साधी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती. लॉगरिदम सूत्रे

तुम्हाला माहिती आहेच की, अभिव्यक्तींचा शक्तींसह गुणाकार करताना, त्यांचे घातांक नेहमी जोडतात (a b *a c = a b+c). हा गणिती नियम आर्किमिडीजने काढला आणि नंतरच्या काळात 8व्या शतकात विरासेन या गणितज्ञाने पूर्णांक घातांकांची तक्ता तयार केली. लॉगरिदमच्या पुढील शोधासाठी त्यांनीच काम केले. हे फंक्शन वापरण्याची उदाहरणे जवळजवळ सर्वत्र आढळू शकतात जिथे तुम्हाला साध्या बेरीज करून अवजड गुणाकार सुलभ करणे आवश्यक आहे. तुम्ही हा लेख वाचण्यात 10 मिनिटे घालवल्यास, आम्ही तुम्हाला लॉगरिदम काय आहेत आणि त्यांच्यासह कसे कार्य करावे हे समजावून सांगू. सोप्या आणि सुलभ भाषेत.

गणितातील व्याख्या

लॉगॅरिथम ही खालील स्वरूपाची अभिव्यक्ती आहे: लॉग a b=c, म्हणजेच कोणत्याही नॉन-नकारात्मक संख्येचा (म्हणजे कोणताही धनात्मक) “b” त्याच्या बेस “a” ची घात “c” मानली जाते. " ज्यावर शेवटी "b" मूल्य मिळविण्यासाठी आधार "a" वाढवणे आवश्यक आहे. उदाहरणे वापरून लॉगरिथमचे विश्लेषण करू या, एक अभिव्यक्ती लॉग आहे म्हणू 2 8. उत्तर कसे शोधायचे? हे अगदी सोपे आहे, तुम्हाला अशी पॉवर शोधावी लागेल की 2 ते आवश्यक पॉवरपर्यंत तुम्हाला 8 मिळतील. तुमच्या डोक्यात काही आकडेमोड केल्यावर, आम्हाला 3 क्रमांक मिळेल! आणि ते खरे आहे, कारण 2 ते 3 च्या घाताचे उत्तर 8 असे देते.

लॉगरिदमचे प्रकार

बऱ्याच विद्यार्थी आणि विद्यार्थ्यांसाठी, हा विषय क्लिष्ट आणि अनाकलनीय वाटतो, परंतु प्रत्यक्षात लॉगरिदम इतके भयानक नाहीत, मुख्य गोष्ट म्हणजे त्यांचे सामान्य अर्थ समजून घेणे आणि त्यांचे गुणधर्म आणि काही नियम लक्षात ठेवणे. लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीचे तीन स्वतंत्र प्रकार आहेत:

1. नैसर्गिक लॉगॅरिथम ln a, जेथे आधार हा यूलर क्रमांक आहे (e = 2.7).
2. दशांश a, जेथे पाया 10 आहे.
3. बेस a>1 पर्यंत b कोणत्याही संख्येचा लॉगरिदम.

लॉगरिदमिक प्रमेयांचा वापर करून एकल लॉगॅरिथममध्ये सरलीकरण, घट आणि त्यानंतरच्या कपात यासह, त्यापैकी प्रत्येक मानक पद्धतीने सोडवला जातो. लॉगरिदमची योग्य मूल्ये प्राप्त करण्यासाठी, आपण त्यांचे गुणधर्म आणि त्यांचे निराकरण करताना क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवावा.

नियम आणि काही निर्बंध

गणितात, अनेक नियम-अवरोध आहेत जे स्वयंसिद्ध म्हणून स्वीकारले जातात, म्हणजेच ते चर्चेच्या अधीन नसतात आणि सत्य असतात. उदाहरणार्थ, संख्यांना शून्याने भागता येत नाही आणि मूळ काढणे देखील अशक्य आहे. अगदी पदवीऋण संख्या पासून. लॉगरिदमचे देखील स्वतःचे नियम आहेत, ज्याचे अनुसरण करून तुम्ही लांब आणि क्षमता असलेल्या लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसह देखील कार्य करणे सहजपणे शिकू शकता:

• बेस "a" नेहमी शून्यापेक्षा मोठा असावा आणि 1 च्या बरोबरीचा नसावा, अन्यथा अभिव्यक्तीचा अर्थ गमावला जाईल, कारण "1" आणि "0" कोणत्याही प्रमाणात त्यांच्या मूल्यांच्या समान असतात;
• जर a > 0, नंतर a b > 0, असे दिसून येते की "c" देखील शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे?

उदाहरणार्थ, 10 x = 100 या समीकरणाचे उत्तर शोधण्याचे कार्य दिले आहे. हे खूप सोपे आहे, आपल्याला 100 प्राप्त होणारी संख्या दहा वाढवून घात निवडणे आवश्यक आहे. हे अर्थातच 10 2 = आहे. 100.

