Багато завдань з параметром зводяться до дослідження квадратного тричлена, тому розглянемо ці завдання докладніше.
I. При вирішенні найпростіших завдань буває достатньо формули для коріння квадратного рівняння та теореми Вієта.
При яких значеннях параметра a a безліч розв'язків нерівності $$x^2+ax-1
Оскільки коефіцієнт при x 2 x^2 позитивний, розв'язком нерівності є інтервал між корінням у разі $$D > 0$$ і порожня множина, якщо D ≤ 0 D \leq 0 .
Знаходимо дискримінант: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ за всіх a a). Тоді безліч рішень є проміжком
x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac(-a-sqrt(a^2+4))(2); \sqrt(a^2+4))(2)) . Потрібно, щоб довжина цього проміжку дорівнювала 5, тобто.
A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac(-a+\sqrt(a^2+4))(2) = \ dfrac(-a-sqrt(a^2+4))(2) + 5 \Leftrightarrow \sqrt(a^2+4)=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt(21) .
ВІДПОВІДЬ
A = ± 21 a = \pm \sqrt(21)
За яких значень параметра p p рівняння x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt(p^2+4p)\cdot x +p-1 має коріння, а сума квадратів коренів мінімальна?
Суму квадратів коренів рівняння зручно висловити за допомогою теореми Вієта:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2 +x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt(p^2+4p))^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .
Але перш ніж застосовувати теорему Вієта, обов'язково потрібно перевірити, що рівняння має коріння!Для цього обчислюємо дискримінант: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p 2 + 4p-4 (p-1) = p 2 +4 . Бачимо, що дискримінант позитивний за будь-яких допустимих значеннях p p , тобто при
p ∈ (- ∞ ; - 4 ) ∪ [ 0 ; + ∞) (5) п'ять (в) і, і вy;
Зауваження. 1. Для рівнянь та нерівностей виду
$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c треба окремо розглядати випадок a = 0 a =0 . Тоді вийде лінійнерівняння (нерівність).
2. У більшості завдань важливо врахувати знакчисла a a - від цього залежить напрямок гілок параболи.
3. Зауважимо, що сукупність двох систем
$$\begin(cases) a > 0, \\ f(a) > 0 \end(cases) та \begin(cases) a
рівносильна нерівності $$a f(a) > 0$$. Тому в умові 1 ° 1^(\circ) можна записати одну систему $$\begin(cases) D>0, \(a) > 0, \\ x_(\text(в))
Аналогічно можна спростити інші умови:
$$2^(\circ) \Leftrightarrow \begin(cases) D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_(\text(в)) > A .\end(cases) \:\:\ : 3^(\circ) \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A
Перейдемо до прикладів.
При яких a a рівняння (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 має коріння, і всі вони належать до інтервалу (- 2; 0) (-2; 0)?
1) Якщо 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , то рівняння набуває вигляду 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Це рівняння має єдиний корінь x = - 0,5 x = -0,5, який належить інтервалу (-2; 0) (-2; 0). Отже, a = 1 a = 1 задовольняє умову задачі.
2) Якщо 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 то рівняння квадратне. Знаходимо дискримінант:
D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^ 2-6a+9=(a-3)^2.
Оскільки дискримінант є повним квадратом, знаходимо коріння (як правило, вищеописані прийоми з розташуванням коренів зручно використовувати, якщо формули для коріння громіздкі. Якщо дискримінант є повним квадратом і коріння виходить "хорошим", то простіше вирішити задачу безпосередньо):
Для виконання умов завдання потрібно, щоб виконувалася нерівність $$-2 \dfrac(3)(2)$$.
ВІДПОВІДЬ
A ∈ ( 1 ) ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \(1\)\bigcup (\dfrac(3)(2); +\infty) .
При яких значеннях a a нерівність $$4^(\textrm(sin)\:x)-2\cdot (a-3) \cdot 2^(\textrm(sin)\:x) + a+3 > 0$$ виконується для всіх x x?
