Diyelim ki, birkaç rasyonel eşitsizliğin aynı anda gerçek sayısal eşitsizliklere dönüştüğü x'in sayısal değerlerini bulmamız gerekiyor. Bu gibi durumlarda, bir bilinmeyen x'li rasyonel eşitsizlikler sistemini çözmenin gerekli olduğunu söylüyorlar.
Rasyonel eşitsizliklerden oluşan bir sistemi çözmek için sistemdeki her eşitsizliğin tüm çözümlerini bulmak gerekir. O zaman bulunan tüm çözümlerin ortak kısmı sistemin çözümü olacaktır.
Örnek: Eşitsizlik sistemini çözün
(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,
İlk önce eşitsizliği çözeriz
(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.
Aralık yöntemini kullanarak (Şekil 1), eşitsizliğin (2) tüm çözümlerinin kümesinin iki aralıktan oluştuğunu görüyoruz: (-, 1) ve (5, 7).
Şekil 1
Şimdi eşitsizliği çözelim
Aralık yöntemini kullanarak (Şekil 2), eşitsizliğin (3) tüm çözümlerinin kümesinin de iki aralıktan oluştuğunu görüyoruz: (2, 3) ve (4, +).
Şimdi (2) ve (3) eşitsizliklerinin çözümünün ortak kısmını bulmamız gerekiyor. Bir x koordinat ekseni çizelim ve üzerinde bulunan çözümleri işaretleyelim. Artık (2) ve (3) eşitsizliklerinin çözümünün ortak kısmının (5, 7) aralığı olduğu açıktır (Şekil 3).
Sonuç olarak, eşitsizlikler sisteminin (1) tüm çözümlerinin kümesi (5, 7) aralığını oluşturur.
Örnek: Eşitsizlik sistemini çözün
x2 - 6x + 10< 0,
Önce eşitsizliği çözelim
x 2 - 6x + 10< 0.
Tam kareyi izole etme yöntemini kullanarak şunu yazabiliriz:
x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.
Bu nedenle eşitsizlik (2) şu şekilde yazılabilir:
(x - 3) 2 + 1< 0,
buradan da hiçbir çözümü olmadığı açıkça anlaşılıyor.
Artık eşitsizliği çözmek zorunda değilsiniz
çünkü cevap zaten açık: Sistem (1)'in çözümü yok.
Örnek: Eşitsizlik sistemini çözün
Önce birinci eşitsizliğe bakalım; sahibiz
1 < 0, < 0.
İşaret eğrisini kullanarak bu eşitsizliğin çözümlerini buluyoruz: x< -2; 0 < x < 2.
Şimdi verilen sistemin ikinci eşitsizliğini çözelim. Elimizde x 2 - 64 var< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Genel sayı doğrusundaki birinci ve ikinci eşitsizliklerin bulunan çözümlerini not ettikten sonra (Şekil 6), bu çözümlerin çakıştığı aralıkları buluyoruz (çözümün kesişimi): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Örnek: Eşitsizlik sistemini çözün
Sistemin ilk eşitsizliğini dönüştürelim:
x 3 (x - 10)(x + 10) 0 veya x(x - 10)(x + 10) 0
(çünkü tek kuvvetlerdeki faktörler, birinci kuvvete karşılık gelen faktörlerle değiştirilebilir); Aralık yöntemini kullanarak son eşitsizliğin çözümlerini bulacağız: -10 x 0, x 10.
Sistemin ikinci eşitsizliğini düşünün; sahibiz
(Şekil 8) x -9'u buluyoruz; 3< x < 15.
Bulunan çözümleri birleştirerek (Şekil 9) x 0; x > 3.
Örnek: Eşitsizlik sisteminin tamsayı çözümlerini bulun:
x + y< 2,5,
Çözüm: Sistemi forma getirelim
Birinci ve ikinci eşitsizlikleri topladığımızda y elde ederiz.< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
nerede -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
“Eşitsizlikleri tek değişkenle çözme” konusunu araştırmaya devam ediyoruz. Doğrusal eşitsizliklere ve ikinci dereceden eşitsizliklere zaten aşinayız. Onlar özel durumlar rasyonel eşitsizliklerşimdi bunu inceleyeceğiz. Hangi tür eşitsizliklere rasyonel dendiğini öğrenerek başlayalım. Daha sonra bunların tam rasyonel ve kesirli rasyonel eşitsizliklere bölünmesine bakacağız. Bundan sonra, tek değişkenli rasyonel eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini inceleyeceğiz, karşılık gelen algoritmaları yazacağız ve ayrıntılı açıklamalarla tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Rasyonel eşitsizlikler nelerdir?