आता ही अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक स्वरूपात दर्शवू. आम्हाला लॉग 10 100 = 2 मिळतो. लॉगरिदम सोडवताना, दिलेली संख्या मिळविण्यासाठी लॉगरिदमच्या बेसमध्ये प्रवेश करणे आवश्यक असलेली शक्ती शोधण्यासाठी सर्व क्रिया व्यावहारिकरित्या एकत्रित होतात.

अज्ञात पदवीचे मूल्य अचूकपणे निर्धारित करण्यासाठी, आपल्याला पदवीच्या सारणीसह कसे कार्य करावे हे शिकण्याची आवश्यकता आहे. हे असे दिसते:

तुम्ही बघू शकता, तुमच्याकडे तांत्रिक मन आणि गुणाकार सारणीचे ज्ञान असल्यास काही घातांकांचा अंतर्ज्ञानाने अंदाज लावला जाऊ शकतो. तथापि साठी मोठी मूल्येआपल्याला अंशांच्या टेबलची आवश्यकता असेल. ज्यांना कॉम्प्लेक्सबद्दल काहीच माहिती नाही ते देखील हे वापरू शकतात गणित विषय. डाव्या स्तंभात संख्या (बेस a) आहेत, संख्यांची वरची पंक्ती ही संख्या a वाढवलेली शक्ती c चे मूल्य आहे. छेदनबिंदूवर, सेलमध्ये संख्या मूल्ये असतात जी उत्तरे असतात (a c =b). उदाहरणार्थ, 10 क्रमांकाचा पहिला सेल घ्या आणि त्याचा वर्ग करा, आपल्याला 100 मूल्य मिळेल, जे आपल्या दोन पेशींच्या छेदनबिंदूवर सूचित केले आहे. सर्व काही इतके सोपे आणि सोपे आहे की अगदी खऱ्या मानवतावादीलाही समजेल!

समीकरणे आणि असमानता

असे दिसून आले की विशिष्ट परिस्थितींमध्ये घातांक हा लॉगरिथम आहे. म्हणून, कोणतीही गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक समानता म्हणून लिहिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 3 4 =81 हे 81 समान चार (लॉग 3 81 = 4) चा आधार 3 लॉगरिथम म्हणून लिहिता येईल. नकारात्मक शक्तींसाठी नियम समान आहेत: 2 -5 = 1/32 आपण लॉगरिदम म्हणून लिहू, आपल्याला लॉग 2 (1/32) = -5 मिळेल. गणितातील सर्वात आकर्षक विभागांपैकी एक म्हणजे “लोगॅरिथम” हा विषय. समीकरणांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यावर लगेचच त्यांची उदाहरणे आणि उपाय आपण खाली पाहू. आता असमानता कशा दिसतात आणि त्यांना समीकरणांमधून कसे वेगळे करायचे ते पाहू.

खालील फॉर्मची अभिव्यक्ती दिली आहे: लॉग 2 (x-1) > 3 - ते आहे लॉगरिदमिक असमानता, कारण अज्ञात मूल्य "x" लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली आहे. आणि अभिव्यक्तीमध्ये देखील दोन प्रमाणांची तुलना केली जाते: इच्छित संख्येचा बेस दोनचा लॉगरिदम क्रमांक तीनपेक्षा मोठा आहे.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता यांच्यातील सर्वात महत्त्वाचा फरक म्हणजे लॉगरिदमसह समीकरणे (उदाहरणार्थ, लॉगरिदम 2 x = √9) उत्तरामध्ये एक किंवा अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये दर्शवतात, तर असमानता सोडवताना, दोन्ही स्वीकार्य श्रेणी मूल्ये आणि बिंदू हे कार्य खंडित करून निर्धारित केले जातात. परिणामी, उत्तर हे समीकरणाच्या उत्तराप्रमाणे वैयक्तिक संख्यांचा साधा संच नसून सतत मालिका किंवा संख्यांचा संच आहे.

लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेये

लॉगरिथमची मूल्ये शोधण्याची आदिम कार्ये सोडवताना, त्याचे गुणधर्म ज्ञात नसतील. तथापि, जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे किंवा असमानता येतात, तेव्हा सर्व प्रथम, लॉगरिदमचे सर्व मूलभूत गुणधर्म स्पष्टपणे समजून घेणे आणि व्यवहारात लागू करणे आवश्यक आहे. आपण समीकरणांची उदाहरणे नंतर पाहू; प्रथम प्रत्येक गुणधर्म अधिक तपशीलवार पाहू.

