वर्तुळाची भूमिती. भौमितिक आकार

धड्याचा विषय

भौमितिक आकार

भौमितिक आकृती म्हणजे काय

भौमितिक आकृत्या हे अनेक बिंदू, रेषा, पृष्ठभाग किंवा शरीरे यांचा संग्रह आहे जे पृष्ठभाग, समतल किंवा जागेवर स्थित आहेत आणि मर्यादित संख्येने रेषा तयार करतात.

"आकृती" हा शब्द काही प्रमाणात, बिंदूंच्या संचाला औपचारिकपणे लागू केला जातो, परंतु नियम म्हणून, आकृतीला सामान्यतः समतलावर स्थित आणि मर्यादित रेषांनी मर्यादित असलेला संच म्हणतात.

एक बिंदू आणि सरळ रेषा या विमानावर स्थित मूलभूत भौमितीय आकृत्या आहेत.

विमानावरील सर्वात सोप्या भौमितीय आकृत्यांमध्ये एक खंड, एक किरण आणि तुटलेली रेषा समाविष्ट आहे.

भूमिती म्हणजे काय

भूमिती हे गणितीय विज्ञान आहे जे भौमितिक आकृत्यांच्या गुणधर्मांच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे. जर आपण शब्दशः "भूमिती" शब्दाचा रशियन भाषेत अनुवाद केला तर त्याचा अर्थ "जमीन सर्वेक्षण" असा होतो कारण प्राचीन काळी विज्ञान म्हणून भूमितीचे मुख्य कार्य पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील अंतर आणि क्षेत्रांचे मोजमाप होते.

भूमितीचा व्यावहारिक उपयोग सर्व वेळी आणि व्यवसायाची पर्वा न करता अमूल्य आहे. भूमितीच्या ज्ञानाशिवाय कामगार, अभियंता, वास्तुविशारद किंवा कलाकार देखील करू शकत नाही.

भूमितीमध्ये एक विभाग आहे जो विमानावरील विविध आकृत्यांच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे आणि त्याला प्लॅनिमेट्री म्हणतात.

आपल्याला आधीच माहित आहे की आकृती ही विमानात स्थित बिंदूंचा अनियंत्रित संच आहे.

भौमितिक आकृत्यांमध्ये हे समाविष्ट आहे: बिंदू, सरळ रेषा, खंड, किरण, त्रिकोण, चौरस, वर्तुळ आणि इतर आकृत्या ज्यांचा प्लॅनिमेट्रीद्वारे अभ्यास केला जातो.

डॉट

वरील अभ्यासलेल्या सामग्रीवरून, तुम्हाला आधीच माहित आहे की बिंदू मुख्य भूमितीय आकृत्यांचा संदर्भ देतो. आणि जरी हे सर्वात लहान आहे भौमितिक आकृती, परंतु विमान, रेखाचित्र किंवा प्रतिमेवर इतर आकृत्या तयार करण्यासाठी ते आवश्यक आहे आणि इतर सर्व बांधकामांचा आधार आहे. शेवटी, अधिक जटिल भौमितीय आकृत्यांच्या बांधकामात दिलेल्या आकृतीचे वैशिष्ट्यपूर्ण अनेक गुण असतात.

भूमितीमध्ये, बिंदू मोठ्या अक्षरांद्वारे नियुक्त केले जातात. लॅटिन वर्णमाला, उदाहरणार्थ, जसे की: A, B, C, D....

आता आपण सारांश देऊ या, आणि म्हणून, गणिताच्या दृष्टिकोनातून, बिंदू ही अवकाशातील अशी एक अमूर्त वस्तू आहे ज्यामध्ये आकारमान, क्षेत्रफळ, लांबी आणि इतर वैशिष्ट्ये नाहीत, परंतु ती गणितातील मूलभूत संकल्पनांपैकी एक आहे. बिंदू ही एक शून्य-आयामी वस्तू आहे ज्याची कोणतीही व्याख्या नाही. युक्लिडच्या व्याख्येनुसार, बिंदू म्हणजे अशी गोष्ट जी परिभाषित केली जाऊ शकत नाही.

सरळ

एका बिंदूप्रमाणे, सरळ रेषा ही विमानावरील आकृत्यांचा संदर्भ देते, ज्याची कोणतीही व्याख्या नसते, कारण त्यात एका ओळीवर असीम असंख्य बिंदू असतात, ज्याची सुरुवात किंवा शेवट नाही. असा युक्तिवाद केला जाऊ शकतो की सरळ रेषा अनंत आहे आणि त्याला मर्यादा नाही.

जर एखादी सरळ रेषा एका बिंदूने सुरू होते आणि संपते, तर ती आता सरळ रेषा नसते आणि त्याला खंड म्हणतात.

परंतु काहीवेळा सरळ रेषेच्या एका बाजूला बिंदू असतो आणि दुसऱ्या बाजूला नसतो. या प्रकरणात, सरळ रेषा तुळईमध्ये बदलते.

जर तुम्ही एक सरळ रेषा घेतली आणि तिच्या मध्यभागी एक बिंदू ठेवला, तर ती सरळ रेषेला दोन विरुद्ध दिग्दर्शित किरणांमध्ये विभाजित करेल. हे किरण अतिरिक्त आहेत.

जर तुमच्या समोर अनेक सेगमेंट एकमेकांना जोडलेले असतील तर पहिल्या सेगमेंटचा शेवट दुसऱ्याची सुरूवात होईल आणि दुसऱ्या सेगमेंटचा शेवट तिसऱ्याची सुरूवात होईल आणि हे सेगमेंट नाहीत. त्याच सरळ रेषेवर आणि कनेक्ट केल्यावर एक सामान्य बिंदू असतो, तर अशी साखळी तुटलेली रेषा असते.

व्यायाम करा

कोणत्या तुटलेल्या रेषेला अनक्लोज्ड म्हणतात?
सरळ रेषा कशी नियुक्त केली जाते?
चार बंद दुवे असलेल्या तुटलेल्या ओळीचे नाव काय आहे?
तीन बंद लिंक असलेल्या तुटलेल्या रेषेचे नाव काय आहे?