Позначимо 2 sin x = y 2^(\textrm(sin)\:x)=y . Оскільки - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm(sin)\:x \leq 1 , отримуємо, що 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac(1)(2) \leq 2^(\textrm (sin)\:x) \leq 2 . Вихідна нерівність набуває вигляду
$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$
Це завдання еквівалентне наступному: «при яких a a нерівність $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ виконано всім y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac(1)(2);2] ?»
Графік лівої частини цієї нерівності – парабола з гілками догори. Вимоги завдання будуть виконані у двох випадках. 1) $$D
а) Це розташування параболи (коріння знаходиться зліва від відрізка [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac(1)(2);2]) задається умовами (записуємо та вирішуємо систему):
$$\begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end(cases) \ Leftrightarrow a \leq 1 $$.
б) Цей випадок задається умовою $$D
в) Аналогічно а) отримуємо систему:
$$\!\!\!\! \begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) > 2,\\f(2) > 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3 -(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) a\in ( -\infty;1]\bigcup ?
1) Розглядаємо випадок a = 0 a = 0 (тоді рівняння не квадратне). Рівняння набуває вигляду - 5 x - 6 = 0 -5x-6 = 0 . Коріння на відрізку [0; 2] ні, тому a = 0 a = 0 не підходить.
2) Рівняння квадратне. Позначимо ліву частину рівняння через f(x) f(x). Рівняння має на відрізку [0; 2] рівно один корінь у двох випадках.
А) Рівняння має єдиний корінь, і він належить відрізку [0; 2]. Це можливо за D = 0 D = 0 . Обчислюємо дискримінант:
D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .
Дискримінант звертається в нуль при a = - 25 4 a = - dfrac (25) (4) . При цьому вихідне рівняння набуває вигляду - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac(25)(4)x^2-\dfrac(35)(2)x - \dfrac(49)(4 ) = 0 , звідки x = - 7 5 x = - dfrac (7) (5) . Коріння на відрізку [0; 2 ] ні, отже, цей випадок не реалізується за жодних значень параметра a a .
Б) Рівняння має два корені ($$ D> 0 \ Leftrightarrow a> - \ dfrac (25) (4) $ $), один з яких належить відрізку [0; 2], а інший - ні. Для виконання цієї умови необхідно і достатньо, щоб або (а) функція f (x) f (x) приймала кінцях відрізка [ 0 ; 2 ] значення різних знаків - тоді корінь лежить в інтервалі (0 ; 2) (0;2) (як приклад (можете самостійно розглянути й інші можливі розташування параболи) див. рис. 7), або (б) в одному з кінців відрізка зверталася в нуль - тоді корінь лежить одному з кінців відрізка.
(а) Умова “числа f(0) f(0) та f(2) f(2) мають різні знаки” рівнозначно нерівності $$f(0)\cdot f(2)
$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)
(б) Якщо f (0) = 0 f (0) = 0, то a = 6 a = 6 . Тоді рівняння набирає вигляду 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 . Його корінням є числа x = 0 x = 0 і x = - 7 6 x = - \ dfrac (7) (6), тобто на відрізку [0; 2] воно має рівно один корінь.
Якщо f(2) = 0 f(2) = 0 , то a = 16 9 a = dfrac(16)(9) . Тоді отримуємо 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac(16)(9)x^2 - \dfrac(13)(9)x - \dfrac(38)(9) = 0 , звідки x = 2 x=2 або x = - 19 16 x=-\dfrac(19)(16) , тобто. знову з двох коренів тільки один належить відрізку [0; 2].
Значить, обидва значення a = 6 a = 6 і a = 16 9 a = dfrac (16) (9) і задовольняють умові задачі (при f (2) = 0 f (2) = 0 або f (0) = 0 f(0) = 0 обов'язково треба знайти другий корінь і подивитися, чи він знаходиться на відрізку [ 0 ; 2 ] ).
Об'єднуючи результати, отримуємо a ∈ [ 169; 6 ] a in [ dfrac (16) (9); 6].
ВІДПОВІДЬ
16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac(16)(9) \leq a \leq 6
При яких значення параметра a a рівняння | x 2 – 4 | x | +3 | = a | x ^ 2-4 | x | +3 | = a має рівно 8 розв'язків?
Зобразимо графіки лівої та правої частин на площині xOy.