1. मुख्य ओळख यासारखी दिसते: a logaB =B. हे फक्त तेव्हाच लागू होते जेव्हा a 0 पेक्षा मोठा असतो, एकाच्या बरोबरीचा नसतो आणि B शून्यापेक्षा मोठा असतो.
2. उत्पादनाचा लॉगरिथम खालील सूत्रामध्ये दर्शविला जाऊ शकतो: लॉग d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. या प्रकरणात, अनिवार्य अट आहे: d, s 1 आणि s 2 > 0; a≠1. तुम्ही उदाहरणे आणि सोल्यूशनसह या लॉगरिदमिक सूत्रासाठी पुरावा देऊ शकता. लॉग a s 1 = f 1 आणि log a s 2 = f 2, नंतर a f1 = s 1, a f2 = s 2. आम्हाला मिळते की s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (चे गुणधर्म अंश ), आणि नंतर व्याख्येनुसार: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.
3. भागाचे लॉगरिदम असे दिसते: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. सूत्राच्या स्वरुपातील प्रमेय खालील फॉर्म घेते: लॉग a q b n = n/q log a b.

या सूत्राला "लोगॅरिथमच्या अंशाची मालमत्ता" असे म्हणतात. हे सामान्य अंशांच्या गुणधर्मांसारखे आहे आणि हे आश्चर्यकारक नाही, कारण सर्व गणित नैसर्गिक पोस्ट्युलेट्सवर आधारित आहे. चला पुरावा पाहू.

लॉग a b = t करू द्या, ते t = b निघेल. जर आपण दोन्ही भागांना m पॉवर वर वाढवले: a tn = b n ;

पण a tn = (a q) nt/q = b n असल्याने, म्हणून a q b n = (n*t)/t लॉग करा, नंतर a q b n = n/q लॉग a b ला लॉग करा. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

समस्या आणि असमानतेची उदाहरणे

लॉगरिदमवरील समस्यांचे सर्वात सामान्य प्रकार म्हणजे समीकरणे आणि असमानतेची उदाहरणे. ते जवळजवळ सर्व समस्यांच्या पुस्तकांमध्ये आढळतात आणि ते गणिताच्या परीक्षांचा आवश्यक भाग देखील आहेत. विद्यापीठात प्रवेश घेण्यासाठी किंवा उत्तीर्ण होण्यासाठी प्रवेश परीक्षागणितात तुम्हाला अशा समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे माहित असणे आवश्यक आहे.

दुर्दैवाने, लॉगरिदमचे अज्ञात मूल्य सोडवण्यासाठी आणि निर्धारित करण्यासाठी कोणतीही एक योजना किंवा योजना नाही, परंतु प्रत्येक गणितीय असमानता किंवा लॉगरिदमिक समीकरणासाठी काही नियम लागू केले जाऊ शकतात. सर्व प्रथम, आपण अभिव्यक्ती सरलीकृत केली जाऊ शकते की नाही हे शोधले पाहिजे सामान्य देखावा. जर तुम्ही त्यांचे गुणधर्म योग्यरित्या वापरत असाल तर तुम्ही लांब लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती सुलभ करू शकता. चला त्यांना लवकर ओळखू या.

ठरवताना लॉगरिदमिक समीकरणे, आमच्याकडे कोणत्या प्रकारचे लॉगॅरिथम आहे हे आम्ही निर्धारित केले पाहिजे: उदाहरणाच्या अभिव्यक्तीमध्ये नैसर्गिक लॉगरिथम किंवा दशांश असू शकतात.

येथे ln100, ln1026 उदाहरणे आहेत. त्यांचे समाधान या वस्तुस्थितीवर उकळते की त्यांना बेस 10 अनुक्रमे 100 आणि 1026 च्या बरोबरीची शक्ती निश्चित करणे आवश्यक आहे. उपायांसाठी नैसर्गिक लॉगरिदमतुम्हाला लॉगरिदमिक ओळख किंवा त्यांचे गुणधर्म लागू करणे आवश्यक आहे. विविध प्रकारच्या लॉगरिदमिक समस्या सोडवण्याची उदाहरणे पाहू.

लॉगरिदम सूत्र कसे वापरावे: उदाहरणे आणि उपायांसह

तर, लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेय वापरण्याची उदाहरणे पाहू.

1. उत्पादनाच्या लॉगरिथमचा गुणधर्म अशा कार्यांमध्ये वापरला जाऊ शकतो जेथे विस्तार करणे आवश्यक आहे महान मूल्यसंख्या b सोप्या घटकांमध्ये. उदाहरणार्थ, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512. उत्तर 9 आहे.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - जसे आपण पाहू शकता, लॉगरिदम पॉवरच्या चौथ्या गुणधर्माचा वापर करून, आम्ही एक जटिल आणि न सोडवता येणारी अभिव्यक्ती सोडवण्यात व्यवस्थापित केले. तुम्हाला फक्त बेस फॅक्टर करणे आवश्यक आहे आणि नंतर लॉगरिदमच्या चिन्हातून घातांक मूल्ये काढणे आवश्यक आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील असाइनमेंट

