Kuklalar için modül ile kesirli eşitsizliklerin çözülmesi. Modüllü denklemler ve eşitsizlikler

Matematik bilim bilgeliğinin sembolüdür,

bilimsel titizlik ve basitliğin bir modeli,

Bilimde mükemmellik ve güzellik standardı.

Rus filozof, profesör A.V. Voloşinov

Modüllü eşitsizlikler

Okul matematiğinde çözülmesi en zor problem eşitsizliklerdir, modül işaretinin altındaki değişkenleri içerir. Bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözebilmek için modülün özelliklerini iyi bilmeniz ve bunları kullanma becerisine sahip olmanız gerekir.

Temel kavramlar ve özellikler

Gerçek bir sayının modülü (mutlak değeri) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bir modülün basit özellikleri aşağıdaki ilişkileri içerir:

VE .

Not, son iki özelliğin herhangi bir çift derece için geçerli olduğu.

Üstelik eğer, nerede, o zaman ve

Daha karmaşık modül özellikleri, modüllerle denklem ve eşitsizlikleri çözerken etkili bir şekilde kullanılabilir, aşağıdaki teoremlerle formüle edilir:

Teorem 1.Herhangi bir analitik fonksiyon için Ve eşitsizlik doğrudur.

Teorem 2. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.

Teorem 3. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.

En yaygın olanı okul matematik eşitsizlikler, modül işareti altında bilinmeyen değişkenler içeren, formdaki eşitsizlikler ve nerede bazı pozitif sabitler.

Teorem 4. Eşitsizlik çift ​​eşitsizliğe eşdeğerdir, ve eşitsizliğin çözümübir dizi eşitsizliği çözmeye indirgenir Ve .

Bu teorem, Teorem 6 ve 7'nin özel bir durumudur.

Daha karmaşık eşitsizlikler, bir modül içeren formdaki eşitsizliklerdir, Ve .

Bu tür eşitsizlikleri çözme yöntemleri aşağıdaki üç teorem kullanılarak formüle edilebilir.

Teorem 5. Eşitsizlik iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

ben (1)

Kanıt. O zamandan beri

Bu (1)'in geçerliliğini ifade eder.

Teorem 6. Eşitsizlik eşitsizlik sistemine eşdeğerdir

Kanıt.Çünkü , o zaman eşitsizliktenşu şekildedir . Bu koşul altında eşitsizlikve bu durumda ikinci eşitsizlik sisteminin (1) tutarsız olduğu ortaya çıkacaktır.

Teorem kanıtlandı.

Teorem 7. Eşitsizlik bir eşitsizlik ile iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

ben (3)

Kanıt. O zamandan beri eşitsizlik her zaman idam edildi, Eğer .

İzin vermek o zaman eşitsizlikeşitsizliğe eşdeğer olacak, buradan iki eşitsizlik kümesi çıkar Ve .

Teorem kanıtlandı.

“Eşitsizlikler” konusundaki tipik problem çözme örneklerine bakalım, modül işareti altında değişkenler içeren."

Eşitsizlikleri modül ile çözme

Modüllü eşitsizlikleri çözmenin en basit yöntemi yöntemdir., Modül genişletmeye dayalı. Bu yöntem evrenseldir, ancak genel durumda kullanımı çok zahmetli hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle öğrencilerin bu tür eşitsizliklerin çözümüne yönelik diğer (daha etkili) yöntem ve teknikleri bilmeleri gerekmektedir. özellikle, teoremleri uygulama becerisine sahip olmak gerekir, bu makalede verilmiştir.

Örnek 1.Eşitsizliği çözün

. (4)

Çözüm.Eşitsizliği (4) “klasik” yöntemi, yani modülleri açma yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bu amaçla sayı eksenini bölüyoruz noktalar ve aralıklara bölün ve üç durumu düşünün.

1. Eğer öyleyse , , , ve eşitsizlik (4) şu şekli alır veya .

Burada durum ele alındığından eşitsizliğin çözümüdür (4).

2. Eğer, o zaman eşitsizlikten (4) elde ederiz veya . Aralıkların kesişiminden bu yana Ve boş, o zaman dikkate alınan çözüm aralığında eşitsizlik yoktur (4).

3. Eğer, o zaman eşitsizlik (4) formunu alır veya . Açıkça görülüyor ki aynı zamanda eşitsizliğe de bir çözümdür (4).

Cevap: , .

Örnek 2. Eşitsizliği çözün.

Çözüm. Bunu varsayalım. Çünkü , o zaman verilen eşitsizlik şu şekli alır: veya . O zamandan beri ve buradan itibaren şu şekilde oluyor veya .

Ancak bu nedenle veya.

Örnek 3. Eşitsizliği çözün

. (5)

Çözüm.Çünkü , o zaman eşitsizlik (5) eşitsizliklere eşdeğerdir veya . Buradan, Teorem 4'e göre, bir takım eşitsizliklerimiz var Ve .

Cevap: , .

Örnek 4.Eşitsizliği çözün

. (6)

Çözüm. belirtelim. Daha sonra eşitsizlikten (6) , , veya eşitsizliklerini elde ederiz.

