Solusyon ng mga linear equation sa pamamagitan ng Gauss method. Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga ganoong halaga ng mga hindi alam na хi na ginagawang pagkakapantay-pantay ang bawat equation ng system).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi naaayon. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng solusyon sa anumang sistema linear na equation , na ang sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawang naa-access ito kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) Sa troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung ang matrix ay may (o may) proporsyonal (bilang espesyal na kaso ay pareho) mga string, pagkatapos ay sumusunod tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, ang mga pagbabagong elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direct move" - ​​​​gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down move ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation, maliban sa una, na may hindi kilalang x 1 ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang koepisyent sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

1. Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" move). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementary equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng payo ng ilang may-akda:

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Nagsasagawa kami ng reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibawas ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, makuha natin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isa ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficient.

Nagaasam ng iyong tagumpay! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

1. Sistema ng mga linear algebraic equation

1.1 Ang konsepto ng isang sistema ng mga linear algebraic equation

Ang isang sistema ng mga equation ay isang kondisyon na binubuo ng sabay-sabay na pagpapatupad ng ilang mga equation sa ilang mga variable. Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation (mula rito ay tinutukoy bilang SLAE) na naglalaman ng mga m equation at n hindi alam ay isang sistema ng anyo:

kung saan ang mga numero a ij ay tinatawag na mga coefficient ng system, ang mga numero b i ay mga libreng miyembro, aij at b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…, x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij ang unang index i ay tumutukoy sa bilang ng equation, at ang pangalawang index j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito. Napapailalim sa paghahanap ng numero x n . Maginhawang isulat ang gayong sistema sa isang compact na form ng matrix: AX=B. Narito ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng system, na tinatawag na pangunahing matrix;

Ang produkto ng mga matrice A * X ay tinukoy, dahil mayroong maraming mga haligi sa matrix A na may mga hilera sa matrix X (n piraso).

Ang pinalawig na matrix ng system ay ang matrix A ng system, na pupunan ng isang column ng mga libreng termino

1.2 Solusyon ng isang sistema ng mga linear algebraic equation

Ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay isang nakaayos na hanay ng mga numero (mga halaga ng mga variable), kapag pinapalitan ang mga ito sa halip na mga variable, ang bawat isa sa mga equation ng system ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang solusyon ng system ay n mga halaga ng hindi alam na x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, na pinapalitan kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Ang anumang solusyon ng system ay maaaring isulat bilang isang matrix-column

Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na pare-pareho kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon, at hindi pare-pareho kung wala itong mga solusyon.

Ang magkasanib na sistema ay tinatawag na tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi tiyak kung mayroon itong higit sa isang solusyon. Sa huling kaso, ang bawat isa sa mga solusyon nito ay tinatawag na isang partikular na solusyon ng system. Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon ay tinatawag na pangkalahatang solusyon.

Upang malutas ang isang sistema ay nangangahulugan na malaman kung ito ay pare-pareho o hindi pare-pareho. Kung tugma ang system, hanapin ang pangkalahatang solusyon nito.

Dalawang sistema ay tinatawag na katumbas (katumbas) kung mayroon silang parehong pangkalahatang solusyon. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon sa isa sa mga ito ay solusyon sa isa pa, at kabaliktaran.

Isang pagbabagong-anyo, ang aplikasyon nito ay nagiging sistema bagong sistema, katumbas ng orihinal, ay tinatawag na katumbas o katumbas na pagbabago. Ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo ay maaaring magsilbi bilang mga halimbawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo: pagpapalit ng dalawang equation ng system, pagpapalit ng dalawang hindi alam kasama ng mga coefficient ng lahat ng equation, pagpaparami ng parehong bahagi ng anumang equation ng system sa isang non-zero na numero.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero:

Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil ang x1=x2=x3=…=xn=0 ay isang solusyon sa system. Ang solusyon na ito ay tinatawag na null o trivial.

2. Paraan ng pag-aalis ng Gaussian

2.1 Ang kakanyahan ng paraan ng pag-aalis ng Gaussian

Ang klasikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam - Pamamaraan ng Gauss(Tinatawag din itong Gaussian elimination method). Ito ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable, kapag, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped (o triangular) na anyo, kung saan ang lahat ng iba pang mga variable ay matatagpuan nang sunud-sunod, simula sa huling (ayon sa bilang) mga variable.

Ang proseso ng solusyon sa Gaussian ay binubuo ng dalawang yugto: pasulong at paatras na paggalaw.

