Kaip išspręsti natūralių logaritmų lygtis. Logaritmo metodu išspręstos lygtys

Algebra 11 klasė

Tema: « Sprendimo būdai logaritmines lygtis »

Pamokos tikslai:

edukacinis: žinių apie įvairius logaritminių lygčių sprendimo būdus formavimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

kuriant: gebėjimų stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti ugdymas; savikontrolės ir savikontrolės įgūdžių formavimas;

edukacinis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, atidų pamokos medžiagos suvokimą, apskaitos tikslumą.

Pamokos tipas : susipažinimo su nauja medžiaga pamoka.

„Logaritmų išradimas, sutrumpinęs astronomo darbą, pailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant tuos pačius algoritmus. Šiuos algoritmus aptarsime šiandien pamokoje. Jų nedaug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo būdai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Jūs išsprendžiate kiekvieną užduotį ir užsirašote atsakymą, negalite parašyti sąlygos. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

a)

b)

in)

e)

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

a) y = x ir

b)ir

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Apskaičiuokite :

6) Pabandykite atkurti arba užbaigti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas pareiškimas:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atrakina visą matematinį sezamą."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kovalis

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu ).

ApsvarstykitePaprasčiausia logaritminė lygtis: žurnalas a x = b (kur a>0, a ≠ 1). Nes logaritminė funkcija didėja (arba mažėja) teigiamų skaičių aibėje ir ima visas realiąsias reikšmes, tada pagal šaknies teoremą išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi, be to, tik vieną sprendinį ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę a, kad gautume skaičių x ). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kada in yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą:Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą .

Taip susidaro paprasčiausios formos lygtys.

ApsvarstykiteNr. 514(a ): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą )

Sprendimas . , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Atsakymas: 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes> 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų, irtikrinimas nebūtinas . Sąlygos 2x - 4 > 0 šioje užduotyje išrašyti nebūtina.

2. Potencija (perėjimas nuo pateiktos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

ApsvarstykiteNr. 519(g): žurnalas 5 ( x 2 +8)- žurnalas 5 ( x+1)=3 žurnalas 5 2

Kokią savybę pastebėjote?(Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi) . Ką galima padaryti?(galioja).

Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritmų išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X 2 +8>0 papildoma nelygybė

žurnalas 5 ( x 2 +8) = žurnalas 5 2 3 + žurnalas 5 ( x+1)

žurnalas 5 ( x 2 +8)= žurnalas 5 (8 x+8)

Sustiprinkite pradinę lygtį

x 2 +8= 8 x+8

gauname lygtįx 2 +8= 8 x+8

Išspręskime:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Atsakymas: 0; aštuoni

Apskritaipereiti prie lygiavertės sistemos :

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – vienos iš nelygybių galima nepaisyti).

Klausimas klasei : Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas .

ApsvarstykiteNr. 520 (g) . .

Ką pastebėjai? (tai kvadratinė lygtis palyginti su log3x) Jūsų pasiūlymai? (Įvesti naują kintamąjį)

Sprendimas . ODZ: x > 0.

Leisti, tada lygtis bus tokia:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžti į pakeitimą:arba.

Išspręsdami paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

; .

Atsakymas : 27;

4. Abiejų lygties pusių logaritmas.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas : ODZ: x>0, imame abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

. Taikykite laipsnio logaritmo savybę:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Tegul lgx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; logx = 1,. . Tai yra taip: jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja ir kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)=g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X .

Jei yra šaknis, tai galima atspėti. .

Atsakymas : 2

„Galima išmokti teisingai taikyti metodus,
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

aš v. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, spręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus nagrinėjome pamokoje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, naudingi tiriami metodai.

Rodoma paskutinė skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausias?
Laikas.
Kas yra maloniausia?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Noriu, kad kiekvienas pasiektų tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Šioje pamokoje pakartosime pagrindinius teorinius faktus apie logaritmus ir apsvarstysime paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimą.