Buradan, aralık yöntemini kullanma, anlıyoruz. Çünkü , o zaman burada bir eşitsizlik sistemimiz var

(7) numaralı sistemin ilk eşitsizliğinin çözümü iki aralığın birleşimidir Ve , ve ikinci eşitsizliğin çözümü çift eşitsizliktir. Bundan şu sonuç çıkıyor: eşitsizlikler sisteminin (7) çözümünün iki aralığın birleşimi olduğu Ve .

Cevap: ,

Örnek 5.Eşitsizliği çözün

. (8)

Çözüm. Eşitsizliği (8) şu şekilde dönüştürelim:

Veya .

Aralık yöntemini kullanma, eşitsizliğin çözümünü elde ederiz (8).

Cevap: .

Not. Teorem 5'in koşullarını koyarsak ve elde ederiz.

Örnek 6. Eşitsizliği çözün

. (9)

Çözüm. Eşitsizlikten (9) şu sonuç çıkıyor. Eşitsizliği (9) şu şekilde dönüştürelim:

Veya

O zamandan beri veya .

Cevap: .

Örnek 7.Eşitsizliği çözün

. (10)

Çözüm. O zamandan beri ve , o zaman veya .

Bu konuda ve eşitsizlik (10) şu şekli alır:

Veya

. (11)

Bunu takip eder veya . O zamandan beri eşitsizlik (11) aynı zamanda veya anlamına da gelir.

Cevap: .

Not. Teorem 1'i eşitsizliğin sol tarafına uygularsak (10), sonra elde ederiz . Bundan ve eşitsizlikten (10) şu sonuç çıkıyor, ne veya . Çünkü , o zaman eşitsizlik (10) formunu alır veya .

Örnek 8. Eşitsizliği çözün

. (12)

Çözüm. O zamandan beri ve eşitsizlikten (12) şu sonuç çıkıyor veya . Ancak bu nedenle veya. Buradan veya elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 9. Eşitsizliği çözün

. (13)

Çözüm. Teorem 7'ye göre eşitsizliğin (13) çözümü veya'dır.

Şimdi olsun. bu durumda ve eşitsizlik (13) şu şekli alır veya .

Aralıkları birleştirirseniz Ve , daha sonra formun (13) eşitsizliğine bir çözüm elde ederiz.

Örnek 10. Eşitsizliği çözün

. (14)

Çözüm. Eşitsizliği (14) eşdeğer biçimde yeniden yazalım: . Bu eşitsizliğin sol tarafına Teorem 1'i uygularsak eşitsizliği elde ederiz.

Buradan ve Teorem 1'den şu sonuç çıkıyor, eşitsizliğin (14) herhangi bir değer için karşılandığı.

Cevap: herhangi bir sayı.

Örnek 11. Eşitsizliği çözün

. (15)

Çözüm. Teorem 1'in eşitsizliğin sol tarafına uygulanması (15), alıyoruz . Bu ve eşitsizlik (15) denklemi verir, forma sahip olan.

Teorem 3'e göre, denklem eşitsizlikle eşdeğer. Buradan anlıyoruz.

Örnek 12.Eşitsizliği çözün

. (16)

Çözüm. Teorem 4'e göre eşitsizlikten (16) bir eşitsizlik sistemi elde ediyoruz

Eşitsizliği çözerkenTeorem 6'yı kullanalım ve bir eşitsizlik sistemi elde edelimburadan takip ediliyor.

Eşitsizliği düşünün. Teorem 7'ye göre, bir dizi eşitsizlik elde ederiz Ve . İkinci nüfus eşitsizliği herhangi bir gerçek için geçerlidir..

Buradan , eşitsizliğin çözümü (16).

Örnek 13.Eşitsizliği çözün

. (17)

Çözüm. Teorem 1'e göre şunu yazabiliriz:

(18)

Eşitsizliği (17) hesaba katarak, her iki eşitsizliğin de (18) eşitliğe dönüştüğü sonucuna varıyoruz; bir denklem sistemi var

Teorem 3'e göre bu denklem sistemi eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir

veya

Örnek 14.Eşitsizliği çözün

. (19)

Çözüm. O zamandan beri. Eşitsizliğin her iki tarafını da (19) herhangi bir değer için yalnızca pozitif değerler alan ifadeyle çarpalım. Daha sonra eşitsizliğe (19) eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz:

Buradan or'u alıyoruz, nerede. O zamandan beri ve o zaman eşitsizliğin çözümü (19) Ve .

Cevap: , .

Eşitsizlikleri modülle çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için ders kitaplarına dönmenizi öneririz., Önerilen literatür listesinde verilmiştir.

1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Barış ve Eğitim, 2013. – 608 s.

2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: eşitsizlikleri çözme ve kanıtlama yöntemleri. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.

3. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: standart dışı yöntemler problem çözme. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Sayıların modülü Bu sayının kendisi negatif değilse çağrılır veya negatifse zıt işaretli aynı sayı çağrılır.

Örneğin 6 sayısının modülü 6, -6 sayısının modülü de 6'dır.

Yani bir sayının modülü, işareti dikkate alınmadan bu sayının mutlak değeri, mutlak değeri olarak anlaşılır.

