Є така наука, вона називається логікою, яка вчить, як треба міркувати, щоб наше мислення було певним, зв'язковим, послідовним, доказовим та несуперечливим. Як людина, яка не знає правил арифметики та граматики, не знає правил логіки, не може без помилок міркувати та діяти.
Людині, котра займається математикою, часто доводиться визначати поняття, з'ясовувати зв'язок з-поміж них, розглядати, які групи (види) може бути підрозділені постаті, числа, рівняння функції. Але особливо часто в математиці доводиться шляхом міркувань виводити різноманітні формули, правила та доводити теореми. Невипадково перебували такі математики, які думали, що математика – це наука «про виробництво необхідних висновків». Такий погляд на математику односторонній, але вірно те, що без логіки може бути математики. І це означає, що з успішного вивчення математики треба наполегливо вчитися правильно міркувати. Це також означає, що саме вивчення математики дуже корисно для оволодіння правилами і законами мислення. Небезпідставно називають іноді математику «оселком для розуму».
Логіка – абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичному значенні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить зрештою з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу мають синтетичний характер. Вони не є констатаціями будь-яких окремих процесів чи подій, які мала б пояснити теорія. Такий аналіз не можна назвати спостереженням: завжди спостерігається конкретне явище.
Дослідження різноманітних логічних ланцюжків (силогізмів) призвело до виявлення знаменитих парадоксів та софізмів. Парадокс – ситуація, як у теорії доводяться два взаємно виключають одне одного судження, причому кожне з цих суджень виведено переконливими з погляду цієї теорії засобами.
Простий категоричний силогізм – міркування, що складається з трьох простих атрибутивних висловлювань: двох посилок та одного висновку. Посилки силогізму поділяються на більшу (яка містить предикат ув'язнення) і меншу (яка містить суб'єкт ув'язнення).
Приклад силогізму:
Кожна людина смертна (велика посилка)
Сократ - людина (менша посилка)
Сократ смертний (висновок)
Мета роботи: у цій роботі я продовжуватиму розвивати думку своєї минулої роботи. Я розгляну докладніше софізми, познайомлю вас з логічними ланцюжкамиі з великими людьми, які відкрили нам їхні закони. Вивчу кілька нових парадоксів. А також спростую чи знайду підтвердження своєї гіпотези.
Гіпотеза: при вирішенні софізмів та парадоксів використовується логіка.
Логіка веде своє походження від ораторського мистецтва. Переконати співрозмовника неможливо, якщо оратор сам собі суперечить (якщо ти сказав, що сніг білий, не слід посилатися на його чорноту). У Стародавню Грецію, де найважливіші питання вирішувалися на порадах, всякий поважаючий себе філософ, політичний діяч чи літератор намагався будувати промову те щоб вона була дохідлива і розумна. У античному світі надзвичайно цінувалося вміння висловлюватися точно, коротко і дотепно.
Любов до точної фрази привела давньогрецьких філософів до логіки. Що з чого випливає і чому? Чи можна, наприклад, стверджувати, що Сократ смертний, якщо дано, що всі люди смертні та Сократ людина? Можна, можливо. А якщо дано, що всі люди смертні і Сократ теж смертний, чи правда, що Сократ є людиною? Невірно: раптом Сократом звуть не лише грецького мудреця, але і, скажімо, його собаку?
Закони логіки, правила виведення вірних тверджень із заданих посилок найповніше досліджував великий давньогрецький філософ Аристотель.
Аристотель (384-322 до н. Е..)
366 року до нашої ери в Академії Платона з'явився новий учень. Він був родом із Стагіра, і йому було 18 років. Учня звали Арістотель.
Майже 20 років провів Арістотель в Академії. З учня він перетворився на мудреця-філософа, який суперничав у знаннях та глибокодумності із самим Платоном. Це суперництво часом ставало дуже гострим, але жодного разу наукові суперечки Платона з Аристотелем не переросли в особисту ворожнечу.
Незабаром після смерті Платона Арістотель покинув Академію. Македонський цар Філіп запросив його виховувати царевича Олександра. У 335г. до зв. е. Аристотель повернувся з Македонії до Афін, де заснував свою школу. Її назва – Лікей – увійшла згодом до латинської та у багато інших мов, змінившись на одну літеру: ліцей.
Після Платоном, Аристотель вважав, що достовірне знання може бути виведено з вихідних, безсумнівних істин – аксіом – з допомогою логічних міркувань. Але Арістотель пішов далі Платона: він описав закони логіки, які дозволяють переходити від одного справжнього судження до іншого без ризику зробити помилку.
Ось кілька законів, сформульованих Арістотелем. Яке судження або істинно, або хибно. Жодна думка не може бути істинною і хибною одночасно. Зі загальних тверджень випливають приватні (наприклад, з того, що всі люди смертні, випливає, що Сократ теж смертний). Протягом багатьох століть науковий авторитет Аристотеля був незаперечний.
«АБО», «І», «ЯКЩО» І «НЕ»
Будь-яке висловлювання може бути істинним чи хибним. Третій варіант важко собі уявити, тому давньогрецькі філософи й користувалися «принципом виключеного третього» - вважали, що не може бути твердження і не істинним, і не хибним. Слідом за ними так рахуємо і ми. Логіка без принципу «виключеного третього» згадується хіба що в фантастичних романах, та й то жартома
А тепер спробуємо зібрати один вислів із двох частин. Як ми часто це робимо, з'єднаємо дві фрази слівцем «або». «У кутку шарудить миша чи крокодил». Чи вірний цей вислів? Залежить від того, хто насправді шарудить у кутку. Якщо це справді миша, фраза вірна. Якщо (як не важко собі таке уявити) це крокодил, знову ж таки висловлювання вірне. Якщо в кутку дружно шарудять миша з крокодилом, вона вірна знову! І тільки якщо в кутку немає ні миші, ні крокодила, а шарудить хом'як, що втік з клітини, висловлювання виявляється помилковим. Це – властивість, властива саме «або»: два твердження, пов'язані цим словом, складають вірне висловлювання, якщо хоча б одне із тверджень справедливе, і хибне, якщо обидва твердження невірні. А тепер складемо маленьку табличку (тут І – «справжнє твердження», Л – «хибне»):
І або І = І,
І чи Л = І,
Л чи І = І.
Л чи Л = Л.
Порівняємо тепер, як поводиться зв'язка «і». Розберемо приклад: «Повз вікна летять горобець і літаюча тарілка». Якщо за вікном немає ні горобця, ні тарілки, цей вислів хибний. Якщо горобець є, а тарілки немає – воно все одно хибне. Якщо є тарілка, але немає горобця – те саме. І лише одночасне присутність обох означає. Що фраза дійсна. Ось таблиця істинності для слівця «і»:
Фраза, пов'язана цим словом, вірна в тому єдиному випадку, коли вірна в тому єдиному випадку, коли вірні обидві частини!