लॉगरिदम बहुतेकदा प्रवेश परीक्षांमध्ये आढळतात, विशेषत: युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील अनेक लॉगरिदमिक समस्या ( राज्य परीक्षासर्व शाळा सुटणाऱ्यांसाठी). सामान्यतः, ही कार्ये केवळ भाग A (परीक्षेतील सर्वात सोपा चाचणी भाग) मध्येच नसतात तर भाग C (सर्वात जटिल आणि विपुल कार्ये) मध्ये देखील उपस्थित असतात. परीक्षेसाठी “नैसर्गिक लॉगरिदम” या विषयाचे अचूक आणि परिपूर्ण ज्ञान आवश्यक आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या अधिकृत आवृत्त्यांमधून उदाहरणे आणि समस्यांचे निराकरण केले जाते. अशी कार्ये कशी सोडवली जातात ते पाहूया.

दिलेला लॉग 2 (2x-1) = 4. उपाय:
चला अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू, थोडेसे लॉग 2 (2x-1) = 2 2 सोपे करून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार आपल्याला 2x-1 = 2 4 मिळेल, म्हणून 2x = 17; x = 8.5.

• सर्व लॉगरिदम समान बेसवर कमी करणे चांगले आहे जेणेकरून समाधान अवजड आणि गोंधळात टाकणार नाही.
• लॉगरिदम चिन्हाखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक म्हणून दर्शविल्या जातात, म्हणून जेव्हा लॉगरिथम चिन्हाखाली असलेल्या अभिव्यक्तीचा घातांक आणि त्याचा आधार गुणक म्हणून काढला जातो, तेव्हा लॉगरिदम अंतर्गत उरलेली अभिव्यक्ती सकारात्मक असणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती, उदाहरणे सोडवणे. या लेखात आपण लॉगरिदम सोडवण्याशी संबंधित समस्या पाहू. कार्ये अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधण्याचा प्रश्न विचारतात. हे नोंद घ्यावे की लॉगरिथमची संकल्पना अनेक कार्यांमध्ये वापरली जाते आणि त्याचा अर्थ समजून घेणे अत्यंत आवश्यक आहे. युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी, समीकरणे सोडवताना, लागू केलेल्या समस्यांमध्ये आणि फंक्शन्सच्या अभ्यासाशी संबंधित कामांमध्ये लॉगरिदम वापरला जातो.

लॉगॅरिथमचा अर्थ समजून घेण्यासाठी उदाहरणे देऊ:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

लॉगरिदमचे गुणधर्म जे नेहमी लक्षात ठेवले पाहिजेत:

*उत्पादनाचा लॉगरिदम घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतका असतो.

* * *

*भागफलाचा (अपूर्णांक) लॉगरिदम हा घटकांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका असतो.

* * *

*घातांकाचा लॉगरिदम हा घातांकाच्या गुणाकार आणि त्याच्या पायाच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचा असतो.

* * *

*नवीन पायावर संक्रमण

* * *

अधिक गुणधर्म:

* * *

लॉगरिदमची गणना घातांकांच्या गुणधर्मांच्या वापराशी जवळून संबंधित आहे.

चला त्यापैकी काहींची यादी करूया:

या मालमत्तेचा सार असा आहे की जेव्हा अंश भाजकाकडे हस्तांतरित केला जातो आणि त्याउलट, घातांकाचे चिन्ह विरुद्ध बदलते. उदाहरणार्थ:

या मालमत्तेचा परिणाम:

* * *

पॉवरला पॉवर वाढवताना, बेस समान राहतो, परंतु घातांक गुणाकार केला जातो.

* * *

तुम्ही पाहिल्याप्रमाणे, लॉगरिथमची संकल्पना स्वतःच सोपी आहे. मुख्य गोष्ट अशी आहे की आपल्याला चांगल्या सरावाची आवश्यकता आहे, जे आपल्याला एक विशिष्ट कौशल्य देते. अर्थात, सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे. जर प्राथमिक लॉगरिदम रूपांतरित करण्याचे कौशल्य विकसित केले गेले नसेल, तर सोडवताना साधी कामेचूक करणे सोपे आहे.

सराव करा, प्रथम गणिताच्या अभ्यासक्रमातील सर्वात सोपी उदाहरणे सोडवा, नंतर अधिक जटिल उदाहरणांकडे जा. भविष्यात, मी निश्चितपणे दर्शवेल की "कुरूप" लॉगरिदम कसे सोडवले जातात ते युनिफाइड स्टेट परीक्षेत दिसणार नाहीत, परंतु ते स्वारस्यपूर्ण आहेत, त्यांना चुकवू नका!

इतकंच! तुम्हाला शुभेच्छा!

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख

P.S: तुम्ही मला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगितल्यास मी आभारी राहीन.