जेव्हा तुटलेल्या रेषेच्या शेवटच्या सेगमेंटचा शेवट 1ल्या सेगमेंटच्या सुरूवातीशी जुळतो, तेव्हा अशा तुटलेल्या ओळीला बंद म्हणतात. बंद पॉलीलाइनचे उदाहरण म्हणजे कोणताही बहुभुज.

विमान

बिंदू आणि सरळ रेषेप्रमाणे, त्यामुळे एक समतल ही प्राथमिक संकल्पना आहे, त्याची कोणतीही व्याख्या नाही आणि ती सुरुवात किंवा शेवट दोन्ही पाहिली जाऊ शकत नाही. म्हणून, विमानाचा विचार करताना, आम्ही फक्त त्या भागाचा विचार करतो जो बंद तुटलेल्या रेषेद्वारे मर्यादित आहे. अशा प्रकारे, कोणतीही गुळगुळीत पृष्ठभाग एक विमान मानली जाऊ शकते. ही पृष्ठभाग कागदाची शीट किंवा टेबल असू शकते.

कोपरा

दोन किरण आणि शिरोबिंदू असलेल्या आकृतीला कोन म्हणतात. किरणांचे जंक्शन हा या कोनाचा शिरोबिंदू आहे आणि त्याच्या बाजू हा कोन तयार करणारे किरण आहेत.

व्यायाम:

1. मजकूरात कोन कसा दर्शविला जातो?
2. कोन मोजण्यासाठी तुम्ही कोणती एकके वापरू शकता?
3. कोन काय आहेत?

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोन आहे ज्याच्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समांतर असतात.

आयत, चौरस आणि समभुज चौकोन ही समांतरभुज चौकोनाची विशेष प्रकरणे आहेत.

९० अंशांच्या काटकोनांसह समांतरभुज चौकोन हा आयत आहे.

चौरस हा समान समांतरभुज चौकोन असतो; त्याचे कोन आणि बाजू समान असतात.

समभुज चौकोनाच्या व्याख्येसाठी, ही एक भौमितिक आकृती आहे ज्याच्या सर्व बाजू समान आहेत.

याव्यतिरिक्त, आपल्याला हे माहित असले पाहिजे की प्रत्येक चौरस एक समभुज चौकोन आहे, परंतु प्रत्येक समभुज चौकोन असू शकत नाही.

ट्रॅपेझॉइड

ट्रॅपेझॉइडसारख्या भौमितिक आकृतीचा विचार करताना, आपण असे म्हणू शकतो की, विशेषतः, चतुर्भुज प्रमाणे, त्याच्या समांतर विरुद्ध बाजूंची एक जोडी आहे आणि वक्र आहे.

वर्तुळ आणि वर्तुळ

वर्तुळ हे दिलेल्या बिंदूपासून समान अंतरावर असलेल्या समतल बिंदूंचे भौमितीय स्थान असते, ज्याला केंद्र म्हणतात, शून्य नसलेल्या अंतरावर, त्याची त्रिज्या म्हणतात.

त्रिकोण

तुम्ही आधीच अभ्यास केलेला त्रिकोणही साध्या भौमितिक आकृत्यांचा आहे. हे बहुभुजांच्या प्रकारांपैकी एक आहे ज्यामध्ये समतल भाग तीन बिंदूंनी मर्यादित आहे आणि या बिंदूंना जोड्यांमध्ये जोडणारे तीन विभाग आहेत. कोणत्याही त्रिकोणाला तीन शिरोबिंदू आणि तीन बाजू असतात.

व्यायाम:कोणत्या त्रिकोणाला डिजनरेट म्हणतात?

बहुभुज

बहुभुजांमध्ये भौमितिक आकारांचा समावेश होतो विविध रूपे, ज्यात बंद तुटलेली ओळ आहे.

बहुभुजात, विभागांना जोडणारे सर्व बिंदू त्याचे शिरोबिंदू असतात. आणि बहुभुज बनवणारे विभाग त्याच्या बाजू आहेत.

तुम्हाला माहित आहे का की भूमितीचा उदय शतकानुशतके मागे जातो आणि विविध हस्तकला, संस्कृती, कला आणि आसपासच्या जगाच्या निरीक्षणाशी संबंधित आहे. आणि भौमितिक आकृत्यांचे नाव याची पुष्टी आहे, कारण त्यांच्या अटी सारख्याच उद्भवल्या नाहीत, परंतु त्यांच्या समानतेमुळे आणि समानतेमुळे.

तथापि, प्राचीन ग्रीक भाषेतून “ट्रॅपेझियन” या शब्दावरून अनुवादित “ट्रॅपेझॉइड” या शब्दाचा अर्थ टेबल, जेवण आणि इतर व्युत्पन्न शब्द आहे.

"कोन" हा ग्रीक शब्द "कोनोस" पासून आला आहे, ज्याचा अर्थ पाइन शंकू आहे.

“लाइन” ला लॅटिन मुळे आहेत आणि “लिनम” या शब्दापासून आले आहेत, भाषांतरित ते तागाच्या धाग्यासारखे वाटते.

तुम्हाला माहित आहे का की जर तुम्ही समान परिमितीसह भौमितिक आकार घेतले तर त्यापैकी वर्तुळाचे क्षेत्रफळ सर्वात मोठे असेल.

आणि वर्तुळ- भौमितिक आकार एकमेकांशी जोडलेले. एक सीमा तुटलेली रेषा आहे (वक्र) वर्तुळ,

व्याख्या. वर्तुळ एक बंद वक्र आहे, ज्याचा प्रत्येक बिंदू वर्तुळाचे केंद्र म्हटल्या जाणाऱ्या बिंदूपासून समान अंतरावर असतो.