У цьому вся тексті кілька разів використовувалася конструкція фрази «якщо так, то буде так». Подивимося, коли правильне твердження такого типу? Воно вірно, якщо вірна перша частина (посилання) і одночасно вірна друга (висновок). Воно неправильне, якщо правильна посилка, але невірний висновок: безсумнівно хибним є вислів «якщо розбити чашку, то буде землетрус». А якщо посилка неправильна? Може здатися неймовірним, але в цьому випадку висловлювання є істинним. З помилкової посилки випливає будь-що! Насправді нічого дивного в цьому немає: вам самим траплялося і не раз вживати фрази на кшталт «якщо 2х2=5, то я папа римський». Спробуйте довести, що таке твердження хибне! Воно означає лише, що 2х2 не дорівнює п'яти, і ви не папа римський, отже, воно істинне. Отримаємо таку таблицю істинності:
"І" і "або" - це елементарні дії логіки, так само як додавання та множення - це дії арифметики. Між логічними та арифметичними операціями є певна схожість, і зараз ми її продемонструємо. Нехай у нас тільки дві цифри, 0 і 1. Позначатимемо істину одиницею, а брехня – нулем. Тоді наша табличка істинності для «чи» нагадує таблицю двійкового додавання: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1, і тільки для «складання» двох істин (1+1=1) ми отримаємо не ту відповідь, яку дає нам двійкова арифметика (там 1+1=10), але за великим рахунком вона не дуже відрізняється від арифметичного, бо нуля ми не отримаємо однаково. Результат же логічного множення - "і" - повністю збігається з арифметичним: 0х0 = 0, 1х0 = 0, 0х1 = 0, 1х1 = 1.
Аналогу операції «якщо» здавалося б в арифметиці немає. Але якщо ввести ще одну логічну дію, не розглянуту нами докладно – «не», заперечення, влаштоване надзвичайно просто (не істина є брехня, не брехня є істина, тобто в чистому вигляді закон виключеного третього), - виявляється, можна висловити "якщо" через "або", "і" і "ні". Насправді, конструкція «А і В, або не А» поводиться так само, як «якщо А, то В». Якщо А істинно, то не А хибно, і істинність всього висловлювання залежить від істинності; якщо ж А хибно, то не А істинно, і незалежно від істинності чи хибності У висловлювання буде вірним.
Ми недаремно згадали тут арифметичну аналогію логічних операцій. Оскільки можна (з деякими поправками) виразити цифрами та арифметичними знаками істинність чи хибність висловлювань, можна навчити логіці обчислювальну машину. Їй будуть доступні всі логічні міркування, як завгодно складні - потрібно лише висловити їх через "і", "або" і "не".
ПАРАДОКСИ.
Парадокс (від грецького para - проти і doxa - думка) - суперечливе висловлювання.
У широкому значенні феномен – неочевидне висловлювання, істинність якого встановлюється складно; у цьому сенсі парадоксальними прийнято називати будь-які несподівані суперечливі висловлювання, особливо якщо несподіванка їхнього сенсу виражена в дотепній формі.
У математиці феномен – ситуація, як у цій теорії доводяться два взаємовиключних судження, причому кожне з цих суджень виведено переконливими з погляду цієї теорії засобами, т. е. феномен – висловлювання, що у цій теорії так само може бути підтверджено як істина, і як брехня.
Парадокси, зазвичай, свідчать про недоліки аналізованої теорії, про її внутрішньої суперечливості. У науці часто-густо виявлення феномена у межах цієї теорії призводило до істотної перебудові всієї теорії та служило стимулом для подальших глибших досліджень. У математиці аналіз парадоксів сприяв як перегляду поглядів проблему обгрунтування, і розвитку багатьох сучасних ідейта методів. Цими питаннями займається наука, яка називається математичною логікою.
СОБАКА ТА ЗАЄЦЬ
На полюванні собака погналася за зайцем, що знаходився від нього на відстані 100 сажнів, але не наздогнав його. Мисливці були дуже засмучені подібною невдачею, але один із них і каже: «Ех, панове, чи варто засмучуватися через таку дрібницю? Та й чи варто взагалі ганяти собак за зайцями? Все одно собака його ніколи наздогнати не зможе, навіть у тому випадку, якщо побіжить зі швидкістю в 10 разів більшою. »
Як так?! – здивувалися мисливці. - Що за нісенітниця?
Яка там дурниця, панове! Зовсім не дурниця! І я запевняю вас, що завжди так буде!
Ну, що за нісенітниця! - сказали слухачі. – Поясніть, будь ласка, як це може статися?
А от как1 Покладемо, наприклад, що собаку спочатку відокремлює від зайця відстань у 100 сажнів. Якщо навіть собака бігтиме в 10 разів швидше зайця, то коли він пробіжить ці 100 сажнів, заєць встигне пробігти ще 10 сажнів. Коли собака пробіжить і ці 10 сажнів, заєць пробіжить ще 1 сажень, і все-таки попереду собаки; коли собака пробіжить і цю сажень, то заєць пробіжить знову 1/10 сажні і т. д. Таким чином, заєць завжди буде попереду собаки, хоча б на невелику відстань. Отже, собака ніколи не наздожене зайця. Цей парадокс відомий дуже давно і зветься «парадокс Зенона про Ахіллеса і черепаху».
Купа піску
Два приятелі одного разу вели таку розмову. «Бачиш купу піску?» – спитав перший. «Я її бачу, - відповів другий, - але її немає насправді». Перший здивувався: Чому? -Дуже просто, - відповів другий. - Давай розсудимо: одна піщинка, вочевидь, не утворює купи піску. Якщо n піщин не можуть утворити купи піску, то і після додавання ще однієї піщинки вони, як і раніше, не можуть утворити купи. Отже, жодна кількість піщин не утворює купи, тобто купи піску немає. Цей парадокс зветься «парадокс купи».
ПАРАДОКС «БРЕХНЯ»
Найбільш відомим і найцікавішим із усіх логічних парадоксів є парадокс «брехун». «Я – брехун» - каже хтось і впадає у нерозв'язне протиріччя! Адже якщо він справді брехун, він збрехав, кажучи, що він брехун, і, отже, він не брехун; але якщо він не брехун, він сказав правду і, отже, він брехун.
Парадокс «брехун» справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, яке в ньому ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить лише те, що він бреше? Але відповідь так призводить до відповіді ні, і навпаки. І роздум анітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть буденністю питання воно відкриває якусь неясну та незмірну глибину.
Ходить навіть легенда, що якийсь Філіт Косський, зневірившись дозволити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що один із відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу доти, доки не знайде рішення «брехуна», і невдовзі помер, так нічого і не домігшись.
Софізмом називається умисний висновок, який має видимість правильного. Який би не був софізм, він обов'язково містить одну або кілька замаскованих помилок. Особливо часто в математичних софізмах виконуються «заборонені» дії або не враховуються умови застосування теорем, формул і правил. Іноді міркування ведуться з використанням помилкового креслення або спираються на «очевидності», що призводять до помилкових висновків. Зустрічаються софізми, що містять та інші помилки.
