Насамперед визначимося, що таке багатогранник. Це тривимірна геометрична фігура, грані якої представлені у вигляді плоских багатокутників Єдиної формули пошуку обсягу багатогранника немає, оскільки багатогранники бувають різної форми. Для того, щоб знайти обсяг складного багатогранника, його умовно ділять на кілька простих, таких як паралелепіпед, призма, піраміда, а потім складають обсяги простих багатогранників і одержують в результаті обсяг фігури, що шукається.
Як знайти обсяг багатогранника – паралелепіпеда
Для початку знайдемо площу прямокутного паралелепіпеда. У такій геометричній фігурі всі грані представлені у вигляді плоских прямокутних фігур.
- Найпростіший прямокутний паралелепіпед – це куб. Усі ребра куба рівні між собою. Загалом у такого паралелепіпеда 6 граней, тобто 6 однакових квадратів. Обсяг такої фігури розраховується таким чином:
де a - Довжина будь-якого ребра куба.
- Об'єм прямокутного паралелепіпеда, сторони якого мають різні вимірювання, розраховується за такою формулою:
де a, b і с - Довжини ребер.
Як знайти обсяг багатогранника – похилого паралелепіпеда
У похилого паралелепіпеда так само 6 граней, 2 їх – підстави фігури, ще 4 – бічні грані. Похилий паралелепіпед відрізняється від прямого тим, що його бічні грані по відношенню до основи розташовані не під прямим кутом. Обсяг такої фігури розраховується як добуток між площею основи та висотою:
де S - це площа чотирикутника, що лежить в основі, h - висота шуканої фігури.
Як знайти обсяг багатогранника – призми
Об'ємна геометрична фігура, основа якої представлена багатокутником будь-якої форми, а бічні грані – паралелограмами, що мають спільні сторони із основою – називається призмою. У призми дві основи, а бічних граней стільки, скільки сторін у фігури, що є основою.
Для знаходження обсягу будь-якої призми, як прямої, так і похилої, множать площу основи на висоту:
де S – площа багатокутника на підставі фігури, а h – висота призми.
Як знайти обсяг багатогранника – піраміди
Якщо в основі фігури розташований багатокутник, а бічні грані представлені у вигляді трикутників, що замикаються у спільній вершині, то таку фігуру називають пірамідою. Вона відрізняється від перелічених вище фігур тим, що в неї є тільки одна підстава, крім цього, у неї є вершина. Щоб знайти обсяг піраміди, її основу множать на висоту і ділять результат на 3.
16) № 27044 17) № 27187 18) № 27188 19) № 27189 20) № 27190 21) № 27191
16) 17) 18) 19) 20) 
21) 
22) № 27192 23) № 27193 24) № 27194 25) № 27195 26) № 27210 27) № 27211
22) 
23) 
24) 25) 26) 27)
28) № 27212 29) № 27213 30) № 27216
28) 
29) 
30)
Знайдіть обсяг просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.
Знайдіть площу поверхні просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.
Площа поверхні куба дорівнює 18. Знайдіть діагональ.
Об'єм куба дорівнює 8. Знайдіть площу його поверхні.
Якщо кожне ребро куба збільшити на 1, його площа поверхні збільшиться на 54. Знайдіть ребро куба.
36) № 27098_ Діагональ куба дорівнює. Знайдіть його обсяг.
37) № 27099_ Об'єм куба дорівнює. Знайдіть діагональ.
Якщо кожне ребро куба збільшити на 1, його обсяг збільшиться на 19. Знайдіть ребро куба.
Діагональ куба дорівнює 1. Знайдіть площу його поверхні.
Площа поверхні куба дорівнює 24. Знайдіть його об'єм.
Об'єм одного куба в 8 разів більший за об'єм іншого куба. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого куба?
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 3 і 4. Площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює 94. Знайдіть третє ребро, що виходить із тієї ж вершини.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1, 2. Площа поверхні паралелепіпеда дорівнює 16. Знайдіть його діагональ.