वर्तुळ तयार करण्यासाठी, एक अनियंत्रित बिंदू O निवडला जातो, वर्तुळाच्या मध्यभागी घेतला जातो आणि कंपास वापरून बंद रेषा काढली जाते.

जर वर्तुळाच्या मध्यभागी O बिंदू वर्तुळावरील अनियंत्रित बिंदूंशी जोडला असेल, तर सर्व परिणामी विभाग एकमेकांशी समान असतील आणि अशा विभागांना त्रिज्या म्हणतात, लॅटिन स्मॉल किंवा कॅपिटल अक्षर "er" ने संक्षिप्त केले आहे ( आरकिंवा आर). परिघामध्ये बिंदू असतील तितक्या त्रिज्या तुम्ही वर्तुळात काढू शकता.

वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणारा आणि त्याच्या मध्यभागी जाणाऱ्या खंडाला व्यास म्हणतात. व्यासाचादोन समाविष्टीत आहे त्रिज्या, त्याच सरळ रेषेवर पडलेले. व्यास लॅटिन स्मॉल किंवा कॅपिटल अक्षर "de" ने दर्शविला जातो ( dकिंवा डी).

नियम. व्यासाचावर्तुळ त्याच्या दोन समान आहे त्रिज्या.

d = 2r
D=2R

वर्तुळाचा घेर सूत्रानुसार मोजला जातो आणि तो वर्तुळाच्या त्रिज्या (व्यास) वर अवलंबून असतो. सूत्रामध्ये ¶ ही संख्या असते, जो परिघ त्याच्या व्यासापेक्षा किती पटीने जास्त आहे हे दाखवते. संख्या ¶ मध्ये दशांश स्थानांची असीम संख्या आहे. गणनेसाठी, ¶ = 3.14 घेतले होते.

वर्तुळाचा घेर लॅटिन कॅपिटल अक्षर "tse" (tse" द्वारे दर्शविला जातो. सी). वर्तुळाचा घेर त्याच्या व्यासाच्या प्रमाणात असतो. वर्तुळाच्या त्रिज्या आणि व्यासावर आधारित परिघाची गणना करण्यासाठी सूत्रे:

C = ¶d
C = 2¶r

उदाहरणे
दिलेले: d = 100 सेमी.
घेर: C=3.14*100cm=314cm
दिलेले: d = 25 मिमी.
घेर: C = 2 * 3.14 * 25 = 157 मिमी

वर्तुळाकार सेकंट आणि वर्तुळाकार चाप

प्रत्येक सेकंट (सरळ रेषा) वर्तुळाला दोन बिंदूंनी छेदते आणि त्याला दोन आर्क्समध्ये विभाजित करते. वर्तुळाच्या कमानीचा आकार मध्य आणि सेकंटमधील अंतरावर अवलंबून असतो आणि तो वर्तुळाच्या छेदनबिंदूच्या पहिल्या बिंदूपासून दुस-या बिंदूपर्यंत बंद वक्र बाजूने मोजला जातो.

आर्क्समंडळे विभागली आहेत secantजर सेकंट व्यासाशी जुळत नसेल तर मोठ्या आणि लहान मध्ये आणि जर सेकंट वर्तुळाच्या व्यासाच्या बाजूने जात असेल तर दोन समान आर्क्समध्ये.

जर एखादा भाग वर्तुळाच्या मध्यभागी जात असेल, तर वर्तुळाच्या छेदनबिंदूंच्या दरम्यान स्थित त्याचा विभाग वर्तुळाचा व्यास किंवा वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा आहे.

वर्तुळाच्या मध्यापासून सेकंट जितके दूर असेल तितके वर्तुळाच्या लहान कंसाचे अंश माप जितके लहान असेल आणि वर्तुळाचा मोठा कंस जितका मोठा असेल तितका भाग आणि सेकंटचा विभाग म्हणतात. जीवा, वर्तुळाच्या मध्यापासून सेकंट दूर जाताना कमी होते.

व्याख्या. वर्तुळ म्हणजे वर्तुळाच्या आत असलेल्या विमानाचा एक भाग.

वर्तुळाचे केंद्र, त्रिज्या आणि व्यास हे एकाच वेळी संबंधित वर्तुळाचे केंद्र, त्रिज्या आणि व्यास असतात.

वर्तुळ हे विमानाचा भाग असल्याने, त्याचे एक पॅरामीटर क्षेत्रफळ आहे.

नियम. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ ( एस) त्रिज्येच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या समान आहे ( आर २) क्रमांकावर ¶.

उदाहरणे
दिलेले: r = 100 सेमी
वर्तुळ क्षेत्र:
S = 3.14 * 100 सेमी * 100 सेमी = 31,400 सेमी 2 ≈ 3 मीटर 2
दिलेले: d = 50 मिमी
वर्तुळ क्षेत्र:
S = ¼ * 3.14 * 50 मिमी * 50 मिमी = 1,963 मिमी 2 ≈ 20 सेमी 2

वर्तुळातील दोन त्रिज्या वर्तुळावरील वेगवेगळ्या बिंदूंवर काढल्यास वर्तुळाचे दोन भाग तयार होतात, ज्यांना म्हणतात. क्षेत्रे. जर तुम्ही वर्तुळात जीवा काढली तर चाप आणि जीवा यांच्यामधील समतल भागाला म्हणतात. वर्तुळ विभाग.

गूढवाद, जादू आणि लोकांद्वारे जोडलेले प्राचीन अर्थ या दृष्टिकोनातून वर्तुळाचा आकार मनोरंजक आहे. आपल्या सभोवतालचे सर्व लहान घटक - अणू आणि रेणू - यांचा आकार गोल असतो. सूर्य गोल आहे, चंद्र गोल आहे, आपला ग्रह देखील गोल आहे. पाण्याचे रेणू - सर्व सजीवांचा आधार - देखील एक गोल आकार आहे. निसर्ग देखील वर्तुळांमध्ये त्याचे जीवन तयार करतो. उदाहरणार्थ, आपण पक्ष्यांच्या घरट्याबद्दल लक्षात ठेवू शकता - पक्षी देखील या स्वरूपात बनवतात.