У розвитку математики софізми грали істотну роль. Вони сприяли підвищенню суворості математичних міркувань і сприяли глибшому з'ясування понять і методів математики.
Чим же корисні софізми для тих, хто вивчає математику?
Розбір софізмів передусім розвиває логічне мислення, т. е. прищеплює навички правильного мислення. Виявити помилку в софізмі – це означає усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення їх у інших математичних міркуваннях.
Розбір софізмів допомагає свідомому засвоєнню математичного матеріалу, що вивчається, розвиває спостережливість, вдумливість і критичне ставлення до того, що вивчається. Математичні софізми привчають уважно і насторожено просуватися вперед, ретельно стежити за точністю формулювань, правильністю записів та креслень, за допустимістю узагальнень, за законністю виконуваних операцій.
Нарешті, аналіз софізмів цікавий. Тільки дуже суху людину не може захопити цікавий софізм. Як приємно виявити помилку в математичному софізмі і тим самим відновити істину в її правах. Розглянемо деякі софізми.
СОФІЗМ «РОГАТИЙ»
Те, що ти не втратив, маєш; ти не втратив роги, отже, ти їх маєш.
Помилка полягає в неправильному переході від загального правиладо окремого випадку, який цим правилом не передбачено. Справді, початок першої фрази: «Те, що ти не втратив» має на увазі під словом «те» - все, що ти маєш, і ясно, що до нього не включено «роги». Тому висновок «ти маєш роги» неправомірний.
ЧИ РІВНИЙ ПОВНИЙ СКЛЯН ПОРОЖНІМУ?
Виявляється, що так. Справді, проведемо таке міркування. Нехай є склянка, наповнена водою до половини. Тоді можна написати, що склянка, наполовину повна дорівнює склянці, наполовину порожній. Збільшуючи обидві частини рівності вдвічі, отримаємо, що склянка повна дорівнює склянці порожній.
Зрозуміло, що наведене міркування неправильно, оскільки у ньому застосовується неправомірне дію: збільшення вдвічі. У цій ситуації його застосування безглуздо.
ОСТАННІ РОКИ НАШОГО ЖИТТЯ коротші, НІЖ ПЕРШІ.
Відомий старий вислів: у молодості час іде повільніше, а в старості швидше. Цей вислів можна довести математично. Справді, людина протягом тридцятого року мешкає 1/30 частину свого життя, протягом сорокового року – 1/40 частина, протягом п'ятдесятого – 1/50 частина, протягом шістдесятого – 1/60 частина. Цілком очевидно, що
1/30>1/40>1/50>1/60, звідки ясно, що останні роки нашого життя коротші за перші.
Чи не підвела математика?
Справді, вірно, що 1/30>1/40>1/50>1/60. Але неправильне твердження, що протягом тридцятого року людина проживає 1/30 частину свого життя, вона проживає 1/30 тільки тієї частини життя, яку він на цей момент прожив, але саме частини, а не всього життя. Не можна порівнювати між собою частини відрізків часу.
ДВАЖДИ ДВА РІВНО П'ЯТИ.
Напишемо тотожність 4:4 = 5:5. Виносячи їх кожній частині тотожності загальні множники за дужки, отримуємо: 4∙(1:1) = 5∙(1:1) або (2∙2)∙(1:1) = 5∙(1:1).
Оскільки 1:1=1, то 2∙2=5.
Помилка зроблена при винесенні загальних множників 4 з лівої частини та 5 з правої частини. Справді, 4:4=1:1, але 4:4 ≠ 4∙(1:1).
БУДЬ-ЯКЕ ЧИСЛО РІВНО НУЛЮ.
Нехай a – будь-яке фіксоване число. Розглянемо рівняння 3х2-3ах+а2=0. Перепишемо його так: 3х2-3ах=-а2. Помножуючи обидві частини його на а, отримаємо рівняння -3х2а + 3а2х = а3. Додаючи до обох частин цього рівняння х3-а3, отримуємо рівняння х3-3ах2+3а2х-а3=х3 або (х-а)3=х3, звідки х-а=х, тобто а=0.
При а≠0 немає числа х, що задовольняє рівнянню 3х2-3ах+а2=0. Це випливає з того, що дискримінант цього квадратного рівняння D=-3а2
У ході роботи моя гіпотеза підтвердилася: софізми та парадокси будуються виключно за законами логіки.
Розглянуті парадокси та софізми – це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому відкриють і багато інших парадокси, і навіть нові їх типи.
З часом ставлення до парадокси стало більш спокійним і навіть більш терпимим, ніж у момент їх виявлення. Справа не тільки в тому, що парадокси стали чимось звичним. І не в тому, що з ними упокорилися. Пошуки їхніх рішень активно продовжуються. Ситуація змінилася передусім через те, що парадокси виявилися локалізованими. Вони здобули своє певне місце у широкому спектрі логічних досліджень. Стало зрозуміло, що абсолютна суворість – це, в принципі, недосяжний ідеал.
Багато про що йшлося у цій роботі. Ще більше цікавих і важливих тем залишилося поза її межами. Логіка – це особливий, самобутній світ із своїми законами, умовностями, традиціями, суперечками. Те, про що говорить ця наука, знайоме та близьке кожному. Але ввійти у її світ, відчути його внутрішню узгодженість і динаміку, перейнятися його своєрідним духом непросто.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
ЛОГІЧНІ ПАРАДОКСИ
1. Що таке парадокс
У широкому значенні парадокс - це становище, що різко розходиться із загальноприйнятими, усталеними, «ортодоксальними» думками.
Парадокс у більш вузькому і спеціальному значенні - це два протилежні, несумісні твердження, для кожного з яких є аргументи, що здаються переконливими.
Найбільш різка форма парадоксу - антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.
Особливою популярністю користуються парадокси у найсуворіших і найточніших науках - математиці та логіці. І це невипадково.
Логіка – абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичному значенні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить, зрештою, з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу мають синтетичний, нерозчленований характер. Вони не є констатаціями будь-яких окремих процесів чи подій, які мала б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати спостереженням: завжди спостерігається конкретне явище.
Конструюючи нову теорію, вчений зазвичай вирушає від фактів, від цього можна спостерігати досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна зважати на одну неодмінну обставину: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з фактами, що до неї відносяться. Теорія, що розходиться з фактами та спостереженнями, є надуманою та цінності не має.
Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то фактори беруться до уваги під час створення нових логічних теорій?
Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить внутрішньої суперечливості теорії. Цим і пояснюється те значення, яке надається парадоксам у логіці, та та велика увага, якою вони в ній користуються.
Спеціальна література на тему парадоксів практично невичерпна. Досить сказати, що тільки про один з них – парадокс брехуна – написано понад тисячу робіт.
Зовні логічні парадокси, зазвичай, прості і навіть наївні. Але у своїй лукавій наївності вони подібні до старої криниці: на вигляд калюжиця, а дна не дістанеш.
