen olduğunu varsayalım (bkz. Şekil 1). Geniş bir üçgen alırsak hiçbir şey değişmeyecek.

Bunu kanıtla

Pirinç. 1

Kanıt:

İspatı daha önce kanıtlanmış olan önceki teoremlere, örneğin dik açıortayların kesişimine ilişkin teoreme indirgemek istiyoruz.

Bunu yapmak için, üçgenin köşelerinden karşıt taraflarına paralel düz çizgiler çizin (bkz. Şekil 2):

A köşesinden - düz çizgi,

köşe B'den - düz çizgi,

köşe C'den - düz çizgi.

Pirinç. 2

Yeni bir üçgen elde ettik, onun özelliklerine bakalım.

Araç, . Aynı şekilde. Dolayısıyla dörtgen bir paralelkenardır.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları çiftler halinde eşittir, dolayısıyla .

Benzer şekilde inşaat yoluyla. Dörtgen bir paralelkenardır. Buradan, .

Buradan. Dolayısıyla A noktası doğru parçasının orta noktasıdır; bu, küçük üçgendeki AA 1 yüksekliğinin büyük üçgendeki dik açıortay olduğu anlamına gelir.

B ve C köşeleri için de benzer eylemler gerçekleştirilebilir. B'nin parçanın orta noktası olduğunu, BB 1'in büyük üçgenin kenarına dik açıortay olduğunu elde ederiz; C - orta nokta, СС 1 - büyük üçgenin kenarına dik açıortay.

Büyük AA 1, BB 1, CC 1 üçgenindeki dik açıortayların bir noktada - H noktasında kesişeceğini biliyoruz. Ayrıca bu dik açıortayların küçük üçgenin yükseklikleri olduğunu, dolayısıyla üçgenin yükseklikleri olduğunu da biliyoruz. H, Q.E.D. noktasında kesişiyor.

Yükseklik kesişim teoremini kanıtladık. dar üçgen Eğer üçgen dar değilse aynı teoremi kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Örneğin, eğer üçgen dik açılıysa ortomerkez, açının dik olduğu tepe noktasıyla çakışır çünkü yüksekliklerden ikisi bacaklara denk gelir ve üçüncüsü bu tepe noktasından çıkar (bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3

Pek çok şeyi hatırlamanızı sağlayacak esprili bir görev düşünelim. önemli gerçekler.

Görev

Merkezi O noktası ve çapı AB olan bir çember veriliyor. C noktası çemberin dışındadır. Sadece bir cetvel kullanarak, C noktasından AB düz çizgisine dik olan kısmı indirin (bkz. Şekil 4).

Pirinç. 4

AC düz bir çizgi çizelim ve çizilen doğrunun daireyle kesiştiği M noktasını elde edelim.

Bir BC düz çizgisi çizelim ve çizilen düz çizginin çemberle kesiştiği N noktasını elde edelim.

AN ve BM düz çizgilerini çizelim ve bunların kesişme noktası H'yi elde edelim (bkz. Şekil 5).

Bunu kanıtla.

Pirinç. 5

Kanıt:

Yazılı açılar ve sonuçlarıyla ilgili teoremleri inceledik. Bu sonuçlardan birine göre, çapın gösterdiği yazılı açı dik açıdır, dolayısıyla:

Yazılı bir açının, üzerinde durduğu yayın yarısı kadar ölçüldüğünü hatırlayın.

Yani buradan VM üçgenin yüksekliğidir. Ayrıca AN üçgenin yüksekliğidir.

Bir üçgenin iki yüksekliği H noktasında kesişir, bir üçgenin üç yüksekliğinin de bir noktada kesiştiğini biliyoruz, bu da üçüncü yüksekliğin H noktasından geçeceği anlamına gelir. Dolayısıyla CK, üçgenin yüksekliği CK⊥AB'dir; kanıtlamamız gereken şey buydu.

Bu derste bir üçgenin yüksekliklerinin kesişimiyle ilgili teoreme baktık ve bazı önemli geometrik gerçekleri hatırladığımız bir şaka problemini çözdük.

Referanslar

Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Home-edu.ru ().
Mat.1september.ru ().

Ev ödevi

Görev 1 - Yüksekliklerin kesişimine ilişkin teoremi kanıtlayın dik üçgen.
Görev 2 - Dar bir üçgen için rakımların kesişimine ilişkin teoremi kanıtlayın.
Görev 3 - O merkezli ve AB yarıçaplı bir daire verilmiştir. C noktası çemberin içinde yer almaktadır. Yalnızca bir cetvel kullanarak C noktasından AB çizgisine dik bir çizgi çizin.

Talimatlar

Koordinatlar zirveler paraboller bulunmuştur. Bunları tek bir noktanın (x0,y0) koordinatları olarak yazın.

