Являє собою геометричне тіло, обмежене двома паралельними площинами та циліндричною поверхнею.

Циліндр складається з бічної поверхні та двох підстав. Формула площі поверхні циліндра включає окремий розрахунок площі підстав і бічної поверхні. Оскільки основи в циліндрі рівні, то повна його площа розраховуватиметься за формулою:

Приклад розрахунку площі циліндра ми розглянемо після того, як дізнаємось про всі необхідні формули. Для початку нам знадобиться формула площі основи циліндра. Оскільки основою циліндра є коло, то нам потрібно буде застосувати :
Ми пам'ятаємо, що у цих розрахунках використовується постійне число Π = 3,1415926, яке розраховане як співвідношення довжини кола до його діаметра. Це число є математичною константою. Приклад розрахунку площі основи циліндра ми також розглянемо трохи згодом.

Площа бічної поверхні циліндра

Формула площі бічної поверхні циліндра є твір довжини основи на його висоту:

А тепер розглянемо завдання, в якому нам потрібно буде розрахувати повну площу циліндра. У заданій фігурі висота h = 4 см, r = 2 см. Знайдемо повну площу циліндра.
Для початку розрахуємо площу підстав:
Тепер розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні циліндра. У розгорнутому вигляді вона є прямокутником. Його площа розраховується за наведеною вище формулою. Підставимо до неї всі дані:
Повна площа кола являє собою суму подвійної площі основи та бічний:

Таким чином, використовуючи формули площі основ та бічної поверхні фігури, ми змогли знайти повну площу поверхні циліндра.
Осьовий переріз циліндра є прямокутником, в якому сторони рівні висоті і діаметру циліндра.

Формула площі осьового перерізу циліндра виводиться з формули розрахунку:

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.

Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.

Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою

S б.ц. = 2πRH, (1)

Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра

S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Об'єм прямого циліндра

де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.

Оскільки площа основи циліндра дорівнює Q, то є послідовності описаних і вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= Q.

Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами

V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.

Отже,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Наслідок.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою

V = π R 2 H

де R – радіус основи, а H – висота циліндра.

Оскільки основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому

Циліндр - це фігура, що складається з циліндричної поверхніі двох кіл, розташованих паралельно. Розрахунок площі циліндра – це завдання геометричного розділу математики, яке вирішується досить просто. Існує кілька методів її вирішення, які у результаті завжди зводяться до однієї формули.

Як знайти площу циліндра – правила обчислення

• Щоб дізнатися площу циліндра, необхідно дві площі основи скласти з площею бічної поверхні: S = Sбок. + 2Sосн. У більш розгорнутому варіанті дана формула виглядає так: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
• Площа бічної поверхні даного геометричного тіла можна вирахувати, якщо відомі його висота і радіус кола, що лежить у підставі. В даному випадку можна виразити радіус із довжини кола, якщо вона дана. Висота може бути знайдена, якщо за умови встановлено значення твірної. У цьому випадку твірна буде дорівнює висоті. Формула бічної поверхні даного тіла виглядає так: S = 2 π rh.
• Площа основи вважається за формулою знаходження площі кола: S osn = π r 2 . У деяких завданнях може не даватися радіус, але задаватися довжина кола. З цієї формули радіус виражається досить легко. С=2π r, r=С/2π. Потрібно пам'ятати про те, що радіус – це половина діаметра.
• При виконанні всіх цих розрахунків число π зазвичай не переводиться в 3,14159… Його потрібно просто дописувати поруч із числовим значенням, яке було отримано в результаті обчислень.
• Далі необхідно лише помножити знайдену площу підстави на 2 і додати до отриманого числа обчислену площу бічної поверхні фігури.
• Якщо в задачі вказується, що в циліндрі є осьовий переріз і це прямокутник, то рішення буде трохи іншим. У такому разі ширина прямокутника буде діаметром кола, що лежить у підставі тіла. Довжина фігури дорівнює утворює або висоті циліндра. Необхідно вирахувати потрібні значення і підставити вже відому формулу. В даному випадку ширину прямокутника потрібно розділити на два, щоб знайти площу основи. Для знаходження бічної поверхні довжина множиться на два радіуси та на число π.
• Можна вирахувати площу даного геометричного тіла через його об'єм. Для цього потрібно з формули V = π r 2 h вивести недостатню величину.
• У обчисленні площі циліндра нічого складного. Потрібно тільки знати формули та вміти виводити з них величини, необхідні для проведення розрахунків.