Велика група парадоксів говорить про те коло речей, до якого вони самі належать. Їх особливо складно відокремити від тверджень, на вигляд парадоксальних, але насправді не ведуть до суперечності.
Візьмемо, наприклад, вислів «З усіх правил є винятки». Саме воно є, мабуть, правилом. Отже, з нього можна знайти принаймні один виняток. Але це означає, що існує правило, яке не має жодного винятку. Висловлювання містить посилання на себе і заперечує саме себе. Чи є тут логічний парадокс, замасковане і твердження, і заперечення того самого? Втім, відповісти на це питання досить просто.
Можна замислитись також над тим, чи не є внутрішньо непослідовною думка, ніби всяке узагальнення неправильне, адже сама ця думка – узагальнення. Чи порада – ніколи нічого не радити? Чи максима «Не вірте нічого!», що відноситься і до самої себе? Давньогрецький поет Агафон якось зауважив: «Дуже правдоподібно, що відбувається багато неправдоподібного». Чи не виявляється тут правдоподібне спостереження поета самою неправдоподібною подією?
2. Парадокс брехуна
Парадокси не завжди легко відокремити від того, що тільки нагадує їх. Ще важче сказати, звідки виник парадокс, чим не влаштовують нас найприродніші, здавалося б, припущення та багаторазово перевірені способи міркування.
З особливою виразністю це показує один із найдавніших і, мабуть, найзнаменитіший з логічних парадоксів – парадокс брехуна. Він належить до виразів, які говорять про себе. Відкрив його Євбулід з Мілета, який придумав багато цікавих завдань, які досі викликають полеміку. Але справжню славу Євбулід приніс саме парадокс брехуна.
У найпростішому варіанті цього феномена людина вимовляє лише одну фразу: «Я брешу». Або каже: «Висловлення, яке я зараз вимовляю, є хибним». Або: «Це висловлювання хибне».
Якщо висловлювання хибне, то промовець сказав правду і, отже, сказане їм не є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а той, хто говорить, стверджує, що воно хибне, то це його висловлювання хибне. Виявляється, таким чином, що, коли той, хто говорить, бреше, він говорить правду, і навпаки.
У Середньовіччі поширеною була така формулювання: «Сказане Платоном - хибно, каже Сократ. – Те, що сказав Сократ, – істина, каже Платон».
Виникає питання, хто з них висловлює істину, а хто – брехня?
А ось сучасне перефразування цього феномена. Припустимо, що на лицьовій стороні картки написано лише слова: «На іншому боці цієї картки написано справжнє висловлювання». Зрозуміло, що це слова є осмислене твердження. Перевернувши картку, ми повинні виявити обіцяне, або ні. Якщо висловлювання написано на звороті, воно є або істинним, або ні. Однак на звороті стоять слова: «На іншому боці цієї картки написано хибне висловлювання» – і нічого більше. Припустимо, що твердження на лицьовій стороні є істинним. Тоді твердження на обороті має бути істинним, і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути хибним. Але якщо твердження з лицьової сторони хибне, тоді твердження на обороті також має бути хибним, і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути дійсним. У результаті – парадокс.
Парадокс брехуна справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, яке в ньому ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить лише те, що він бреше? Але відповідь так призводить до відповіді ні, і навпаки. І роздум анітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть буденністю питання воно відкриває якусь неясну та незмірну глибину.
Ходить навіть легенда, що якийсь Філіт Косський, зневірившись дозволити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть, що один із відомих давньогрецьких логіків, Діодор Крон, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу доти, доки не знайде рішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого й не домігшись.
У середні віки цей феномен був віднесений до так званих нерозв'язних речень і став об'єктом систематичного аналізу.
У Новий час «брехун» довго не привертав жодної уваги. За ним не бачили жодних, навіть незначних труднощів, що стосуються вживання мови. І тільки в наш так званий Новий час розвиток логіки досяг нарешті рівня, коли проблеми, що стоять за цим парадоксом, стало можливим формулювати вже в суворих термінах.
Тепер «брехун» часто називається «королем логічних феноменів». Йому присвячена велика наукова література.
Проте, як і у випадку багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім зрозумілим, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися його.
Отже, існують висловлювання, які говорять про свою власну істинність чи хибність. Ідея, що такі висловлювання є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрісіпп.
У середні віки англійський філософ і логік У. Оккам заявив, що твердження «Усяке висловлювання хибне» безглуздо, оскільки воно говорить серед іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлювання хибне, це стосується й самого даного твердження, але те, що воно хибне, означає, що ні всяке висловлювання є хибним. Аналогічно і з твердженням «Всяке висловлювання істинно». Воно також має бути віднесене до безглуздих і також веде до суперечності: якщо кожне висловлювання істинне, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто висловлювання, що не всяке висловлювання є істинним.
Чому, однак, висловлювання не може осмислено говорити про свою власну істинність чи хибність?
Вже сучасник Оккама, французький філософ Ж. Бурідан, не погоджувався з його рішенням. З погляду звичайних уявлень про безглуздість висловлювання типу «Я брешу», «Всяке висловлювання істинно (хибно)» цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитись - такий загальний принцип Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, отже, може і висловитися звідси. Не всі твердження, які говорять про себе, відносяться до безглуздих. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написана російською» є істинною, а твердження «У цьому реченні десять слів» хибне. І обидва вони цілком свідомі. Якщо допускається, що твердження може говорити і про себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?
Сам Бурідан вважав вислів «Я брешу» не безглуздим, а хибним. Він доводив це так. Коли людина стверджує якусь пропозицію, вона стверджує тим самим, що вона є істинною. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що воно саме є хибним, то воно є лише скороченим формулюванням більш складного виразу, що стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Це вираз суперечливий і, отже, хибний. ^ Воно не безглуздо.
Аргументація Бурідану й досі іноді вважається переконливою.
За ідеєю польського логіка А. Тарського, висловленої в 30-х роках. минулого століття, причина парадоксу брехуна в тому, що однією і тією ж мовою йдеться як про предмети, що існують у світі, так і про саму цю «предметну» мову. Мова з такою властивістю Тарська назвала «семантично замкненою». Природна мова, очевидно, семантично замкнена. Звідси неминучість виникнення у ньому феномена. Щоб усунути його, треба будувати своєрідну драбинку, або ієрархію мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про світ предметів, на другому - про цю першу мову, на третій - про другу мову і т. д. що в цьому випадку твердження, яке говорить про свою власну хибність, вже не може бути сформульоване і парадокс зникне.
Цей дозвіл парадоксу не є, звичайно, єдиним можливим. У свій час воно було загальноприйнятим, але зараз колишньої одностайності вже немає. Традиція усувати парадокси такого типу шляхом розшаровування мови залишилася, але намітилися й інші підходи.
Як бачимо, проблеми, які протягом століть пов'язувалися з «брехуном», радикально змінювалися залежно від того, чи розглядався він як приклад двозначності, чи як вираз, що зовні представляється осмисленим, але за своєю суттю безглуздий, або ж як зразок змішання мови та метамови. І немає впевненості, що з цим парадоксом не виявляться пов'язаними в майбутньому й інші проблеми.
