İki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir cisimdir.

Silindir bir yan yüzey ve iki tabandan oluşur. Bir silindirin yüzey alanı formülü, taban alanı ve yan yüzeyin ayrı bir hesaplamasını içerir. Silindirdeki tabanlar eşit olduğundan toplam alanı aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

Gerekli tüm formülleri öğrendikten sonra silindirin alanını hesaplama örneğini ele alacağız. İlk önce silindirin tabanının alanı formülüne ihtiyacımız var. Silindirin tabanı daire olduğu için şunları uygulamamız gerekecek:
Bu hesaplamalarda bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak hesaplanan Π = 3,1415926 sabit sayısının kullanıldığını hatırlıyoruz. Bu sayı matematiksel bir sabittir. Biraz sonra silindirin taban alanının hesaplanmasına ilişkin bir örneğe de bakacağız.

Silindir yan yüzey alanı

Bir silindirin yan yüzeyinin alanı için formül, tabanın uzunluğunun ve yüksekliğinin çarpımıdır:

Şimdi bir silindirin toplam alanını hesaplamamız gereken bir probleme bakalım. Verilen şekilde yüksekliği h = 4 cm, r = 2 cm olan silindirin toplam alanını bulalım.
Öncelikle tabanların alanını hesaplayalım:
Şimdi bir silindirin yan yüzeyinin alanının hesaplanmasına ilişkin bir örneğe bakalım. Genişletildiğinde bir dikdörtgeni temsil eder. Alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır. Tüm verileri içine koyalım:
Bir dairenin toplam alanı, taban ve yan alanın iki katının toplamıdır:

Böylece şeklin taban alanı ve yan yüzeyi formüllerini kullanarak silindirin toplam yüzey alanını bulmayı başardık.
Silindirin eksenel bölümü, kenarları silindirin yüksekliğine ve çapına eşit olan bir dikdörtgendir.

Bir silindirin eksenel kesit alanı formülü, hesaplama formülünden türetilir:

Silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanı 2π olan dikdörtgenin alanına eşittir R ve yükseklik silindirin yüksekliğine eşittir H, yani 2π sağ.

Silindirin toplam yüzeyi: 2π R 2 + 2π sağ= 2π R(R+ H).

Silindirin yan yüzeyinin alanı olarak alınır süpürme alanı yan yüzeyi.

Bu nedenle, dik dairesel bir silindirin yan yüzeyinin alanı, karşılık gelen dikdörtgenin alanına eşittir (Şekil) ve formülle hesaplanır.

S.b.c. = 2πRH, (1)

İki tabanının alanını silindirin yan yüzeyinin alanına eklersek silindirin toplam yüzey alanını elde ederiz.

S dolu =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Düz bir silindirin hacmi

burada Q, tabanın alanıdır ve H, silindirin yüksekliğidir.

Silindirin tabanının alanı Q olduğundan, alanları Q olan çevrelenmiş ve yazılı çokgen dizileri vardır. N ve Q' NÖyle ki

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N= S.

Tabanları yukarıda açıklanan ve yazılı çokgenler olan ve yan kenarları verilen silindirin generatrisine paralel olan ve H uzunluğuna sahip olan bir prizma dizisi oluşturalım. Bu prizmalar verilen silindir için çevrelenmiştir ve yazılmıştır. Hacimleri formüllerle bulunur

V N=S N H ve V' N= Q' N H.

Buradan,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N H = QH.

Sonuçlar.
Dik dairesel bir silindirin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

V = πR2H

burada R tabanın yarıçapıdır ve H silindirin yüksekliğidir.

Dairesel bir silindirin tabanı R yarıçaplı bir daire olduğundan, Q = π R 2 olur ve dolayısıyla

Silindir aşağıdakilerden oluşan bir şekildir silindirik yüzey ve paralel yerleştirilmiş iki daire. Silindirin alanının hesaplanması matematiğin geometrik dalında oldukça basit bir şekilde çözülebilen bir problemdir. Bunu çözmenin birkaç yöntemi vardır ve bunlar sonunda her zaman tek bir formüle iner.