संस्कृतींच्या प्राचीन विचारांमधील ही आकृती

वर्तुळ हे एकतेचे प्रतीक आहे. हे सर्व संस्कृतींमध्ये अनेक मिनिटांच्या तपशीलांमध्ये उपस्थित आहे. आपल्या पूर्वजांनी जेवढे महत्त्व दिले तेवढे आपण या रूपाला देत नाही.

प्राचीन काळापासून, वर्तुळ हे अंतहीन रेषेचे चिन्ह आहे, जे वेळ आणि अनंतकाळचे प्रतीक आहे. पूर्व-ख्रिश्चन काळात हे सूर्याच्या चाकाचे प्राचीन चिन्ह होते. मधील सर्व बिंदू समतुल्य आहेत, वर्तुळाच्या रेषेला सुरुवात किंवा शेवट नाही.

आणि वर्तुळाचे केंद्र मेसन्ससाठी जागा आणि वेळेच्या अंतहीन रोटेशनचे स्त्रोत होते. फ्रीमेसन्सच्या मते, वर्तुळ सर्व आकृत्यांचा शेवट आहे; घड्याळाच्या डायलचा आकार, ज्यामध्ये हा आकार देखील आहे, निर्गमन बिंदूवर अपरिहार्य परतावा दर्शवितो.

या आकृतीमध्ये एक खोल जादुई आणि गूढ रचना आहे, जी वेगवेगळ्या संस्कृतीतील लोकांच्या अनेक पिढ्यांनी संपन्न केली आहे. पण भूमितीतील आकृती म्हणून वर्तुळ म्हणजे काय?

वर्तुळ म्हणजे काय

वर्तुळाची संकल्पना बऱ्याचदा वर्तुळाच्या संकल्पनेसह गोंधळलेली असते. हे आश्चर्यकारक नाही, कारण ते एकमेकांशी खूप जवळून जोडलेले आहेत. त्यांची नावे सुद्धा सारखीच असतात, ज्यामुळे शाळकरी मुलांच्या अपरिपक्व मनात खूप गोंधळ निर्माण होतो. "कोण कोण आहे" हे शोधण्यासाठी या प्रश्नांकडे अधिक तपशीलवार पाहू या.

व्याख्येनुसार, वर्तुळ म्हणजे एक वक्र आहे जो बंद आहे आणि ज्याचा प्रत्येक बिंदू वर्तुळाचे केंद्र म्हटल्या जाणाऱ्या बिंदूपासून समान अंतरावर आहे.

आपल्याला काय माहित असणे आवश्यक आहे आणि आपण मंडळ तयार करण्यासाठी काय वापरू शकता

वर्तुळ तयार करण्यासाठी, एक अनियंत्रित बिंदू निवडणे पुरेसे आहे, ज्याला O म्हणून नियुक्त केले जाऊ शकते (अशा प्रकारे वर्तुळाच्या केंद्राला बहुतेक स्त्रोतांमध्ये म्हटले जाते, आम्ही पारंपारिक नोटेशन्सपासून विचलित होणार नाही). पुढील पायरी म्हणजे होकायंत्र वापरणे - एक ड्रॉइंग टूल, ज्यामध्ये दोन भाग असतात ज्यात एकतर सुई असते किंवा त्या प्रत्येकाला एक लेखन घटक जोडलेला असतो.

हे दोन भाग एकमेकांशी बिजागराने जोडलेले आहेत, जे तुम्हाला याच भागांच्या लांबीशी संबंधित विशिष्ट मर्यादेत अनियंत्रित त्रिज्या निवडण्याची परवानगी देतात. या उपकरणाच्या मदतीने, होकायंत्राची टीप एका अनियंत्रित बिंदू O वर स्थापित केली आहे आणि एक वक्र पेन्सिलने आधीच रेखांकित केले आहे, जे शेवटी वर्तुळ बनते.

वर्तुळाची परिमाणे काय आहेत?

जर आपण वर्तुळाच्या मध्यभागी आणि कंपाससह कार्य केल्यामुळे प्राप्त झालेल्या वक्रवरील कोणत्याही अनियंत्रित बिंदूला जोडण्यासाठी एक शासक वापरला तर आपल्याला असे सर्व विभाग मिळतात, ज्याला त्रिज्या म्हणतात, समान असतील. जर आपण वर्तुळावरील दोन बिंदू आणि केंद्र एका सरळ रेषेने जोडले तर आपल्याला त्याचा व्यास मिळेल.

वर्तुळ त्याच्या लांबीच्या गणनेद्वारे देखील दर्शविले जाते. ते शोधण्यासाठी, तुम्हाला वर्तुळाचा व्यास किंवा त्रिज्या माहित असणे आवश्यक आहे आणि खालील आकृतीमध्ये सादर केलेले सूत्र वापरणे आवश्यक आहे.

या सूत्रामध्ये, C हा परिघ आहे, r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे, d हा व्यास आहे आणि Pi हे 3.14 मूल्य असलेले स्थिरांक आहे.

तसे, स्थिर Pi फक्त वर्तुळातून मोजले गेले.

असे दिसून आले की वर्तुळाचा व्यास कितीही असला तरीही, परिघ आणि व्यासाचे गुणोत्तर समान आहे, अंदाजे 3.14 च्या समान आहे.

वर्तुळ आणि वर्तुळातील मुख्य फरक काय आहे?

मूलत: वर्तुळ ही एक रेषा असते. ही एक आकृती नाही, ती एक वक्र बंद रेषा आहे ज्याचा शेवट किंवा सुरुवात नाही. आणि त्याच्या आत असलेली जागा म्हणजे रिकामेपणा. वर्तुळाचे सर्वात सोपे उदाहरण म्हणजे हूप किंवा दुसऱ्या शब्दांत, हुला हूप, ज्याचा वापर मुले शारीरिक शिक्षण वर्गात करतात किंवा प्रौढ एक सडपातळ कमर तयार करण्यासाठी वापरतात.

