Koninin ne olduğunu biliyoruz, hadi yüzey alanını bulmaya çalışalım. Neden böyle bir sorunu çözmeniz gerekiyor? Örneğin, bir waffle külahı yapmak için ne kadar hamurun harcanacağını anlamanız mı gerekiyor? Veya bir tuğla kale çatısı yapmak için kaç tuğla gerekir?
Bir koninin yan yüzey alanının ölçülmesi basitçe yapılamaz. Ama aynı boynuzun kumaşa sarılı olduğunu hayal edelim. Bir kumaş parçasının alanını bulmak için onu kesip masanın üzerine koymanız gerekir. Sonuç düz bir şekildir, alanını bulabiliriz.
Pirinç. 1. Generatrix boyunca bir koninin kesiti
Aynısını koni için de yapalım. Haydi "keselim" yan yüzeyörneğin herhangi bir cins boyunca (bkz. Şekil 1).
Şimdi yan yüzeyi bir düzlem üzerine “açalım”. Bir sektör elde ediyoruz. Bu sektörün merkezi koninin tepe noktasıdır, sektörün yarıçapı koninin generatrisine eşittir ve yayının uzunluğu koninin tabanının çevresi ile çakışmaktadır. Bu sektöre koninin yan yüzeyinin gelişimi denir (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 2. Yan yüzeyin geliştirilmesi
Pirinç. 3. Radyan cinsinden açı ölçümü
Mevcut verileri kullanarak sektörün alanını bulmaya çalışalım. Öncelikle gösterimi tanıtalım: sektörün tepe noktasındaki açının radyan cinsinden olmasına izin verin (bkz. Şekil 3).
Sorunlarda sıklıkla taramanın en üstündeki açıyla uğraşmak zorunda kalacağız. Şimdilik şu soruya cevap vermeye çalışalım: Bu açı 360 dereceden fazla olamaz mı? Yani taramanın kendisiyle örtüşeceği ortaya çıkmaz mı? Tabii ki değil. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım. Taramanın kendi üzerine "üst üste binmesine" izin verin. Bu, tarama yayının uzunluğunun yarıçaplı dairenin uzunluğundan daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak daha önce de belirtildiği gibi tarama yayının uzunluğu yarıçaplı dairenin uzunluğuna eşittir. Ve koninin tabanının yarıçapı elbette cinsten daha küçüktür, örneğin bir dik üçgenin kenarı hipotenüsten daha küçüktür.
O halde planimetri dersinden iki formülü hatırlayalım: yay uzunluğu. Sektör alanı: .
Bizim durumumuzda rol jeneratör tarafından oynanıyor , ve yayın uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir, yani. Sahibiz:
Sonunda şunu elde ederiz: .
Yan yüzeyin alanıyla birlikte alan da bulunabilir tam yüzey. Bunu yapmak için tabanın alanını yan yüzeyin alanına ekleyin. Ancak taban, formüle göre alanı eşit olan yarıçaplı bir dairedir.
Sonunda elimizde: , silindir tabanının yarıçapı nerede, generatrix'tir.
Verilen formülleri kullanarak birkaç problemi çözelim.
Pirinç. 4. Gerekli açı
Örnek 1. Koninin yan yüzeyinin gelişimi, tepe noktasında açılı bir sektördür. Koninin yüksekliği 4 cm ve taban yarıçapı 3 cm ise bu açıyı bulun (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Koni Oluşturan Sağ Üçgen
Pisagor teoremine göre ilk eylemde jeneratörü buluyoruz: 5 cm (bkz. Şekil 5). Sonra şunu biliyoruz .
Örnek 2. Koninin eksenel kesit alanı eşittir, yüksekliği eşittir. Toplam yüzey alanını bulun (bkz. Şekil 6).
Okulda incelenen devrim cisimleri silindir, koni ve toptur.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili bir problemde, bir koninin hacmini veya bir kürenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, kendinizi şanslı sayın.
Silindir, koni ve kürenin hacim ve yüzey alanı formüllerini uygulayın. Hepsi masamızda. Ezbere öğrenin. Burası stereometri bilgisinin başladığı yerdir.
Bazen manzarayı yukarıdan çizmek iyi olur. Veya bu problemde olduğu gibi aşağıdan.