1. Direktang galaw.

Sa unang yugto, ang tinatawag na direktang paglipat ay isinasagawa, kapag, sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago sa mga hilera, ang sistema ay dinadala sa isang stepped o triangular na anyo, o ito ay itinatag na ang sistema ay hindi naaayon. Ibig sabihin, kabilang sa mga elemento ng unang hanay ng matrix, ang isang hindi zero na isa ay pinili, ito ay inilipat sa pinakamataas na posisyon sa pamamagitan ng pag-permute ng mga hilera, at ang unang hilera na nakuha pagkatapos ng permutation ay ibawas mula sa natitirang mga hilera, pagpaparami nito sa pamamagitan ng isang halaga na katumbas ng ratio ng unang elemento ng bawat isa sa mga hilera na ito sa unang elemento ng unang hilera, na nagse-zero kaya ang column sa ibaba nito.

Matapos magawa ang mga ipinahiwatig na pagbabago, ang unang hilera at ang unang hanay ay itatawid sa isip at magpapatuloy hanggang sa mananatili ang isang zero-size na matrix. Kung sa ilan sa mga pag-ulit sa mga elemento ng unang hanay ay hindi natagpuan ang isang di-zero, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hanay at magsagawa ng katulad na operasyon.

Sa unang yugto (pasulong na pagtakbo), ang sistema ay nabawasan sa isang stepped (sa partikular, triangular) na anyo.

Ang sistema sa ibaba ay hakbang-hakbang:

Ang mga coefficients aii ay tinatawag na pangunahing (nangungunang) elemento ng system.

Binabago namin ang system sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi kilalang x1 sa lahat ng equation maliban sa una (gamit ang elementarya na pagbabago ng system). Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakukuha namin ang katumbas na sistema:

Kaya, sa unang hakbang, ang lahat ng mga coefficient sa ilalim ng unang nangungunang elemento a 11 ay nawasak

Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system sa isang stepwise form, lilitaw ang mga zero equation, i.e. equalities ng form 0=0, itinatapon ang mga ito. Kung mayroong isang equation ng form

Kinukumpleto nito ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss.

2. Baliktarin ang paggalaw.

Sa ikalawang yugto, ang tinatawag na reverse move ay isinasagawa, ang kakanyahan nito ay upang ipahayag ang lahat ng mga nagresultang pangunahing mga variable sa mga tuntunin ng mga di-basic at bumuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, o, kung ang lahat ng mga variable ay basic, pagkatapos ay ipahayag sa numero ang tanging solusyon sa sistema ng mga linear na equation.

Ang pamamaraang ito ay nagsisimula sa huling equation, kung saan ang kaukulang pangunahing variable ay ipinahayag (mayroong isa lamang sa loob nito) at pinapalitan sa mga nakaraang equation, at iba pa, na umaakyat sa "mga hakbang".

Ang bawat linya ay tumutugma sa eksaktong isang pangunahing variable, kaya sa bawat hakbang, maliban sa huli (pinakamataas), eksaktong inuulit ng sitwasyon ang kaso ng huling linya.

Tandaan: sa pagsasagawa, mas maginhawang magtrabaho hindi kasama ang system, ngunit kasama ang pinahabang matrix nito, na gumaganap ng lahat ng elementarya na pagbabago sa mga hilera nito. Maginhawa na ang coefficient a11 ay katumbas ng 1 (muling ayusin ang mga equation, o hatiin ang magkabilang panig ng equation sa a11).

2.2 Mga halimbawa ng paglutas ng SLAE sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa seksyong ito, tatlo iba't ibang halimbawa Ipakita natin kung paano malulutas ang SLAE sa pamamaraang Gauss.

Halimbawa 1. Lutasin ang SLAE ng 3rd order.

Itakda ang mga coefficient sa zero sa

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga ganoong halaga ng mga hindi alam na хi na ginagawang pagkakapantay-pantay ang bawat equation ng system).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi naaayon. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na ang sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawang naa-access ito kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) Sa troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung mayroong (o may) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, ang mga pagbabagong elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direct move" - ​​​​gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down move ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation, maliban sa una, na may hindi kilalang x 1 ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang koepisyent sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

1. Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" move). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementary equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng payo ng ilang may-akda:

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Nagsasagawa kami ng reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibawas ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, makuha natin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isa ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficient.

Nagaasam ng iyong tagumpay! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Gauss method ay madali! Bakit? Ang sikat na German mathematician na si Johann Carl Friedrich Gauss ay nakatanggap ng pagkilala sa kanyang buhay ang pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, isang henyo at maging ang palayaw ng "Hari ng Matematika". At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga suckers, kundi pati na rin ang mga henyo ay nakapasok sa pera - ang larawan ni Gauss na ipinagmamalaki sa isang kuwenta ng 10 Deutschmarks (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay misteryosong ngumiti sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo.

Ang pamamaraang Gauss ay simple dahil SAPAT NA ANG KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL upang makabisado ito. Dapat marunong magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay madalas na isinasaalang-alang ng mga guro sa mga elective na matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit ang pamamaraang Gauss ay nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong sabihin sa isang naa-access na form tungkol sa algorithm ng pamamaraan.