आता आपण वर्तुळ म्हणजे काय या संकल्पनेकडे आलो आहोत. हे सर्व प्रथम एक आकृती आहे, म्हणजे, एका रेषेने बांधलेला बिंदूंचा एक निश्चित संच. वर्तुळाच्या बाबतीत, ही रेषा वर चर्चा केलेले वर्तुळ आहे. असे दिसून आले की वर्तुळ हे एक वर्तुळ आहे ज्याच्या मध्यभागी रिक्तपणा नाही, परंतु अंतराळातील अनेक बिंदू आहेत. जर आपण हुला हूपवर फॅब्रिक ताणले तर आपण ते यापुढे फिरवू शकणार नाही, कारण ते यापुढे वर्तुळ राहणार नाही - त्याची रिक्तता फॅब्रिकने, जागेच्या तुकड्याने बदलली आहे.

चला थेट वर्तुळाच्या संकल्पनेकडे जाऊया

वर्तुळ ही भौमितीय आकृती आहे जी वर्तुळाने बांधलेल्या विमानाचा भाग आहे. हे त्रिज्या आणि व्यास यासारख्या संकल्पनांनी देखील वैशिष्ट्यीकृत आहे, वर्तुळ परिभाषित करताना वर चर्चा केली आहे. आणि त्यांची गणना अगदी त्याच प्रकारे केली जाते. वर्तुळाची त्रिज्या आणि वर्तुळाची त्रिज्या आकाराने सारखीच असतात. त्यानुसार, व्यासाची लांबी देखील दोन्ही प्रकरणांमध्ये समान आहे.

वर्तुळ हे विमानाचा भाग असल्याने, ते क्षेत्रफळाच्या उपस्थितीने दर्शविले जाते. तुम्ही त्रिज्या आणि Pi वापरून त्याची पुन्हा गणना करू शकता. सूत्र असे दिसते (खालील चित्र पहा).

या सूत्रात S हे क्षेत्रफळ आहे, r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे. पाई पुन्हा समान स्थिरांक आहे, 3.14 च्या समान आहे.

वर्तुळ सूत्र, ज्याची गणना व्यास वापरून देखील केली जाऊ शकते, बदलते आणि खालील आकृतीमध्ये दर्शविलेले फॉर्म घेते.

त्रिज्या 1/2 व्यास आहे या वस्तुस्थितीवरून एक चतुर्थांश येतो. जर त्रिज्या स्क्वेअर केली असेल, तर असे दिसून येते की संबंध फॉर्ममध्ये बदलले आहे:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

वर्तुळ ही एक आकृती आहे ज्यामध्ये वैयक्तिक भाग, उदाहरणार्थ क्षेत्र, वेगळे केले जाऊ शकते. हे वर्तुळाच्या भागासारखे दिसते, जे एका चाप खंडाने मर्यादित आहे आणि त्याच्या मध्यभागी काढलेल्या दोन त्रिज्या आहेत.

दिलेल्या सेक्टरच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यास अनुमती देणारे सूत्र खालील आकृतीमध्ये सादर केले आहे.

बहुभुज समस्यांमध्ये आकार वापरणे

तसेच, वर्तुळ ही एक भौमितिक आकृती आहे जी सहसा इतर आकृत्यांच्या संयोगाने वापरली जाते. उदाहरणार्थ, त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड, चौरस किंवा समभुज चौकोन. बऱ्याचदा अशा समस्या असतात जिथे आपल्याला एका कोरलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असते किंवा त्याउलट, एखाद्या विशिष्ट आकृतीभोवती परिक्रमा केलेले असते.

कोरलेले वर्तुळ म्हणजे बहुभुजाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करणारे वर्तुळ. वर्तुळात कोणत्याही बहुभुजाच्या प्रत्येक बाजूला संपर्काचा बिंदू असणे आवश्यक आहे.

विशिष्ट प्रकारच्या बहुभुजासाठी, कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे निर्धारण द्वारे केले जाते स्वतंत्र नियम, जे भूमिती अभ्यासक्रमात स्पष्टपणे स्पष्ट केले आहे.

त्यापैकी काही उदाहरणे म्हणून आपण देऊ शकतो. बहुभुजांमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाचे सूत्र खालीलप्रमाणे मोजले जाऊ शकते (खालील फोटोमध्ये अनेक उदाहरणे दर्शविली आहेत).

वर्तुळ आणि वर्तुळ मधील फरक समजून घेण्यासाठी काही साधी वास्तविक उदाहरणे

आमच्या आधी ते उघडे असल्यास, हॅचचा लोखंडी रिम एक वर्तुळ आहे. जर ते बंद असेल तर झाकण वर्तुळ म्हणून कार्य करते.

वर्तुळाला कोणतीही अंगठी - सोने, चांदी किंवा दागिने देखील म्हटले जाऊ शकते. चाव्यांचा गुच्छ धरणारी अंगठी देखील एक वर्तुळ आहे.

पण रेफ्रिजरेटरवर एक गोल चुंबक, एक प्लेट किंवा आजीने भाजलेले पॅनकेक्स हे एक वर्तुळ आहे.

बाटली किंवा किलकिलेची मान वरून पाहिल्यास वर्तुळ असते, परंतु वरून पाहिल्यास ही मान बंद करणारे झाकण वर्तुळ असते.

अशी अनेक उदाहरणे दिली जाऊ शकतात आणि अशी सामग्री आत्मसात करण्यासाठी, ते दिले जाणे आवश्यक आहे जेणेकरून मुले सिद्धांत आणि सराव यांच्यातील संबंध अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेऊ शकतील.

