Прямокутна ізометрія характеризується тим, що коефіцієнти спотворення становлять 0,82. Їх одержують із співвідношення (1).

Для прямокутної ізометрії із співвідношення (1) отримуємо:

Зu 2 = 2, або і = v - w = (2/3) 1/2 = 0,82, тобто відрізок координатної осі

довжиною 100 мм у прямокутній ізометрії відобразиться відрізком аксонометричної осі довжиною 82 мм. При практичних побудовах користуватися такими коефіцієнтами спотворення не дуже зручно, тому ГОСТ 2.317-69 рекомендує користуватися наведеними коефіцієнтами спотворення:

і = v = w - 1.

Побудоване таким чином зображення буде більшим за сам предмет у 1,22 рази, тобто масштаб зображення у прямокутній ізометрії буде М А 1,22: 1.

Аксонометричні осі у прямокутній ізометрії розташовуються під кутом 120° один до одного (рис. 157). Зображення кола в аксонометрії представляє інтерес, особливий

але кіл, що належать координатним або їм паралельним площинам.

У загальному випадку коло проектується в еліпс, якщо площина кола розташована під кутом до площини проекції (див. § 43). Отже, аксонометрією кола буде еліпс. Для побудови прямокутної аксонометрії кіл, що лежать у координатних або ним паралельних площинах, керуються правилом: велика вісь еліпса перпендикулярна аксонометрії тієї координатної осі, яка відсутня в площині кола.

У прямокутній ізометрії рівні кола, розташовані в координатних площинах, проектуються на рівні еліпси (рис. 158).

Розміри осей еліпсів під час використання наведених коефіцієнтів спотворення рівні: велика вісь 2а= 1,22d, мала вісь 2b = 0,71d, де d- Діаметр зображуваного кола.

Діаметри кіл, паралельних координатним осям, проектуються відрізками, паралельними ізометричним осям, і зображуються рівними діаметру кола: l 1 =l 2 =l 3 = d, при цьому

l 1 ||x; l 2 ||y; l 3 ||z.

Еліпс, як ізометрію кола, можна побудувати по восьми точках, що обмежують його велику та малу осі та проекції діаметрів, паралельних координатним осям.

У практиці інженерної графіки еліпс, що є ізометрією кола, що лежить в координатній або їй паралельній площині, можна замінити чотирицентровим овалом, що має такі самі

осі: 2 a= 1,22d та 2b = 0,71 d.На рис. 159 показано побудову осей такого овалу для ізометрії кола діаметра d.

Для побудови аксонометрії кола, розташованої в проецірующей площині або площині загального положення, потрібно виділити на колі кілька точок, побудувати аксонометрію цих точок і з'єднати їх плавною кривою; отримаємо шуканий еліпс-аксонометрію кола (рис. 160).

На колі, розташованому в горизонтально проецірующій площині, взято 8 точок (1,2,... 8). Саме коло віднесене до натуральної системи координат (рис. 160, а). Проводимо осі еліпса прямокутної ізометрії і, використовуючи наведені коефіцієнти спотворення, будуємо вторинну проекцію кола 1 1 1 ,..., 5 1 1 за координатами хі у(Рис. 160, б).Добудовуючи аксонометричні координатні ламані для кожної з восьми точок, отримуємо їх ізометрію (1 1, 2 1, ... 8 1). З'єднуємо плавний кривий ізометричні проекції всіх точок і отримуємо ізометрію заданого кола.

Зображення геометричних поверхонь у прямокутній ізометрії розглянемо з прикладу побудови стандартної прямокутної ізометрії усіченого прямого кругового конуса (рис. 161).

На комплексному кресленні зображено конус обертання, усічений горизонтальною площиною рівня, розташованої на висоті z від нижньої основи, і профільною площиною рівня, що дає в се-

ченні на поверхні конуса гіперболу з вершиною в точці А.Проекції гіперболи побудовані за її окремими точками.

Віднесемо конус до натуральної системи координат Oxyz.Побудуємо проекції натуральних осей на комплексному кресленні та окремо їхню ізометричну проекцію. Побудова ізометрії починаємо з побудови еліпсів верхньої та нижньої основ, які є ізометричними проекціями кіл основ. Малі осі еліпсів збігаються з напрямком ізометричної осі Про Z(Див. рис. 158). Великі осі еліпсів перпендикулярні до малого. Величини еліпсів осей визначаються залежно від величини діаметра кола (d- нижньої основи та d 1- верхньої основи). Потім будують ізометрію перерізу конічної поверхніпрофільної площини рівня, яка перетинає основу по прямій, що віддаляється від початку координат на величину X A та паралельної осі Про у.

