Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler, çözüm örnekleri. Karmaşık logaritmik eşitsizlikler

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.

Bu şekilde logaritmalardan kurtuluruz ve sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indiririz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Bir logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, bunu tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - bkz. “Logaritma nedir?”.

Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey onu çözümle kesiştirmektir. rasyonel eşitsizlik- ve cevap hazır.

Görev. Eşitsizliği çözün:

İlk önce logaritmanın ODZ'sini yazalım:

İlk iki eşitsizlik otomatik olarak karşılanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfır olduğunda sıfır olacağından, elimizde:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Logaritmanın ODZ'sinin sıfır dışındaki tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz:

Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir. Sahibiz:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstelik x = 0 ikinci çokluğun köküdür, yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, yani cevap budur.

Logaritmik eşitsizlikleri dönüştürme

Çoğunlukla orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya ilişkin standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir - bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”. Yani:

Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir;
Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir.

Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Dolayısıyla logaritmik eşitsizliklerin çözümüne yönelik genel şema aşağıdaki gibidir:

Eşitsizliğe dahil olan her logaritmanın VA'sını bulun;
Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin;
Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemayı kullanarak çözün.

Görev. Eşitsizliği çözün:

İlk logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım:

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Sonra - paydanın sıfırları:

x - 1 = 0;
x = 1.

Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. Bana inanmıyorsan kontrol edebilirsin. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:

Görüldüğü gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçlüler azaltılmıştır. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayalım:

günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Formülü kullanarak logaritmalardan kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlik “küçüktür” işareti içerdiğinden, ortaya çıkan rasyonel ifadenin de sıfırdan küçük olması gerekir. Sahibiz:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

İki setimiz var:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Adayın cevabı: x ∈ (−1; 3).

Geriye bu kümeleri kesiştirmek kalıyor - gerçek cevabı alıyoruz:

Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar deliklidir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Birleşik Devlet Sınavına kadar hala zaman olduğunu ve hazırlanmak için zamanınızın olacağını mı düşünüyorsunuz? Belki de bu böyledir. Ancak her halükarda öğrenci hazırlıklara ne kadar erken başlarsa sınavları o kadar başarılı geçer. Bugün bir makaleyi logaritmik eşitsizliklere ayırmaya karar verdik. Bu, ekstra kredi alma fırsatı anlamına gelen görevlerden biridir.

Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musun? Gerçekten öyle umuyoruz. Ancak bu soruya bir cevabınız olmasa bile bu bir sorun değil. Logaritmanın ne olduğunu anlamak çok basittir.

Neden 4? 81 elde etmek için 3 sayısını bu kuvvete yükseltmeniz gerekiyor. Prensibi anladıktan sonra daha karmaşık hesaplamalara geçebilirsiniz.

Birkaç yıl önce eşitsizliklerden geçtiniz. Ve o zamandan beri matematikte sürekli onlarla karşılaştınız. Eşitsizlikleri çözmede sorun yaşıyorsanız uygun bölüme bakın.
Artık kavramlara tek tek aşina olduğumuza göre, onları genel olarak ele almaya geçelim.

En basit logaritmik eşitsizlik.

En basit logaritmik eşitsizlikler bu örnekle sınırlı değildir; yalnızca farklı işaretlere sahip üç tane daha vardır. Bu neden gerekli? Eşitsizliklerin logaritmalarla nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak. Şimdi daha uygulanabilir bir örnek verelim, yine de oldukça basit; karmaşık logaritmik eşitsizlikleri sonraya bırakacağız.

Bu nasıl çözülür? Her şey ODZ ile başlar. Herhangi bir eşitsizliği her zaman kolayca çözmek istiyorsanız, bunun hakkında daha fazla bilgi sahibi olmaya değer.

ODZ nedir? Logaritmik eşitsizlikler için ODZ

Kısaltma, kabul edilebilir değer aralığını ifade eder. Bu formülasyon genellikle Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde ortaya çıkar. ODZ yalnızca logaritmik eşitsizlikler durumunda sizin için yararlı olmayacaktır.

Yukarıdaki örneğe tekrar bakın. İlkeyi anlamanız ve logaritmik eşitsizlikleri çözmenin soru sormaması için ODZ'yi buna dayanarak ele alacağız. Logaritmanın tanımından 2x+4'ün sıfırdan büyük olması gerektiği sonucu çıkar. Bizim durumumuzda bu şu anlama geliyor.