आता कोन मिळविण्यासाठी भिन्न दृष्टीकोन स्थापित करणे शक्य आहे: प्रत्येक कोन एका बिंदूभोवती किरणांच्या परिभ्रमणाचा परिणाम मानला जाऊ शकतो. जर आपल्याकडे OA किरण असेल आणि त्याची सुरुवातीची स्थिती लक्षात घेऊन आपण त्याला O बिंदूभोवती (विमानाच्या बाजूने) फिरवायला सुरुवात केली, तर, उदाहरणार्थ, या फिरणाऱ्या किरणाच्या OM स्थितीवर पोहोचल्यावर, आपल्याला ∠AOM मिळते, जे या रोटेशनचा परिणाम आहे (चित्र 26).

या किरण OA च्या कोणत्याही बिंदू A कडे लक्ष दिल्यास, हा बिंदू किरणांच्या रोटेशन दरम्यान एका विशिष्ट रेषेचे वर्णन करतो. आपण त्याला “वर्तुळ” किंवा “वर्तुळ” म्हणतो. O आणि A हे बिंदू OA ची व्याख्या करत असल्याने, आम्ही विभाग त्याच्या एका टोकाजवळ फिरवून वर्तुळ मिळवण्याची शक्यता स्थापित करतो. आम्ही होकायंत्र वापरून वर्तुळ तयार करतो (होकायंत्राचे पाय काल्पनिक विभागाच्या टोकांसारखे असतात) आणि संज्ञा सादर करतो: केंद्र, त्रिज्या, व्यास, वर्तुळाचे क्षेत्र (किंवा वर्तुळ), या नावाने भाग. वर्तुळ (किंवा वर्तुळ), चाप आणि जीवा द्वारे मर्यादित विमानाचे. विमानाच्या सर्व बिंदूंचे विभाजन वर्तुळाच्या आत, वर्तुळावर आणि वर्तुळाच्या बाहेरील बिंदूंमध्ये सेट करणे देखील शक्य आहे. एका वर्तुळावर समान आणि असमान चाप असण्याची शक्यता स्थापित करणे देखील सोपे होईल.

म्हणून, आम्ही वर्तुळाला एक रेषा मानतो जी, उदाहरणार्थ, बिंदू A वर्णन करेल जेव्हा OA खंड O भोवती फिरतो (रेखांकन 27). परंतु हे स्पष्ट आहे की जर आपण त्रिज्या OB (आणि OA नाही) किंवा त्रिज्या OC किंवा OD इत्यादी पासून रोटेशन सुरू केले तर आपल्याला समान गोष्ट मिळेल. ही परिस्थिती वर्तुळाच्या सापेक्ष पूर्ण सममितीचे संकेत आहे. केंद्र (विद्यार्थ्यांसाठी या प्रकारची सममिती वाक्यांमध्ये व्यक्त केली जाते: "वर्तुळात, तुम्ही केंद्रातून कोठेही पहात असलात तरी, सर्व काही समान असले पाहिजे"). ही सममिती आम्हाला हे स्थापित करण्यास अनुमती देईल की, उदाहरणार्थ, जर आपण वर्तुळाच्या वेगवेगळ्या ठिकाणी समान जीवा (AB = CD = EF ...) बांधल्या (आणि होकायंत्राच्या मदतीने हे करणे सोपे आहे, रेखाचित्र 28) आणि या जीवांची टोके O केंद्राशी किरणांनी जोडली, तर आपल्याला समान चाप (◡AB = ◡CD = ◡EF = …) आणि समान मध्य कोन (∠AOB = ∠COD = ∠EOF = …) मिळतील. केंद्रात बांधणे शक्य असल्यास तेही स्पष्ट झाले आहे समान कोन, नंतर ते वर्तुळातून समान चाप कापून घेतील आणि या कमानींना वजा करून समान जीवा म्हणून परिभाषित करतील. तर, येथे अनेक तरतुदी स्थापित केल्या आहेत: वर्तुळातील समान मध्य कोन समान जीवा आणि समान आर्क्सशी संबंधित आहेत; समान जीवा (किंवा आर्क्स) समान मध्य कोनांशी संबंधित आहेत. हे देखील दिसून येते की मोठा मध्यवर्ती कोन मोठ्या चाप इत्यादीशी संबंधित आहे. यावर अधिक तपशीलवार विचार करण्याची गरज नाही, आणि त्याहूनही अधिक, या तरतुदींमधून प्रमेयांना अध्यापनशास्त्रीय लक्ष्याच्या अधीन करू नये; येथे उपलब्धी अशी आहे: प्रत्येक विद्यार्थ्याला हे स्पष्ट केले पाहिजे: 1) केंद्राच्या सापेक्ष वर्तुळाची सममिती साफ करा आणि 2) हे स्पष्ट आहे की वरील तरतुदी या सममितीनुसार आहेत.

प्रस्थापित गुणधर्मांचा वापर दिलेल्या एका समान कोन तयार करण्यासाठी केला जाऊ शकतो, प्रथम त्याच शिरोबिंदूवर, आणि नंतर जेव्हा ते स्पष्ट होते (आणि हे सहजतेने पार पाडताना) समान त्रिज्या असलेली वर्तुळे समान (एकरूप) असतात. भिन्न शिरोबिंदू (आकृती 29). चला ∠1; त्याच्या शिरोबिंदूला केंद्र मानून, आपण अनियंत्रित त्रिज्या असलेले वर्तुळ तयार करतो, या वर्तुळावर एक चाप MN (किंवा जीवा MN, रेखाचित्रात बांधलेली नाही) निर्धारित केली जाईल, कंपास वापरून आम्ही ही जीवा (किंवा चाप) वर हस्तांतरित करतो. वर्तुळावरील दुसरे ठिकाण, उदाहरणार्थ, M`N ` ठेवण्यासाठी, या जीवाचे टोक मध्यभागी जोडा, आणि आपल्याला ∠1 समान कोन मिळेल. मग आपण मध्यभागी दुसरा बिंदू (आणि बिंदू O नव्हे) घेऊन समान त्रिज्या असलेले वर्तुळ तयार करतो, त्यानंतर दुसऱ्या शिरोबिंदूवर ∠1 समान कोन मिळवणे शक्य आहे. (माझ्या अभ्यासक्रमात (एन. इझव्होल्स्की - “जॉमेट्री ऑन अ प्लेन”), एक वेगळी सिस्टीम निवडली गेली. अनुभव मला या पुस्तकात मांडलेल्या सिस्टीमची प्राधान्ये दाखवतो; म्हणून, “जॉमेट्री ऑन अ प्लेन” च्या 3ऱ्या आवृत्तीत मी ही प्रणाली वापरा.)व्यायाम सादर केले आहेत: 1) दिलेल्या शिरोबिंदूवर दिलेल्या एका समान कोन तयार करा जेणेकरून त्याची एक बाजू दिलेल्या किरणांच्या बाजूने जाईल; 2) दिलेल्या दोन कोनांची बेरीज किंवा फरक (वेगवेगळे शिरोबिंदू असलेले) तयार करा.