Şu şekilde belirtilir: |6|, | X|, |A| vesaire.

(“Numara modülü” bölümünde daha fazla ayrıntı).

Modüllü denklemler.

Örnek 1 . Denklemi çöz|10 X - 5| = 15.

Çözüm.

Kurala göre denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Biz karar veriyoruz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cevap: X 1 = 2, X 2 = -1.

Örnek 2 . Denklemi çöz|2 X + 1| = X + 2.

Çözüm.

Modül negatif olmayan bir sayı olduğundan, o zaman X+ 2 ≥ 0. Buna göre:

X ≥ -2.

İki denklem kuralım:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Biz karar veriyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Her iki sayı da -2'den büyüktür. Yani her ikisi de denklemin kökleridir.

Cevap: X 1 = -1, X 2 = 1.

Örnek 3 . Denklemi çöz

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Çözüm.

Payda sıfır değilse denklem anlamlıdır; bu şu anlama gelir: X≠ 1. Bu durumu dikkate alalım. İlk eylemimiz basit; sadece kesirden kurtulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda modülü saf haliyle elde edecek şekilde dönüştürüyoruz:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Artık denklemin sol tarafındaki modülün altında sadece bir ifademiz var. Devam edelim.
Bir sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır; yani sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre eşitsizliği çözüyoruz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Böylece ikinci bir şartımız daha var: Denklemin kökü en az 3/4 olmalıdır.

Kurala uygun olarak iki denklem kümesi oluşturup bunları çözüyoruz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki cevap aldık. Bunların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

İki şartımız vardı: Denklemin kökü 1 olamaz, en az 3/4 olmalı. yani X ≠ 1, X≥ 3/4. Elde edilen iki cevaptan yalnızca biri bu koşulların her ikisine de karşılık gelir - 2 sayısı. Bu, yalnızca bunun orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: X = 2.

Modüllü eşitsizlikler.

Örnek 1 . Eşitsizliği çözün| X - 3| < 4

Çözüm.

Modül kuralı şunları belirtir:

|A| = A, Eğer A ≥ 0.

|A| = -A, Eğer A < 0.

Modül hem negatif olmayan hem de negatif sayılara sahip olabilir. Dolayısıyla her iki durumu da dikkate almamız gerekiyor: X- 3 ≥ 0 ve X - 3 < 0.

1) Ne zaman X- 3 ≥ 0 orijinal eşitsizliğimiz modül işareti olmadan olduğu gibi kalır:
X - 3 < 4.

2) Ne zaman X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Parantezleri açarak şunu elde ederiz:

-X + 3 < 4.

Böylece bu iki koşuldan iki eşitsizlik sisteminin birleşimine ulaştık:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Bunları çözelim:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Yani cevabımız iki kümenin birleşimidir:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

En küçüğünü belirleyin ve en yüksek değer. Bunlar -1 ve 7'dir. Üstelik X-1'den büyük ama 7'den küçük.
Ayrıca, X≥ 3. Bu, eşitsizliğin çözümünün, bu uç sayılar hariç, -1'den 7'ye kadar olan tüm sayı kümesi olduğu anlamına gelir.

Cevap: -1 < X < 7.

Veya: X ∈ (-1; 7).

Eklentiler.

1) Eşitsizliğimizi grafiksel olarak çözmenin daha basit ve kısa bir yolu var. Bunu yapmak için yatay bir eksen çizmeniz gerekir (Şekil 1).

İfade | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3. noktaya kadar dört birimden azdır. Eksende 3 sayısını işaretliyoruz ve onun solunda ve sağında 4 bölüm sayıyoruz. Solda -1 noktasına, sağda - 7 noktasına geleceğiz. Böylece noktalar X onları hesaplamadan sadece gördük.

Ayrıca eşitsizlik koşuluna göre -1 ve 7'nin kendisi de çözüm kümesine dahil edilmemektedir. Böylece şu cevabı alıyoruz:

1 < X < 7.

2) Ancak grafiksel yöntemden bile daha basit olan başka bir çözüm daha var. Bunu yapmak için eşitsizliğimizin aşağıdaki biçimde sunulması gerekir:

4 < X - 3 < 4.

Sonuçta modül kuralına göre bu böyle. Negatif olmayan 4 sayısı ve benzer negatif sayı -4, eşitsizliği çözmenin sınırlarıdır.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Örnek 2 . Eşitsizliği çözün| X - 2| ≥ 5

Çözüm.

Bu örnek öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Sol taraf 5'ten büyüktür veya 5'e eşittir. Geometrik açıdan eşitsizliğin çözümü, 2 noktasından 5 birim veya daha fazla uzaklıkta olan tüm sayılardır (Şekil 2). Grafik bunların hepsinin -3'ten küçük veya eşit ve 7'den büyük veya eşit sayılar olduğunu gösteriyor. Bu, cevabı zaten aldığımız anlamına geliyor.

Cevap: -3 ≥ X ≥ 7.

Yol boyunca, serbest terimi sola ve sağa ters işaretle yeniden düzenleyerek aynı eşitsizliği çözüyoruz:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cevap aynı: -3 ≥ X ≥ 7.

