Ми знаємо, що таке конус, спробуємо знайти площу поверхні. Навіщо треба вирішувати таке завдання? Наприклад, потрібно зрозуміти, скільки тіста піде на виготовлення вафельного ріжка? Або скільки цеглини знадобиться, щоб скласти цегляний дах замку?
Виміряти площу бічної поверхні конуса просто так не вдасться. Але уявимо собі той самий ріжок, обмотаний тканиною. Щоб знайти площу шматка тканини, потрібно розрізати та розкласти її на столі. Вийде плоска фігура, її площу ми зможемо знайти.
Рис. 1. Розріз конуса за твірною
Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхнюуздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).
Тепер "розмотаємо" бічну поверхню на площину. Отримуємо сектор. Центр цього сектора - вершина конуса, радіус сектора дорівнює утворює конуса, а довжина його дуги збігається з довжиною кола основи конуса. Такий сектор називається розгорткою бічної поверхні конуса (див. мал. 2).
Рис. 2. Розгорнення бічної поверхні
Рис. 3. Вимірювання кута в радіанах
Спробуємо знайти площу сектора за наявними даними. Спочатку введемо позначення: нехай кут при вершині сектора в радіанах (див. рис. 3).
З кутом при вершині розгортки нам доведеться часто стикатися у завданнях. Поки що спробуємо відповісти на запитання: а чи не може цей кут вийти більший за 360 градусів? Тобто, чи не вийде так, що розгортка накладеться сама на себе? Звичайно ж ні. Доведемо це математично. Нехай розгортка "наклалася" сама на себе. Це означає, що довжина дуги розгортки більша за довжину кола радіуса . Але, як було зазначено, довжина дуги розгортки є довжина кола радіуса . А радіус основи конуса, зрозуміло, менше утворює, наприклад, тому, що катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу.
Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .
У нашому випадку роль відіграє , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:
Остаточно отримуємо: .
Поряд із площею бічної поверхні можна знайти і площу повної поверхні. Для цього до площі бічної поверхні треба додати площу основи. Але основа - це коло радіусу, чия площа за формулою дорівнює.
Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.
Розв'яжемо пару задач на наведені формули.
Рис. 4. Шуканий кут
Приклад 1. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор із кутом при вершині. Знайти цей кут, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи дорівнює 3 см (див. рис. 4).
Рис. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус
Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі, ми знаємо, що .
Приклад 2. Площа осьового перерізу конуса дорівнює, висота дорівнює. Знайти площу повної поверхні (див. рис. 6).
Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.
Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса або площу сфери – вважайте, що пощастило.
Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.
Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цьому завданні, – знизу.
2. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?
Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого кола в раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.
Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у задачах частини У варіантів ЄДІ з математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких задачах завдання формулюється, наприклад, так: «Знайди площу бічної поверхні циліндра, поділену на».
А де ще застосовуються формули обсягу і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.
Тут представлені завдання з конусами, умова пов'язана з площею поверхні. Зокрема в деяких завданнях стоїть питання про зміну площі зі збільшенням (зменшенням) висоти конуса або радіуса його основи. Теорія на вирішення завдань в . Розглянемо такі завдання:
27135. Довжина кола основи конуса дорівнює 3, що утворює рівну 2. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює:
Підставляємо дані:
75697. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворює збільшити у 36 разів, а радіус основи залишиться тим самим?
Площа бічної поверхні конуса:
Утворювальна збільшується в 36 разів. Радіус залишився тим самим, отже довжина кола основи не змінилася.
Значить площа бічної поверхні зміненого конуса матиме вигляд:
Таким чином, вона збільшиться у 36 разів.
*Залежність прямолінійна, тому це завдання легко можна вирішити усно.
27137. У скільки разів зменшиться площа бічної поверхні конуса, якщо радіус його підстави зменшити у 1,5 раза?
Площа бічної поверхні конуса дорівнює:
Радіус зменшується в 1,5 рази, тобто:
Отримали, що площа бічної поверхні зменшилася у 1,5 рази.
27159. Висота конуса дорівнює 6, що утворює рівну 10. Знайдіть площу його повної поверхні, поділену на Пі.
Повна поверхня конуса:
Необхідно знайти радіус:
Відома висота і твірна, за теоремою Піфагора обчислимо радіус:
Таким чином:
Отриманий результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.
76299. Площа повної поверхні конуса дорівнює 108. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.
Перетин проходить через середину висоти паралельно до основи. Значить радіус основи і утворює відсіченого конуса будуть у 2 рази менші за радіус і утворюють вихідний конус. Запишемо чому дорівнює площа поверхні відсіченого конуса:
Отримали, що вона буде в 4 рази менша за площу поверхні вихідного, тобто 108:4 = 27.
*Оскільки вихідний і відтятий конус є подібними тілами, то також можна було скористатися властивістю подібності:
27167. Радіус основи конуса дорівнює 3, висота дорівнює 4. Знайдіть площу повної поверхні конуса, поділену на Пі.
Формула повної поверхні конуса:
Радіус відомий, необхідно знайти утворюючу. 
За теоремою Піфагора:
Таким чином:
Результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.
Завдання. Площа бічної поверхні конуса в чотири рази більша за площу основи. Знайдіть чому дорівнює косинус кута між утворюючим конусом і площиною основи.
Площа основи конуса дорівнює: 
Тобто косинус дорівнюватиме:
Відповідь: 0,25
Вирішити самостійно:
27136. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворювальну збільшити втричі?
27160. Площа бічної поверхні конуса вдвічі більша за площу основи. Знайдіть кут між утворюючим конусом і площиною основи. Відповідь дайте у градусах. .
27161. Площа повної поверхні конуса дорівнює 12. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.
На цьому все. Успіху вам!
З повагою, Олександр.
*Діліться з друзями інформацією про сайт через соціальні мережі.