Bu sayı, tanımı gereği pozitif olmalıdır. Yukarıda sunulan eşitsizliği çözün. Bu sözlü olarak bile yapılabilir; burada X'in 2'den küçük olamayacağı açıktır. Eşitsizliğin çözümü, kabul edilebilir değerler aralığının tanımı olacaktır.
Şimdi en basit logaritmik eşitsizliği çözmeye geçelim.

Eşitsizliğin her iki tarafındaki logaritmaların kendisini atıyoruz. Sonuç olarak elimizde ne kaldı? Basit eşitsizlik.

Çözülmesi zor değil. X -0,5'ten büyük olmalıdır. Şimdi elde edilen iki değeri bir sistemde birleştiriyoruz. Böylece,

Bu, söz konusu logaritmik eşitsizlik için kabul edilebilir değerler aralığı olacaktır.

Neden ODZ'ye ihtiyacımız var? Bu, yanlış ve imkansız cevapları ayıklamak için bir fırsattır. Cevap kabul edilebilir değerler aralığında değilse, o zaman cevap mantıklı değildir. Bunu uzun süre hatırlamaya değer, çünkü Birleşik Devlet Sınavında genellikle ODZ'yi aramaya ihtiyaç duyulur ve bu yalnızca logaritmik eşitsizliklerle ilgili değildir.

Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma

Çözüm birkaç aşamadan oluşur. Öncelikle kabul edilebilir değer aralığını bulmanız gerekir. ODZ'nin iki anlamı olacak, bunu yukarıda tartışmıştık. Daha sonra eşitsizliğin kendisini çözmeniz gerekir. Çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:

çarpan değiştirme yöntemi;
ayrışma;
Rasyonalizasyon yöntemi.

Duruma bağlı olarak yukarıdaki yöntemlerden birini kullanmaya değer. Doğrudan çözüme geçelim. Hemen hemen her durumda Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmeye uygun en popüler yöntemi açıklayalım. Daha sonra ayrıştırma yöntemine bakacağız. Özellikle zor bir eşitsizlikle karşılaşırsanız yardımcı olabilir. Logaritmik eşitsizliği çözmek için bir algoritma.

Çözüm örnekleri :

Tam olarak bu eşitsizliği almamız boşuna değil! Üsse dikkat edin. Unutmayın: birden büyükse, kabul edilebilir değerler aralığını bulurken işaret aynı kalır; aksi takdirde eşitsizlik işaretini değiştirmeniz gerekir.

Sonuç olarak eşitsizliği elde ederiz:

Şimdi sol tarafı sıfıra eşit denklem formuna indiriyoruz. “Küçüktür” işareti yerine “eşittir” koyarız ve denklemi çözeriz. Böylece ODZ'yi bulacağız. Bu duruma bir çözüm bulmayı umuyoruz basit denklem hiçbir sorun yaşamazsınız. Cevaplar -4 ve -2'dir. Hepsi bu değil. Bu noktaları grafikte “+” ve “-” yerleştirerek göstermeniz gerekir. Bunun için ne yapılması gerekiyor? Aralıklardaki sayıları ifadede değiştirin. Değerlerin pozitif olduğu yere “+” koyarız.

Cevap: x -4'ten büyük ve -2'den küçük olamaz.

Sadece sol taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulduk, şimdi sağ taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulmamız gerekiyor. Bu çok daha kolay. Cevap: -2. Ortaya çıkan her iki alanla da kesişiyoruz.

Ve ancak şimdi eşitsizliğin kendisini ele almaya başlıyoruz.

Çözülmesini kolaylaştırmak için mümkün olduğunca basitleştirelim.

Çözümde yine aralık yöntemini kullanıyoruz. Hesaplamaları geçelim; önceki örnekte zaten her şey açık. Cevap.

Ancak logaritmik eşitsizliğin tabanları aynıysa bu yöntem uygundur.

Çözüm logaritmik denklemler ve farklı tabanlara sahip eşitsizlikler, başlangıçta tek bir tabana indirgenmeyi gerektirir. Daha sonra yukarıda açıklanan yöntemi kullanın. Ancak daha karmaşık bir durum var. Logaritmik eşitsizliklerin en karmaşık türlerinden birini ele alalım.

Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler

Bu özelliklere sahip eşitsizlikler nasıl çözülür? Evet ve bu tür insanlar Birleşik Devlet Sınavında bulunabilir. Eşitsizlikleri şu şekilde çözmeniz eğitim sürecinize de olumlu etki yapacaktır. Konuya ayrıntılı olarak bakalım. Teoriyi bir kenara bırakıp doğrudan uygulamaya geçelim. Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için örneğe bir kez aşina olmanız yeterlidir.

Sunulan formun logaritmik eşitsizliğini çözmek için sağ tarafı aynı tabana sahip bir logaritmaya indirgemek gerekir. Prensip eşdeğer geçişlere benzer. Sonuç olarak eşitsizlik şu şekilde görünecektir.

Aslında geriye logaritması olmayan bir eşitsizlik sistemi yaratmak kalıyor. Rasyonalizasyon yöntemini kullanarak eşdeğer bir eşitsizlik sistemine geçiyoruz. Uygun değerleri değiştirdiğinizde ve değişikliklerini takip ettiğinizde kuralın kendisini anlayacaksınız. Sistem aşağıdaki eşitsizliklere sahip olacaktır.

Eşitsizlikleri çözerken rasyonalizasyon yöntemini kullanırken aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: tabandan bir çıkarılmalıdır, logaritmanın tanımı gereği x, eşitsizliğin her iki tarafından da çıkarılır (sağdan soldan), iki ifade çarpılır ve sıfıra göre orijinal işaretin altına ayarlanır.

Daha fazla çözüm aralık yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir, burada her şey basittir. Çözüm yöntemlerindeki farklılıkları anlamanız önemlidir, o zaman her şey kolayca yoluna girmeye başlayacaktır.

Logaritmik eşitsizliklerde birçok nüans vardır. En basitlerini çözmek oldukça kolaydır. Her birini sorunsuz bir şekilde nasıl çözebilirsiniz? Bu makaledeki tüm cevapları zaten aldınız. Artık önünüzde uzun bir pratik var. Sürekli olarak sınavdaki çeşitli problemleri çözmeye çalışın ve en yüksek puanı alabileceksiniz. Zor görevinizde size iyi şanslar!

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Logaritma tabanında bir değişken içeren logaritmik eşitsizliklerin çözümü: yöntemler, teknikler, eşdeğer geçişler, matematik öğretmeni, 143 Nolu Ortaokul Knyazkina T. V.

Logaritmik eşitsizliklerin tüm çeşitleri arasında değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formül kullanılarak çözülürler: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 “∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır. Bu şekilde logaritmalardan kurtulup sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indirgemiş oluyoruz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Logaritmanın ODZ'sini unutmayın! Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey, onu rasyonel eşitsizliğin çözümüyle kesiştirmektir - ve cevap hazırdır.

Eşitsizliği çözün: Çözüm Öncelikle logaritmanın OD'sini yazalım. İlk iki eşitsizlik otomatik olarak sağlanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfır olduğunda sıfır olduğundan, elimizde: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Bir logaritmanın ODZ'sinin sıfır dışındaki tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz: Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir.

Elimizde: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Logaritmik Eşitsizliklerin Dönüştürülmesi Çoğu zaman orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya yönelik standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir. Yani: Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir; Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir. Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Böylece logaritmik eşitsizliklerin çözümüne ilişkin genel şema şu şekildedir: Eşitsizliğin içerdiği her logaritmanın VA'sını bulun; Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin; Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemayı kullanarak çözün.

Eşitsizliği çözün: Çözüm Birinci logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım: Aralık yöntemiyle çözün. Payın sıfırlarını bulun: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Sonra - paydanın sıfırları: x - 1 = 0; x = 1. Koordinat doğrusunda sıfırları ve işaretleri işaretleyin:

x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. Bana inanmıyorsan kontrol edebilirsin. Şimdi ikinci logaritmayı tabanda iki olacak şekilde dönüştürelim: Gördüğünüz gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçler iptal edildi. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayın: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. Şunu elde ederiz: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - tüm noktalar deliklidir. Cevap: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

USE-2014 C3 tipi görevleri çözme

Eşitsizlik sistemini çözün. ODZ:  1) 2)

Eşitsizlik sistemini çözün 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (devam)

Eşitsizlik sistemini çözün 4) Genel çözüm: ve -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (devam)

Eşitsizliği çözün (devam) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Eşitsizliği çözün Çözüm. ODZ: 

Eşitsizliği çözün (devam)

Eşitsizliği çözün Çözüm. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2