Prisiminkite centrinį apibrėžimą – logaritmo apibrėžimą. Tai susiję su sprendimu eksponentinė lygtis. Ši lygtis turi vieną šaknį, ji vadinama b logaritmu bazei a:

Apibrėžimas:

Skaičiaus b logaritmas bazei a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę a, kad gautume skaičių b.

Prisiminkite pagrindinė logaritminė tapatybė.

Išraiška (1 išraiška) yra lygties šaknis (2 išraiška). Pakeičiame x reikšmę iš 1 išraiškos, o ne x reikšmę 2 išraiškoje ir gauname pagrindinę logaritminę tapatybę:

Taigi matome, kad kiekvienai reikšmei priskiriama reikšmė. B pažymime x (), c – y ir taip gauname logaritminę funkciją:

Pavyzdžiui:

Prisiminkite pagrindines logaritminės funkcijos savybes.

Dar kartą atkreipkime dėmesį, nes po logaritmu gali būti griežtai teigiama išraiška, kaip logaritmo pagrindas.

Ryžiai. 1. Įvairių bazių logaritminės funkcijos grafikas

Funkcijos at grafikas rodomas juodai. Ryžiai. 1. Jei argumentas didėja nuo nulio iki begalybės, funkcija didėja nuo minuso iki pliuso begalybės.

Funkcijos at grafikas rodomas raudonai. Ryžiai. vienas.

Šios funkcijos savybės:

Domenas: ;

Vertybių diapazonas: ;

Funkcija yra monotoniška visoje apibrėžimo srityje. Dėl monotoniško (griežto) padidėjimo, didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Kai monotoniškai (griežtai) mažėja, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Logaritminės funkcijos savybės yra raktas sprendžiant įvairias logaritmines lygtis.

Apsvarstykite paprasčiausią logaritminę lygtį; visos kitos logaritminės lygtys, kaip taisyklė, sumažinamos iki šios formos.

Kadangi logaritmų pagrindai ir patys logaritmai yra lygūs, tai ir funkcijos pagal logaritmą yra lygios, tačiau neturime prarasti apibrėžimo srities. Po logaritmu gali stovėti tik teigiamas skaičius, turime:

Išsiaiškinome, kad funkcijos f ir g yra lygios, todėl, norint atitikti ODZ, pakanka pasirinkti bet kurią nelygybę.

Taigi, mes gavome mišrią sistemą, kurioje yra lygtis ir nelygybė:

Nelygybės, kaip taisyklė, spręsti nereikia, užtenka išspręsti lygtį ir rastąsias šaknis pakeisti į nelygybę, taip atliekant patikrinimą.

Suformuluokime paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo būdą:

Išlyginti logaritmų pagrindus;

Sulyginti sublogaritmines funkcijas;

Paleiskite patikrinimą.

Panagrinėkime konkrečius pavyzdžius.

1 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Logaritmų pagrindai iš pradžių yra lygūs;

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Ši lygtis skiriasi nuo ankstesnės tuo, kad logaritmų bazės yra mažesnės už vieną, tačiau tai neturi jokios įtakos sprendimui:

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Gavome neteisingą nelygybę, o tai reiškia, kad rasta šaknis netenkina ODZ.

3 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Logaritmų pagrindai iš pradžių yra lygūs;

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Akivaizdu, kad tik pirmoji šaknis tenkina ODZ.

Logaritminės išraiškos, pavyzdžių sprendimas. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotys kelia klausimą, kaip rasti išraiškos vertę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir labai svarbu suprasti jos reikšmę. Kalbant apie USE, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomąsias problemas, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.

Štai pavyzdžiai, kaip suprasti pačią logaritmo reikšmę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

Logaritmų savybės, kurias visada turite atsiminti:

*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

* * *

* Dalinio (trupmens) logaritmas lygus faktorių logaritmų skirtumui.

* * *

* Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.

* * *

*Perėjimas prie naujos bazės

* * *

Daugiau savybių:

* * *

Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.

Mes išvardijame kai kuriuos iš jų:

Šios savybės esmė ta, kad perkeliant skaitiklį į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:

Šios savybės pasekmė:

* * *

Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.