Veya: X ∈ [-3; 7]

Örnek çözüldü.

Örnek 3 . Eşitsizliği çözün 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Çözüm.

Sayı X pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır olabilir. Bu nedenle her üç durumu da dikkate almamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi iki eşitsizlikte dikkate alınıyorlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0 orijinal eşitsizliğimizi modül işareti olmadan olduğu gibi yeniden yazarız:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Şimdi ikinci durum hakkında: eğer X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Parantezleri genişletiyoruz:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Böylece iki denklem sistemi elde ettik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor; bu da iki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitleriz.

İlkiyle başlayalım:

6X 2 - X - 2 = 0.

Nasıl çözülür? ikinci dereceden denklem- “İkinci Dereceden Denklem” bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar olan sayıların tamamı olduğu sonucunu elde ederiz. Çözümlerin birliğini şu adrese yazıyoruz: X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözelim:

6X 2 + X - 2 = 0.

Kökleri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki cevabı birleştirelim ve son cevaba ulaşalım: Çözüm, bu uç sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan sayı kümesinin tamamıdır.

Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Modüllerle eşitsizlikleri ortaya çıkarmaya yönelik yöntemler (kurallar), alt modüler fonksiyonların sabit işaret aralıklarını kullanarak modüllerin sıralı olarak açıklanmasından oluşur. Son versiyonda, problemin koşullarını sağlayan aralıkların veya aralıkların bulunduğu çeşitli eşitsizlikler elde edilir.

Pratikte yaygın örnekleri çözmeye geçelim.

Modüllü doğrusal eşitsizlikler

Doğrusal derken, bir değişkenin denkleme doğrusal olarak girdiği denklemleri kastediyoruz.

Örnek 1. Eşitsizliğe bir çözüm bulun

Çözüm:
Problemin koşullarından modüllerin x=-1 ve x=-2'de sıfıra döndüğü sonucu çıkar.

Bu noktalar sayı doğrusunu aralıklara böler

Bu aralıkların her birinde verilen eşitsizliği çözüyoruz. Bunu yapmak için öncelikle alt modüler fonksiyonların sabit işaretli alanlarının grafik çizimlerini hazırlıyoruz. Her fonksiyonun işaretlerini taşıyan alanlar olarak tasvir edilmiştir.

veya tüm fonksiyonların işaretlerini içeren aralıklar.

İlk aralıkta modülleri genişletiyoruz

Her iki tarafı da eksi bir ile çarparsak eşitsizliğin işareti ters yönde değişir. Eğer bu kurala alışmak sizin için zor ise eksilerden kurtulmak için her bir parçayı tabelanın arkasına taşıyabilirsiniz. Sonunda alacaksın

x>-3 kümesinin denklemlerin çözüldüğü alanla kesişimi (-3;-2) aralığı olacaktır. Çözüm bulmayı daha kolay bulanlar için bu alanların kesişimini grafiksel olarak çizebilirsiniz.

Alanların ortak kesişimi çözüm olacaktır. Kesinlikle eşit değilse kenarlar dahil edilmez. Kesin değilse, değiştirerek kontrol edin.

İkinci aralıkta elde ederiz

Kesit aralığı (-2;-5/3) olacaktır.

Grafiksel olarak çözüm şöyle görünecekÜçüncü aralıkta elde ettiğimiz

Bu durum

İstenilen alanda çözüm sağlamamaktadır.

(-3;-2) ve (-2;-5/3) bulunan iki çözüm x=-2 noktasında sınır olduğundan onu da kontrol ederiz.
Dolayısıyla x=-2 noktası çözümdür. Bunu dikkate alan genel çözüm (-3;5/3) gibi görünecektir.

Çözüm:
Örnek 2. Eşitsizliğe bir çözüm bulun

|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Alt modüler fonksiyonların sıfırları x=2, x=3, x=4 noktaları olacaktır.

Bu noktalardan küçük argüman değerleri için alt modüler fonksiyonlar negatif, daha büyük değerler için ise pozitiftir.

Noktalar gerçek ekseni dört aralığa böler. Modülleri sabit işaret aralıklarına göre genişletip eşitsizlikleri çözüyoruz.

1) İlk aralıkta tüm alt modüler fonksiyonlar negatiftir, dolayısıyla modülleri genişletirken işareti ters yönde değiştiririz.

Bulunan x değerlerinin dikkate alınan aralıkla kesişimi bir dizi nokta olacaktır.

2) x=2 ve x=3 noktaları arasındaki aralıkta, birinci alt modüler fonksiyon pozitif, ikinci ve üçüncü ise negatiftir. Modülleri genişleterek şunu elde ederiz:

çözdüğümüz aralıkla kesiştiğinde tek bir çözüm veren - x=3 olan bir eşitsizlik.

Aralıkla kesişme noktasında bulunan koşul aşağıdaki çözüm kümesini verir

Eşitsizlik tüm aralıklarda çözüldüğü için geriye x'in bulunan tüm değerlerinin ortak değerini bulmak kalır.