Фінський логік і філософ Г. фон Врігт пише про свою роботу, присвячену «брехунові», що даний парадокс в жодному разі не повинен розумітися як локальна, ізольована перешкода, що усувається одним винахідливим рухом думки. «Брехень» зачіпає багато найважливіших тем логіки та семантики; це і визначення істини, і тлумачення протиріччя і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і думкою, що виражається ним, між вживанням виразу і його згадкою, між змістом імені і позначається їм об'єктом.
3. Три нерозв'язні суперечки
В основі іншого знаменитого парадоксу лежить невелика подія, що трапилася дві з лишком тисячі років тому і не забута досі.
У знаменитого софіста Протагора, котрий жив у V в. до нової ери, був учень на ім'я Еватл, який навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише у тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо він цей процес програє, то взагалі зобов'язаний платити. Однак, закінчивши навчання, Еватл не став брати участь у процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя зникло, і він подав на свого учня до суду. Таким чином, для Еватла це був перший процес; від нього йому вже не вдалося б відвернутися. Свою вимогу Протагор обґрунтував так: «Яким би не було рішення суду, Еватл має заплатити мені. Він або виграє цей перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить через наш договір. Якщо програє, то заплатить згідно з рішенням суду».
Зважаючи на все, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору: «Справді, я або виграю процес, або програю його. Якщо виграю, рішення суду звільнить мене від обов'язку платити. Якщо рішення суду буде не на мою користь, то я програв свій перший процес і не заплачу через наш договір».
Здивований таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватлом особливий твір «Тяжба про плату». На жаль, воно, як і більша частинанаписаного Протагором не дійшло до нас. Проте треба віддати належне Протагору, який відразу відчув за простим судовим казусом проблему, яка заслуговує на спеціальне дослідження.
Німецький філософ Г. В. Лейбніц, юрист за освітою, також поставився до цієї суперечки всерйоз. У своїй докторській дисертації «Дослідження про заплутані казуси в праві» він намагався показати, що всі випадки, навіть найзаплутаніші, подібно до позову Протагора і Еватла, повинні знаходити правильний дозвіл на основі здорового глузду. На думку Лейбніца, суд має відмовити Протагору за несвоєчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, його право вимагати сплати грошей Еватлом пізніше, саме після першого виграного ним процесу.
Було запропоновано багато інших рішень цього феномена.
Посилалися, зокрема, на те, що рішення суду має мати більшу силу, ніж приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що, якби не було цієї домовленості, якою б незначною вона не здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд має винести своє рішення саме з її приводу та на її основі.
Зверталися також до загального принципу, що будь-яка праця, а отже і праця Протагора, має бути сплачена. Але відомо, що цей принцип завжди мав винятки, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто неприкладний до конкретної ситуації суперечки: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату у разі невдачі у першому процесі свого учня.
Іноді міркують так. І Протагор і Еватл - обидва мають рацію частково, і жоден з них загалом. Кожен із них враховує лише половину можливостей, вигідну для себе. Повний або всебічний розгляд відкриває чотири можливості, з яких лише половина вигідна для одного з тих, хто сперечається. Яка із цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме більшу силу, ніж договір, Еватл повинен буде сплачувати тільки якщо програє процес, тобто в силу рішення суду. Якщо ж приватна домовленість буде ставитись вище, ніж рішення суддів, то Протагор отримає плату лише у разі програшу процесу Еватлу, тобто через договір з Протагором.
Ця апеляція до "життя" остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли всі обставини, що стосуються справи, абсолютно зрозумілі? І що це буде за «керівництво», якщо Протагор, котра претендує на оплату через суд, доб'ється її, лише програвши процес?
Втім, і рішення Лейбніца, що здається спочатку переконливим, лише небагатьом найкраща порадасуду, ніж неясне протиставлення «логіки» та «життя». По суті, Лейбніц пропонує змінити заднім числом формулювання договору і зазначити, що першим за участю Еватла судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не має бути судом за позовом Протагора. Думка глибока, але така, що не має відношення до конкретного суду. Якби у вихідній домовленості було таке застереження, необхідність у судовому розгляді взагалі не виникла б.
Якщо під рішенням цієї скрути розуміти відповідь на запитання, повинен Еватл платити Протагору чи ні, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони є не більше ніж уникнення істоти спору, є, так би мовити, хитрощами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язній ситуації, оскільки ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.
Неможливо виконати разом договір у його первісній формі та рішення суду, яким би останнє не було. Для підтвердження цього досить простих засобів логіки. За допомогою цих коштів можна також показати, що договір, незважаючи на його цілком безневинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого становища: Еватл має одночасно й сплатити навчання і водночас не платити.
У Стародавній Греції користувався великою популярністю розповідь про крокодила та матір.
«Крокодил вихопив у жінки, яка стояла на березі річки, дитину. На її благання повернути дитину крокодил, проливши, як завжди, крокодилову сльозу, відповів:
Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитину. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитину. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.
Подумавши, мати відповіла:
Ти не віддаси мені дитину.
Ти його не отримаєш, - сказав крокодил. - Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитину, - правда, я не віддам її, тому що інакше сказане не буде правдою. Якщо сказане – неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитину за договором.
Однак матері ця міркування не видалася переконливою.
Але якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми й домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти віддаси дитину, то ти повинен мені її віддати, інакше сказане мною не буде неправдою».
Хто правий: мати чи крокодил? До чого зобов'язує крокодила дану їм обіцянку? До того, щоб віддати дитину, чи, навпаки, щоб не віддавати її?
І до того, і до іншого одночасно. Ця обіцянка внутрішньо суперечлива і, таким чином, нездійсненна через закони логіки.
Цей феномен обігрується в «Дон Кіхоті» М. Сервантеса. Санчо Панса став губернатором острова Бараторія і вершить суд. Першим до нього є якийсь приїжджий і каже: «Сеньйоре, якийсь маєток ділиться на дві половини багатоводної річкою... Через цю річку перекинутий міст, і тут же з краю стоїть шибениця і знаходиться щось на зразок суду, в ньому зазвичай засідає четверо суддів. , і судять вони на підставі закону, виданого власником річки, мосту та всього маєтку. Закон складено таким чином: „Кожен, хто проходить мостом через річку, повинен оголосити під присягою: куди і навіщо він іде. Хто скаже правду, тих пропускати, а хто збреше, тих без будь-якої поблажливості відправляти на шибеницю і стратити». З того часу, коли цей закон був оприлюднений, багато хто встиг пройти через міст, і щойно судді засвідчували, що перехожі говорять правду, то пропускали їх. Але одного разу якийсь чоловік, приведений до присяги, поклявся і сказав, що він прийшов за тим, щоб його підняли на цю саму шибеницю, і ні за чим іншим. Ця клятва здивувала суддів, і вони сказали: „Якщо дозволити цій людині безперешкодно слідувати далі, це означатиме, що вона порушила клятву і згідно із законом винен смерті; якщо ж його повісити, то він клявся, що прийшов тільки за тим, щоб його підняли на шибеницю, отже, клятва його не хибна, і на підставі того ж самого закону слід пропустити його». Я вас питаю, сеньйоре губернаторе, що робити суддям з цією людиною, бо вони досі дивуються і вагаються.