Щоб побудувати графік лівої частини, спочатку зображуємо параболу y = x 2 - 4 x + 3 y = x ^ 2-4x +3. Потім відображаємо всі точки цієї параболи, що лежать нижче за осі абсцис, щодо цієї осі і отримуємо графік функції y = | x 2 – 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (Рис. 8а). Далі відкидаємо всі точки, що лежать ліворуч від осі абсцис, а точки, що залишилися, відображаємо щодо цієї осі - отримуємо графік функції y = | x 2 – 4 | x | +3 | y=|x^2-4|x|+3| .
Графік правої частини - це горизонтальна пряма y = a y = a. Рівняння має 8 розв'язків, коли ця пряма перетинає графік y = | x 2 – 4 | x | +3 | y=|x^2-4|x|+3| у восьми точках. Нескладно бачити, що це відбувається при $$0ВІДПОВІДЬ
A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)
Знайдіть усі значення параметра p p , при яких рівняння 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 · 2 1 - x 4^x+2^(x+2)+7=p-4^( -x)-2\cdot 2^(1-x) має хоча б одне рішення.
Перепишемо рівняння у вигляді (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^(-x))+4\cdot (2^x+2^ (-x)) = p-7 і зробимо заміну 2 x + 2 - x = t 2 ^ x + 2 ^ (-x) = t. Зводячи обидві частини останньої рівності квадрат, отримуємо, що t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^(-x))^2= 4^x+2+4^(-x) , звідки 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^(-x) = t^2-2. Рівняння набуває вигляду t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .
Знайдемо безліч значень лівої частини рівняння. Оскільки (використовуємо, що сума двох взаємно обернених позитивних чисел не менше двох: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac(1)(a) \geq 2 при $$a>0$$ 0 (рівність можлива тільки при a = 1 a = 1) Це можна довести, наприклад, за допомогою нерівності Коші: для позитивних чисел середнє арифметичне не менше середнього геометричного (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . . · a k k) ( \dfrac(a_1+a_2+...+a_k)(k) \geq \sqrt[k](a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k)) , причому рівність досягається тільки у випадку a 1 = a 2 = . .. = a k a_1=a_2=...=a_k .Для двох позитивних чисел ця нерівність набуває вигляду a + b 2 ≥ a b \dfrac(a+b)(2) \geq \sqrt(ab) . = 1 a b = \dfrac(1)(a) , то вийде потрібна нерівність.) t ≥ 2 t \geq 2 , отримуємо, що ліва частина рівняння набуває значень з проміжку [ 16 ; + ∞).
Рішення. Перетворимо ліву частину даної нерівності так:
(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =
Ах (х - а) -2а (х - а) - 3 (х-а) = (x - а) (аx-2а - 3).
Ця нерівність набуде вигляду: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.
Якщо а = 0, то отримуємо - Зх ≥ 0 x ≤ 0.
Якщо а ≠ 0, то -3 а
Так як а 0, то розв'язанням цієї нерівності буде проміжок числової осі, розташований між корінням відповідного нерівності рівняння.
З'ясуємо взаємне розташування чисела і , враховуючи при цьому умову - 3 ≤ а
3 ≤a
A = -1.
Представимо у всіх розглянутих випадках розв'язання даної нерівності залежно від значень параметра:
Отримаємо, що тільки х = -1 є розв'язком даної нерівності за будь-якого значення параметра а .
Відповідь: -1
- Висновок.
Чому мною було обрано проект на тему «Розробка методичних рекомендаційрозв'язання квадратних рівнянь та нерівностей із параметрами»? Так як при вирішенні будь-яких тригонометричних, показових, логарифмічних рівнянь, нерівностей, систем ми найчастіше приходимо до розгляду іноді лінійних, а найчастіше квадратних рівнянь та нерівностей. При розв'язанні найскладніших завдань із параметрами більшість завдань зводиться за допомогою рівносильних перетворень до вибору рішень типу: а (х – а) (х – с) > 0 (
Ми роздивились теоретичні основидля вирішення квадратних рівнянь та нерівностей із параметрами. Згадали необхідні формули та перетворення, розглянули різні розташування графіків квадратичної функції залежно від значення дискримінанта, від знака при старшому коефіцієнті, від розташування коріння, вершини параболи. Виявили схему вирішення та вибору результатів, склали таблицю.