Okuldaki cebir derslerinde eşitsizliklerin çözümüne dair sohbet başlar başlamaz rasyonel eşitsizliklerle hemen karşılaşırız. Ancak, bu aşamada eşitsizlik türleri pek ilgi çekici olmadığından ve asıl amaç eşitsizliklerle çalışma konusunda başlangıç becerilerini kazanmak olduğundan, ilk başta isimleriyle anılmazlar. “Rasyonel eşitsizlik” terimi daha sonra 9. sınıfta kullanılmaya başlandı. detaylı çalışma Bu özel türden eşitsizlikler.
Rasyonel eşitsizliklerin ne olduğunu bulalım. İşte tanım:
Belirtilen tanım değişkenlerin sayısı hakkında hiçbir şey söylemez, bu da değişkenlerin herhangi bir sayısına izin verildiği anlamına gelir. Buna bağlı olarak bir, iki vb. rasyonel eşitsizlikler ayırt edilir. değişkenler. Bu arada, ders kitabı da benzer bir tanım veriyor, ancak tek değişkenli rasyonel eşitsizlikler için. Bu anlaşılabilir bir durum çünkü okul eşitsizlikleri tek değişkenle çözmeye odaklanıyor (aşağıda sadece tek değişkenli rasyonel eşitsizliklerin çözümünden de bahsedeceğiz). İki değişkenli eşitsizlikler küçük kabul edilir ve üç ve eşitsizlikler çok sayıda Değişkenlere neredeyse hiç dikkat edilmiyor.
Yani rasyonel bir eşitsizlik gösterimiyle tanınabilir; bunu yapmak için sol ve sağ tarafındaki ifadelere bakın ve bunların rasyonel ifadeler olduğundan emin olun. Bu düşünceler rasyonel eşitsizliklere örnekler vermemize olanak tanır. Örneğin, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1) rasyonel eşitsizliklerdir. Ve eşitsizlik 
sol tarafı kök işareti altında bir değişken içerdiğinden rasyonel değildir ve bu nedenle rasyonel bir ifade değildir. Eşitsizlik de rasyonel değildir, çünkü her iki kısmı da rasyonel ifadeler değildir.
Daha fazla açıklama kolaylığı sağlamak için, rasyonel eşitsizliklerin tam sayı ve kesirli olarak bölünmesini sunuyoruz.
Tanım.
Rasyonel eşitsizliği adlandıracağız tüm, eğer her iki parçası da tam rasyonel ifadelerse.
Tanım.
Kesirli rasyonel eşitsizlik en azından bir kısmı kesirli ifade olan rasyonel bir eşitsizliktir.
Yani 0,5 x≤3 (2−5 y) , 
tam sayı eşitsizlikleridir ve 1:x+3>0 ve 
- kesirli rasyonel.
Artık rasyonel eşitsizliklerin ne olduğu konusunda net bir anlayışa sahibiz ve tek değişkenli tamsayılı ve kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin ilkelerini güvenle anlamaya başlayabiliriz.
Eşitsizliklerin tamamını çözme
Kendimize bir görev belirleyelim: Diyelim ki r(x) formundaki bir x değişkeniyle tam bir rasyonel eşitsizliği çözmemiz gerekiyor.
İfadeyi sağ taraftan sola taşıyalım, bu bizi r(x)−s(x) formunda eşdeğer bir eşitsizliğe götürecektir.<0 (≤, >, ≥) sağda sıfır ile. Açıktır ki, sol tarafta oluşan r(x)−s(x) ifadesi de bir tam sayıdır ve herhangi bir . r(x)−s(x) ifadesini özdeş eşit h(x) polinomuna dönüştürdükten sonra (burada r(x)−s(x) ve h(x) ifadelerinin aynı x değişkenine sahip olduğunu görüyoruz), h(x) eşdeğer eşitsizliğine geçiyoruz<0 (≤, >, ≥).