Санчо запропонував, мабуть, не без хитрощів: ту половину людини, яка сказала правду, нехай пропустять, а ту, яка збрехала, нехай повісять, і таким чином правил переходу через міст буде дотримано за всією формою».
Цей уривок цікавий у кількох відносинах. Перш за все, він є наочною ілюстрацією того, що з описаним у парадоксі безвихідним становищем цілком може зіткнутися - і не в чистій теорії, а на практиці - якщо не реальна людина, то хоча б літературний герой.
Вихід, запропонований Санчо Пансою, не був, звісно, рішенням феномена. Але це було саме те рішення, до якого тільки й залишалося вдатися до його становища.
Колись Олександр Македонський, замість розв'язати хитрий гордіїв вузол, чого ще нікому не вдалося зробити, просто розрубав його. Так само вчинив і Санчо. Намагатися вирішити головоломку на її власних умовах було марно - вона просто нерозв'язна. Залишалося відкинути ці умови та запровадити своє.
Сервантес цим епізодом засуджує непомірно формалізований, пронизаний духом схоластичної логіки масштаб середньовічної справедливості. Але якими поширеними в його час – а це було близько чотирьохсот років тому – були відомості в галузі логіки! Не лише самому Сервантесу відомий цей феномен. Письменник знаходить можливим приписати своєму герою, безграмотному селянинові, здатність зрозуміти, що перед ним нерозв'язне завдання!
І нарешті, одне із сучасних перефразувань суперечки Протагора та Еватла.
Місіонер опинився в людожерів і потрапив саме до обіду. Вони дозволяють йому вибрати, як його з'їдять. Для цього він повинен вимовити якесь висловлювання з умовою: якщо цей вислів виявиться істинним, вони його зварять, а якщо воно виявиться хибним, його засмажать. Що слід сказати місіонерові?
Зрозуміло, він повинен сказати: «Ви засмажити мене». Якщо його справді засмажать, виявиться, що він висловив істину і, отже, його треба зварити. Якщо ж його зварять, його висловлювання буде хибним і його слід засмажити. Виходу у людожерів не буде: із «засмажити» випливає «зварити», і навпаки.
4. Деякі сучасні парадокси
Найсерйозніший вплив як на логіку, а й у математику надав феномен, виявлений англійським логіком і філософом минулого століття Б. Расселом.
Рассел вигадав такий популярний варіант свого парадоксу – «парадокс перукаря». Припустимо, що рада якогось села так визначила обов'язки сільського перукаря: голити всіх чоловіків, які не голяться самі, і лише цих чоловіків. Чи повинен він голити себе?
Якщо так, то він ставитиметься до тих, хто голиться сам; але тих, хто голиться сам, не повинен голити. Якщо ні, він належатиме до тих, хто не голиться сам, і, отже, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому, і тільки в тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.
У вихідній версії парадокс Рассела стосується множин, тобто сукупностей, у чомусь подібних один до одного об'єктів. Щодо довільної множини можна поставити запитання: чи є вона своїм власним елементом чи ні? Так, безліч коней не є кінь, тому воно не власний елемент. Але безліч ідей є ідея і містить саму себе; каталог каталогів - це знов-таки каталог. Безліч всіх множин також є власним елементом, оскільки воно - безліч. Розділивши всі множини на ті, які є власними елементами, і ті, які не такі, можна запитати: множина всіх множин, що не є власними елементами, містить себе як елемент чи ні? Відповідь, однак, виявляється, що бентежить: це безліч є свій елемент тільки в тому випадку, коли воно не є таким елементом.
Дана міркування спирається на припущення, що є безліч усіх множин, які не є власними елементами. Отримане з цього припущення протиріччя означає, що така множина не може існувати. Але чому така проста і ясна безліч неможлива? У чому різниця між можливими і неможливими множинами?
На ці запитання дослідники відповідають по-різному. Відкриття феномена Рассела та інших феноменів математичної теорії множин призвело до рішучого перегляду її підстав. Воно послужило, зокрема, стимулом для виключення з її розгляду «занадто великих множин», подібних до безлічі всіх множин, для обмеження правил оперування з множинами і т. д. Незважаючи на велику кількість запропонованих до цього часу способів усунення парадоксів з теорії множин, повного згоди у питанні про причини їх виникнення поки що немає. Немає відповідно і єдиного способу, що не викликає заперечень, попереджати їх появу.
Наведене вище міркування про перукаря спирається на припущення, що такий перукар існує. Отримана суперечність означає, що це припущення хибне, і немає такого мешканця села, який голив би всіх тих і лише тих його мешканців, які не голяться самі.
Обов'язки перукаря не здаються здавалося б суперечливими, тому висновок, що його може бути, звучить трохи несподівано. Але цей висновок не є парадоксальним. Умова, якій має задовольняти «сільський цирульник», насправді внутрішньо суперечлива і, отже, нездійсненна. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ньому немає людини, яка була б старша за себе або яка народилася б до свого народження.
Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно суворо аналогічне до парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно таки не є справжнім парадоксом.
Інший приклад такого ж псевдопарадоксу є відомим міркуванням про каталог.
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, до якого входили всі ті й лише ті бібліографічні каталоги, які містять посилання самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?
Неважко показати, що ідея створення такого каталогу неможлива: він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.
Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується.
Припустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажімо К1, що включає всі відмінні від нього каталоги, що не містять посилання на себе. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, очевидно, що К1 не є її рішенням. Він не згадує один із таких каталогів – самого себе. Включивши до К1 це згадка про нього самому, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 таку згадку, отримаємо КЗ, який знову ж таки неповний через те, що не згадує про себе. І так далі без кінця.
Цікавий логічний парадокс було відкрито німецькими логіками К. Греллінгом та Л. Нельсоном (парадокс Греллінга). Цей феномен можна сформулювати дуже просто.
Деякі слова, що позначають властивості, мають ту саму властивість, яку вони називають. Наприклад, прикметник «російське» саме є російським, «багатоскладне» - саме складне, а «п'ятискладове» саме має п'ять складів. Такі слова, які стосуються самих себе, називаються «самозначними», або «аутологічними». Подібних слів не так багато, в переважній більшості прикметники не мають звану ними властивість. "Нове" не є, звичайно, новим, "гаряче" - гарячим, "однослогове" - що складається з одного складу, "англійське" - англійським. Слова, які мають властивості, позначаного ними, називаються «інозначними», чи «гетерологічними». Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, які не додаються до слів, будуть гетерологічними.
Цей поділ прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: «слово» є словом, «іменник» - іменником, але «годинник» - це не годинник і «дієслово» - не дієслово.