2. Düzgün bir dörtgen piramit etrafında çevrelenen bir koninin hacmi, bu piramidin içine yazılan bir koninin hacminden kaç kat daha büyüktür?
Çok basit; görünümü aşağıdan çizin. Büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapından kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Her iki koninin yüksekliği aynıdır. Bu nedenle büyük koninin hacmi iki kat daha büyük olacaktır.
Bir diğer önemli nokta. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı B bölümünün problemlerinde cevabın tam sayı veya son ondalık kesir olarak yazıldığını hatırlıyoruz. Bu nedenle B kısmındaki cevabınızda veya olmamalıdır. Sayının yaklaşık değerini değiştirmeye de gerek yoktur! Kesinlikle küçülmeli! Bu amaçla bazı problemlerde görev şu şekilde formüle edilmiştir: "Silindirin yan yüzeyinin alanını bölerek bul."
Devrim cisimlerinin hacmi ve yüzey alanı formülleri başka nerede kullanılıyor? Elbette problem C2'de (16). Bunu da size anlatacağız.
İşte konilerle ilgili problemler, durum yüzey alanıyla ilgilidir. Özellikle bazı problemlerde, koninin yüksekliğini veya tabanının yarıçapını arttırırken (azaltırken) alanı değiştirme sorunu ortaya çıkar. Sorunları çözmek için teori. Aşağıdaki görevleri ele alalım:
27135. Koninin tabanının çevresi 3, genatrix ise 2'dir. Koninin yan yüzeyinin alanını bulun.
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Verilerin değiştirilmesi:
75697. Generatrix 36 kat arttırılırsa ve tabanın yarıçapı aynı kalırsa, koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artacaktır?
Koni yan yüzey alanı:
Generatrix 36 kat artar. Yarıçap aynı kalır, bu da tabanın çevresinin değişmediği anlamına gelir.
Bu, değiştirilmiş koninin yan yüzey alanının şu şekilde olacağı anlamına gelir:
Böylece 36 kat artacak.
*İlişki basittir, dolayısıyla bu sorun sözlü olarak kolayca çözülebilir.
27137. Tabanının yarıçapı 1,5 kat azaltılırsa koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat azalacaktır?
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Yarıçap 1,5 kat azalır, yani:
Yan yüzey alanının 1,5 kat azaldığı tespit edildi.
27159. Koninin yüksekliği 6, generatrix 10'dur. Pi'ye bölünen toplam yüzeyinin alanını bulun.
Tam koni yüzeyi:
Yarıçapı bulmanız gerekir:
Yükseklik ve cins matrisi biliniyor, Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı hesaplıyoruz:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
76299. Koninin toplam yüzey alanı 108'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir bölüm çizilir. Kesilen koninin toplam yüzey alanını bulun.
Kesit yüksekliğin ortasından tabana paralel olarak geçer. Bu, taban yarıçapının ve kesme konisinin generatrisinin, orijinal koninin yarıçapından ve generatriksinden 2 kat daha az olacağı anlamına gelir. Kesilen koninin yüzey alanını yazalım:
Orijinalin yüzey alanından 4 kat daha az yani 108:4=27 olacağını tespit ettik.
*Orijinal ve kesik koni benzer gövdeler olduğundan benzerlik özelliğini kullanmak da mümkün olmuştur:
27167. Koninin taban yarıçapı 3 ve yüksekliği 4'tür. Koninin toplam yüzey alanını Pi'ye bölerek bulun.
Bir koninin toplam yüzeyinin formülü:
Yarıçap biliniyor, generatrix'i bulmak gerekiyor. 
Pisagor teoremine göre:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
Görev. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının dört katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açının kosinüsünü bulun.
Koninin tabanının alanı: 
Yani kosinüs şuna eşit olacaktır:
Cevap: 0,25
Kendiniz karar verin:
27136. Generatrix 3 kat arttırılırsa koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artacaktır?
27160. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının iki katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin. .
27161. Koninin toplam yüzey alanı 12'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir bölüm çizilir. Kesilen koninin toplam yüzey alanını bulun.
Hepsi bu. Size iyi şanslar!
Saygılarımla, İskender.
*Site hakkındaki bilgileri sosyal ağlar aracılığıyla arkadaşlarınızla paylaşın.