En basit durumlarda, gerçekleştirilen dönüşümler istenen çözümü elde etmek için yeterli olacaktır çünkü bunlar bizi orijinal tüm rasyonel eşitsizlikten nasıl çözeceğimizi bildiğimiz bir eşitsizliğe, örneğin doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizliğe götürecektir. Örneklere bakalım.
Örnek.
x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 rasyonel eşitsizliğinin tamamının çözümünü bulun.
Çözüm.
İlk önce ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Sol taraftaki her şeyi tamamladıktan sonra, orijinal tam sayı eşitsizliğine eşdeğer olan 3·x−2≤0 doğrusal eşitsizliğine ulaşıyoruz. Çözüm zor değil:
3x≤2,
x≤2/3.
Cevap:
x≤2/3.
Örnek.
Eşitsizliği çöz (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).
Çözüm.
Her zamanki gibi ifadeyi sağ taraftan aktararak başlıyoruz ve ardından aşağıdakileri kullanarak sol tarafta dönüşümler gerçekleştiriyoruz:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Böylece eşdeğer dönüşümler yaparak x değişkeninin her değeri için geçerli olan 1>0 eşitsizliğine ulaştık. Bu, orijinal tam sayı eşitsizliğinin çözümünün herhangi bir gerçek sayı olduğu anlamına gelir.
Cevap:
x - herhangi biri.
Örnek.
Eşitsizliği çöz x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Çözüm.
Sağ tarafta bir sıfır var, dolayısıyla ondan herhangi bir şeyin taşınmasına gerek yok. Sol taraftaki ifadenin tamamını bir polinoma dönüştürelim:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Orijinal eşitsizliğe eşdeğer ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ettik. Bildiğimiz herhangi bir yöntemi kullanarak çözüyoruz. İkinci dereceden eşitsizliği grafiksel olarak çözelim.
Kökleri bulma ikinci dereceden üç terimli−2 x 2 +11 x+6 : 
Bulunan sıfırları işaretlediğimiz şematik bir çizim yapıyoruz ve baş katsayı negatif olduğundan parabolün dallarının aşağıya doğru yönlendirildiğini dikkate alıyoruz: 
Bir eşitsizliği > işaretiyle çözdüğümüz için parabolün x ekseninin üzerinde bulunduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu, istenen çözüm olan (−0,5, 6) aralığında meydana gelir.
Cevap:
(−0,5, 6) .
Daha karmaşık durumlarda, ortaya çıkan h(x) eşitsizliğinin sol tarafında<0 (≤, >, ≥) üçüncü veya daha yüksek dereceden bir polinom olacaktır. Bu tür eşitsizlikleri çözmek için, ilk adımda h(x) polinomunun tüm köklerini bulmanız gereken aralık yöntemi uygundur; bu genellikle ile yapılır.
Örnek.
Tüm rasyonel eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Çözüm.
Her şeyi sol tarafa taşıyalım, ardından:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Yapılan manipülasyonlar bizi orijinal eşitsizliğe eşdeğer bir eşitsizliğe götürüyor. Sol tarafında üçüncü dereceden bir polinom var. Aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için öncelikle x 3 +4 x 2 +11 x−6=0'a dayanan polinomun köklerini bulmanız gerekir. Sadece serbest terimin bölenleri arasında yani ±1, ±2, ±3, ±6 sayıları arasında olabilecek rasyonel köklerinin olup olmadığını öğrenelim. Bu sayıları sırasıyla x değişkeni yerine x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 denkleminde yerine koyarsak, denklemin köklerinin 1, 2 ve 3 sayıları olduğunu buluruz. Bu, x 3 +4 x 2 +11 x−6 polinomunu (x−1) (x−2) (x−3) çarpımı olarak ve x 3 +4 x 2 +11 x− eşitsizliğini temsil etmemizi sağlar. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Ve sonra geriye kalan tek şey aralık yönteminin standart adımlarını uygulamaktır: sayı doğrusu üzerinde bu doğruyu dört aralığa bölen 1, 2 ve 3 koordinatlı noktaları işaretleyin, işaretleri belirleyin ve yerleştirin, gölgelendirmeyi çizin eksi işaretli aralıklar (eksi işaretli bir eşitsizliği çözdüğümüz için<) и записать ответ.