लॉगरिदमिक समीकरणहे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात (x) आणि त्यासह अभिव्यक्ती चिन्हाखाली आहेत लॉगरिदमिक कार्य. लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना असे गृहीत धरले जाते की आपण आधीपासूनच परिचित आहात आणि .
लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची?

सोपं समीकरण आहे लॉग a x = b, जेथे a आणि b काही संख्या आहेत, x एक अज्ञात आहे.
लॉगरिदमिक समीकरण सोडवणे x = a b प्रदान केले आहे: a > 0, a 1.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर x लॉगरिथमच्या बाहेर कुठेतरी असेल, उदाहरणार्थ लॉग 2 x = x-2, तर अशा समीकरणाला आधीपासूनच मिश्रित म्हटले जाते आणि ते सोडवण्यासाठी विशेष दृष्टीकोन आवश्यक आहे.

आदर्श केस म्हणजे जेव्हा तुम्ही एखादे समीकरण पाहता ज्यामध्ये लॉगॅरिथम चिन्हाखाली फक्त संख्या असतात, उदाहरणार्थ x+2 = लॉग 2 2. ते सोडवण्यासाठी लॉगरिदमचे गुणधर्म जाणून घेणे पुरेसे आहे. परंतु असे नशीब अनेकदा घडत नाही, म्हणून अधिक कठीण गोष्टींसाठी सज्ज व्हा.

पण प्रथम, सोप्या समीकरणांपासून सुरुवात करूया. त्यांचे निराकरण करण्यासाठी, सर्वात जास्त असणे इष्ट आहे सामान्य कल्पनालॉगरिदम बद्दल.

साधी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे

यामध्ये लॉग 2 x = log 2 16 या प्रकारची समीकरणे समाविष्ट आहेत. उघड्या डोळ्याने हे लक्षात येते की लॉगरिदमचे चिन्ह वगळून आपल्याला x = 16 मिळते.

अधिक क्लिष्ट लॉगरिदमिक समीकरण सोडवण्यासाठी, ते सामान्यतः सामान्य बीजगणितीय समीकरण सोडवण्यासाठी किंवा साधे लॉगरिदमिक समीकरण लॉग a x = b सोडवण्यासाठी कमी केले जाते. सर्वात सोप्या समीकरणांमध्ये हे एका हालचालीमध्ये घडते, म्हणूनच त्यांना सर्वात सोपा म्हटले जाते.

लॉगरिदम सोडण्याची वरील पद्धत लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याच्या मुख्य मार्गांपैकी एक आहे. गणितात या ऑपरेशनला पोटेंशिएशन म्हणतात. या प्रकारच्या ऑपरेशनसाठी काही नियम किंवा निर्बंध आहेत:

• लॉगरिदममध्ये समान संख्यात्मक आधार असतात
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधील लॉगरिदम मुक्त आहेत, उदा. कोणत्याही गुणांक किंवा इतर विविध प्रकारच्या अभिव्यक्तीशिवाय.

लॉग 2 x = 2log 2 (1 - x) या समीकरणात पोटेंशिएशन लागू होत नाही असे समजू - उजवीकडील गुणांक 2 त्यास परवानगी देत ​​नाही. खालील उदाहरणामध्ये, लॉग 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) देखील एक निर्बंध पूर्ण करत नाही - डावीकडे दोन लॉगरिदम आहेत. जर एकच असेल तर ती पूर्णपणे वेगळी बाब असेल!

सर्वसाधारणपणे, समीकरणाचा फॉर्म असेल तरच तुम्ही लॉगरिदम काढू शकता:

लॉग अ (...) = लॉग अ (...)

पूर्णपणे कोणत्याही अभिव्यक्ती कंसात ठेवल्या जाऊ शकतात, याचा पोटेंशिएशन ऑपरेशनवर कोणताही परिणाम होत नाही. आणि लॉगरिदम काढून टाकल्यानंतर, एक सोपे समीकरण राहील - रेखीय, द्विघाती, घातांक इ., जे मला आशा आहे की, तुम्हाला कसे सोडवायचे ते आधीच माहित असेल.

आणखी एक उदाहरण घेऊ:

लॉग 3 (2x-5) = लॉग 3 x

आम्ही क्षमता लागू करतो, आम्हाला मिळते:

लॉग 3 (2x-1) = 2

लॉगॅरिथमच्या व्याख्येवर आधारित, म्हणजे, लॉगरिथम ही अशी संख्या आहे ज्यावर लॉगरिथम चिन्हाखाली असलेली अभिव्यक्ती मिळविण्यासाठी बेस वाढविला जाणे आवश्यक आहे, म्हणजे. (4x-1), आम्हाला मिळते:

आम्हाला पुन्हा एक सुंदर उत्तर मिळाले. येथे आम्ही लॉगरिदम काढून टाकल्याशिवाय केले, परंतु येथे संभाव्यता देखील लागू आहे, कारण लॉगरिदम कोणत्याही संख्येवरून बनविला जाऊ शकतो आणि आपल्याला आवश्यक असलेला एक. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि विशेषतः असमानता सोडवण्यासाठी ही पद्धत खूप उपयुक्त आहे.