Парадокс виникає, як тільки запитує: до якої з двох груп належить саме прикметник «гетерологічне»? Якщо воно аутологічне, воно має властивість, що позначається, і повинно бути гетерологічним. Якщо ж воно гетерологічне, воно не має званої ним властивості і має бути аутологічним. В наявності парадокс.
Виявилося, що феномен Греллінга був відомий ще в середні віки як антиномія висловлювання, що не називає самого себе.
Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на початку минулого століття Д. Беррі.
Безліч натуральних чисел нескінченна. Безліч тих імен цих чисел, які є, наприклад, у російській мові і містять менше ніж, припустимо, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких у російській мові немає імен, що складаються менш ніж зі ста слів. Серед цих чисел є, мабуть, найменше число. Його не можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: «Найменше натуральне число, котрим немає у російській його складне ім'я, що складається менш як із ста слів», є саме ім'ям цього числа! Це ім'я щойно сформульовано російською мовою і містить лише дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося число, для якого немає імені!
5. Про що говорять парадокси
парадокс брехун логіка аргумент
Розглянуті парадокси - це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому будуть відкриті і багато інших і навіть зовсім нових типів. Саме поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб удалося скласти список хоча б вже відомих парадоксів.
Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник. Парадокси, що належать до логічних, мають бути сформульовані в логічних термінах. Однак у логіці немає чітких критеріїв поділу термінів на логічні та позалогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначено однозначно. З іншого боку, у логічних термінах можна сформулювати і позалогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс лише суто логічні посилки, які завжди вдається визначити однозначно.
Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього не парадоксального і узгоджується з панівними уявленнями.
Спочатку вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити з порушення деякого, ще не дослідженого правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила запроваджений Расселом «принцип порочного кола». Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів неспроможна містити членів, визначальних лише з цієї ж сукупності.
Усі парадокси мають одне загальне властивість - самозастосовність, чи циркулярність. У кожному їх об'єкт, про яку йдеться, характеризується у вигляді деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, людину як саму хитру в класі, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і ця людина(за допомогою його класу). І якщо ми говоримо: «Це висловлювання хибне», ми характеризуємо висловлювання, що цікавить нас шляхом посилання на включаючу його сукупність всіх хибних висловлювань.
У всіх феноменах має місце самозастосовність, отже, є хіба що рух по колу, що веде зрештою до вихідному пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує об'єкта, що розглядається, і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, й криється джерело парадоксів.
Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є також у багатьох зовсім не парадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч найпростіших, нешкідливих і водночас зручних способів вираження. Такі приклади, як "найбільше з усіх міст", "найменше з усіх натуральних чисел", "один з електронів атома заліза" і т. п., показують, що далеко не всякий випадок самозастосовності веде до суперечності і що вона широко використовується не лише у звичайній мові, а й у мові науки.
Просте посилання використання самозастосовних понять недостатня, в такий спосіб, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самозастосовність, що веде до парадоксу, від інших її випадків.
Було багато пропозицій щодо цього, але вдалого уточнення циркулярне™ так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність таким чином, щоб кожна циркулярна міркування вела до парадоксу, а кожен парадокс був результатом деякого циркулярного міркування.
Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінністю всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.
Безперечно, корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, що групує одні парадокси і протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.
Не завжди феномен виступає в такому прозорому вигляді, як у випадку, скажімо, феномена брехуна або феномена Рассела. Іноді парадокс виявляється своєрідною формою постановки проблеми, щодо якої важко навіть вирішити, у чому саме остання полягає. Роздум над такими проблемами зазвичай не призводить до якогось певного результату. Але й воно, безсумнівно, корисне як логічне тренування.
Давньогрецький філософ Горгій написав твір з назвою «Про неіснуюче, або Про природу».
Міркування Горгія про неіснування природи розгортається так. Спочатку доводиться, що нічого не існує. Як тільки доказ завершується, робиться ніби крок назад і передбачається, що щось таки існує. З цього припущення виводиться, що існуюче незбагненно для людини. Ще раз робиться крок назад і передбачається, всупереч, здавалося б, уже доведеному, що існуюче все-таки можна осягнути. З останнього припущення виводиться, що осяжне невимовне і незрозуміле для іншого.
Які проблеми хотів поставити Горгій? Однозначно це питання відповісти неможливо. Очевидно, що міркування Горгія стикає нас із протиріччями і спонукає шукати вихід, щоб позбутися їх. Але в чому саме полягають проблеми, на які вказують протиріччя, і в якому напрямку шукати їх вирішення, зовсім неясно.
Про давньокитайського філософа Хуей Ши відомо, що він був дуже різностороннім, а його писання могли заповнити п'ять возів. Він, зокрема, стверджував: «Те, що не має товщини, не може бути накопичено, і все ж таки його громада може простягатися на тисячу. - небо та земля однаково низькі; гори та болота однаково рівні. - Сонце, що тільки-но досягло зеніту, вже знаходиться в заході сонця; річ, яка щойно народилася, вже вмирає. - Південна сторона світла не має межі і водночас має межу. - Тільки сьогодні вирушивши до Юе, туди я давно вже прибув».
Сам Хуей Ши вважав свої вислови великими і такими, що розкривають найпотаємніший сенс світу. Критики знаходили його вчення суперечливим і плутаним і заявляли, що його упереджені слова ніколи не потрапляли в ціль. У стародавньому філософському трактаті «Чжуан-цзи» зокрема говориться: «Як шкода, що свій талант Хуей Ши бездумно витрачав на непотрібне і не досягнув витоків істини! Він гнався за зовнішньою стороною темряви речей і не міг повернутися до їхнього потаємного початку. Це ніби намагатися втекти від луни, видаючи звуки, або намагатися помчати від власної тіні. Хіба це не сумно?
Сказано чудово, але навряд чи справедливо.
Враження плутанини та суперечливості у висловах Хуей Ши пов'язане із зовнішньою стороною справи, з тим, що він ставить свої проблеми у парадоксальній формі. У чому можна було б йому дорікнути, то це в тому, що висування проблеми він чомусь вважає і її вирішенням.
Як і у випадку багатьох інших парадоксів, важко сказати з певністю, які саме конкретні питання стоять за афоризмами Хуей Ші.
На яку інтелектуальну скруту натякає, його заява, що людина, яка щойно вирушила кудись, давно туди вже прибула? Можна витлумачити це так, що, перш ніж відбути у певне місце, треба уявити це місце і тим самим ніби побувати там. Людина, що прямує, подібно до Хуей Ши, в Юе, постійно тримає в умі цей пункт і протягом усього часу просування до нього як би перебуває в ньому. Але якщо людина, що тільки-но вирушила в Юе, давно вже там, то навіщо їй взагалі вирушати туди? Не зовсім зрозуміло, яка саме труднощі ховається за цим простим висловом.
Які висновки для логіки випливає із існування парадоксів?
Насамперед наявність великої кількості парадоксів говорить про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може здатися. Виявлення парадоксів не випадково збіглося з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки та найбільших її успіхів.