Ізометрія точок гіперболи будується за координатами, що вимірюються на комплексному кресленні, і відкладаємо без зміни вздовж відповідних ізометричних осей, оскільки наведені коефіцієнти спотворення і = v = w = 1. Ізометричні проекції точок гіперболи з'єднуємо плавною кривою. Побудова зображення конуса закінчується проведенням нарисових дотичних до еліпсів основ. Невидима частина еліпса нижньої основи проводиться штриховою лінією.

Для того, щоб отримати аксонометрическую проекцію предмета (рис. 106), необхідно подумки: помістити предмет у систему координат; вибрати аксонометричну площину проекцій та розташувати предмет перед нею; вибрати напрямок паралельних проектуючих променів, який не повинен збігатися з жодною з аксонометричних осей; направити проецірующие промені через усі точки предмета і координатні осі до перетину з аксонометрической площиною проекцій, отримавши цим зображення проектованого предмета і координатних осей.

На аксонометрической площині проекцій одержують зображення - аксонометрическую проекцію предмета, і навіть проекції осей систем координат, які називають аксонометрическими осями.

Аксонометричною проекцією називається зображення, отримане на аксонометрической площині в результаті паралельного проектування предмета разом із системою координат, яке наочно відображає його форму.

Система координат складається з трьох площин, що взаємно перетинаються, які мають фіксовану точку - початок координат (точку О) і три осі (X, У, Z), що виходять з неї і розташовані під прямим кутом один до одного. Система координат дозволяє проводити вимірювання по осях, визначаючи положення предметів у просторі.

Рис. 106. Одержання аксонометричної (прямокутної ізометричної) проекції

Можна отримати безліч аксонометричних проекцій, по різномумаючи предмет перед площиною і вибираючи при цьому різний напрямок проектуючих променів (рис. 107).

Найбільш уживаною є так звана прямокутна ізометрична проекція (надалі використовуватимемо її скорочену назву - ізометрична проекція). Ізометричною проекцією (див. рис. 107 а) називається така проекція, у якої коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях рівні, а кути між аксонометричними осями становлять 120 °. Ізометрична проекція виходить за допомогою паралельного проектування.

Рис. 107. Аксонометричні проекції, встановлені ГОСТ 2.317-69:
а – прямокутна ізометрична проекція; б – прямокутна диметрична проекція;
в - косокутна фронтальна ізометрична проекція;
г - косокутна фронтальна диметрична проекція

Рис. 107. Продовження: д - косокутна горизонтальна ізометрична проекція

При цьому проецірующие промені перпендикулярні аксонометричної площини проекцій, а координатні осі однаково нахилені до аксонометричної площини проекцій (див. рис. 106). Якщо порівняти лінійні розміри предмета і відповідні їм розміри аксонометричного зображення, можна побачити, що у зображенні ці розміри менше, ніж дійсні. Величини, що показують відношення розмірів проекцій відрізків прямих до дійсних їх розмірів, називають коефіцієнтами спотворення. Коефіцієнти спотворення (К) по осях ізометричної проекції однакові і дорівнюють 0,82, проте для зручності побудови використовують так звані практичні коефіцієнти спотворення, які дорівнюють одиниці (рис. 108).

Рис. 108. Положення осей та коефіцієнти спотворення ізометричної проекції

Існують ізометричні, диметричні та триметричні проекції. До ізометричних проекцій відносяться такі проекції, які мають однакові коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях. Диметричними проекціями називають такі проекції, у яких два коефіцієнти спотворення по осях однакові, а величина третього відрізняється від них. До триметричних проекцій відносяться проекції, які мають всі коефіцієнти спотворення різні.

Для наочного зображення предметів (виробів або їх складових частин) рекомендується застосовувати аксонометричні проекції, вибираючи в кожному окремому випадку найбільш підходящу з них.

Сутність методу аксонометричного проектування полягає в тому, що заданий предмет разом з координатною системою, до якої він віднесений у просторі паралельним пучком променів проектується на деяку площину. Напрямок проектування на аксонометрічну площину не збігається з жодною з координатних осей і не паралельно жодній з координатних площин.

Всі види аксонометричних проекцій характеризуються двома параметрами: напрямом аксонометричних осей та коефіцієнтами спотворення по цих осях. Під коефіцієнтом спотворення розуміється відношення величини зображення аксонометрической проекції до величини зображення ортогональної проекції.