* * *

Kaip matote, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad reikia geros praktikos, kuri suteikia tam tikrų įgūdžių. Žinoma, formulių išmanymas yra privalomas. Jei elementariųjų logaritmų transformavimo įgūdis nesusiformuoja, tai sprendžiant paprastos užduotys lengva suklysti.

Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje būtinai parodysiu, kaip sprendžiami „bražūs“ logaritmai, egzamine tokių nebus, bet jie įdomūs, nepraleiskite!

Tai viskas! Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Logaritminės lygtys. Mes ir toliau svarstome užduotis iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies. Kai kurių lygčių sprendinius jau svarstėme straipsniuose „“, „“. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime logaritmines lygtis. Iš karto turiu pasakyti, kad sprendžiant tokias lygtis USE nebus jokių sudėtingų transformacijų. Jie yra paprasti.

Pakanka žinoti ir suprasti pagrindinį logaritminį tapatumą, žinoti logaritmo savybes. Atkreipkite dėmesį į tai, kad po sprendimo PRIVALOMA atlikti patikrinimą – gautą reikšmę pakeiskite į pradinę lygtį ir apskaičiuokite, kaip rezultatas, turėtų būti gauta teisinga lygybė.

Apibrėžimas:

Skaičiaus a logaritmas iki bazės b yra eksponentas,į kurį b turi būti pakeltas norint gauti a.

Pavyzdžiui:

Žurnalas 3 9 = 2, nes 3 2 = 9

Logaritmų savybės:

Ypatingi logaritmų atvejai:

Mes sprendžiame problemas. Pirmajame pavyzdyje atliksime patikrinimą. Atlikite toliau nurodytus patikrinimus.

Raskite lygties šaknį: log 3 (4–x) = 4

Kadangi log b a = x b x = a, tai

3 4 \u003d 4 - x

x = 4–81

x = -77

Egzaminas:

3 žurnalas (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Teisingai.

Atsakymas: - 77

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 2 (4 - x) = 7

Raskite log 5 lygties šaknį(4 + x) = 2

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę.

Kadangi log a b = x b x = a, tai

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x = 21

Egzaminas:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Teisingai.

Atsakymas: 21

Raskite lygties šaknį log 3 (14 - x) = log 3 5.

Vyksta tokia savybė, jos reikšmė tokia: jei kairėje ir dešinėje lygties pusėse turime logaritmus su ta pačia baze, tai po logaritmų ženklus galime sutapatinti išraiškas.

14 – x = 5

x=9

Padarykite čekį.

Atsakymas: 9

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį log 5 (5 - x) = log 5 3.

Raskite lygties šaknį: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Jei log c a = log c b, tai a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Padarykite čekį.

Atsakymas: 6

Raskite lygties log 1/8 (13 - x) = - 2 šaknį.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13–64

x = -51

Padarykite čekį.

Nedidelis papildymas – čia turtas naudojamas

laipsnis ().

Atsakymas: - 51

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 1/7 (7 - x) = - 2

Raskite lygties log 2 (4 - x) = 2 log 2 5 šaknį.

Paverskime dešinę pusę. naudoti turtą:

log a b m = m∙ log a b

2 žurnalas (4 - x) = 2 5 2 žurnalas

Jei log c a = log c b, tai a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = -21

Padarykite čekį.

Atsakymas: - 21

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Išspręskite lygtį log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jei log c a = log c b, tai a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Padarykite čekį.

Atsakymas: 2,75

Spręskite patys:

Raskite lygties log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) šaknį.

Išspręskite lygtį log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Dešinėje lygties pusėje turite gauti formos išraišką:

2 žurnalas (......)

1 reiškia 2 bazinį logaritmą:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = 2 log 2 (2 - 3x) + 2 log 2

Mes gauname:

2 žurnalas (2 - x) = 2 log 2 (2 - 3x)

Jei log c a = log c b, tai a = b, tada

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Padarykite čekį.

Atsakymas: 0,4

Spręskite patys: Toliau reikia išspręsti kvadratinę lygtį. Beje,

šaknys yra 6 ir -4.