Silindirin alanı nasıl bulunur - hesaplama kuralları

• Silindirin alanını bulmak için tabanın iki alanını yan yüzey alanına eklemeniz gerekir: S = Staban + 2Staban. Daha ayrıntılı bir versiyonda bu formül şu şekilde görünür: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Belirli bir geometrik gövdenin yan yüzey alanı, tabanında bulunan dairenin yüksekliği ve yarıçapı biliniyorsa hesaplanabilir. Bu durumda, eğer verilmişse, çevreden yarıçapı ifade edebilirsiniz. Jeneratörün değeri koşulda belirtilirse yükseklik bulunabilir. Bu durumda genatrix yüksekliğe eşit olacaktır. Bu cismin yan yüzeyinin formülü şuna benzer: S= 2 π rh.
• Tabanın alanı bir dairenin alanını bulmak için kullanılan formül kullanılarak hesaplanır: S osn= π r 2 . Bazı problemlerde yarıçap verilmeyebilir ancak çevre verilebilir. Bu formülle yarıçap oldukça kolay bir şekilde ifade edilir. С=2π r, r= С/2π. Ayrıca yarıçapın çapın yarısı kadar olduğunu da unutmamalısınız.
• Tüm bu hesaplamaları yaparken π sayısı genellikle 3.14159'a çevrilmez... Sadece hesaplamalar sonucunda elde edilen sayısal değerin yanına eklenmesi gerekir.
• Daha sonra, tabanın bulunan alanını 2 ile çarpmanız ve elde edilen sayıya şeklin yan yüzeyinin hesaplanan alanını eklemeniz yeterlidir.
• Sorun, silindirin eksenel bir kesite sahip olduğunu ve dikdörtgen olduğunu gösteriyorsa çözüm biraz farklı olacaktır. Bu durumda dikdörtgenin genişliği, gövdenin tabanında bulunan dairenin çapı olacaktır. Şeklin uzunluğu silindirin generatrisine veya yüksekliğine eşit olacaktır. Gerekli değerleri hesaplamak ve bunları zaten bilinen formüle koymak gerekir. Bu durumda tabanın alanını bulmak için dikdörtgenin genişliği ikiye bölünmelidir. Yan yüzeyi bulmak için uzunluk iki yarıçap ve π sayısıyla çarpılır.
• Belirli bir geometrik cismin alanını hacmi aracılığıyla hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için eksik değeri V=π r 2 h formülünden türetmeniz gerekir.
• Bir silindirin alanının hesaplanmasında karmaşık bir şey yoktur. Sadece formülleri bilmeniz ve hesaplamaları gerçekleştirmek için gerekli miktarları onlardan çıkarabilmeniz yeterlidir.

Silindirin tabanlarına dik eksenel bölümün alanını bulun. Bu dikdörtgenin kenarlarından biri silindirin yüksekliğine, ikincisi ise taban dairesinin çapına eşittir. Buna göre bu durumda kesit alanı dikdörtgenin kenarlarının çarpımına eşit olacaktır. S=2R*h, burada S kesit alanıdır, R problemin koşulları tarafından verilen taban dairesinin yarıçapıdır ve h yine problemin koşulları tarafından verilen silindirin yüksekliğidir.

Kesit tabanlara dikse ancak dönme ekseninden geçmiyorsa dikdörtgen dairenin çapına eşit olmayacaktır. Hesaplanması gerekiyor. Bunu yapmak için, problemin kesit düzleminin dönme ekseninden ne kadar uzakta geçtiğini söylemesi gerekir. Hesaplamaları kolaylaştırmak için, silindirin tabanında bir daire oluşturun, bir yarıçap çizin ve kesitin dairenin merkezinden bulunduğu mesafeyi bunun üzerine çizin. Bu noktadan itibaren daire ile kesişimlerine dik çizgiler çizin. Kesişme noktalarını merkeze bağlayın. Akorları bulmanız gerekiyor. Pisagor teoremini kullanarak akorun yarısını bulun. Dairenin yarıçapının kareleri ile merkezden kesit çizgisi arasındaki farkın kareköküne eşit olacaktır. a2=R2-b2. Buna göre akorun tamamı 2a'ya eşit olacaktır. Dikdörtgenin kenarlarının çarpımına eşit olan kesit alanını hesaplayın, yani S=2a*h.