Konuyla ilgili video

Yükseklik üçgen bir tepe noktasından düşen dik denir üçgen karşı tarafa veya onun devamına. Nokta kavşaklarüç yüksekliğe "ortomerkez" adı verilir. Ortocenter kavramı ve özellikleri, geometrik yapıları içeren problemleri çözerken faydalıdır.

İhtiyacın olacak

üçgenin köşelerinin üçgen, cetvel, kalem, kurşun kalem koordinatları

Talimatlar

Mevcut olanın türüne karar verin üçgen. En basit durum dik üçgendir, çünkü bacakları aynı anda iki yükseklik görevi görür. Üçüncüsü üçgen hipotenüs üzerinde yer alır. Bu durumda dikdörtgenin diklik merkezi üçgenüst kısımla örtüşüyor dik açı.

Akut bir durum söz konusu olduğunda üçgen nokta kavşaklarşeklin içinde olacaktır. Her köşeden kaydırın üçgen verilen tepe noktasının karşısındaki kenara dik bir çizgi. Bütün bu çizgiler bir noktada kesişecek. Bu istenen ortomerkez olacaktır.

Nokta kavşaklar geniş yükseklikler üçgenşeklin dışında olacaktır. Dikler köşelerden yükseklikler olmadan önce, ilk önce geniş bir açı oluşturan çizgilere ihtiyacınız vardır. üçgen. Bu durumda dikey yana düşmez üçgen, ancak bu tarafı içeren satıra. Daha sonra yükseklikler ve noktaları düşürülür kavşaklar yukarıda açıklandığı gibi.

Köşelerin koordinatları biliniyorsa üçgen veya uzayda bir noktanın koordinatlarını bulmak zor değil kavşaklar yükseklikler Açıların gösterimleri A, B, C ise, O ortomerkez ise, o zaman AO segmenti BC segmentine diktir ve BO AC'ye diktir, dolayısıyla AO-BC=0, BO-AC= elde edersiniz. 0. Bu doğrusal sistem düzlemdeki O noktasının koordinatlarını bulmak için yeterlidir. BC ve AC vektörlerinin koordinatlarını, ilk noktanın karşılık gelen koordinatlarını noktanın koordinatlarından çıkararak hesaplayın. O noktasının x ve y (O(x,y)) koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım, sonra iki bilinmeyenli iki denklemden çözün. Problem uzayda verilmişse, a=AB*AC vektörünün bulunduğu sisteme AO-a=0 denklemleri eklenmelidir.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Yüksekliklerin kesişme noktasını (ortomerkez) kenarortayların (merkez merkezi), ortaortayların veya dik açıortayların (üçgenin her iki tarafının ortasından çizilen) kesişme noktasıyla karıştırmayın.

Faydalı tavsiyeler

Diklik merkezini belirlemek için, herhangi bir üçgenin yükseklikleri her zaman bir noktada kesiştiğinden, üç yükseklikten ikisinin kesişme noktasını bulmak yeterlidir.

Kaynaklar:

Formüllerin etkileşimli referans kitabı.
yükseklik geçişi

Talimatlar

Öncelikle problemin çözümüne uygun koordinat sisteminin seçiminin tartışılması gerekmektedir. Tipik olarak bu tür problemlerde üçgenlerden biri 0X eksenine, bir noktası orijine denk gelecek şekilde yerleştirilir. Bu nedenle çözümün genel kabul görmüş kanonlarından sapmamalı ve aynısını yapmalısınız (bkz. Şekil 1). Üçgenin kendisini tanımlama yöntemi temel bir rol oynamaz, çünkü her zaman bunlardan birinden diğerine geçebilirsiniz (daha sonra doğrulayabileceğiniz gibi).

İstenilen üçgenin kenarlarının AC ve AB a(x1, y1) ve b(x2, y2) olan iki vektörüyle belirtilmesine izin verin. Üstelik yapısal olarak y1=0. Bu çizime göre BC'nin üçüncü kenarı c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2)'ye karşılık gelir. A noktası koordinatların başlangıç noktasına yerleştirilir, yani koordinatlar A(0, 0). Bunu fark etmek de kolaydır koordinatlar B (x2, y2), a C (x1, 0). Bundan, bir üçgeni iki vektörle tanımlamanın, onu üç noktayla tanımlamayla otomatik olarak çakıştığı sonucuna varabiliriz.

Daha sonra, gerekli üçgeni karşılık gelen ABDC paralelkenarına göre tamamlamalısınız. Üstelik bu noktada kavşaklar bir paralelkenarın köşegenleri AQ, ABC üçgeninin medyanı olacak ve A'dan BC kenarına inecek şekilde bölünürler. Köşegen vektör s bunu içerir ve paralelkenar kuralına göre a ve b'nin geometrik toplamıdır. O zaman s = a + b olur ve koordinatlar s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Aynısı koordinatlar aynı zamanda D(x1+x2, y2) noktasında olacaktır.