У проекті показані аналітичні та графічні методи розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей. Учням у професійному училищі необхідно зорове сприйняття матеріалу для кращого засвоєння матеріалу. Показано, як можна змінити змінну х і прийняти параметр як рівноправну величину.
Для наочного засвоєння цієї теми розглянуто рішення 8 завдань із параметрами, по 1 – 2 кожному за розділу. У прикладі № 1 розглянуто кількість рішень при різних значенняхпараметра, у прикладі № 3 проводиться розбір рішення квадратного рівняння за різних початкових умовах. Для вирішення квадратних нерівностейзроблено графічні ілюстрації. У прикладі № 5 застосовується спосіб заміни параметра як рівноправної величини. У проект включено розгляд прикладу № 8 із завдань, включених до розділу С, для інтенсивної підготовки до здачі ЄДІ.
Для якісної підготовки учнів розв'язання задач з параметрами рекомендується в повному обсязі використовувати мультимедійні технології, а саме: використовувати для лекцій презентації, електронні підручники та книги, власні розробки медіатеки. Дуже ефективними є бінарні уроки математика + інформатика. Незамінним помічником викладача та учня є Інтернет. У презентації необхідні імпортовані об'єкти із існуючих освітніх ресурсів. Найбільш зручним та прийнятним у роботі є ЦОР «Використання Microsoft Office у школі».
Розробка методичних рекомендацій з цієї тематики полегшить роботу молодих викладачів, що прийшли працювати в училище, поповнить портфоліо викладача, послужить зразком для спеціальних предметів, зразки рішень допоможуть учням упоратися зі складними завданнями.
- Література.
1.Горнштейн П.І., Полонський В.Б., ЯкірМ.С. Завдання із параметрами. "Ілекса", "Гімназія", Москва - Харків, 2002.
2.Балаян Е.М. Збірник задач з математики для підготовки до ЄДІ та олімпіад. 9-11 класи. "Фенікс", Ростов-на Дону, 2010.
3. Ястребинецький Г.А. Завдання із параметрами. М., "Освіта", 1986.
4.Колеснікова С.І. Математика. Вирішення складних завдань Єдиного державного іспиту. М. "Айріс - прес", 2005.
5. Родіонов Є.М., Синякова С.Л. Математика. Посібник для вступників до вузів. Навчальний центр "Орієнтир" МДТУ ім. н.е. Баумана, М., 2004.
6. Сканаві М.І. Збірник завдань з математики для вступників до вузів: У 2 кн. Кн.1, М., 2009.
розв'язання нерівностів режимі онлайн Рішеннямайже будь-якої заданої нерівності онлайн. Математичні нерівності онлайнна вирішення математики. Швидко знайти розв'язання нерівностів режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє знайти Рішеннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентної нерівності онлайн. При вивченні практично будь-якого розділу математики на різних етапахдоводиться вирішувати нерівності онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення нерівності онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних нерівності онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчні нерівності онлайн, тригонометричні нерівності онлайн, трансцендентні нерівності онлайн, а також нерівностіз невідомими параметрами в режимі онлайн. Нерівностіслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних нерівностейможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини нерівностейможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді нерівностейі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчна нерівність, тригонометрична нерівністьабо нерівностіщо містять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання нерівностей. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для вирішення математичних нерівностей онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором для розв'язання алгебраїчних нерівностей онлайн, тригонометричних нерівностейонлайн, а також трансцендентних нерівностей онлайнабо нерівностейіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження інетравол рішень різних математичних нерівностейресурсу www.. Вирішуючи нерівності онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішеннянерівностейна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати нерівність і миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим розв'язанням нерівності. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити нерівність онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь за вирішенні нерівностей онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо нерівністьіз невідомими параметрами.
Вирішення нерівностей з параметром.
Нерівності, що мають вигляд ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются лінійними нерівностями.
Принципи вирішення лінійних нерівностейз параметром дуже схожі з принципами рішення лінійних рівняньіз параметром.
приклад 1.
Розв'язати нерівність 5х - a> ax + 3.