Silindir taban düzleminden geçmeden kesilebilir. Kesit dönme eksenine dik ise, o zaman bir daire olacaktır. Bu durumda alanı bazların alanına eşittir, yani S = πR2 formülüyle hesaplanır.

Faydalı tavsiyeler

Bölümü daha doğru bir şekilde hayal etmek için bir çizim yapın ve bunun için ek yapılar yapın.

Kaynaklar:

• silindir kesit alanı

Bir yüzeyin bir düzlemle kesişme çizgisi hem yüzeye hem de kesme düzlemine aittir. Silindirik bir yüzeyin düz generatrise paralel bir kesme düzlemiyle kesişme çizgisi düz bir çizgidir. Kesme düzlemi dönme yüzeyinin eksenine dik ise kesit bir daire olacaktır. Genel olarak silindirik bir yüzeyin kesme düzlemiyle kesişme çizgisi eğri bir çizgidir.

İhtiyacın olacak

• Kurşun kalem, cetvel, üçgen, desenler, pusula, metre.

Talimatlar

П₂ çıkıntılarının ön düzleminde kesit çizgisi, düz bir çizgi biçiminde kesme düzleminin Σ₂ izdüşümüne denk gelir.
Silindirin generatrislerinin Σ₂ 1₂, 2₂, vb. projeksiyonu ile kesişme noktalarını belirleyin. 10₂ ve 11₂ noktalarına.

P₁ düzleminde bir dairedir. Σ₂ kesit düzleminde 1₂, 2₂ vb. noktalar işaretlenmiştir. bir projeksiyon bağlantı hattı kullanılarak bu dairenin dış hatlarına yansıtılır. Yatay çıkıntılarını dairenin yatay eksenine göre simetrik olarak işaretleyin.

Böylece istenen bölümün projeksiyonları belirlenir: P₂ düzleminde – düz bir çizgi (1₂, 2₂…10₂ noktaları); P₁ düzleminde – bir daire (1₁, 2₁…10₁ noktaları).

İkiyi kullanarak, belirli bir silindirin kesitinin doğal boyutunu önden çıkıntılı düzlem Σ ile oluşturun. Bunu yapmak için projeksiyon yöntemini kullanın.

П₄ düzlemini Σ₂ düzleminin izdüşümüne paralel olarak çizin. Bu yeni x₂₄ ekseninde 1₀ noktasını işaretleyin. 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ vb. noktalar arasındaki mesafeler. bölümün ön projeksiyonundan, onu x₂₄ eksenine yerleştirin, projeksiyon bağlantısının x₂₄ eksenine dik ince çizgilerini çizin.

Bu yöntemde P₄ düzleminin yerini P₄ düzlemi alır, dolayısıyla yatay izdüşümden boyutları eksenden P₄ düzleminin eksenine olan noktalara aktarın.

Örneğin, P₁'de 2 ve 3 noktaları için bu, 2₁ ve 3₁'den eksene (A noktası) vb. olan mesafe olacaktır.

Yatay projeksiyondan belirtilen mesafeleri bir kenara bırakarak 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ puanlarını alırsınız. Daha sonra inşaatın daha fazla doğruluğu için kalan ara noktalar belirlenir.

Tüm noktaları bir desen eğrisiyle bağlayarak, önden çıkıntılı düzlem tarafından silindir kesitinin gerekli doğal boyutunu elde edersiniz.

Kaynaklar:

• uçak nasıl değiştirilir

İpucu 3: Kesik bir koninin eksenel kesit alanı nasıl bulunur?

