Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Önceki derste karekökün ne olduğunu çözdük. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri ve tüm bunlarla ne yapılabilir?
Kök formülleri, köklerin özellikleri ve köklerle çalışma kuralları- bu aslında aynı şeydir. için formüller kareköklerşaşırtıcı derecede az. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...
En basitinden başlayalım. İşte:
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Sende var mı hesap makinesi bağımlılığı? Yoksa hesap makinesi veya kareler tablosu dışında hesaplama yapmanın çok zor olduğunu mu düşünüyorsunuz?
Okul çocukları bir hesap makinesine bağlanır ve hatta değerli düğmelere basarak 0,7 ile 0,5'i çarparlar. Eh, ben hâlâ hesaplamayı biliyorum ama artık zamandan tasarruf edeceğim diyorlar... Sınav gelince... o zaman kendimi zorlarım...
Yani sınav sırasında zaten bolca "stresli anlar" yaşanacak... Denildiği gibi su taşları aşındırır. Yani bir sınavda küçük şeyler, eğer çok varsa, sizi mahvedebilir...
Olası sorunların sayısını en aza indirelim.
Büyük bir sayının karekökünü almak
Şimdi sadece karekök çıkarma işleminin sonucunun bir tam sayı olduğu durumdan bahsedeceğiz.
Durum 1.
Bu nedenle, ne pahasına olursa olsun (örneğin, diskriminant hesaplanırken) 86436'nın karekökünü hesaplamamız gerekiyor.
86436 sayısını asal çarpanlara ayıracağız. 2'ye bölünce 43218 elde edilir; Tekrar 2'ye böldüğümüzde 21609 elde ederiz. Bir sayı 2'ye bölünemez. Ancak rakamların toplamı 3'e bölünebildiği için sayının kendisi de 3'e bölünebilir (genel olarak konuşursak, 9'a da bölünebildiği açıktır). . Tekrar 3'e bölersek 2401 elde ederiz. 2401, 3'e tam olarak bölünemez. Beşe bölünmez (0 veya 5 ile bitmez).
7'ye bölünebildiğinden şüpheleniyoruz. Aslında ve ,
Yani siparişi tamamlayın!
Durum 2.
Hesaplamamız gerekiyor. Yukarıda anlatılanlarla aynı şekilde hareket etmek sakıncalıdır. Çarpanlara ayırmaya çalışıyoruz...
1849 sayısı 2’ye bölünmez (çift değildir)…
3'e tam bölünmez (rakamların toplamı 3'ün katı değildir).
5'e tam bölünmez (son rakam ne 5 ne de 0)…
7'ye tam bölünmez, 11'e bölünmez, 13'e bölünmez... Peki asal sayıların hepsini sıralamamız ne kadar sürer?
Biraz farklı düşünelim.
Bunu anlıyoruz
Aramamızı daralttık. Şimdi 41'den 49'a kadar olan sayıların üzerinden geçiyoruz. Üstelik sayının son rakamı 9 olduğundan, 43 veya 47. seçeneklerde durmamız gerektiği açıktır - yalnızca bu sayılar karelendiğinde son rakamı 9 verecektir. .
Tabii burada 43'te duruyoruz.
Not: 0,7'yi 0,5 ile nasıl çarpacağız?
Sıfırları ve işaretleri göz ardı ederek 5'i 7 ile çarpmalı ve ardından sağdan sola doğru iki ondalık basamağı ayırmalısınız. 0,35 alıyoruz.
Kare bir arsanın alanı 81 dm²'dir. Onun tarafını bul. Diyelim ki karenin kenar uzunluğu X desimetre. Daha sonra arsanın alanı X² desimetre kare. Koşula göre bu alan 81 dm²'ye eşit olduğundan, o zaman X² = 81. Karenin bir kenar uzunluğu pozitif bir sayıdır. Karesi 81 olan pozitif sayı 9 sayısıdır. Problemi çözerken karesi 81 olan x sayısını bulmak yani denklemi çözmek gerekiyordu. X² = 81. Bu denklemin iki kökü vardır: X 1 = 9 ve X 2 = - 9, çünkü 9² = 81 ve (- 9)² = 81. Hem 9 hem de - 9 sayılarına 81'in karekökleri denir.
Kareköklerden birinin X= 9 pozitif bir sayıdır. 81'in aritmetik karekökü olarak adlandırılır ve √81 ile gösterilir, yani √81 = 9.
Bir sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.
Örneğin 6 ve -6 sayıları 36 sayısının karekökleridir. Ancak 6, negatif olmayan bir sayı olduğundan ve 6² = 36 olduğundan 6 sayısı 36'nın aritmetik kareköküdür. -6 sayısı bir sayı değildir. aritmetik kök.
Bir sayının aritmetik karekökü A aşağıdaki gibi gösterilir: √ A.
İşarete aritmetik karekök işareti denir; A- radikal bir ifade olarak adlandırıldı. İfade √ A Okumak şöyle: bir sayının aritmetik karekökü A.Örneğin √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bir aritmetik kökten bahsettiğimizin açıkça görüldüğü durumlarda kısaca şöyle derler: “karekök A«.
Bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu eylem kare almanın tersidir.