Šaknis "-4" nėra sprendimas, nes logaritmo bazė turi būti didesnė už nulį, o su "– 4" yra lygus " – 5" Sprendimas yra 6 šaknis.Padarykite čekį.

Atsakymas: 6.

R valgyti savarankiškai:

Išspręskite lygtį log x –5 49 = 2. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite į mažesnę.

Kaip matote, jokių sudėtingų transformacijų su logaritminėmis lygtimisne. Pakanka žinoti logaritmo savybes ir mokėti jas taikyti. AT NAUDOKITE užduotis siejami su logaritminių išraiškų transformacija, atliekamos rimtesnės transformacijos ir reikalingi gilesni sprendimo įgūdžiai. Mes apsvarstysime tokius pavyzdžius, nepraleiskite to!Linkiu sėkmės!!!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Įvadas

Logaritmai buvo išrasti siekiant pagreitinti ir supaprastinti skaičiavimus. Logaritmo idėja, tai yra, idėja išreikšti skaičius kaip tos pačios bazės galią, priklauso Michailui Stiefeliui. Tačiau Stiefelio laikais matematika nebuvo taip išvystyta, o logaritmo idėja nebuvo plėtojama. Logaritmus vėliau vienu metu ir nepriklausomai išrado škotų mokslininkas Johnas Napier (1550-1617) ir šveicaras Jobstas Burgi (1552-1632). Napier buvo pirmasis, kuris paskelbė kūrinį 1614 m. pavadinimu „Nuostabiosios logaritmų lentelės aprašymas“, Napier logaritmų teorija pateikta gana išsamiai, logaritmų skaičiavimo metodas pateiktas paprasčiausiu būdu, todėl Napier nuopelnai logaritmų išradime yra didesni nei Burgi. Burgi prie lentelių dirbo tuo pačiu metu kaip ir Napier, bet ilgą laiką laikė jas paslaptyje ir paskelbė tik 1620 m. Napier įsisavino logaritmo idėją apie 1594 m. nors lentelės buvo paskelbtos po 20 metų. Iš pradžių jis pavadino savo logaritmus „dirbtiniais skaičiais“, o tik tada pasiūlė šiuos „dirbtinius skaičius“ vadinti vienu žodžiu „logaritmas“, kuris graikiškai yra „koreliuoti skaičiai“, paimti iš aritmetinės progresijos, o kitą iš specialiai jai parinkta geometrinė progresija.pažanga. Pirmosios lentelės rusų kalba buvo išleistos 1703 m. dalyvaujant žymiam XVIII a. L. F. Magnitskis. Kuriant logaritmų teoriją didelę reikšmę turėjo Peterburgo akademiko Leonardo Eulerio darbą. Jis pirmasis logaritmą laikė atvirkštine eksponencija, įvedė terminus „logaritmo bazė“ ir „mantisa“ Briggsas sudarė logaritmų lenteles su baze 10. Dešimtainės lentelės yra patogesnės praktiniam naudojimui, jų teorija paprastesnė nei kad Napier logaritmai . Todėl dešimtainiai logaritmai kartais vadinami brigais. Terminą „charakteristika“ įvedė Briggsas.

Tais tolimais laikais, kai išminčiai pirmą kartą ėmė galvoti apie lygybes su nežinomais kiekiais, tikriausiai dar nebuvo monetų ar piniginių. Tačiau, kita vertus, buvo krūvos, taip pat puodų, krepšelių, kurie puikiai tiko talpykloms-parduotuvėms, kuriose yra nežinomas prekių skaičius. Senovės Mesopotamijos, Indijos, Kinijos, Graikijos matematinėse problemose nežinomi kiekiai išreiškė povų skaičių sode, bulių skaičių bandoje, dalykų, į kuriuos buvo atsižvelgta dalijant turtą, visumą. Gerai apmokyti raštininkai, valdininkai ir skaičiavimo mokslo iniciatoriai slaptos žinios kunigai gana sėkmingai susidorojo su tokiomis užduotimis.