Buradan (−∞, 1)∪(2, 3) elde ederiz.
Cevap:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Bazen r(x)−s(x) eşitsizliğinden uygunsuz olduğu unutulmamalıdır.<0 (≤, >, ≥) h(x) eşitsizliğine gidin<0 (≤, >, ≥), burada h(x) ikiden büyük dereceli bir polinomdur. Bu, h(x) polinomunu çarpanlara ayırmanın, r(x)−s(x) ifadesini doğrusal iki terimlilerin ve ikinci dereceden üç terimli sayıların bir ürünü olarak temsil etmekten daha zor olduğu durumlar için geçerlidir; örneğin, ortak çarpanı çarpanlara ayırarak . Bunu bir örnekle açıklayalım.
Örnek.
Eşitsizliği çöz (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Çözüm.
Bu tam bir eşitsizliktir. İfadeyi sağdan sola kaydırıp parantezleri açıp benzer terimleri eklersek eşitsizliği elde ederiz x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Dördüncü dereceden bir polinomun köklerini bulmayı gerektirdiğinden bunu çözmek çok zordur. Rasyonel köklerinin olmadığını doğrulamak kolaydır (bunlar 1, -1, 19 veya -19 sayıları olabilir), ancak diğer köklerini aramak sorunludur. Dolayısıyla bu yol çıkmaz sokaktır.
Diğer olası çözümleri arayalım. İfadeyi orijinal tam sayı eşitsizliğinin sağ tarafından sola aktardıktan sonra, x 2 −2 x−1 ortak faktörünü parantezlerden çıkarabileceğimizi görmek kolaydır:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.
Yapılan dönüşüm eşdeğerdir, dolayısıyla ortaya çıkan eşitsizliğin çözümü aynı zamanda orijinal eşitsizliğin de çözümü olacaktır.
Ve şimdi ortaya çıkan eşitsizliğin sol tarafında yer alan ifadenin sıfırlarını bulabiliriz, bunun için x 2 −2·x−1=0 ve x 2 −2·x−19=0'ya ihtiyacımız var. Kökleri sayılardır 
. Bu, eşdeğer eşitsizliğe gitmemizi sağlar ve bunu aralık yöntemini kullanarak çözebiliriz: 
Cevabı çizime göre yazıyoruz.
Cevap:
Bu noktayı sonuçlandırmak için, h(x) polinomunun tüm köklerini bulmanın ve sonuç olarak onu doğrusal binomların ve kare trinomiyallerin çarpımına genişletmenin her zaman mümkün olmadığını eklemek isterim. Bu durumlarda h(x) eşitsizliğini çözmenin bir yolu yoktur.<0 (≤, >, ≥), bu da orijinal tamsayı rasyonel denklemine bir çözüm bulmanın hiçbir yolu olmadığı anlamına gelir.
Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözme
Şimdi aşağıdaki problemi çözelim: Diyelim ki r(x) formundaki bir x değişkeniyle kesirli rasyonel eşitsizliği çözmemiz gerekiyor.
Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için algoritma tek değişkenli r(x)
- Öncelikle orijinal eşitsizlik için x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığını (APV) bulmanız gerekir.
- Daha sonra, ifadeyi eşitsizliğin sağ tarafından sola taşımanız ve burada oluşan r(x)−s(x) ifadesini p(x)/q(x) kesri biçimine dönüştürmeniz gerekir, burada p(x) ve q(x), doğrusal binomların, ayrıştırılamaz ikinci dereceden üç terimlilerin ve bunların doğal üslü kuvvetlerinin çarpımı olan tamsayı ifadeleridir.
- Daha sonra, ortaya çıkan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmemiz gerekiyor.
- Son olarak, bir önceki adımda elde edilen çözümden, ilk adımda bulunan orijinal eşitsizlik için x değişkeninin ODZ'sine dahil olmayan noktaların hariç tutulması gerekir.
Bu şekilde kesirli rasyonel eşitsizliğin istenilen çözümü elde edilecektir.
Algoritmanın ikinci adımı açıklama gerektirir. İfadeyi eşitsizliğin sağ tarafından sola aktarmak r(x)−s(x) eşitsizliğini verir<0 (≤, >, ≥), orijinaline eşdeğerdir. Burada her şey açık. Ancak bunun p(x)/q(x) biçimine daha da dönüştürülmesiyle sorular ortaya çıkıyor.<0 (≤, >, ≥).