Залежно від співвідношення коефіцієнтів спотворення аксонометричні проекції поділяються на:

Ізометричні, коли всі три коефіцієнти спотворення однакові (k x = k y = z);

Диметричні, коли коефіцієнти спотворення однакові за двома осями, а третій не дорівнює їм (k x = k z ≠ k y);

Триметричні, коли всі три коефіцієнти спотворення не рівні між собою (k x ≠ k y ≠ k z).

Залежно від напрямку проектуючих променів аксонометричні проекції поділяються на прямокутні та косокутні. Якщо проецірующие промені перпендикулярні аксонометрической площині проекцій, така проекція називається прямокутною. До прямокутних аксонометричних проекцій відносяться ізометрична та диметрична. Якщо проецірующие промені спрямовані під кутом до аксонометричної площини проекцій, така проекція називається косокутною. До косокутних аксонометричних проекцій відносяться фронтальна ізометрична, горизонтальна ізометрична та фронтальна диметрична проекції.

У прямокутній ізометрії кути між осями дорівнюють 120°. Справжній коефіцієнт спотворення по аксонометрическим осям дорівнює 0,82, але практично для зручності побудови показник приймають рівним 1. Внаслідок цього аксонометрическое зображення виходить збільшеним у разу.

Ізометричні осі зображені малюнку 57.

Малюнок 57

Побудову ізометричних осей можна виконати за допомогою циркуля (рисунок 58). Для цього спочатку проводять горизонтальну лінію і перпендикулярно до неї проводять вісь Z. З точки перетину осі Z з горизонтальною лінією (точка О) проводять допоміжне коло довільним радіусом, яка перетинає вісь Z у точці А. З точки А цим же радіусом проводять друге коло до перетину з першою в точках В і С. Отриману точку з'єднують з точкою О - отримують напрямок осі Х. Таким же чином з'єднують точку З з точкою О - отримують напрямок осі Y.

Малюнок 58

Побудова ізометричної проекції шестикутника представлена ​​малюнку 59. Для цього необхідно відкласти по осі X радіус описаного кола шестикутника в обидві сторони щодо початку координат. Потім, по осі Y відкласти величину розміру під ключ, отриманих точок провести лінії паралельно осі X і відкласти по них величину сторони шестикутника.

Малюнок 59

Побудова кола у прямокутній ізометричній проекції

Найбільш складною плоскою фігурою для креслення в аксонометрії є коло. Як відомо, коло в ізометрії проектується на еліпс, але побудова еліпса досить складна, тому ГОСТ 2.317-69 рекомендує замість еліпсів застосовувати овали. Існує кілька способів побудови ізометричних овалів. Розглянемо один із найпоширеніших.

Розмір великої осі еліпса 1,22d, малої 0,7d, де d - діаметр того кола, ізометрія якого будується. На малюнку 60 показаний графічний спосіб визначення великої та малої осей ізометричного еліпса. Для визначення малої осі еліпса з'єднують точки З і D. З точок З і D, як з центрів, проводять дуги радіусів, рівних CD, до взаємного їх перетину. Відрізок АВ – велика вісь еліпса.

Малюнок 60

Встановивши напрямок великої та малої осей овалу залежно від того, якій координатній площині належить коло, за розмірами великої та малої осі проводять два концентричні кола, у перетині яких з осями намічають точки О 1 , О 2 , О 3 , О 4 , що є центрами дуг овалу (рисунок 61).

Для визначення точок сполучення проводять лінії центрів, з'єднуючи 1 , 2 , 3 , 4 . з отриманих центрів О 1 , 2 , 3 , 4 проводять дуги радіусами R і R 1 . Розміри радіусів видно на кресленні.

Малюнок 61

Напрямок осей еліпса або овалу залежить від положення колу, що проектується. Існує таке правило: велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до тієї аксонометрической осі, яка на цю площину проектується в крапку, а мала вісь збігається з напрямком цієї осі (рис. 62).

Малюнок 62

Штрихування та ізометричної проекції

Лінії штрихування перерізів в ізометричній проекції, згідно з ГОСТ 2.317-69, повинні мати напрямок, паралельний або тільки великим діагоналям квадрата, або тільки малим.

Прямокутною диметрією називається аксонометрическая проекція з рівними показниками спотворення по двох осях X і Z, а по осі Y показник спотворення вдвічі менший.

За ГОСТ 2.317-69 застосовують у прямокутній диметрії вісь Z, розташовану вертикально, вісь Х похилу під кутом 7°, а вісь Y-під кутом 41° до лінії горизонту. Показники спотворення по осях X та Z дорівнюють 0,94, а по осі Y-0,47. Зазвичай застосовують наведені коефіцієнти k x = z =1, k y =0,5, тобто. по осях X і Z або за напрямами їм паралельним, відкладають дійсні розміри, а по осі Y розміри зменшують у два рази.