Bu sorunu çözmek için kesik koninin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlamanız gerekir. Bir çizim yaptığınızdan emin olun. Bu, hangisini belirlemenizi sağlayacaktır geometrik şekil bir bölümü temsil eder. Bundan sonra sorunu çözmenin artık sizin için zor olmaması oldukça olası.

Talimatlar

Yuvarlak koni, bir üçgenin bacaklarından birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövdedir. Tepe noktasından çıkan düz çizgiler koni ve tabanını kesenlere jeneratör denir. Tüm jeneratörler eşitse koni düzdür. Turun tabanında koni bir daire yatıyor. Tepe noktasından tabana bırakılan dikme yüksekliğidir koni. Düz turda koni yükseklik ekseni ile çakışmaktadır. Eksen, tabanın merkezine bağlanan düz bir çizgidir. Bir dairenin yatay kesme düzlemi ise koni, o zaman üst tabanı bir dairedir.

Bu durumda verilen koninin problem cümlesinde belirtilmediğinden, bunun yatay kesiti tabana paralel olan düz kesik bir koni olduğu sonucuna varabiliriz. Eksenel bölümü, yani. yuvarlak eksen boyunca uzanan dikey düzlem koni, eşkenar yamuktur. Hepsi eksenel bölümler yuvarlak düz koni birbirine eşittir. Bu nedenle bulmak için kare eksenel bölümler, bulman gerek kare tabanları kesik bir tabanın çapı kadar olan yamuk koni ve yan taraflar onun bileşenleridir. Kesik yüksekliği koni aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

Bir yamuğun alanı şu formülle belirlenir: S = ½(a+b) h, burada S – kare yamuk; a - yamuğun alt tabanının boyutu; b - üst tabanının boyutu; h - yamuğun yüksekliği.

Koşulda hangisinin verildiği belirtilmediğinden, kesik olanın her iki tabanının çaplarının da aynı olması mümkündür. koni biliniyor: AD = d1 – kesik parçanın alt tabanının çapı koni;BC = d2 – üst tabanının çapı; EH = h1 – yükseklik koni.Böylece, kare eksenel bölümler kesik konişu şekilde tanımlanır: S1 = ½ (d1+d2) h1

Kaynaklar:

• kesik koninin alanı

Silindir uzaysal bir figür olup, daire şeklindeki iki eşit taban ve tabanları sınırlayan çizgileri birbirine bağlayan bir yan yüzeyden oluşur. Hesaplamak kare silindir, tüm yüzeylerinin alanlarını bulun ve toplayın.

Silindirle ilgili çok sayıda sorun vardır. İçlerinde vücudun yarıçapını ve yüksekliğini veya bölümünün türünü bulmanız gerekir. Ayrıca bazen silindirin alanını ve hacmini hesaplamanız gerekir.

Hangi cisim silindirdir?

biliyorum okul müfredatı tabanda bulunan dairesel bir silindir incelenmektedir. Ancak bu figürün eliptik görünümü de dikkat çekiyor. İsminden tabanının elips veya oval olacağı açıktır.

Silindirin iki tabanı vardır. Birbirlerine eşittirler ve tabanların karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlerle bağlanırlar. Bunlara silindirin jeneratörleri denir. Tüm jeneratörler birbirine paralel ve eşittir. Vücudun yan yüzeyini oluştururlar.

Genel olarak silindir eğimli bir cisimdir. Jeneratörler tabanlarla dik açı yapıyorsa düz bir şekilden bahsediyoruz.

İlginç bir şekilde, dairesel bir silindir bir devrim gövdesidir. Bir dikdörtgenin kenarlarından birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

Silindirin ana elemanları

Silindirin ana elemanları buna benzer.

1. Yükseklik. Silindirin tabanları arasındaki en kısa mesafedir. Düz ise, yükseklik generatrix ile çakışır.
2. Yarıçap. Tabanda çizilebilecek olanla çakışıyor.
3. Eksen. Bu, her iki tabanın merkezlerini içeren düz bir çizgidir. Eksen her zaman tüm jeneratörlere paraleldir. Düz silindirde tabanlara diktir.
4. Eksenel bölüm. Bir silindir, bir eksen içeren bir düzlemle kesiştiğinde oluşur.
5. Teğet düzlem. Generatrislerin birinden geçer ve bu generatris boyunca çizilen eksenel kesite diktir.