पोटेंशिएशन वापरून लॉग 3 (2x-1) = 2 हे लॉगरिदमिक समीकरण सोडवू.

चला संख्या 2 ची लॉगरिदम म्हणून कल्पना करू, उदाहरणार्थ, हा लॉग 3 9, कारण 3 2 =9.

नंतर लॉग 3 (2x-1) = लॉग 3 9 आणि पुन्हा आपल्याला समान समीकरण 2x-1 = 9 मिळेल. मला आशा आहे की सर्वकाही स्पष्ट आहे.

म्हणून आम्ही सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची ते पाहिले, जे प्रत्यक्षात खूप महत्वाचे आहेत, कारण लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे, अगदी सर्वात भयंकर आणि वळण असलेले, शेवटी नेहमी सर्वात सोपी समीकरणे सोडवण्यासाठी खाली येते.

आम्ही वर केलेल्या प्रत्येक गोष्टीत, आम्ही एक खूप चुकलो महत्त्वाचा मुद्दा, जी भविष्यात निर्णायक भूमिका बजावेल. वस्तुस्थिती अशी आहे की कोणत्याही लघुगणकीय समीकरणाचे समाधान, अगदी प्राथमिक समीकरणामध्ये दोन समान भाग असतात. पहिले समीकरणाचे स्वतःचे निराकरण आहे, दुसरे परवानगीयोग्य मूल्यांच्या श्रेणीसह कार्य करत आहे (APV). हा अगदी पहिला भाग आहे ज्यावर आपण प्रभुत्व मिळवले आहे. वरील उदाहरणांमध्ये, ODZ कोणत्याही प्रकारे उत्तरावर परिणाम करत नाही, म्हणून आम्ही त्याचा विचार केला नाही.

आणखी एक उदाहरण घेऊ:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

बाह्यतः, हे समीकरण प्राथमिक समीकरणापेक्षा वेगळे नाही, जे खूप यशस्वीरित्या सोडवले जाऊ शकते. पण हे पूर्णपणे सत्य नाही. नाही, आम्ही नक्कीच त्याचे निराकरण करू, परंतु बहुधा चुकीचे आहे, कारण त्यात एक लहान घात आहे ज्यामध्ये सी-ग्रेड विद्यार्थी आणि उत्कृष्ट विद्यार्थी दोघेही लगेच त्यात पडतात. चला जवळून बघूया.

समजा तुम्हाला समीकरणाचे मूळ किंवा मुळांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे, जर त्यापैकी अनेक असतील:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

आम्ही पोटेंशिएशन वापरतो, ते येथे मान्य आहे. परिणामी, आम्हाला एक सामान्य चतुर्भुज समीकरण मिळते.

समीकरणाची मुळे शोधणे:

हे दोन मुळे बाहेर वळले.

उत्तर: 3 आणि -1

पहिल्या दृष्टीक्षेपात सर्वकाही बरोबर आहे. पण निकाल तपासू आणि त्यास मूळ समीकरणात बदलू.

चला x 1 = 3 ने सुरुवात करूया:

लॉग 3 6 = लॉग 3 6

चेक यशस्वी झाला, आता रांग x 2 = -1 आहे:

लॉग ३ (-२) = लॉग ३ (-२)

ठीक आहे, थांबा! बाहेरील सर्व काही परिपूर्ण आहे. एक गोष्ट - ऋण संख्यांमधून कोणतेही लॉगरिदम नाहीत! याचा अर्थ x = -1 मूळ समीकरण सोडवण्यासाठी योग्य नाही. आणि म्हणून योग्य उत्तर 3 असेल, 2 नाही, जसे आम्ही लिहिले आहे.

येथेच ओडीझेडने आपली घातक भूमिका बजावली, जी आम्ही विसरलो होतो.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये x च्या मूल्यांचा समावेश आहे ज्यांना परवानगी आहे किंवा मूळ उदाहरणासाठी अर्थ आहे.

ODZ शिवाय, कोणत्याही समीकरणाचे कोणतेही समाधान, अगदी अगदी अचूक, लॉटरीमध्ये बदलते - 50/50.

दिसायला प्राथमिक उदाहरण सोडवताना आपण कसे पकडले जाऊ शकतो? पण तंतोतंत संभाव्यतेच्या क्षणी. लॉगरिदम गायब झाले आणि त्यांच्यासह सर्व निर्बंध.

या प्रकरणात काय करावे? लॉगरिदम काढून टाकण्यास नकार द्या? आणि हे समीकरण सोडवायला पूर्णपणे नकार?