Площа грані прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12. Ребро, перпендикулярне до цієї грані, дорівнює 4. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 24. Одне з його ребер дорівнює 3. Знайдіть площу грані паралелепіпеда, перпендикулярної до цього ребра.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60. Площа однієї його грані дорівнює 12. Знайдіть ребро паралелепіпеда, перпендикулярне до цієї грані.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2 і 6. Об'єм паралелепіпеда дорівнює 48. Знайдіть третє ребро паралелепіпеда, що виходить з тієї ж вершини.
Три ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4, 6, 9. Знайдіть ребро рівновеликого йому куба.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2, 4. Діагональ паралелепіпеда дорівнює 6. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2, 3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює 36. Знайдіть його діагональ.
51) № 27103_ Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює і утворює кути 30, 30 і 45 з площинами граней паралелепіпеда. Знайдіть обсяг паралелепіпеда.
Ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1, 2, 3. Знайдіть його площу поверхні.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2, 4. Діагональ паралелепіпеда дорівнює 6. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда.
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1, 2. Об'єм паралелепіпеда дорівнює 6. Знайдіть площу його поверхні.
55) № 27104_ Гранню паралелепіпеда є ромб зі стороною 1 і гострим кутом 60 . Одне з ребер паралелепіпеда складає з цією гранню кут 60 і дорівнює 2. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
Знайдіть площу поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями, рівними 6 і 8, і бічним ребром, рівним 10.
Знайдіть бічне ребро правильної чотирикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 20, а площа поверхні дорівнює 1760.
В основі прямої призми лежить ромб з діагоналями, рівними 6 та 8.
Площа її поверхні дорівнює 248. Знайдіть бічне ребро цієї призми.
Основою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 6 і 8, бічне ребро дорівнює 5. Знайдіть об'єм призми.
Основою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 3 і 5. Обсяг призми дорівнює 30. Знайдіть її бічне ребро.
Підставою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 6 і 8, висота призми дорівнює 10. Знайдіть площу її поверхні.
Основою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 6 і 8. Площа її поверхні дорівнює 288. Знайдіть висоту призми.
У трикутній призмі дві бічні грані перпендикулярні. Їхнє загальне ребро дорівнює 10 і віддалено від інших бічних ребер на 6 і 8. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
Через середню лінію основи трикутної призми, площа бічної поверхні якої дорівнює 24, проведена площина, паралельна до бокового ребра. Знайдіть площу бічної поверхні відсіченої трикутної призми.
Ми вже розглянули теоретичні моменти, які необхідні для вирішення.У складі ЄДІ з математики є цілий ряд завдань на визначення площі поверхні та обсягу складових багатогранників. Це, напевно, одні з найпростіших завдань із стереометрії. АЛЕ! Є нюанс. Незважаючи на те, що самі обчислення прості, помилку при вирішенні такого завдання допустити дуже легко.
У чому ж справа? Далеко не всі мають гарне просторове мислення, щоб відразу побачити всі грані та паралелепіпеди з яких «складаються» багатогранники. Навіть якщо ви вмієте робити це дуже добре, можете зробити таку розбивку, все-таки слід не поспішати і скористатися рекомендаціями з цієї статті.
До речі, поки працював над цим матеріалом, знайшов помилку в одному із завдань на сайті. Потрібна уважність та ще раз уважність, ось так.
Отже, якщо стоїть питання про площу поверхні, то на листі в клітку побудуйте всі межі багатогранника, позначте розміри. Далі уважно обчислюйте суму площ усіх отриманих граней. Якщо ви будете гранично уважні при побудові та обчисленні, то помилка буде виключена.
Використовуємо обумовлений спосіб. Він наочний. На аркуші в клітку будуємо всі елементи (грані) у масштабі. Якщо довжини ребер будуть більшими, то просто підпишіть їх.
Відповідь: 72
Вирішіть самостійно:
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Ще завдання, . Вони наведені рішення іншим способом (без побудови), постарайтеся розібратися — що звідки взялося. Також вирішіть вже представленим способом.
* * *
Якщо потрібно знайти обсяг складеного багатогранника. Розбиваємо багатогранник на складові паралелепіпеди, записуємо уважно довжини їх ребер і обчислюємо.
Об'єм багатогранника, зображеного на малюнку дорівнює сумі обсягів двох багатогранників з ребрами 6,2,4 та 4,2,2
Відповідь: 64
Вирішіть самостійно:
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути багатогранника прямі).
Знайдіть обсяг просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).