Знайдіть площу осьового перерізу, перпендикулярного основам циліндра. Одна зі сторін цього прямокутника дорівнює висоті циліндра, друга - діаметру кола основи. Відповідно, площа перерізу в цьому випадку дорівнюватиме добутку сторін прямокутника. S = 2R * h, де S - площа перерізу, R - радіус кола основи, заданий умовами задачі, а h - висота циліндра, також задана умовами задачі.

Якщо перетин перпендикулярно основам, але при цьому не проходить через вісь обертання, прямокутника не дорівнюватиме діаметру кола. Її треба вирахувати. Для цього завдання має бути сказано, на якій відстані від осі обертання проходить площина перерізу. Для зручності обчислень побудуйте коло основи циліндра, проведіть радіус і відкладіть на ньому відстань, на якій від центру кола знаходиться перетин. Від цієї точки проведіть до перпендикуляра до їхнього перетину з колом. З'єднайте точки перетину із центром. Вам потрібно знайти хорд. Знайдіть розмір половини хорди за теоремою Піфагора. Він дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів радіусу кола від центру до лінії перерізу. a2=R2-b2. Вся хорда буде відповідно дорівнює 2а. Обчисліть площу перерізу, яка дорівнює добутку сторін прямокутника, тобто S=2a*h.

Циліндр можна розсікти, що не проходить через площину основи. Якщо поперечний переріз проходить перпендикулярно осі обертання, воно буде коло. Площа його в цьому випадку дорівнює площі основ, тобто обчислюється за формулою S = R2.

Корисна порада

Щоб точніше уявити перетин, зробіть креслення та додаткові побудови до нього.

Джерела:

• переріз циліндра площа

Лінія перетину поверхні з площиною належить одночасно поверхні та січній площині. Лінія перетину циліндричної поверхні січною площиною, паралельною прямою твірною – пряма лінія. Якщо січна площина перпендикулярна до осі поверхні обертання – у перерізі буде коло. В загальному випадку лінія перетину циліндричної поверхні із січною площиною – крива лінія.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, трикутник, лекала, циркуль, вимірювач.

Інструкція

На фронтальній площині проекцій П₂ лінія перерізу збігається з проекцією площини, що січе, Σ₂ у вигляді прямої.
Позначте точки перетину утворюючих циліндра з проекцією Σ₂ 1₂, 2₂ і т.д. до точок 10₂ та 11₂.

На площині П₁ – це коло. Зазначені на площині перерізу Σ₂ точки 1₂ , 2₂ і т.д. за допомогою лінії проекційного зв'язку спроектуються на нарисі цього кола. Позначте їх горизонтальні проекції симетрично щодо горизонтальної осі кола.

Таким чином, проекції шуканого перерізу визначено: на площині П₂ – пряма (точки 1₂, 2₂…10₂); на площині П₁ – коло (точки 1₁, 2₁…10₁).

По двох побудуйте натуральну величину перерізу даного циліндра площиною Σ, що фронтально-проектує. Для цього використовуйте спосіб проекції.

Проведіть площину П₄ паралельно до проекції площини Σ₂. На цій новій осі x₂₄ позначте точку 1₀. Відстань між точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ тощо. з фронтальної проекції перерізу відкладіть на осі x₂₄, проведіть тонкі лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до осі x₂₄.

У цьому способі площиною П₄ замінюється площина П₁, тому з горизонтальної проекції розміри від осі до точок перенесіть на вісь площини П₄.

Наприклад, на П₁ для точок 2 та 3 це буде відстань від 2₁ і 3₁ до осі (точка А) тощо.

Відклавши з горизонтальної проекції зазначені відстані, отримайте точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потім більшої точності побудови, визначаються інші, проміжні, точки.

З'єднавши лекальною кривою всі точки, отримайте шукану натуральну величину перерізу циліндра фронтально-проектуючою площиною.

Джерела:

• як замінити площину

Порада 3: Як знайти площу осьового перерізу усіченого конуса

Щоб вирішити це завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуруявляє собою переріз. Цілком можливо, що після цього вирішення завдання вже не представлятиме вам складності.

Інструкція

Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі що перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.

Оскільки за умови завдання не обумовлено, саме конус дається в даному випадку, можна зробити висновок, що це прямий усічений конус, горизонтальний переріз якого паралельно до основи. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, А бічні сторони - його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно висотою трапеції.