Una, i-systematize namin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation nang kaunti. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng natatanging solusyon.
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).

Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at versatile na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sabagay humantong kami sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang artikulo ay nakalaan para sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana sa parehong paraan sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?
at lutasin ito gamit ang Gaussian method.

Ang unang hakbang ay magsulat pinahabang sistema ng matrix:
. Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga coefficient ay naitala, sa palagay ko ay makikita ng lahat. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang mathematical na kahulugan - ito ay isang strikethrough lamang para sa kadalian ng disenyo.

Sanggunian :Inirerekomenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito, ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix ay ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng termino, sa kasong ito: . Anuman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng matrix para sa kaiklian.

Matapos isulat ang pinahabang matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na pagbabagong elementarya:

1) Mga string matrice pwede muling ayusin mga lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong ligtas na muling ayusin ang una at pangalawang hilera:

2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Sa matrix na ito, ang huling tatlong hanay ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: .

3) Kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan mga zero lang.

4) Ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) para sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya ng -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: . Ang pagkilos na ito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.

5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa hilera ng matrix, maaari mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Isaalang-alang ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko nang detalyado ang pagbabago. I-multiply ang unang hilera sa -2: , at sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya na pinarami ng -2: . Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" ng -2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADDED LI – hindi nagbago. Ay laging ang linya ay binago, KUNG SAAN DAGDAG UT.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi sila nagpinta sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli:

Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang hilera na pinarami ng -2. Ang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay katulad nito:

"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang hilera: »

Unang column muna. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang yunit sa itaas ng -2:, at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (-2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas -1 beses -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“At ang ikatlong column. Sa itaas -5 beses -2: . Idinagdag ko ang unang linya sa pangalawang linya: -7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Mangyaring pag-isipang mabuti ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, ang paraan ng Gauss ay halos "nasa iyong bulsa". Ngunit, siyempre, ginagawa pa rin namin ang pagbabagong ito.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation

! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinigay "sa pamamagitan ng kanilang mga sarili". Halimbawa, na may "classic" matrice sa anumang kaso dapat mong muling ayusin ang isang bagay sa loob ng mga matrice!

Balik tayo sa ating sistema. Halos pira-piraso na siya.

Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang elementary transformations, bawasan ito sa stepped view:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. At muli: bakit natin pinarami ang unang hilera sa -2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya.

(2) Hatiin ang pangalawang hanay ng 3.

Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya – i-convert ang matrix sa step form: . Sa disenyo ng gawain, direktang inilabas nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal; sa siyentipiko at pang-edukasyon na panitikan, madalas itong tinatawag trapezoidal view o tatsulok na view.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba pataas, ang prosesong ito ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Sa mas mababang equation, mayroon na tayong natapos na resulta: .

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan na ito kilalang halaga"yig":

Isaalang-alang ang pinakakaraniwang sitwasyon kapag ang Gaussian method ay kinakailangan upang malutas tatlo linear equation sa tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method:

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa kurso ng solusyon:

At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimulang kumilos?

Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero:

Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, ang -1 (at kung minsan ay iba pang mga numero) ay babagay din, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isang yunit ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.

Nakaayos ang unit sa kaliwang itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Ang mga zero ay nakuha lamang sa tulong ng isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -2: (-2, -4, 2, -18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa pag-iisip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya, na pinarami na ng -2:

Ang resulta ay nakasulat sa pangalawang linya:

Katulad nito, haharapin natin ang ikatlong linya (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -3: (-3, -6, 3, -27). At sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng -3:

Ang resulta ay nakasulat sa ikatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa sa salita at nakasulat sa isang hakbang:

Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "insertion" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una naming isusulat muli ang unang linya, at tahimik na pumuputok - KONSISTENTO at MAINGAT:


At naisip ko na ang mental na kurso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin, hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya sa pamamagitan ng -2, dahil mas maliit ang numero, ang mas madaling solusyon:

Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, isa pang zero ang dapat makuha dito:

Para dito sa ikatlong linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -2:


Subukang i-parse ang aksyon na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at isagawa ang karagdagan.

Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na paunang sistema ng mga linear equation:

Malamig.

Ngayon ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba pataas.

Sa ikatlong equation, mayroon na tayong natapos na resulta:

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "z" ay kilala na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Y" at "Z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation, posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, hindi ito mahirap at mabilis.

Halimbawa 2

Ito ay isang halimbawa para sa malayang solusyon, isang sample na pagtatapos, at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Dapat tandaan na ang iyong kurso ng aksyon maaaring hindi tumutugma sa aking kilos, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito:
(1) Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Maaaring magsagawa ng karagdagang galaw ang sinumang gustong makakuha ng +1: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

(2) Ang unang hilera na pinarami ng 5 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

(3) Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

(4) Ang pangalawang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ikatlong linya.