पुढे, सेगमेंट फिरवून वर्तुळ मिळवण्यावर आधारित, व्यासाच्या संदर्भात वर्तुळाची सममिती स्थापित करणे शक्य आहे: बाण 1 किंवा बाण 2 च्या बाजूने वर्तुळ मिळविण्यासाठी किरण OA फिरवावे याने काही फरक पडत नाही. (अंजीर 30). यावरून हे स्पष्ट होते की AB व्यासाच्या वेगवेगळ्या बाजूंवर स्थित वर्तुळाचे भाग एकसारखे आहेत: जर विमान AB व्यासाच्या बाजूने वाकले असेल, तर वर्तुळाचा एक भाग दुसऱ्या भागाशी एकरूप होईल.

सोयीस्करपणे, विद्यार्थ्यांना लहानपणातील त्यांच्या आवडत्या मनोरंजनांपैकी एकाची आठवण करून देणे (म्हणजे: कागदाच्या शीटवर शाईचे काही थेंब टाकणे, ते वाकणे, ते धुणे आणि पुन्हा उलगडणे, पट रेषेबद्दल सममितीय आकृती मिळवणे), येथे सेट करा. सामान्य संकल्पनाअक्षाच्या सापेक्ष आकृत्यांच्या सममितीबद्दल: जर, एका सरळ रेषेने विमान वाकवताना, आकृतीचा एक भाग दुसऱ्याशी जुळत असेल, तर ही आकृती वळणाच्या सरळ रेषेच्या किंवा या सरळ रेषेच्या संदर्भात सममितीय आहे (चा विक्षेपण) हा आकृतीच्या सममितीचा अक्ष आहे. वर्तुळासाठी, सममितीचा अक्ष कोणताही व्यास असू शकतो.

जर आपण आता दोन वर्तुळे असलेल्या आकृत्यांचा (ते वेगवेगळ्या प्रकारे बांधले जाऊ शकतात) विचारात घेतले, तर विद्यार्थ्यांना या प्रत्येक आकृतीचा सममितीचा अक्ष शोधता आला पाहिजे. येथे दोन वर्तुळांच्या छेदनबिंदूंच्या केंद्रांच्या रेषेच्या सापेक्ष सममिती स्पष्ट केली आहे.

वर्तुळ ही एक सपाट बंद रेषा आहे, ज्याचे सर्व बिंदू एका विशिष्ट बिंदूपासून (बिंदू O) समान अंतरावर आहेत, ज्याला वर्तुळाचे केंद्र म्हणतात.
(वर्तुळ ही एक भौमितिक आकृती आहे ज्यामध्ये दिलेल्या बिंदूपासून दिलेल्या अंतरावर स्थित सर्व बिंदू असतात.)

वर्तुळ बिंदू O द्वारे मर्यादित असलेल्या समतल भागाला वर्तुळाचे केंद्र देखील म्हणतात.

वर्तुळावरील एका बिंदूपासून त्याच्या केंद्रापर्यंतचे अंतर, तसेच वर्तुळाच्या मध्यभागाला त्याच्या बिंदूशी जोडणाऱ्या खंडाला त्रिज्या म्हणतात. वर्तुळ/वर्तुळ.
आपल्या जीवनात, कला, डिझाइनमध्ये वर्तुळ आणि घेर कसा वापरला जातो ते पहा.

जीवा - ग्रीक - एक स्ट्रिंग जी काहीतरी एकत्र बांधते
व्यासाचा - "मापन द्वारे"

गोल आकार

कोन सतत वाढत्या प्रमाणात येऊ शकतात आणि त्यानुसार, सतत वाढणारे वळण प्राप्त करू शकतात - जोपर्यंत ते पूर्णपणे अदृश्य होत नाहीत आणि विमान एक वर्तुळ बनते.हे एक अतिशय सोपे आणि त्याच वेळी अतिशय गुंतागुंतीचे प्रकरण आहे, ज्याबद्दल मी तपशीलवार बोलू इच्छितो. येथे हे लक्षात घेतले पाहिजे की साधेपणा आणि जटिलता दोन्ही कोनांच्या अनुपस्थितीमुळे आहेत. वर्तुळ सोपे आहे कारण त्याच्या सीमांचा दाब, आयताकृती आकारांच्या तुलनेत, समतल केला जातो - येथे फरक इतका मोठा नाही. हे गुंतागुंतीचे आहे कारण वरचा भाग अस्पष्टपणे डावीकडे आणि उजवीकडे आणि डावीकडे आणि उजवीकडे तळाशी वाहतो.

व्ही. कँडिन्स्की

IN प्राचीन ग्रीसवर्तुळ आणि घेर हे परिपूर्णतेचे मुकुट मानले गेले. खरंच, प्रत्येक बिंदूवर वर्तुळ त्याच प्रकारे व्यवस्थित केले जाते, जे त्यास स्वतःहून पुढे जाण्याची परवानगी देते. वर्तुळाच्या या गुणधर्मामुळे चाक शक्य झाले, कारण चाकाचा एक्सल आणि हब नेहमी संपर्कात असणे आवश्यक आहे.