İlk soru şu: "Bunu gerçekleştirmek her zaman mümkün müdür?" Teorik olarak evet. Her şeyin mümkün olduğunu biliyoruz. Rasyonel bir kesrin payı ve paydası polinomlar içerir. Cebirin temel teoreminden ve Bezout teoreminden, n dereceli tek değişkenli herhangi bir polinomun doğrusal binomların bir ürünü olarak temsil edilebileceği sonucu çıkar. Bu, bu dönüşümü gerçekleştirme olasılığını açıklıyor.
Uygulamada polinomları çarpanlara ayırmak oldukça zordur ve dereceleri dörtten büyükse bu her zaman mümkün değildir. Çarpanlara ayırma mümkün değilse, o zaman başlangıçtaki eşitsizliğe bir çözüm bulmanın bir yolu olmayacaktır, ancak bu tür durumlar genellikle okulda meydana gelmez.
İkinci soru: “p(x)/q(x) eşitsizliği<0
(≤, >, ≥) r(x)−s(x) eşitsizliğine eşdeğerdir<0
(≤, >, ≥) ve dolayısıyla orijinaline”? Eşdeğer veya eşitsiz olabilir. p(x)/q(x) ifadesinin ODZ'si r(x)−s(x) ifadesinin ODZ'si ile çakıştığında eşdeğerdir. Bu durumda algoritmanın son adımı gereksiz olacaktır. Ancak p(x)/q(x) ifadesinin ODZ'si, r(x)−s(x) ifadesinin ODZ'sinden daha geniş olabilir. ODZ'nin genişlemesi, örneğin, kesirler azaltıldığında meydana gelebilir. 
İle . Ayrıca ODZ'nin genişletilmesi, örneğin bir yerden taşınırken olduğu gibi benzer terimler getirilerek kolaylaştırılabilir. 
İle . Algoritmanın son adımı, ODZ'nin genişlemesi nedeniyle ortaya çıkan gereksiz kararların hariç tutulduğu bu durum için tasarlanmıştır. Aşağıdaki örneklerin çözümlerine baktığımızda bunu takip edelim.
Örnekler:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözerken aralık yöntemi kullanılır. Bu nedenle aşağıda verilen algoritma size zorluk çıkarıyorsa şu yazıya bir göz atın: .
Kesirli rasyonel eşitsizlikler nasıl çözülür:
Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için algoritma.
Örnekler:
İşaretleri sayı doğrusu aralıklarına yerleştirin. İşaret yerleştirme kurallarını size hatırlatmama izin verin:
En sağdaki aralığın işaretini belirliyoruz - bu aralıktan bir sayı alıyoruz ve onu X yerine eşitsizliğin yerine koyuyoruz. Daha sonra parantez içindeki işaretleri ve bu işaretlerin çarpılması sonucunu belirliyoruz;
Örnekler:
Gerekli aralıkları seçin. Ayrı bir kök varsa, cevaba eklemeyi unutmamak için onu bir onay kutusuyla işaretleyin (aşağıdaki örneğe bakın).
Örnekler:
Cevabınızda vurgulanan boşlukları ve işaretli kökleri (varsa) yazın.
Örnekler:
Cevap: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪. Koordinat doğrusu üzerinde yer alan ve -7 ile 7 arasında yer alan ve sınırları da içeren bir dizi sayıdan oluşur. Bu durumda, Grafikteki noktalar içi dolu daireler şeklinde gösterilir ve aralık kullanılarak kaydedilir.
İkinci şekil katı eşitsizliğin grafiksel temsilidir. Bu durumda, delikli (içi doldurulmamış) noktalarla gösterilen sınır çizgisi sayıları -7 ve 7, belirtilen kümeye dahil edilmez. Ve aralığın kendisi parantez içinde şu şekilde yazılır: (-7; 7).
Yani bu tür eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini bulduktan ve benzer bir cevap aldıktan sonra -7 ve 7 dışında söz konusu sınırlar arasında kalan sayılardan oluştuğu sonucuna varabiliriz. benzer şekilde. Üçüncü şekil (-∞; -7] U) aralıklarının görüntülerini göstermektedir.