Для побудови осей диметрії користуються способом, вказаним на малюнку 63, який полягає у наступному:

На горизонтальній прямій, що проходить через точку, відкладають в обидві сторони вісім рівних довільних відрізків. З кінцевих точок цих відрізків вниз по вертикалі відкладають ліворуч один такий самий відрізок, а справа - сім. Отримані точки з'єднують з точкою О і отримують напрямок аксонометричних осей X і Y прямокутної диметрії.

Малюнок 63

Побудова диметричної проекції шестикутника

Розглянемо побудову у диметрії правильного шестикутника, розташованого у площині П 1 (рисунок 64).

Малюнок 64

На осі Х відкладаємо відрізок, що дорівнює величині b, щоб його середина була в точці О, а по осі Y - відрізок а, розмір якого зменшено вдвічі. Через отримані точки 1 і 2 проводимо прямі паралельно осі ОХ, на яких відкладаємо відрізки, що рівні стороні шестикутника в натуральну величину з серединою в точках 1 і 2. Отримані вершини з'єднуємо. На малюнку 65а зображений у диметрії шестикутник, розташований паралельно фронтальній площині, а на малюнку 66б -паралельно профільної площини проекції.

Малюнок 65

Побудова кола в диметрії

У прямокутній диметрії всі кола зображуються еліпсами,

Довжина великої осі всім еліпсів однакова і дорівнює 1,06d. Величина малої осі різна: для фронтальної площини дорівнює 0,95 d, для горизонтальної та профільної площин - 0,35 d.

Насправді еліпс замінюється чотирицентровим овалом. Розглянемо побудову овалу, що замінює проекцію кола, що лежить у горизонтальній та профільній площинах (рисунок 66).

Через точку О - початок аксонометричних осей, проводимо дві взаємно перпендикулярні прямі і відкладаємо на горизонтальній лінії величину великої осі АВ=1,06d, але в вертикальної лінії величину малої осі СD=0,35d. Вгору і вниз від О по вертикалі відкладаємо відрізки ГО 1 і ГО 2 рівні за величиною 1,06d. Точки О 1 і 2 є центром великих дуг овалу. Для визначення ще двох центрів (Про 3 і Про 4) відкладаємо на горизонтальній прямій від точок А і В відрізки АТ 3 і 4 , рівні ¼ величини малої осі еліпса, тобто d.

Малюнок 66

Потім з точок О1 і О2 проводимо дуги, радіус яких дорівнює відстані до точок С і D, а з точок О3 і О4 - радіусом до точок А і В (рисунок 67).

Малюнок 67

Побудова овалу, що замінює еліпс, від кола, розташованого в площині П 2 , розглянемо малюнку 68. Проводимо осі диметрії: Х, Y, Z. Мала вісь еліпса збігається з напрямком осі Y, а велика перпендикулярна до неї. На осях Х і Z від початку відкладаємо величину радіуса кола і отримуємо точки M, N, K, L, що є точками сполучення дуг овалу. З точок M і N проводимо горизонтальні прямі, які в перетині з віссю Y і перпендикуляром до неї дають точки 1, 2, 3, 4 - центри дуг овала (рисунок 68).

З центрів О 3 і 4 описують дугу радіусом R 2 =О 3 М, а з центрів О 1 і О 2 - дуги радіусом R 1 = О 2 N

Малюнок 68

Штрихування а прямокутної диметрії

Лінії штрихування розрізів і перерізів в аксонометричних проекціях виконуються паралельно до однієї з діагоналей квадрата, сторони якого розташовані у відповідних площинах паралельно до аксонометричних осей (рис. 69).

Малюнок 69

1. Які види аксонометричних проекцій ви знаєте?
2. Під яким кутом розташовані осі в ізометрії?
3. Яку фігуру є ізометрична проекція кола?
4. Як розташована велика вісь еліпса для кола, що належить профільній площині проекцій?
5. Які прийняті коефіцієнти спотворення по осях X, Y, Z для побудови диметричної проекції?
6. Під якими кутами розташовані осі у диметрії?
7. Якою фігурою буде диметрична проекція квадрата?
8. Як побудувати диметричну проекцію кола, розташованого у передній проскості проекцій?
9. Основні правила нанесення штрихування в аксонометричних проекціях.

Зображення кіл у ізометричній проекції

Розглянемо, як у ізометричній проекції зображаються кола. Для цього зобразимо куб із вписаними в його межі колами (рис. 3.16). Кола, розташовані відповідно в площинах, перпендикулярних до осей х, у, z, зображуються в ізометрії у вигляді трьох однакових еліпсів.