(5) Ang ikatlong hanay ay hinati ng 3.

Ang isang masamang senyales na nagpapahiwatig ng isang error sa pagkalkula (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" bottom line. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng nasa ibaba, at, nang naaayon, , pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na mapagtatalunan na ang isang pagkakamali ay ginawa sa kurso ng mga pagbabagong elementarya.

Sinisingil namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba pataas. Oo, narito ang isang regalo:

Sagot: .

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa akin.

Sa huling bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang mga tampok ng algorithm ng Gauss.
Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa:

Paano isulat nang tama ang augmented matrix ng system? Napag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable:

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang hanay, at mayroong mas kaunting mga pagbabagong elementarya upang maisagawa.

Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang mayroong iba pang mga numero? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: .

Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming isang deuce. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at isa pang dalawa at anim. At ang deuce sa kaliwang tuktok ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabago: idagdag ang unang linya na pinarami ng -1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Kaya, makukuha natin ang ninanais na mga zero sa unang hanay.

O isa pang hypothetical na halimbawa: . Dito, ang triple sa pangalawang "rung" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati sa 3 nang walang natitira. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng -4, bilang isang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.

Ang paraan ng Gauss ay unibersal, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan kung paano lutasin ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal mula sa unang pagkakataon - mayroong isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa paraan ng Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 mga sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring may pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat higit pa kumplikadong halimbawa para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng apat na linear equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method.

Ang ganitong gawain sa pagsasanay ay hindi gaanong bihira. Sa palagay ko, kahit na ang isang teapot na nag-aral ng pahinang ito nang detalyado ay nauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Karaniwang pareho - mas maraming aksyon.

Ang mga kaso kung saan ang system ay walang mga solusyon (hindi pare-pareho) o may walang katapusan na maraming solusyon ay isinasaalang-alang sa aralin Mga hindi magkatugma na mga sistema at sistema na may pangkalahatang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gauss.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form.


Nagsagawa ng mga pagbabagong elementarya:
(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. Pansin! Dito ay maaaring maging kaakit-akit na ibawas ang una mula sa ikatlong linya, hindi ko inirerekumenda ang pagbabawas - ang panganib ng error ay lubhang tumataas. Tupi lang tayo!
(2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na. tala na sa "mga hakbang" ay nasisiyahan tayo hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa.
(3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 5.
(4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.

Baliktad na galaw:

Sagot: .

Halimbawa 4: Solusyon : Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion:
(1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang".
(2) Ang unang hilera na pinarami ng 7 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

Sa pangalawang "hakbang" ang lahat ay mas masahol pa , ang "mga kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit

(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.
(4) Ang ikatlong linya, na pinarami ng -3, ay idinagdag sa pangalawang linya.
(3) Ang pangalawang linya na pinarami ng 4 ay idinagdag sa ikatlong linya. Ang pangalawang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa ikaapat na linya.
(4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa halip na ang ikatlong linya.
(5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -5.

Baliktad na galaw:

Paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method. Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa system mula sa n linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay binubuo sa sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi kilalang variable: una, ang x 1 mula sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x2 ng lahat ng mga equation, simula sa pangatlo, at iba pa, hanggang sa ang hindi kilalang variable na lang ang nananatili sa huling equation x n. Ang ganitong proseso ng pagbabago ng mga equation ng system para sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss. Matapos makumpleto ang pasulong na paglipat ng pamamaraang Gauss, mula sa huling equation na nakita namin x n, gamit ang halagang ito mula sa penultimate equation ay kinakalkula xn-1, at iba pa, mula sa unang equation ay matatagpuan x 1. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, idagdag ang unang equation na pinarami sa pangalawang equation ng system, idagdag ang unang na-multiply sa ikatlong equation, at iba pa, sa n-ika idagdag ang unang equation, na pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a .

Darating tayo sa parehong resulta kung ipahayag natin x 1 sa pamamagitan ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at ang resultang expression ay pinalitan sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya ang variable x 1 hindi kasama sa lahat ng equation, simula sa pangalawa.

Susunod, kumilos kami nang katulad, ngunit sa isang bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang multiply sa sa ikatlong equation ng system, idagdag ang pangalawang multiply sa ikaapat na equation, at iba pa, sa n-ika idagdag ang pangalawang equation, na pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a . Kaya ang variable x2 hindi kasama sa lahat ng equation, simula sa pangatlo.

Susunod, magpatuloy kami sa pag-aalis ng hindi alam x 3, habang kami ay kumikilos nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss hanggang sa makuha ng system ang form

Mula sa sandaling ito, sinisimulan natin ang reverse course ng Gauss method: kinakalkula natin x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga x n hanapin xn-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, makikita natin x 1 mula sa unang equation.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Equation Gaussian na pamamaraan.