Рішення.
Для початку перетворимо вихідну нерівність:
5х – ах > a + 3, винесемо за дужки х у лівій частині нерівності:
(5 – а)х > a + 3. Тепер розглянемо можливі випадки параметра а:
Якщо a> 5, то x< (а + 3) / (5 – а).
Якщо а = 5, то розв'язків немає.
Якщо а< 5, то x >(а + 3) / (5 – а).
Дане рішення і буде відповідати нерівності.
приклад 2.
Розв'язати нерівність х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а за а ≠ 1.
Рішення.
Перетворимо вихідну нерівність:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножимо на (-1) обидві частини нерівності, отримаємо:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Досліджуємо можливі випадки для параметра:
1 випадок. Нехай a/(а – 1) > 0 або € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тоді x ≥ (а – 1)/3.
2 випадок. Нехай a/(а – 1) = 0, тобто. а = 0. Тоді x – будь-яке дійсне число.
3 випадок. Нехай a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Відповідь: х € [(а - 1) / 3; +∞) за а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а - 1) / 3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Приклад 3.
Розв'язати нерівність |1 + х| ≤ аx щодо х.
Рішення.
З умови випливає, що права частина нерівності ах має бути негативною, тобто. ах ≥ 0. За правилом розкриття модуля з нерівності |1 + х| ≤ аx маємо подвійну нерівність
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишемо результат у вигляді системи:
(Аx ≥ 1 + x;
(-ах ≤ 1+x.
Перетворимо до виду:
((а – 1)x ≥ 1;
((а + 1) х -1.
Досліджуємо отриману систему на інтервалах та в точках (Рис. 1):
При а ≤ -1 x € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
За а = 0 x = -1.
При 0< а ≤ 1 решений нет.
Графічний метод розв'язання нерівностей
Побудова графіків значно полегшує розв'язання рівнянь, що містять параметр. Використання графічного методу під час вирішення нерівностей з параметром ще наочніше і доцільніше.
Графічне вирішення нерівностей виду f(x) ≥ g(x) означає знаходження значень змінної х, у яких графік функції f(x) лежить вище за графік функції g(x). Для цього завжди необхідно знайти точки перетину графіків (якщо вони є).
приклад 1.
Вирішити нерівність | x + 5 |< bx.
Рішення.
Будуємо графіки функцій у = | x + 5 | і у = bx (Рис. 2). Рішенням нерівності будуть значення змінної х, у яких графік функції у = |x + 5| буде перебувати нижче графіка функції у = bx. 
На малюнку видно:
1) За b > 1 прямі перетинаються. Абсцис точки перетину графіків цих функцій є рішення рівняння х + 5 = bx, звідки х = 5/(b – 1). Графік у = bx знаходиться вище за х з інтервалу (5/(b – 1); +∞), отже ця безліч і є розв'язання нерівності.
2) Аналогічно знаходимо, що за -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графіки не перетинаються, а значить, і розв'язків у нерівності немає.
Відповідь: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
рішень немає за 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.
приклад 2.
Розв'язати нерівність а(а+1)х > (a+1)(a+4).
Рішення.
1) Знайдемо «контрольні» значення параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Вирішимо цю нерівність на кожному підмножині дійсних чисел: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; + ∞).
a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1, тоді ця нерівність набуде вигляду 0·х > 0 – рішень немає;
c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тоді ця нерівність має вигляд 0 · х > 4 – рішень немає;
e) a > 0, з цієї нерівності випливає, що х > (a + 4)/a.
Приклад 3.
Вирішити нерівність | 2 - | x | |< a – x.
Рішення.
Будуємо графік функції у = | 2 - | x | | (Рис. 3)і розглядаємо всі можливі випадки розташування прямої у = -x + а. 
Відповідь: розв'язків у нерівності немає при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) за a > 2.
При розв'язанні різних завдань, рівнянь і нерівностей з параметрами відкривається значне число евристичних прийомів, які потім успішно можуть бути застосовані у будь-яких інших розділах математики.
Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мисленнята математичної культури. Саме тому, опанувавши методи вирішення задач з параметрами, ви успішно впораєтеся і з іншими завданнями.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати нерівності?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.