Вирішення лінійних рівнянь методом гауса. Зворотний хід методу Гауса

Нехай задана система лінійних рівнянь алгебри, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні в тих випадках, коли система має безліч рішень або несумісна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь , Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера та матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок– однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім однієї.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

«Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, рівні нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворимо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімає Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так доки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не будуть мати коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння і коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями робимо так, як описано вище. Таким чином, під невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так до тих пір, поки не залишиться одна остання невідома та перетворений вільний член.

«Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідоме х n . Для цього розв'язуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема у тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на -1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінилася.

Тепер зліва вгорі "мінус один", що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третьому рядку також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, отримуємо х3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не зважаючи на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор Дмитро Айстраханов.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1. Система лінійних рівнянь алгебри

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, що полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

- Вектор-стовпець з невідомих xj.
– вектор-стовпець із вільних членів bi.

Твір матриць А * Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системи називається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи перетворюється на правильну рівність.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У разі кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх приватних рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, чи спільна вона, чи несовместная. Якщо система спільна, то знайти її загальне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, еквівалентну вихідній, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, є всі інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок з інших рядків, що вийшов після перестановки, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляючи цим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

На першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастого (зокрема, трикутного) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

(якщо a11=0, переставимо рядки матриці так, щоб a 11 не дорівнював 0. Це завжди можливо, тому що в іншому випадку матриця містить нульовий стовпець, її визначник дорівнює нулю і система несумісна).

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

і складемо почленно з другим рівнянням системи (або з другого рівняння почленно віднімемо перше, помножене на ). Потім помножимо обидві частини першого рівняння і складемо з третім рівнянням системи (або з третього почленно віднімемо перше, помножене на ). Таким чином, послідовно множимо перший рядок на число і додаємо до i-й рядку, для i= 2, 3, …,n.

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

– нові значення коефіцієнтів при невідомих та вільні члени в останніх m-1 рівняннях системи, що визначаються формулами:

Таким чином, на першому етапі знищуються всі коефіцієнти, що лежать під першим провідним елементом a 11

0 на другому кроці знищуються елементи, що лежать під другим провідним елементом а 22 (1) (якщо a 22 (1) 0) і т.д. Продовжуючи цей процес і далі, ми нарешті на (m-1) кроці наведемо вихідну систему до трикутної системи.

Якщо процесі приведення системи до ступінчастому виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

то це свідчить про несумісність системи.

У цьому прямий хід методу Гауса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У цьому розділі на трьох різних прикладахПокажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулити коефіцієнти при

у другому та третьому рядках. Для цього домножимо їх на 2/3 та 1 відповідно і складемо з першим рядком:

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні в тих випадках, коли система має безліч рішень або несумісна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження вирішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера та матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім однієї.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

«Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, рівні нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

«Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідоме х n . Для цього розв'язуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, отримуємо х3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоганн Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математикавсіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не тільки лохи, але ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення.
2) Мати безліч рішень.
3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні в тих випадках, коли система має безліч рішень або несумісна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо спосіб Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під ситуації пунктів №№2-3 відведено статтю . Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішої системи з уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?
і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи:
. За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, усім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто відкреслення для зручності оформлення.

Довідка :рекомендую запам'ятати термінилінійної алгебри. Матриця системи– це матриця, складена лише з коефіцієнтів при невідомих, у цьому прикладі матриця системы: . Розширена матриця системи– це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна, можливо переставлятимісцями. Наприклад, в матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо в матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім однієї. Розглянемо, наприклад, матрицю . У даній матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок поділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця дія дуже корисна, оскільки спрощує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю із практичного прикладу: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на –2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, не розписують, а пишуть коротше:

Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Примножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звичайно, над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць у жодному разі не можна!

Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастому виду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на –2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «драбину», а також обводять кружальцями числа, що розташовуються на «сходинках». Сам термін «ступінчастий вид» не цілком теоретичний, у науковій та навчальній літературі він часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення«Ігрек»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьохлінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час вирішення:

І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до ступінчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число:

Майже завжди тут має бути одиниця. Власне кажучи, влаштує і -1 (а іноді й інші числа), але якось так традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо якраз за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно знаємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО Уважно:

А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:

Спробуйте розібрати цю дію самостійно – помножте другий рядок на –2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь:

Круто.

Тепер у дію набирає зворотний хід методу Гауса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як уже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід вирішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема у тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так:
(1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на -1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінилася.

Тепер зліва вгорі "мінус один", що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на –1, в принципі це для краси. У третьому рядку також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, що свідчить про помилку у обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущено помилку під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса.
Перша особливість у тому, що іноді у рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад:

Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі:

До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші числа? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівому верхньому «сходинку» у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на дві без залишку - і інша двійка і шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому етапі необхідно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на –1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях, і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих більше складний прикладдля самостійного вирішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему чотирьох лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, котрий докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм вирішення такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (несумісна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці Несумісні системи та системи із загальним рішенням . Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гауса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.

Виконані елементарні перетворення:
(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага!Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо!
(2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу, Що на "сходинках" нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше.
(3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5.
(4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

Відповідь: .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення:
(1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці.
(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , "Кандидати" на неї - числа 17 і 23, а нам потрібна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці

(3) До третього рядка додали другий, помножений на -1.
(4) До другого рядка додали третій, помножений на –3.
(3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1.
(4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка.
(5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотній хід:

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омудодамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми б дійшли, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, що зазначена малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.