नाही, आम्ही, एका प्रसिद्ध गाण्यातील खऱ्या नायकांप्रमाणे, एक वळसा घालू!

आम्ही कोणतेही लॉगरिदमिक समीकरण सोडविण्यास सुरुवात करण्यापूर्वी, आम्ही ODZ लिहून ठेवू. पण त्यानंतर, आमच्या समीकरणानुसार तुम्ही तुमच्या मनाला पाहिजे ते करू शकता. उत्तर मिळाल्यानंतर, आम्ही आमच्या ODZ मध्ये समाविष्ट नसलेली मुळे फक्त फेकून देतो आणि अंतिम आवृत्ती लिहून देतो.

आता ODZ कसे रेकॉर्ड करायचे ते ठरवू. हे करण्यासाठी, आम्ही मूळ समीकरण काळजीपूर्वक तपासतो आणि त्यातील संशयास्पद ठिकाणे शोधतो, जसे की x ने विभागणी, अगदी मूळ इ. जोपर्यंत आपण समीकरण सोडवत नाही, तोपर्यंत x बरोबर काय आहे हे आपल्याला ठाऊक नाही, परंतु आपल्याला निश्चितपणे माहित आहे की जे x ऐवजी ० ने भागाकार करतात किंवा ऋण संख्येचे वर्गमूळ घेतात, ते निश्चितपणे योग्य नाहीत. उत्तर म्हणून, असे x अस्वीकार्य आहेत, तर उर्वरित ODZ तयार करतील.

पुन्हा तेच समीकरण वापरू.

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

जसे तुम्ही बघू शकता, 0 ने भागाकार नाही, चौरस मुळेदेखील नाही, परंतु लॉगरिदमच्या मुख्य भागामध्ये x सह अभिव्यक्ती आहेत. आपण ताबडतोब लक्षात ठेवूया की लॉगरिदममधील अभिव्यक्ती नेहमी >0 असणे आवश्यक आहे. आम्ही ही स्थिती ODZ च्या स्वरूपात लिहितो:

त्या. आम्ही अद्याप काहीही सोडवलेले नाही, परंतु आम्ही संपूर्ण सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसाठी एक अनिवार्य अट आधीच लिहून ठेवली आहे. कुरळे ब्रेस म्हणजे या अटी एकाच वेळी खऱ्या असाव्यात.

ODZ लिहून ठेवले आहे, परंतु असमानतेच्या परिणामी प्रणालीचे निराकरण करणे देखील आवश्यक आहे, जे आम्ही करू. आम्हाला x > v3 असे उत्तर मिळते. आता आपल्याला निश्चितपणे माहित आहे की कोणता x आपल्याला शोभणार नाही. आणि मग आपण लॉगरिदमिक समीकरण स्वतः सोडवू लागतो, जे आपण वर केले आहे.

x 1 = 3 आणि x 2 = -1 उत्तरे मिळाल्यानंतर, हे पाहणे सोपे आहे की फक्त x1 = 3 आम्हाला अनुकूल आहे आणि आम्ही ते अंतिम उत्तर म्हणून लिहितो.

भविष्यासाठी, खालील गोष्टी लक्षात ठेवणे खूप महत्वाचे आहे: आम्ही कोणतेही लॉगरिदमिक समीकरण 2 टप्प्यात सोडवतो. पहिले समीकरण स्वतः सोडवणे, दुसरे म्हणजे ODZ अट सोडवणे. दोन्ही टप्पे एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे केले जातात आणि उत्तर लिहितानाच तुलना केली जाते, म्हणजे. अनावश्यक सर्वकाही टाकून द्या आणि योग्य उत्तर लिहा.

सामग्री मजबूत करण्यासाठी, आम्ही व्हिडिओ पाहण्याची जोरदार शिफारस करतो:

व्हिडिओ लॉग सोडवण्याची इतर उदाहरणे दाखवते. समीकरणे आणि सराव मध्ये मध्यांतर पद्धत तयार करणे.

या प्रश्नाला, लॉगरिदमिक समीकरण कसे सोडवायचेसध्या एवढेच. जर काहीतरी लॉगद्वारे ठरवले असेल. समीकरणे अस्पष्ट किंवा समजण्यायोग्य राहतात, टिप्पण्यांमध्ये तुमचे प्रश्न लिहा.

टीप: सामाजिक शिक्षण अकादमी (ASE) नवीन विद्यार्थी स्वीकारण्यास तयार आहे.

उदाहरणे:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची:

लॉगरिदमिक समीकरण सोडवताना, तुम्ही त्याचे रूपांतर \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ मध्ये करण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे आणि नंतर \(f(x) मध्ये संक्रमण करा. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

उदाहरण:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

खूप महत्वाचे!हे संक्रमण केवळ तेव्हाच केले जाऊ शकते जेव्हा:

तुम्ही मूळ समीकरणासाठी लिहिले आहे आणि शेवटी तुम्ही ते DL मध्ये समाविष्ट केले आहेत का ते तपासाल. हे पूर्ण न केल्यास, अतिरिक्त मुळे दिसू शकतात, ज्याचा अर्थ चुकीचा निर्णय आहे.