Herhangi bir sayının karesini alabilirsiniz, ancak herhangi bir sayıdan karekök çıkaramazsınız. Örneğin - 4 sayısının karekökünü çıkarmak imkansızdır. Eğer böyle bir kök varsa, o zaman bunu harfle belirtin X Solda negatif olmayan bir sayı ve sağda negatif bir sayı olduğundan yanlış eşitlik x² = - 4'ü elde ederiz.
İfade √ A sadece ne zaman anlamlı olur a ≥ 0. Karekök tanımı kısaca şu şekilde yazılabilir: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Eşitlik (√ A)² = A için geçerli a ≥ 0. Böylece negatif olmayan bir sayının karekökünün elde edilmesini sağlamak A eşittir B, yani √ olması gerçeğinde A =B, aşağıdaki iki koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir: b ≥ 0, B² = A.
Bir kesrin karekökü
Hesaplayalım. √25 = 5, √36 = 6 olduğuna dikkat edelim ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Çünkü 
ve o zaman eşitlik doğrudur. Bu yüzden, 
.
Teorem: Eğer A≥ 0 ve B> 0, yani kesrin kökü, payın kökü bölü paydanın köküne eşittir. Bunu kanıtlamak gerekir: ve 
.
√'den beri A≥0 ve √ B> 0 ise .
Bir kesri bir kuvvete yükseltmenin özelliği ve karekök tanımı üzerine 
teorem kanıtlanmıştır. Birkaç örneğe bakalım.
Kanıtlanmış teoremi kullanarak hesaplayın 
.
İkinci örnek: Bunu kanıtlayın 
, Eğer A ≤ 0, B < 0. 
.
Başka bir örnek: Hesaplayın.
.
Karekök Dönüşümü
Çarpanın kök işaretinin altından çıkarılması. İfade verilsin. Eğer A≥ 0 ve B≥ 0 ise çarpım kök teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:
Bu dönüşüme çarpanın kök işaretinden çıkarılması denir. Bir örneğe bakalım;
Hesapla X= 2. Doğrudan ikame X= 2 radikal ifadesinde karmaşık hesaplamalara yol açar. İlk önce faktörleri kök işaretinin altından kaldırırsanız, bu hesaplamalar basitleştirilebilir: . Şimdi x = 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:.
Dolayısıyla, kök işaretinin altındaki faktör kaldırıldığında, radikal ifade, bir veya daha fazla faktörün negatif olmayan sayıların kareleri olduğu bir ürün biçiminde temsil edilir. Daha sonra çarpım kökü teoremini uygulayın ve her faktörün kökünü alın. Bir örnek düşünelim: A = √8 + √18 - 4√2 ifadesini kök işaretinin altındaki ilk iki terimdeki çarpanları çıkararak basitleştirirsek: elde ederiz. Eşitliğin altını çiziyoruz 
yalnızca şu durumlarda geçerlidir: A≥ 0 ve B≥ 0. eğer A < 0, то .
Üs alma, belirli bir sayının kendisi ile belirli sayıda çarpılmasını içerir. Örneğin, 2 sayısını beşinci kuvvetine çıkarmak şöyle görünecektir:
Kendisiyle çarpılması gereken sayıya kuvvetin tabanı, çarpma sayısına ise üssü denir. Bir güce yükseltmek iki zıt eyleme karşılık gelir: üssü bulmak ve tabanı bulmak.
Kök çıkarma
Bir kuvvetin tabanını bulmaya kök çıkarma denir. Bu, verilen sayıyı elde etmek için n üssüne yükseltilmesi gereken sayıyı bulmanız gerektiği anlamına gelir.
Örneğin 16 sayısının 4.kökünü çıkarmak gerekiyor yani. Bunu belirlemek için, sonuçta 16 elde etmek için 4 kez kendisiyle çarpmanız gerekir. Bu sayı 2'dir.
Bu aritmetik işlem özel bir işaret kullanılarak yazılır - radikal: √, bunun üzerinde üs solda gösterilir.
Aritmetik kök
Üs çift bir sayıysa, kök aynı mutlak değere sahip iki sayı olabilir, ancak c pozitif ve negatiftir. Yani verilen örnekte bunlar 2 ve -2 sayıları olabilir.
İfadenin açık olması gerekir; tek bir sonucu var. Bu amaçla yalnızca pozitif bir sayıyı temsil edebilen aritmetik kök kavramı tanıtıldı. Aritmetik kök sıfırdan küçük olamaz.
Dolayısıyla, yukarıda tartışılan örnekte, yalnızca 2 sayısı aritmetik kök olacaktır ve ikinci cevap seçeneği - -2 - tanım gereği hariç tutulmuştur.
Karekök
Diğerlerine göre daha sık kullanılan bazı dereceler için orijinal olarak geometriyle ilişkilendirilen özel isimler vardır. bu yaklaşık ikinci ve üçüncü kuvvetlere yükselme hakkında.
Bir karenin alanını hesaplamanız gerektiğinde bir kenar uzunluğunun ikinci kuvveti. Bir küpün hacmini bulmanız gerekiyorsa, kenarının uzunluğunun üçüncü kuvvetine yükseltilir. Bu nedenle sayının karesi, üçüncüsüne ise küp denir.
Buna göre ikinci derecenin köküne kare, üçüncü derecenin köküne ise kübik denir. Karekök, radikalin üzerinde bir üsle yazılmayan tek köktür:
Dolayısıyla, belirli bir sayının aritmetik karekökü, o sayıyı elde etmek için ikinci üssüne yükseltilmesi gereken pozitif sayıdır.