Площа трапеції визначається за такою формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основи трапеції; b – величина її верхньої основи; h – висота трапеції.

Оскільки в умові не обумовлено, які саме дані, можна , що діаметри обох підстав усіченого конусавідомі: AD = d1 – діаметр нижньої основи усіченого конуса;BC = d2 – діаметр його верхньої основи; EH = h1 – висота конуса.Таким чином, площаосьового перерізуусіченого конусавизначається: S1 = ½ (d1+d2) h1

Джерела:

• площа усіченого конуса

Циліндр є просторовою фігурою і складається з двох рівних основ, які являють собою кола та бічній поверхні, що з'єднує лінії, що обмежують основи. Щоб вирахувати площа циліндра, знайдіть площі всіх поверхонь і складіть їх.

Існує велика кількість завдань, пов'язаних із циліндром. Вони потрібно знаходити радіус і висоту тіла чи вид його перерізу. Плюс до всього, іноді потрібно обчислити площу циліндра та його об'єм.

Яке тіло є циліндром?

В курсі шкільної програмививчається круговий, тобто такий, що є в основі, циліндр. Але виділяють ще й еліптичний вигляд цієї постаті. З назви ясно, що його основою буде еліпс чи овал.

Підстав у циліндра два. Вони рівні один одному та з'єднані відрізками, які поєднують відповідні точки основ. Вони називаються утворюючими циліндрами. Усі утворюють паралельні одне одному і рівні. Саме вони становлять бічну поверхню тіла.

У випадку циліндр — це похило тіло. Якщо утворюючі становлять прямий кут із основами, то говорять вже про пряму фігуру.

Цікаво, що круговий циліндр є тілом обертання. Він виходить від повороту прямокутника навколо однієї з сторін.

Основні елементи циліндра

Основні елементи циліндра виглядають так.

1. Висота. Вона є найкоротшим відстанню між основами циліндра. Якщо він прямий, то висота збігається з твірною.
2. Радіус. Збігається з тим, що можна провести на підставі.
3. Ось. Це пряма лінія, яка містить центри обох підстав. Ось завжди паралельна всім утворюючим. У прямому циліндрі вона перпендикулярна до основ.
4. Осьовий переріз. Воно утворюється при перетині циліндра площиною, що містить вісь.
5. Стосовна площина. Вона проходить через одну з утворюючих і перпендикулярна до осьового перерізу, яке проведено через цю утворювальну.

Як пов'язаний циліндр із вписаною в нього або описаною біля нього призмою?

Іноді зустрічаються завдання, у яких потрібно обчислити площу циліндра, а відомі при цьому деякі елементи призми, пов'язаної з ним. Як співвідносяться ці постаті?

Якщо призма вписана в циліндр, її основи - рівні багатокутники. Причому вони вписані у відповідні основи циліндра. Бічні ребра призми збігаються з утворюючими.

У описаної призми в основах є правильні багатокутники. Вони описані біля кіл циліндра, що є його основами. Площини, які містять грані призми, стосуються циліндра утворюючим.

Про площу бічної поверхні та підстави для прямого кругового циліндра

Якщо зробити розгортку бічної поверхні, то вийде прямокутник. Його сторони збігатимуться з утворюючим і довжиною кола основи. Тому бічна площа циліндра дорівнюватиме добутку цих двох величин. Якщо записати формулу, то вийде таке:

S бік = l * н,

де н - утворює, l - Довжина кола.

Причому останній параметр обчислюється за такою формулою:

l = 2 π*r,

тут r - радіус кола, π - число "пі", що дорівнює 3,14.

Оскільки основа - коло, його площа обчислюється з допомогою такого висловлювання:

S осн = π * r 2 .

Про площу всієї поверхні прямого кругового циліндра

Так як вона утворена двома основами та бічною поверхнею, то потрібно скласти ці три величини. Тобто повна площа циліндра обчислюватиметься за такою формулою:

S підлога = 2 π*r*н+2 π * r 2 .

Часто її записують в іншому вигляді:

S підлога = 2 π*r (н+r).

Про площі похилого кругового циліндра

Щодо підстав, то там усі формули ті самі, адже вони, як і раніше, кола. А от бічна поверхняне дає прямокутника.

Для розрахунку площі бічної поверхні похилого циліндра потрібно перемножити значення твірної і периметра перерізу, який буде перпендикулярно обраної твірної.

Формула виглядає так:

S бік = х * Р,

де х - Довжина утворює циліндра, Р - периметр перерізу.