Çözüm iki aralık olacak

Bu, örneği sonlandırıyor.
Örnek 3. Eşitsizliğe bir çözüm bulun

Çözüm:
||x-1|-5|>3-2x

Modülden modüle bir eşitsizliğimiz var. Bu tür eşitsizlikler, daha derinde bulunanlardan başlayarak modüllerin iç içe geçmesiyle ortaya çıkar.

Alt modüler fonksiyon x-1, x=1 noktasında sıfıra dönüştürülür. 1'den büyük küçük değerler için negatif, x>1 için pozitiftir. Buna dayanarak iç modülü genişletiyoruz ve her bir aralıktaki eşitsizliği dikkate alıyoruz.

Öncelikle eksi sonsuzdan bire kadar olan aralığı düşünün.<-4:

Alt modüler fonksiyon x=-4'te sıfırdır. Daha küçük değerlerde pozitif, daha büyük değerlerde negatiftir. Modülü x için genişletelim

Düşündüğümüz alanla kesişme noktasında bir dizi çözüm elde ediyoruz

Bir sonraki adım modülü (-4;1) aralığında genişletmektir.

Modülün genişleme alanını dikkate alarak çözüm aralığını elde ederiz

UNUTMAYIN: Modüllerdeki bu tür düzensizliklerde ortak bir noktayı çevreleyen iki aralık elde ederseniz, o zaman kural olarak bu da bir çözümdür.

Bunu yapmak için kontrol etmeniz yeterlidir.

Bu durumda x=-4 noktasını değiştiririz.
Yani çözüm x=-4'tür.

Dahili modülü x>1 olacak şekilde genişletelim.<6.
x için alt modüler fonksiyon negatif

Aldığımız modülü genişletiyoruz

(1;6) aralıklı bölümdeki bu koşul boş bir çözüm kümesi verir.

x>6 için eşitsizliği elde ederiz
Ayrıca çözerken boş bir kümemiz var.

Yukarıdakilerin tümü dikkate alındığında modüllerle eşitsizliğin tek çözümü aşağıdaki aralık olacaktır.

İkinci dereceden denklemler içeren modüllü eşitsizlikler
Örnek 4. Eşitsizliğe bir çözüm bulun

Çözüm:
|x^2+3x|>=2-x^2

Alt modüler fonksiyon x=0, x=-3 noktalarında kaybolur.
Eksi birin basit değişimi

(-3;0) aralığında sıfırdan küçük olduğunu ve bunun ötesinde pozitif olduğunu tespit ederiz.

Alt modüler fonksiyonun pozitif olduğu alanlarda modülü genişletelim

Geriye kare fonksiyonunun pozitif olduğu bölgeleri belirlemek kalıyor. Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemin köklerini belirliyoruz

UNUTMAYIN: Modüllü bir eşitsizlik veya basit bir eşitsizlik katı ise, bulunan alanların kenarları çözüm değildir, ancak eşitsizlikler katı () değilse, o zaman kenarlar çözümdür (köşeli parantezlerle gösterilir).

Bu kural birçok öğretmen tarafından kullanılır: Eğer kesin bir eşitsizlik verilirse ve hesaplamalar sırasında çözüme köşeli parantez ([,]) yazarsanız, otomatik olarak bunun yanlış bir cevap olduğunu düşüneceklerdir. Ayrıca, test sırasında modüllerle katı olmayan bir eşitsizlik verilirse çözümler arasında köşeli parantezli alanları arayın.

(-3;0) aralığında modülü genişleterek fonksiyonun işaretini ters işaretle değiştiririz

Eşitsizliğin açıklandığı alan dikkate alınarak çözüm şu şekilde olacaktır:

Önceki alanla birlikte bu iki yarım aralık verecektir

Örnek 5. Eşitsizliğe bir çözüm bulun
9x^2-|x-3|>=9x-2

Çözüm:
x=3 noktasında alt modüler fonksiyonu sıfıra eşit olan katı olmayan bir eşitsizlik verilmektedir.<3.

Daha küçük değerler için negatif, daha büyük değerler için ise pozitiftir. Modülü x aralığında genişletin

Denklemin diskriminantını bulma

ve kökler

Sıfır noktasını değiştirerek, [-1/9;1] aralığında ikinci dereceden fonksiyonun negatif olduğunu, dolayısıyla aralığın bir çözüm olduğunu buluruz. Daha sonra modülü x>3'te genişletiyoruz

Bugün arkadaşlar, sümük ve duygusallık olmayacak. Bunun yerine, sizi hiçbir soru sorulmadan 8-9. sınıf cebir dersindeki en zorlu rakiplerden biriyle savaşa göndereceğim.

Evet, her şeyi doğru anladınız: modüllü eşitsizliklerden bahsediyoruz. Bu tür sorunların yaklaşık %90'ını çözmeyi öğreneceğiniz dört temel tekniğe bakacağız. Geriye kalan %10 ne olacak? Neyse bunları ayrı bir derste konuşacağız :)

Ancak tekniklerin herhangi birini analiz etmeden önce bilmeniz gereken iki gerçeği size hatırlatmak isterim. Aksi takdirde bugünkü dersin içeriğini hiç anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Zaten bilmeniz gerekenler

1. Kaptan Açıklık, modüllü eşitsizlikleri çözmek için iki şeyi bilmeniz gerektiğini ima ediyor gibi görünüyor:
2. Eşitsizlikler nasıl çözümlenir;

Modül nedir?