Bir silindir, içine yazılan veya çevresinde tanımlanan bir prizmaya nasıl bağlanır?

Bazen bir silindirin alanını hesaplamanız gereken problemler olabilir, ancak ilgili prizmanın bazı elemanları bilinmektedir. Bu rakamların birbiriyle ilişkisi nedir?

Bir silindirin içine bir prizma yazılmışsa, tabanları eşit çokgenlerdir. Ayrıca silindirin karşılık gelen tabanlarına da yazılmıştır. Prizmanın yan kenarları jeneratörlerle çakışmaktadır.

Tanımlanan prizmanın tabanında düzenli çokgenler vardır. Tabanları olan silindirin daireleri etrafında tanımlanırlar. Prizmanın yüzlerini içeren düzlemler, jeneratörleri boyunca silindire temas eder.

Sağ dairesel bir silindir için yan yüzey ve taban alanında

Yan yüzeyi açarsanız bir dikdörtgen elde edersiniz. Yanları generatrix ve tabanın çevresi ile çakışacaktır. Bu yüzden yan alan silindir bu iki miktarın çarpımına eşit olacaktır. Formülü yazarsanız aşağıdakileri elde edersiniz:

S tarafı = l * n,

burada n jeneratördür, l çevredir.

Ayrıca, son parametre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ben = 2 π * r,

burada r dairenin yarıçapıdır, π ise 3,14'e eşit "pi" sayısıdır.

Taban bir daire olduğundan alanı aşağıdaki ifade kullanılarak hesaplanır:

S ana = π * r2 .

Dik dairesel bir silindirin tüm yüzeyinin alanında

İki taban ve bir yan yüzeyden oluştuğu için bu üç miktarın eklenmesi gerekiyor. Yani silindirin toplam alanı aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

S katı = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Genellikle farklı bir biçimde yazılır:

S katı = 2 π * r (n + r).

Eğik dairesel silindirin alanlarında

Tabanlara gelince, tüm formüller aynıdır çünkü bunlar hala daire şeklindedir. Ancak yan yüzey artık bir dikdörtgen vermiyor.

Eğimli bir silindirin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için, seçilen generatrise dik olacak olan generatriks ve bölümün çevre değerlerini çarpmanız gerekecektir.

Formül şuna benzer:

S tarafı = x * P,

burada x, silindir generatrisinin uzunluğudur, P, bölümün çevresidir.

Bu arada elips oluşturacak şekilde bir bölüm seçmek daha iyidir. Daha sonra çevresinin hesaplamaları basitleştirilecektir. Elipsin uzunluğu yaklaşık bir cevap veren bir formül kullanılarak hesaplanır. Ancak bir okul kursunun görevleri için genellikle yeterlidir:

l = π * (a + b),

burada “a” ve “b” elipsin yarı eksenleridir, yani merkezden elipsin en yakın ve en uzak noktalarına olan mesafedir.

Tüm yüzeyin alanı aşağıdaki ifade kullanılarak hesaplanmalıdır:

S katı = 2 π * r 2 + x * R.

Dik dairesel silindirin bazı bölümleri nelerdir?

Bir kesit bir eksenden geçtiğinde alanı, generatriks ile tabanın çapının çarpımı olarak belirlenir. Bu, kenarları belirlenen elemanlarla çakışan bir dikdörtgen şekline sahip olmasıyla açıklanmaktadır.

Eksenel olana paralel bir silindirin kesit alanını bulmak için ayrıca bir dikdörtgen formülüne ihtiyacınız olacaktır. Bu durumda, kenarlarından biri hala yükseklikle çakışacak, diğeri ise tabanın akoruna eşit olacaktır. İkincisi, taban boyunca kesit çizgisine denk gelir.