Перетин, до речі, краще вибирати таке, щоб воно утворювало еліпс. Тоді буде спрощено розрахунки його периметра. Довжина еліпса обчислюється за такою формулою, яка дає приблизну відповідь. Але його часто буває достатньо для завдань шкільного курсу:

l = π * (а + в),

де "а" і "в" - півосі еліпса, тобто відстані від центру до найближчої і найдальшої його точок.

Площу всієї поверхні потрібно обчислювати за допомогою такого виразу:

S підлога = 2 π * r 2 + х * Р.

Чому рівні деякі перерізи прямого кругового циліндра?

Коли перетин проходить через вісь, його площа визначається як твір утворюючої і діаметра основи. Це тим, що має вигляд прямокутника, боку якого збігаються з позначеними елементами.

Щоб знайти площу перерізу циліндра, що є паралельним осьовому, буде потрібно також формула для прямокутника. У цій ситуації одна його сторона, як і раніше, співпадатиме з висотою, а інша дорівнює хорді основи. Остання ж збігається з лінією перетину з основи.

Коли перетин перпендикулярно осі, воно має вигляд кола. Причому його площа така сама, як у підстави фігури.

Можливе ще перетин під деяким кутом до осі. Тоді в перетині виходить овал чи його частина.

Приклади завдань

Завдання №1.Даний прямий циліндр, площа основи якого 12,56 см 2 . Необхідно обчислити повну площу циліндра, якщо його висота дорівнює 3 див.

Рішення. Необхідно скористатися формулою для повної площікругового прямого циліндра Але в ній не вистачає даних, а саме радіусу основи. Натомість відома площа кола. З неї легко вирахувати радіус.

Він виявляється рівним квадратному кореню із приватного, яке виходить від розподілу площі основи на пі. Після розподілу 12,56 на 3,14 виходить 4. Квадратний коріньз 4 - це 2. Тому радіус матиме саме таке значення.

Відповідь: S підлога = 50,24 см 2 .

Завдання №2.Циліндр з радіусом 5 см припинений площиною паралельної осі. Відстань від перерізу до осі дорівнює 3 см. Висота циліндра - 4 см. Потрібно знайти площу перерізу.

Рішення. Форма перерізу – прямокутна. Одна його сторона збігається з висотою циліндра, а інша дорівнює хорді. Якщо перша величина відома, другу потрібно знайти.

Для цього слід зробити додаткову побудову. В основі проводимо два відрізки. Обидва вони починаються в центрі кола. Перша закінчуватиметься в центрі хорди і дорівнюватиме відомій відстані до осі. Друга – на кінці хорди.

Вийде прямокутний трикутник. У ньому відомі гіпотенуза та один із катетів. Гіпотенуза збігається із радіусом. Другий катет дорівнює половині хорди. Невідомий катет, помножений на 2, дасть довжину хорди. Обчислимо його значення.

Для того щоб знайти невідомий катет, потрібно звести в квадрат гіпотенузу і відомий катет, відняти з першого друге і витягти квадратний корінь. Квадрати рівні 25 і 9. Їхня різниця - 16. Після вилучення квадратного кореня залишається 4. Це шуканий катет.

Хорда дорівнюватиме 4 * 2 = 8 (см). Тепер можна обчислити площу перерізу: 8*4 = 32 (см 2).

Відповідь: S січ дорівнює 32 см 2 .

Завдання №3.Необхідно обчислити площу осьового перерізу циліндра. Відомо, що у нього вписаний куб з ребром 10 див.

Рішення. Осьовий переріз циліндра збігається з прямокутником, який проходить через чотири вершини куба та містить діагоналі його основ. Сторона куба є твірною циліндра, а діагональ основи збігається з діаметром. Добуток цих двох величин дасть площу, яку потрібно дізнатися в задачі.

Для пошуку діаметра потрібно скористатися знанням того, що в основі куба – квадрат, а його діагональ утворює рівносторонній прямокутний трикутник. Гіпотенуза його є шуканою діагоналлю фігури.

Для її розрахунку знадобиться формула теореми Піфагора. Потрібно звести в квадрат бік куба, помножити на 2 і витягнути квадратний корінь. Десять у другому ступені — це сто. Помножене на 2 – двісті. Квадратний корінь із 200 дорівнює 10√2.

Перетин - це знову прямокутник із сторонами 10 та 10√2. Його площу легко порахувати, перемноживши ці значення.

Відповідь. S січ = 100√2 см 2 .