Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0
Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.
Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікнути, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, рекомендую повторити - див. «Що таке логарифм».
Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:
f(x) > 0; g (x) > 0; k (x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ці чотири нерівності складають систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з рішенням раціональної нерівності- І відповідь готовий.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Для початку випишемо ОДЗ логарифму:
Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:
Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.
Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:
Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.
Перетворення логарифмічних нерівностей
Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:
- Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
- Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.
Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:
- Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
- Звести нерівність до стандартного за формулами додавання та віднімання логарифмів;
- Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:
Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Потім – нулі знаменника:
x − 1 = 0;
х = 1.
Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:
Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб на підставі стояла двійка:
Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:
(f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Отримали дві множини:
- ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Кандидат відповіді: x ∈ (−1; 3).
Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:
Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічних нерівностей. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.
Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємось, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.
Чому саме 4? У таку міру потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і до складніших обчислень.
Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.
Найпростіша логарифмічна нерівність.
Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо на потім.
Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.
Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей
Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.
Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більшим за нуль. У разі це означає таке.
Це число за визначенням має бути позитивним. Розв'яжіть нерівність, представлену вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.
Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.
Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення в систему. Таким чином,
Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.
Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, тому що в ЄДІ часто зустрічається необхідність пошуку ОДЗ, і вона стосується не тільки логарифмічних нерівностей.
Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності
Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:
- метод заміни множників;
- декомпозиції;
- метод раціоналізації.
Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до вирішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «заковириста» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.
Приклади рішення :
Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше треба змінити знак нерівності.
В результаті ми отримуємо нерівність:
Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Отже, ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з рішенням такого простого рівнянняу вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіку, розставити "+" та "-". Що потрібно для цього зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".
Відповідь: х не може бути більше -4 та менше -2.
Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.
І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.
Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.
Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.
Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.
Рішення логарифмічних рівняньта нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.
Логарифмічні нерівності зі змінною основою
Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо відразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.
Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.
Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежте їх зміни. У системі будуть такі нерівності.
Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей слід пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.
Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.
У логарифмічній нерівності багато нюансів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожне з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі. У презентації представлені рішення завдань С3 ЄДІ – 2014 з математики.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Вирішення логарифмічних нерівностей, що містять змінну на підставі логарифму: методи, прийоми, рівносильні переходи вчитель математики МБОУ ЗОШ № 143 Князькіна Т.В.
Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) · (k ( x) − 1) ∨ 0 Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими. Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікнути, достатньо знайти область допустимих значень. Не забувайте ОДЗ логарифму! Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Ці чотири нерівності складають систему і повинні виконуватись одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і готова відповідь.
Розв'яжіть нерівність: Вирішення Для початку випишемо ОДЗ логарифму Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останнє доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Тепер вирішуємо основну нерівність: Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше».
Маємо: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Перетворення логарифмічних нерівностей Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами. А саме: Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою; Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом. Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного. Отже, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така: Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність; Звести нерівність до стандартного за формулами додавання та віднімання логарифмів; Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.
Розв'яжіть нерівність: Розв'язання Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму: Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Потім – нулі знаменника: x − 1 = 0; x = 1. Зазначаємо нулі та знаки на координатній прямій:
Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб на підставі стояла двійка: Як бачите, трійки на підставі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх: log 2 (x − 1) 2
(f(x)−g(x)) · (k(x)−1)
Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) -всі точки виколоти. Відповідь: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Вирішення завдань ЄДІ-2014 типу С3
Розв'яжіть систему нерівностей Рішення. ОДЗ: 1) 2)
Розв'яжіть систему нерівностей 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − (продовження)
Розв'яжіть систему нерівностей 4) Загальне рішення: і -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 (продовження)
Розв'яжіть нерівність (продовження) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4
Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ:
Розв'яжіть нерівність (продовження)
Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ: -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2