Kesit eksene dik olduğunda daireye benzer. Üstelik alanı şeklin tabanıyla aynı.

Eksene belirli bir açıda kesişmek de mümkündür. Daha sonra kesit bir oval veya bunun bir kısmı ile sonuçlanır.

Sorun örnekleri

Görev No.1. Taban alanı 12,56 cm2 olan düz bir silindir veriliyor. Yüksekliği 3 cm ise silindirin toplam alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm. Formülünü kullanmanız gerekir tam alan dairesel düz silindir. Ancak veriden, yani tabanın yarıçapından yoksundur. Ancak dairenin alanı biliniyor. Bundan yarıçapı hesaplamak kolaydır.

Taban alanının pi'ye bölünmesiyle elde edilen bölümün kareköküne eşit olduğu ortaya çıkıyor. 12,56'yı 3,14'e böldüğümüzde sonuç 4 olur. Karekök 4 üzerinden 2'dir. Dolayısıyla yarıçap tam olarak bu değere sahip olacaktır.

Cevap: S kat = 50,24 cm2.

Görev No.2. Yarıçapı 5 cm olan bir silindir eksene paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitten eksene olan mesafe 3 cm'dir.Silindirin yüksekliği 4 cm'dir.

Çözüm. Kesit şekli dikdörtgendir. Taraflarından biri silindirin yüksekliğine, diğeri ise akora eşittir. Birinci miktar biliniyorsa ikincisinin bulunması gerekir.

Bunu yapmak için ek inşaat yapılması gerekir. Tabanda iki bölüm çiziyoruz. Her ikisi de dairenin merkezinden başlayacak. Birincisi kirişin merkezinde bitecek ve eksene olan bilinen mesafeye eşit olacaktır. İkincisi akorun sonundadır.

Bir dik üçgen elde edeceksiniz. Hipotenüs ve bacaklardan biri burada biliniyor. Hipotenüs yarıçapla çakışıyor. İkinci bacak akorun yarısına eşittir. Bilinmeyen bacağın 2 ile çarpılması istenen akor uzunluğunu verecektir. Değerini hesaplayalım.

Bilinmeyen kenarı bulmak için hipotenüsün ve bilinen kenarın karesini almanız, ikinciyi birinciden çıkarmanız ve karekök almanız gerekir. Kareler 25 ve 9'dur. Farkları 16'dır. Karekökü aldıktan sonra 4 kalır. Bu istenilen ayaktır.

Akor 4 * 2 = 8 (cm)'ye eşit olacaktır. Artık kesit alanını hesaplayabilirsiniz: 8 * 4 = 32 (cm2).

Cevap: S haçı 32 cm2'ye eşittir.

Görev No.3. Silindirin eksenel kesit alanını hesaplamak gerekir. İçinde kenarı 10 cm olan bir küpün yazılı olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Silindirin eksenel bölümü, küpün dört köşesinden geçen ve tabanlarının köşegenlerini içeren bir dikdörtgenle çakışmaktadır. Küpün tarafı silindirin generatrisidir ve tabanın köşegeni çapla çakışır. Bu iki miktarın çarpımı problemde bulmanız gereken alanı verecektir.

Çapı bulmak için küpün tabanının kare olduğu ve köşegeninin eşkenar oluşturduğu bilgisini kullanmanız gerekecektir. dik üçgen. Hipotenüsü, şeklin istenilen köşegenidir.

Bunu hesaplamak için Pisagor teoreminin formülüne ihtiyacınız olacak. Küpün bir kenarının karesini alıp 2 ile çarpmanız ve karekökünü almanız gerekir. Onun ikinci kuvveti yüzdür. 2 ile çarpıldığında iki yüz olur. 200'ün karekökü 10√2'dir.

Kesit yine kenarları 10 ve 10√2 olan bir dikdörtgendir. Bu değerler çarpılarak alanı kolaylıkla hesaplanabilir.

Cevap. S kesiti = 100√2 cm2.