İkinci noktayla başlayalım.

Modül Tanımı

Burada her şey basit. İki tanımı vardır: cebirsel ve grafiksel. Başlangıç ​​olarak - cebirsel:

Tanım. Bir $x$ sayısının modülü, eğer negatif değilse sayının kendisidir veya orijinal $x$ hala negatifse, onun karşısındaki sayıdır.

Bu şekilde yazılmıştır:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\] Konuşuyorum, modül “eksi olmayan bir sayıdır”. Ve işte bu ikilik (bazı yerlerde orijinal sayıyla hiçbir şey yapmanıza gerek yok, ancak diğerlerinde bir tür eksiyi kaldırmanız gerekecek), yeni başlayan öğrenciler için tüm zorluğun yattığı yer burasıdır.

Bir de geometrik tanımı var. Bunu bilmek de faydalıdır, ancak buna yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel yaklaşımdan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda başvuracağız (spoiler: bugün değil).

Tanım. Sayı doğrusunda $a$ noktası işaretlensin. Daha sonra $\left| modülü x-a \right|$, bu doğru üzerindeki $x$ noktasından $a$ noktasına olan mesafedir.

Bir resim çizerseniz şöyle bir şey elde edersiniz:

Öyle ya da böyle, bir modülün tanımından itibaren onun temel özelliği hemen şu şekilde ortaya çıkar: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir miktardır. Bu gerçek, bugünkü anlatımızın tamamında kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizlikleri çözme. Aralık yöntemi

Şimdi eşitsizliklere bakalım. Birçoğu var ama şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. Aşağıya inenler doğrusal eşitsizlikler Aralık yönteminin yanı sıra.

Bu konuyla ilgili iki büyük dersim var (bu arada, çok, ÇOK faydalı - bunları incelemenizi öneririm):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi(özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli rasyonel eşitsizlikler- çok hacimli bir ders, ancak ondan sonra hiçbir sorunuz olmayacak.

Bütün bunları biliyorsanız, “eşitsizlikten denkleme geçelim” sözü sizde belli belirsiz bir duvara çarpma isteği uyandırmıyorsa hazırsınız: dersin ana konusuna cehenneme hoş geldiniz :)

1. “Modül fonksiyondan küçüktür” formundaki eşitsizlikler

Bu, modüllerle ilgili en yaygın sorunlardan biridir. Formdaki bir eşitsizliği çözmek gerekir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ ve $g$ fonksiyonları herhangi bir şey olabilir, ancak genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\begin(hizala) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\left| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizala)\]

Hepsi aşağıdaki şemaya göre tam anlamıyla tek satırda çözülebilir:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \sağ.\sağ)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak karşılığında çifte eşitsizlik (veya aynı şey olan iki eşitsizlik sistemi) elde ederiz. Ancak bu geçiş kesinlikle her şeyi hesaba katıyor olası sorunlar: eğer modülün altındaki sayı pozitifse yöntem işe yarar; negatifse hala çalışıyor; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz fonksiyonla bile yöntem hala işe yarayacaktır.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Daha basit olamaz mıydı? Ne yazık ki bu mümkün değil. Modülün bütün amacı budur.

Ancak felsefe yapmakla yetinelim. Birkaç problemi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Çözüm. Yani önümüzde "modül daha az" biçiminde klasik bir eşitsizlik var - dönüştürülecek hiçbir şey bile yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Önünde “eksi” bulunan parantezleri açmak için acele etmeyin: aceleniz nedeniyle hücum hatası yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Sorun iki temel eşitsizliğe indirgenmişti. Çözümlerini paralel sayı doğrusu üzerinde not edelim:

Kümelerin kesişimi

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zordur. Öncelikle ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole edelim:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine "modül daha küçük" şeklinde bir eşitsizliğimiz var, bu yüzden zaten bilinen algoritmayı kullanarak modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Şimdi dikkat: Bütün bu parantezlerle birileri benim biraz sapık olduğumu söyleyecektir. Ama şunu bir kez daha hatırlatayım ki asıl amacımız Eşitsizliği doğru bir şekilde çözün ve cevabı alın. Daha sonra, bu derste anlatılan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, bunu istediğiniz gibi kendiniz saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksileri ekleyin, vb.

Başlangıç ​​olarak soldaki çift eksiden kurtulacağız:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sol(x+1 \sağ)\]

Şimdi çift eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çifte eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Her iki eşitsizlik de ikinci derecedendir ve aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir (bu yüzden şunu söylüyorum: bunun ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri ele almamak daha iyidir). İlk eşitsizlikteki denkleme geçelim:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sol(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi çıktı, temel bir şekilde çözülebilen tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğine bakalım. Burada Vieta teoremini uygulamanız gerekecek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\bit(hizala)\]

Ortaya çıkan sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretleriz (ilk eşitsizlik için ayrı, ikincisi için ayrı):

Yine bir eşitsizlik sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Cevap: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Bu örneklerden sonra çözüm şemasının son derece net olduğunu düşünüyorum:

1. Diğer tüm terimleri eşitsizliğin karşı tarafına taşıyarak modülü izole edin. Böylece $\left| biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Yukarıda anlatılan şemaya göre modülden kurtularak bu eşitsizliği çözün. Bir noktada, çifte eşitsizlikten, her biri zaten ayrı ayrı çözülebilen iki bağımsız ifadeden oluşan bir sisteme geçmek gerekli olacaktır.
3. Son olarak geriye kalan tek şey bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini kesiştirmektir - işte bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Modülün fonksiyondan büyük olduğu aşağıdaki türdeki eşitsizlikler için benzer bir algoritma mevcuttur. Ancak birkaç ciddi “ama” var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. “Modül fonksiyondan büyüktür” formundaki eşitsizlikler

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Öncekine benzer mi? Görünüşe göre. Yine de bu tür sorunlar tamamen farklı bir şekilde çözülüyor. Resmi olarak şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başka bir deyişle iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk önce modülü görmezden geliyoruz ve olağan eşitsizliği çözüyoruz;
2. Daha sonra özünde modülü eksi işaretiyle genişletiyoruz ve elimde işaret varken eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpıyoruz.

Bu durumda seçenekler köşeli parantezle birleştirilir; Önümüzde iki gereksinimin birleşimi var.

Lütfen tekrar unutmayın: bu bir sistem değil, bir bütünlüktür, dolayısıyla cevapta kümeler kesişmiyor, birleşiyor. Bu önceki noktadan temel bir farktır!

Genel olarak birçok öğrencinin kafası birleşimler ve kesişimlerle tamamen karıştırılıyor, o yüzden gelin bu konuyu kesin olarak çözelim:

• "∪" birleşim işaretidir. Aslında bu bize gelen stilize bir "U" harfi. ingilizce dili ve “Birlik”in kısaltmasıdır, yani. "Dernekler".
• "∩" kesişim işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece “∪”ye karşı bir karşı nokta olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere bacak çekin (şimdi beni uyuşturucu bağımlılığını ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: bu dersi ciddi şekilde çalışıyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız demektir):

Rusçaya çevrildiğinde bu şu anlama gelir: Birlik (bütünlük) her iki gruptan da öğeler içerir, dolayısıyla hiçbir şekilde bunların her birinden daha az değildir; ancak kesişim (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede aynı anda bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle kümelerin kesişimi hiçbir zaman kaynak kümelerden daha büyük değildir.

Yani daha mı netleşti? Bu harika. Hadi uygulamaya geçelim.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre ilerliyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Sağ.\]

Nüfustaki her eşitsizliği çözüyoruz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Ortaya çıkan her kümeyi sayı doğrusunda işaretliyoruz ve sonra bunları birleştiriyoruz:

Setlerin birliği

Cevabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı oldukça açık.

Cevap: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Kuyu? Hiçbir şey - her şey aynı. Modüllü bir eşitsizlikten iki eşitsizlik kümesine geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hizala) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözüyoruz. Maalesef oradaki kökler pek iyi olmayacak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\bit(hizala)\]

İkinci eşitsizlik de biraz çılgınca:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\bit(hizala)\]

Şimdi bu sayıları her eşitsizlik için bir eksen olmak üzere iki eksende işaretlemeniz gerekiyor. Ancak noktaları doğru sırayla işaretlemeniz gerekir: daha büyük sayı noktayı ne kadar sağa kaydırırsak.

Ve burada bizi bir kurulum bekliyor. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sayılarıyla her şey açıksa (birincinin payındaki terimler) kesir ikincinin payındaki terimlerden küçüktür, dolayısıyla toplam da daha azdır), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) sayılarıyla (21))(2)$ da hiçbir zorluk olmayacak (pozitif sayı açıkça daha negatif), o zaman son çiftte her şey o kadar net değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Noktaların sayı doğrusu üzerindeki yerleşimi ve aslında cevap bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Kökü izole ettik, eşitsizliğin her iki tarafında da negatif olmayan sayılar elde ettik, böylece her iki tarafın karesini alma hakkına sahip olduk:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Bence bu hiç de akıllıca değil $4\sqrt(13) \gt 3$, yani $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, eksenlerdeki son noktalar şu şekilde yerleştirilecektir:

Bir çirkin kök vakası

Size bir koleksiyon çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, dolayısıyla cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil, birleşim olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Gördüğünüz gibi şemamız hem basit hem de çok zor problemler için harika çalışıyor. Bu yaklaşımın tek "zayıf noktası" irrasyonel sayıları doğru bir şekilde karşılaştırmanız gerektiğidir (ve inanın bana: bunlar sadece kökler değildir). Ancak karşılaştırma konularına ayrı (ve çok ciddi) bir ders ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizlikler

Şimdi en ilginç kısma geliyoruz. Bunlar formdaki eşitsizliklerdir:

\[\sol| f\sağ| \gt \sol| g\sağ|\]

Genel olarak şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için doğrudur. Solda ve sağda negatif olmayan ifadelerin garanti edildiği tüm eşitsizliklerde işe yarar:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece şunu hatırla:

Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizliklerde her iki taraf da herhangi bir doğal güce yükseltilebilir. Hiçbir ek kısıtlama olmayacak.