शाळेत खूप अभ्यास केला जातो फायदेशीर गुणधर्ममंडळे सर्वात सुंदर प्रमेयांपैकी एक खालीलप्रमाणे आहे: दिलेल्या वर्तुळाला छेदणाऱ्या दिलेल्या बिंदूमधून एक रेषा काढा, त्यानंतर या बिंदूपासून ते अंतराचे गुणाकार सरळ रेषा असलेल्या वर्तुळाचे छेदनबिंदू सरळ रेषा नेमकी कशी काढली यावर अवलंबून नाही. हे प्रमेय सुमारे दोन हजार वर्षे जुने आहे.

अंजीर मध्ये. आकृती 2 दोन वर्तुळे आणि वर्तुळांची साखळी दाखवते, ज्यापैकी प्रत्येक या दोन वर्तुळांना स्पर्श करते आणि साखळीतील दोन शेजारी. स्विस भूमापक जेकब स्टेनरने सुमारे 150 वर्षांपूर्वी खालील विधान सिद्ध केले: जर साखळी तिसऱ्या वर्तुळाच्या विशिष्ट निवडीसाठी बंद असेल तर ती तिसऱ्या वर्तुळाच्या इतर कोणत्याही निवडीसाठी बंद केली जाईल. हे असे आहे की जर साखळी एकदा बंद केली नाही तर ती तिसऱ्या वर्तुळाच्या कोणत्याही निवडीसाठी बंद केली जाणार नाही. रंगवलेल्या कलाकारालाचित्रित साखळी, ती कार्य करण्यासाठी एखाद्याला कठोर परिश्रम करावे लागतील किंवा पहिल्या दोन वर्तुळांच्या स्थानाची गणना करण्यासाठी गणितज्ञांकडे वळावे लागेल, ज्यावर साखळी बंद आहे.

आम्ही प्रथम चाकाचा उल्लेख केला, परंतु चाकाच्या आधीही लोक गोल नोंदी वापरत- जड भार वाहून नेण्यासाठी रोलर्स.

गोल व्यतिरिक्त इतर काही आकाराचे रोलर्स वापरणे शक्य आहे का? जर्मनअभियंता फ्रांझ रेलो यांनी शोधून काढले की रोलर्स, ज्याचा आकार अंजीर मध्ये दर्शविला आहे, त्यांची मालमत्ता समान आहे. 3. ही आकृती समभुज त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंवर केंद्र असलेल्या वर्तुळांचे चाप रेखाटून, इतर दोन शिरोबिंदूंना जोडून प्राप्त होते. जर आपण या आकृतीला दोन समांतर स्पर्शिका काढल्या तर त्यातील अंतरते मूळ समभुज त्रिकोणाच्या बाजूच्या लांबीच्या समान असतील, म्हणून असे रोलर्स गोलपेक्षा वाईट नाहीत. नंतर, इतर आकृत्या शोधल्या गेल्या ज्या रोलर्स म्हणून काम करू शकतील.

एन्झ. "मी जग एक्सप्लोर करतो. गणित", 2006

प्रत्येक त्रिकोणामध्ये फक्त एकच असतो, नऊ पॉइंट वर्तुळ. याखालील तीन बिंदूंच्या त्रिगुणांमधून जाणारे एक वर्तुळ, ज्याची स्थाने त्रिकोणासाठी निर्धारित केली जातात: त्याच्या उंचीचे तळ D1 D2 आणि D3, त्याच्या मध्यकाचे तळ D4, D5 आणि D6त्याच्या उंचीच्या H च्या छेदनबिंदूपासून त्याच्या शिरोबिंदूपर्यंत सरळ विभागांचे D7, D8 आणि D9 चे मध्यबिंदू.

हे वर्तुळ, 18 व्या शतकात सापडले. एल. यूलर या महान शास्त्रज्ञाने (म्हणूनच याला अनेकदा युलरचे वर्तुळ देखील म्हटले जाते) पुढील शतकात जर्मनीतील प्रांतीय व्यायामशाळेतील शिक्षकाने पुन्हा शोधून काढले. या शिक्षकाचे नाव होते कार्ल फ्युअरबाख (तो प्रसिद्ध तत्त्ववेत्ता लुडविग फ्युअरबॅखचा भाऊ होता).याव्यतिरिक्त, K. Feuerbach ला आढळले की नऊ बिंदूंच्या वर्तुळात आणखी चार बिंदू आहेत जे कोणत्याही दिलेल्या त्रिकोणाच्या भूमितीशी जवळून संबंधित आहेत. हे एका विशिष्ट प्रकारच्या चार वर्तुळांशी त्याच्या संपर्काचे बिंदू आहेत. यापैकी एक वर्तुळ कोरलेले आहे, बाकीचे तीन वर्तुळे आहेत. ते त्रिकोणाच्या कोपऱ्यात कोरलेले आहेत आणि बाहेरून त्याच्या बाजूंना स्पर्श करतात. D10, D11, D12 आणि D13 या नऊ बिंदूंच्या वर्तुळांसह या वर्तुळांच्या संपर्काच्या बिंदूंना फ्युअरबॅक बिंदू म्हणतात. अशा प्रकारे, नऊ बिंदूंचे वर्तुळ हे प्रत्यक्षात तेरा बिंदूंचे वर्तुळ आहे.

जर तुम्हाला त्याचे दोन गुणधर्म माहित असतील तर हे वर्तुळ तयार करणे खूप सोपे आहे. प्रथम, नऊ बिंदूंच्या वर्तुळाचे केंद्र त्रिकोणाच्या परिमित वर्तुळाच्या मध्यभागी बिंदू H - त्याचे ऑर्थोसेंटर (त्याच्या उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू) सह जोडणाऱ्या खंडाच्या मध्यभागी आहे. दुसरे म्हणजे, दिलेल्या त्रिकोणासाठी तिची त्रिज्या तिच्याभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या अर्ध्या त्रिज्याएवढी असते.