Рис. 3.16.

Для спрощення роботи еліпси замінюють овалами, що окреслюються дугами кіл, їх будують так (рис. 3.17). Викреслюють ромб, в який повинен вписуватися овал, що зображує це коло в ізометричній проекції. Для цього на осях відкладають від крапки Проу чотирьох напрямках відрізки, рівні радіусу зображуваного кола (рис. 3.17, а). Через отримані точки a, b, с, dпроводять прямі, що утворюють ромб. Його сторони рівні діаметру зображуваного кола.

Рис. 3.17.

З вершин тупих кутів (крапок Аі В) описують між точками аі b,а також зі dдуги радіусом R,рівним довжині прямих Ваабо Вb(Рис. 3.17, б).

Крапки Зі Д лежачі на перетині діагоналі ромба з прямими Ваі Вb,є центрами малих дуг, що сполучають великі.

Малі дуги описують радіусом R,рівним відрізку Са (Db).

Побудова ізометричних проекцій деталей

Розглянемо побудову ізометричної проекції деталі, два види якої наведено на рис. 3.18, а.

Побудову виконують у такому порядку. Спочатку викреслюють вихідну форму деталі – косинець. Потім будують овали, що зображують дугу (рис. 3.18, б) та кола (рис. 3.18, в).

Рис. 3.18.

Для цього на вертикально розташованій площині знаходять точку О,через яку проводять ізометричні осі хі z.Такою побудовою одержують ромб, в який вписано половину овалу (рис. 3.18, б). Овали на паралельно розташованих площинах будують перенесенням центрів дуг на відрізок, що дорівнює відстані між даними площинами. Подвійними кружальцями на рис. 3.18 показано центри цих дуг.

На тих же осях хі zбудують ромб зі стороною, що дорівнює діаметру кола d.У ромб вписують овал (рис. 3.18, в).

Знаходять центр кола на горизонтально розташованій грані, проводять ізометричні осі, будують ромб, який вписують овал (рис. 3.18, г).

Поняття про диметричну прямокутну проекцію

Розташування осей диметричної проекції та спосіб їх побудови наведено на рис. 3.19. Ось zпроводять вертикально, вісь х– під кутом близько 7° до горизонталі, а вісь уутворює з горизонталлю кут приблизно 41° (рис. 3.19, а). Побудувати осі можна, користуючись лінійкою та циркулем. Для цього з точки Провідкладають по горизонталі вправо та вліво по вісім рівних поділів (рис. 3.19, б). З крайніх точок відновлюють перпендикуляри. Висота їх рівна: для перпендикуляра до осі х –одному поділу, для перпендикуляра до осі у– семи поділів. Крайні точкиперпендикулярів з'єднують із точкою О.

Рис. 3.19.

При кресленні диметричної проекції, як і при побудові фронтальної, розміри по осі ускорочують у 2 рази, а по осях хі zвідкладають без скорочень.

На рис. 3.20 показана диметрична проекція куба з вписаними в його межі колами. Як очевидно з цього малюнка, кола в диметричній проекції зображуються еліпсами.

Рис. 3.20.

Технічний малюнок

Технічний малюнок –це наочне зображення, виконане за правилами аксонометричних проекцій від руки, очі. Їм користуються у тих випадках, коли потрібно швидко та наочно показати на папері форму предмета. Зазвичай у цьому виникає потреба при конструюванні, винахідництві та раціоналізації, а також при навчанні читання креслень, коли за допомогою технічного малюнка потрібно пояснити форму деталі, представленої на кресленні.

Виконуючи технічний малюнок, дотримуються правил побудови аксонометричних проекцій: під тими ж кутами мають осі, так само скорочують розміри по осях, дотримуються форми еліпсів і послідовність побудови.

Для тривимірних об'єктів та панорам.

Обмеження аксонометричної проекції

Ізометрична проекція в комп'ютерних іграх та піксельній графіці

Малюнок телевізора в майже ізометричній піксельній графіці. У піксельного візерунка помітна пропорція 2:1

Примітки

1. По ГОСТ 2.317-69 – Єдина система конструкторської документації. Аксонометричні проекції.
2. Тут горизонтальною називається площина, перпендикулярна до осі Z (яка є прообразом осі Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR): журнал. - ACM, грудень 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.). GameSpot (29 лютого 2000). (недоступне посилання - історія) Перевірено 29 вересня 2008 року.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.). IGN (9 вересня 2003). Архівовано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.). IGN (25 березня 2004). Архівовано з першоджерела 19 лютого 2012 року. Перевірено 29 вересня 2008 року.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.