डावीकडे आणि उजवीकडे संख्या (किंवा अभिव्यक्ती) समान आहे;

डावीकडे आणि उजवीकडे लॉगरिदम "शुद्ध" आहेत, म्हणजे, कोणतेही गुणाकार, भागाकार इत्यादी नसावेत. - समान चिन्हाच्या दोन्ही बाजूला फक्त एकल लॉगरिदम.

उदाहरणार्थ:

लॉगरिदमचे आवश्यक गुणधर्म लागू करून समीकरण 3 आणि 4 सहज सोडवता येतात हे लक्षात घ्या.

उदाहरण . समीकरण सोडवा \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

उपाय :

उत्तर द्या : \(5\)

उदाहरण : समीकरण सोडवा \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

उपाय :

उत्तर द्या : \(4\); \(2\).

मुख्य गुणधर्म.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान कारणे

Log6 4 + log6 9.

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, लॉगरिदमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x >

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या समान आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.

3.

4. कुठे .

उदाहरण 2. जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य देऊ

जर लॉग(x) ची गणना करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान आधारांसह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीची आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती मोजण्यात मदत करतील, जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नसले तरीही (“लोगॅरिथम म्हणजे काय” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्याची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो.

लॉगरिदम सूत्रे. लॉगरिदम उदाहरणे उपाय.

आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच परंपरागत आढळतात संख्यात्मक अभिव्यक्ती. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यांकन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या वितर्कातील घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, संख्या b ला अशा बळावर वाढवल्यास काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल, तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 आहे थेट परिणामव्याख्या पासून.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

a ला बेस करण्यासाठी b चा लॉगरिदम ही अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे x () पॉवर शोधणे ज्यावर समानता समाधानी आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

वरील गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे, कारण लॉगरिदमशी संबंधित जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे त्यांच्या आधारावर सोडविली जातात. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणितीय हाताळणीद्वारे मिळवता येतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदम (3.4) च्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्राची गणना करताना आपल्याला बरेचदा आढळते. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु अनेक कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात बेस अगदी दहा, घातांक किंवा दोन आहे.
लॉगरिथम ते बेस टेनला सामान्यतः दशांश लॉगरिदम म्हणतात आणि फक्त lg(x) द्वारे दर्शविले जाते.

रेकॉर्डिंगमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिल्या जात नसल्याचे रेकॉर्डिंगवरून स्पष्ट होते. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिथम हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार घातांक असतो (ln(x) द्वारे दर्शविला जातो).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, तुम्ही नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या बरोबरीचा आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

आणि बेस दोनचे दुसरे महत्त्वाचे लॉगरिदम द्वारे दर्शविले जाते

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने भागलेल्या एका समान असते

इंटिग्रल किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह लॉगरिथम संबंधांद्वारे निर्धारित केले जाते

लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी दिलेली सामग्री तुमच्यासाठी पुरेशी आहे. तुम्हाला सामग्री समजून घेण्यात मदत करण्यासाठी, मी काही सामान्य उदाहरणे देईन शालेय अभ्यासक्रमआणि विद्यापीठे.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या फरकाच्या गुणधर्मानुसार आपल्याकडे आहे

3.
गुणधर्म 3.5 वापरून आपण शोधतो

4. कुठे .

एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती अनेक नियम वापरून तयार करण्यासाठी सरलीकृत केली जाते

लॉगरिदम मूल्ये शोधत आहे

उदाहरण 2. जर x शोधा

उपाय. गणनासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्म 5 आणि 13 गुणधर्मांना लागू करतो

आम्ही ते रेकॉर्डवर ठेवले आणि शोक व्यक्त केला

बेस समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्ती समान करतो

लॉगरिदम. प्रवेश पातळी.

लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

उपाय: चला लॉगरिदम लिहिण्यासाठी व्हेरिएबलचा लॉगरिदम घेऊ.

लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दलच्या आमच्या परिचयाची ही फक्त सुरुवात आहे. गणनेचा सराव करा, तुमची व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला लवकरच मिळणारे ज्ञान आवश्यक असेल. अशी समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही तुमचे ज्ञान दुसऱ्या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयावर वाढवू - लॉगरिदमिक असमानता...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान आधारांसह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीची आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती मोजण्यात मदत करतील, जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नसले तरीही (“लोगॅरिथम म्हणजे काय” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्याची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो. आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यांकन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या वितर्कातील घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, संख्या b ला अशा बळावर वाढवल्यास काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल, तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.