Iki mūsų atkeliavę šaltiniai rodo, kad senovės mokslininkai turėjo bendrų metodų nežinomų kiekių problemoms spręsti. Tačiau ne vienas papirusas, nei viena molio lenta nepateikia šių technikų aprašymo. Autoriai tik retkarčiais pateikdavo savo skaitinius skaičiavimus su niekšiškais komentarais, tokiais kaip: „Žiūrėk!“, „Padaryk!“, „Jūs radote teisingai“. Šia prasme išimtis yra graikų matematiko Diofanto Aleksandriečio (III a.) „Aritmetika“ – lygčių sudarymo uždavinių rinkinys su sistemingu jų sprendimų pateikimu.

Tačiau IX amžiaus Bagdado mokslininko darbai tapo pirmuoju problemų sprendimo vadovu, kuris tapo plačiai žinomas. Muhamedas bin Musa al Khwarizmi. Žodis „al-jabr“ iš arabiško šio traktato pavadinimo – „Kitab al-jaber wal-muqabala“ („Atkūrimo ir kontrastavimo knyga“) – laikui bėgant virto visiems gerai žinomu žodžiu „algebra“, pats al-Khwarizmi darbas buvo atskaitos taškas plėtojant lygčių sprendimo mokslą.

Logaritminės lygtys ir nelygybės

1. Logaritminės lygtys

Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu arba jo pagrindu, vadinama logaritmine lygtimi.

Paprasčiausia logaritminė lygtis yra formos lygtis

žurnalas a x = b . (1)

Teiginys 1. Jei a > 0, a≠ 1, (1) lygtis bet kuriai realiai b turi vienintelį sprendimą x = a b .

1 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) žurnalas 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Sprendimas. Naudodami 1 teiginį gauname a) x= 2 3 arba x= 8; b) x= 3 -1 arba x= 1/3; c)

Pateikiame pagrindines logaritmo savybes.

P1. Pagrindinė logaritminė tapatybė:

kur a > 0, a≠ 1 ir b > 0.

P2. Teigiamų veiksnių sandaugos logaritmas yra lygus šių veiksnių logaritmų sumai:

žurnalas a N vienas · N 2 = rąstas a N 1 + rąstas a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

komentuoti. Jeigu N vienas · N 2 > 0, tada ypatybė P2 įgauna formą

žurnalas a N vienas · N 2 = rąstas a |N 1 | +logas a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N vienas · N 2 > 0).

P3. Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas yra lygus dividendo ir daliklio logaritmų skirtumui

komentuoti. Jeigu

P4. Teigiamo skaičiaus galios logaritmas yra lygus eksponento sandaugai ir šio skaičiaus logaritmui:

žurnalas a N k = kžurnalas a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

komentuoti. Jeigu k- lyginis skaičius ( k = 2s), tada

žurnalas a N 2s = 2sžurnalas a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Persikėlimo į kitą bazę formulė yra tokia:

ypač jei N = b, mes gauname

Naudojant savybes P4 ir P5, lengva gauti šias savybes

ir jei nurodyta (5) c- lyginis skaičius ( c = 2n), atsiranda

Išvardijame pagrindines logaritminės funkcijos savybes f (x) = žurnalas a x :

1. Logaritminės funkcijos sritis yra teigiamų skaičių aibė.

2. Logaritminės funkcijos reikšmių diapazonas yra realiųjų skaičių aibė.

3. Kada a> 1 logaritminė funkcija griežtai didėja (0< x 1 < x 2 žurnalas a x 1 < loga x 2) ir 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 žurnalas a x 1 > žurnalas a x 2).

4 žurnalas a 1 = 0 ir log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Jei a> 1, tada logaritminė funkcija yra neigiama x(0;1) ir yra teigiamas x(1;+∞), o jei 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ir yra neigiamas x (1;+∞).

6. Jeigu a> 1, tada logaritminė funkcija yra išgaubta į viršų, o jei a(0;1) - išgaubtas žemyn.

Šie teiginiai (žr., pavyzdžiui, ) naudojami sprendžiant logaritmines lygtis.