Her şeyden önce kare almayla ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\bit(hizala)\]

Bunu bir karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2))))=\left| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci bir modülü kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapıldı! Ancak bu tamamen farklı bir hikaye (bunlar irrasyonel denklemler gibi), bu yüzden şimdi buna girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Hemen iki şeye dikkat edelim:

1. Bu katı bir eşitsizlik değil. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar delinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle, modülden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alabiliriz ve sorunu olağan aralık yöntemini kullanarak çözebiliriz:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\bit(hizala)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün düzgünlüğünden yararlanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında $1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz. Bir kez daha: Orijinal eşitsizlik katı olmadığından tüm noktalar gölgelidir!

Modül işaretinden kurtulmak

Özellikle inatçı olanlar için şunu hatırlatayım: Denkleme geçmeden önce yazmış olduğumuz son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli olan alanların üzerini boyuyoruz. Bizim durumumuzda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ şeklindedir.

İşte hepsi bu. Sorun çözüldü.

Cevap: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylemlerin sırasına bakın.

Karesini alın:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ|)^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Sayı doğrusunda tek bir kök vardır:

Cevap tam bir aralıktır

Cevap: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son görevle ilgili küçük bir not. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, bu eşitsizlikteki her iki alt modüler ifade de açıkça pozitiftir, dolayısıyla sağlığa zarar vermeden modül işareti çıkarılabilir.

Ancak bu tamamen farklı bir düşünce düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - buna şartlı olarak sonuçların yöntemi denilebilir. Bu konuda - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son kısmına geçelim ve her zaman işe yarayan evrensel bir algoritmaya bakalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüz olsa bile :)

4. Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi

Ya tüm bu teknikler yardımcı olmazsa? Eşitsizlik negatif olmayan kuyruklara indirgenemiyorsa, modülü izole etmek imkansızsa, genel olarak acı, üzüntü, melankoli varsa?

Sonra tüm matematiğin “ağır topları” sahneye çıkıyor; kaba kuvvet yöntemi. Modüllü eşitsizliklerle ilgili olarak şöyle görünür:

1. Tüm alt modüler ifadeleri yazın ve bunları sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bir sayı doğrusunda bulunan kökleri işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işarete sahip olduğu ve bu nedenle benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı çeşitli bölümlere bölünecektir;
4. Bu tür bölümlerin her birinde eşitsizliği çözün (güvenilirlik için 2. adımda elde edilen kök sınırlarını ayrı ayrı değerlendirebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak :)

Peki nasıl? Zayıf? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Pratikte görelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu saçmalık $\left| gibi eşitsizliklerden ibaret değil f\sağ| \lt g$, $\left| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, bu yüzden ileri doğru hareket ediyoruz.

Alt modüler ifadeler yazıyoruz, bunları sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ok x=1. \\\bit(hizala)\]

Toplamda, sayı doğrusunu üç bölüme ayıran iki kökümüz var ve bu bölümde her modül benzersiz bir şekilde ortaya çıkıyor:

Sayı doğrusunda alt modüler fonksiyonların sıfırlarına göre bölümleme

Her bölüme ayrı ayrı bakalım.

1. $x \lt -2$ olsun. O zaman her iki alt modüler ifade de negatiftir ve orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Oldukça basit bir sınırlamamız var. Bunu $x \lt -2$ şeklindeki başlangıç ​​varsayımıyla kesiştirelim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük ve 1,5'tan büyük olamaz. Bu alanda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

1.1. Sınırdaki durumu ayrıca ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizliğin yerine koyalım ve kontrol edelim: bu doğru mu?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Hesaplamalar zincirinin bizi yanlış bir eşitsizliğe sürüklediği açıktır. Bu nedenle orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil edilmemiştir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki modül yine de "eksi" ile açılacaktır. Sahibiz:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\bitiş(hizalama)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ve yine çözüm kümesi boştur çünkü hem -2,5'tan küçük hem de -2'den büyük sayılar yoktur.

2.1. Ve yine özel durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarsak:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Önceki “özel duruma” benzer şekilde, $x=1$ sayısı cevaba açıkça dahil edilmemiştir.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle açılır:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtlamayla kesiştiriyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Nihayet! Cevap olacak bir aralık bulduk.

Cevap: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Son olarak, gerçek sorunları çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir not:

Eşitsizliklerin modüllü çözümleri genellikle sayı doğrusu aralıkları ve segmentleri üzerindeki sürekli kümeleri temsil eder. İzole noktalar çok daha az yaygındır. Ve daha da az sıklıkla, çözümün sınırının (bölümün sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakıştığı görülür.

Sonuç olarak, eğer sınırlar (aynı “özel durumlar”) cevaba dahil edilmiyorsa, bu sınırların solunda ve sağındaki alanlar neredeyse kesinlikle cevaba dahil edilmeyecektir. Ve bunun tersi de geçerlidir: sınır cevaba girmiştir, bu da etrafındaki bazı alanların da cevap olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi incelerken bunu aklınızda bulundurun.