Artık s, medyan AQ ve en önemlisi istenen noktayı içeren düz bir çizginin denklemini derlemeye devam edebilirsiniz. kavşaklar medyan H. s vektörünün kendisi belirli bir doğru için kılavuz olduğundan ve ona ait olan A(0, 0) noktası da bilindiğinden, en basit şey bir düzlem çizginin denklemini kanonik formda kullanmaktır: (x) -x0)/m =(y-y0)/n.Burada (x0, y0) koordinatlar doğrunun isteğe bağlı noktası (nokta A(0, 0)) ve (m, n) – koordinatlar s (vektör (x1+x2, y2). Ve böylece istenen düz çizgi l1 şöyle görünecektir: x/(x1+x2)=y/ y2.

Bunu bulmanın en iyi yolu kavşaktadır. Bu nedenle, N denilen başka bir düz çizgi bulmalısınız. Bunu yapmak için, Şekil 2'de. Şekil 1'de köşegeni g=a+c =g(2x1-x2, -y2) olan, C'den AB kenarına indirilen ikinci ortanca CW'yi içeren başka bir paralelkenar APBC'nin yapısı. Bu köşegen C(x1,0) noktasını içerir, koordinatlar bu (x0, y0) rolünü oynayacaktır ve buradaki yön vektörü g(m, n)=g(2x1-x2, -y2) olacaktır. Dolayısıyla l2 şu denklemle verilir: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

l1 ve l2 denklemlerini birlikte çözdükten sonra bulmak kolaydır koordinatlar puan kavşaklar medyan H:H((x1+x1)/3, y2/3).

Konuyla ilgili video

İpucu 5: İki üçgenin kesişme çizgisi nasıl çizilir

Tanımlayıcı geometri, teknik çizim alanındaki birçok teorik gelişmenin temelini oluşturur. Görüntülemede bu teorinin bilgisi geometrik nesneler Bir çizim kullanarak fikirlerinizi güvenilir bir şekilde ifade etmek için gereklidir.

Talimatlar

Çizgi çizme görevi kavşaklar 2 için teknik çizimde temel denilebilir. oluşturmak astar kavşaklar 2 için üçgenler, her iki düzlem şekline ait noktaları belirlemeniz gerekiyor.

Çözmek için önden ve yatay projeksiyonda iki ABC ve EDK üçgeni oluşturun. Daha sonra AB ABC üzerinden yardımcı düzlem Pн'yi, onun yatay izdüşümünü çizin. Bu yatay düzlem oluşur astar kavşaklar 1-2 ikinci üçgenin EDK düzlemi ile, burada 1 ve 2 noktaları ED ve EK taraflarındadır.

Aynı şekilde bulun astar kavşaklar ABC üçgeninin önden izdüşümünde A'B' kenarı boyunca çizilmiş, yatay olarak çıkıntı yapan Pн 1′-2'. 1′-2′ ve A′B′ ön projeksiyonları kesişir ve bir nokta verir kavşaklar M′, önden projeksiyonu.

Tokatlamak astarÖn projeksiyondan yatay projeksiyona bağlantıyı bulun ve böylece M noktasının yatay izdüşümünü bulun.

İkinci noktayı belirleyin kavşaklar ABC EDK üçgeninin düzlemleri, bu amaçla EDK'daki DK kenarından ön izdüşümü olan Qv yardımcı düzlemini çizer. Astar kavşaklar Qv düzlemi ile ABC üçgeninin düzlemi önden izdüşümünde 3-4 doğrusu ve 3′-4′ doğrusu olur. Yatay çıkıntılar 3-4 ve DK birbiriyle kesişir ve bir nokta verir kavşaklar N, yatay izdüşümü.

Tokatlamak astar yatay projeksiyondan ön projeksiyona bağlantıyı bulun ve böylece önden projeksiyonu olan N' noktasını bulun.

Projeksiyon çizgisi noktalarını bağlayın kavşaklar MN ve çizgiler kavşaklar M'N'. Sonuç olarak iki satır elde edeceksiniz kavşaklar üçgenler EDK ve ABC'nin ön ve yatay projeksiyonları.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

üçgen düzlemlerinin kesişimi

İpucu 6: Noktaların koordinatları verilirse üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

Yükseklik, şeklin üst kısmını karşı tarafa bağlayan düz çizgi parçasıdır. Bu parça kenara dik olmalıdır, böylece her köşeden yalnızca bir tane çizilebilir yükseklik. Bu şekilde üç köşe olduğundan yükseklik sayıları da aynıdır. Bir üçgenin köşelerinin koordinatları verilirse, her bir yüksekliğin uzunluğu, örneğin alanı bulma ve kenarların uzunluklarını hesaplama formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Talimatlar

Kenar uzunluklarını hesaplayarak başlayın üçgen. Belirle koordinatlarşuna benzer rakamlar: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃). Daha sonra AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) formülünü kullanarak AB kenarının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Diğer iki taraf için bunlar