Перші парадокси відкрили ще до виникнення логіки як особливої науки. Багато парадокси були виявлені в середні віки. Пізніше вони виявилися, однак, забутими і знову відкриті вже у минулому столітті.
Тільки сучасна логіка витягла із забуття саму проблему парадоксів, відкрила чи перевідкрила більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що методи мислення, зазвичай досліджувані логікою, зовсім недостатні усунення феноменів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.
Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підбивають нас деякі звичайні методи освіти понять та методи міркувань? Адже вони здавались цілком природними та переконливими, доки не виявилося, що вони парадоксальні.
Парадоксами підривається віра у те, що звичні прийоми теоретичного мислення власними силами і без будь-якого особливого контролю над ними забезпечують надійне просування до істини.
Вимагаючи радикальних змін у надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони відіграють роль фактора, що контролює та ставить обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їх роль можна порівняти з роллю експерименту, що перевіряє правильність гіпотез у таких науках, як фізика і хімія, і змушує вносити до цих гіпотез змін.
Парадокс теоретично свідчить про несумісності припущень, які у її основі. Він постає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б переглянути.
Зрозуміло, хвороба проявляється різноманітно, і її врешті-решт вдається розкрити без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані та уточнені, якби навіть жодні парадокси у цій галузі не були виявлені. Але не було б тієї різкості та невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.
Парадоксам присвячена велика література, запропоновано велику кількість їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і повної згоди в питанні про походження парадоксів та способи звільнення від них немає.
Слід звернути увагу на одну важливу різницю. Усунення парадоксів та їх дозвіл - це зовсім не те саме. Усунути феномен з певної теорії - означає перебудувати її так, щоб феноменальне твердження виявилося в ній недоведеним. Кожен парадокс спирається на велику кількість визначень та припущень. Його висновок теоретично є деяку ланцюжок міркувань. Формально кажучи, можна поставити під сумнів будь-яку її ланку, виключити її і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. Багато роботах так і роблять і цим обмежуються.
Але це ще не дозвіл феномена. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обґрунтувати запропоноване рішення. Сам сумнів у якомусь кроці, що веде до парадоксу, має бути добре обґрунтовано.
Насамперед, рішення про відмову від якихось логічних засобів, які використовуються при виведенні парадоксального твердження, має бути пов'язане з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу та іншими логічними інтуїціями. Якщо цього немає, усунення феномена виявляється позбавленим твердих і стійких підстав і вироджується в технічне завдання.
Крім того, відмова від якогось припущення, навіть якщо він забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід «полювати» поодинці. Виняток одного з них завжди має бути настільки обґрунтованим, щоб з'явилася певна гарантія, що цим самим кроком будуть усунуті й інші парадокси.
І нарешті, непродумана і необережна відмова від надто багатьох або надто сильних припущень може призвести просто до того, що вийде хоч і не містить парадоксів, але суттєво слабкіша теорія, яка має лише приватний інтерес.
Г. Фреге, що є одним із засновників сучасної логіки, мав дуже поганий характер. Крім того, він беззастережно і навіть жорстоко критикував сучасників. Можливо, тому його внесок у логіку та обґрунтування математики довго не отримував визнання. І ось коли вона почала приходити, молодий англійський логік Рассел написав йому, що в системі, опублікованій у першому томі його найважливішої книги «Основні закони арифметики», виникає суперечність. Другий том цієї книги був уже у пресі, але Фреге додав до нього спеціальний додаток, у якому виклав це протиріччя (парадокс Рассела) і визнав, що він не здатний його усунути.
Наслідки були для Фреге трагічними. Йому було тоді всього п'ятдесят п'ять років, але після випробуваного потрясіння він не опублікував більше жодної значної роботи з логіки, хоча прожив ще понад двадцять років. Він не відгукнувся навіть на жваву дискусію, викликану парадоксом Рассела, і ніяк не прореагував на численні рішення цього парадоксу, що пропонувалися.
Враження, зроблене на математиків і логіків щойно відкритими парадоксами, добре висловив видатний математик Д. Гільберт: «... Стан, у якому ми зараз щодо парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте: в математиці - цьому зразку достовірності та істинності - освіта понять і перебіг думок, як їх кожен вивчає, викладає і застосовує, призводить до безглуздості. Де ж шукати надійність та істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку?»
Фреге був типовим представникомлогіки кінця XIX ст., вільної від будь-яких парадоксів, логіки, впевненої у своїх можливостях і претендує на те, щоб бути критерієм суворості навіть для математики. Парадокси показали, що «абсолютна суворість», досягнута нібито логікою, була лише ілюзією. Вони безперечно показали, що логіка - в тому інтуїтивному вигляді, якою вона тоді мала, - потребує глибокого перегляду.
Пройшло ціле століття з того часу, як почалося жваве обговорення парадоксів. Вжита ревізія логіки так і не призвела, однак, до недвозначного їх вирішення.
І водночас такий стан навряд чи кому здається тепер нестерпним. З часом ставлення до парадокси стало більш спокійним і навіть більш терпимим, ніж у момент їх виявлення.
Справа не тільки в тому, що парадокси стали чимось хоч і неприємним, але звичним. І, звичайно, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються у центрі уваги логіків, пошуки їхніх рішень активно продовжуються.
Ситуація змінилася насамперед щодо того, що парадокси виявилися, так би мовити, локалізованими. Вони здобули своє певне, хоч і неспокійне місце у широкому спектрі логічних досліджень.
Стало зрозуміло, що абсолютна суворість, якою вона малювалася наприкінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, - це, в принципі, недосяжний ідеал.
Було усвідомлено також, що немає однієї-єдиної проблеми парадоксів, що стоїть особняком. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і торкаються, по суті, всіх основних розділів логіки. Виявлення парадоксу змушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції та зайнятися систематичною переробкою основ науки логіки. При цьому прагнення уникнути парадоксів не є ні єдиним, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоч і важливою, але лише приводом для роздумів над центральними темами логіки. Продовжуючи порівняння парадоксів з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайно виключити парадокси було б подібно до бажання зняти такі симптоми, не особливо піклуючись про саму хворобу. Потрібно не просто дозвіл парадоксів, необхідне їх пояснення, що поглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.
Роздуми над парадоксами є, без сумніву, одним із найкращих випробувань наших логічних здібностей та одним із найефективніших засобів їх тренування.
Знайомство з парадоксами, проникнення в суть проблем, що стоять за ними - непроста справа. Воно вимагає максимальної зосередженості та напруженого вдумування у кілька, здавалося б, простих тверджень. Тільки за цієї умови парадокс може бути зрозумілий. Важко претендувати на винахід нових рішень логічних парадоксів, але вже ознайомлення з рішеннями, що пропонувалися, є гарною школою практичної логіки.
Розміщено на Allbest.ru
Подібні документи
Зв'язок понять феномена, антиномії, контрадикторності з поняттям протиріччя. Діалектичний процес пізнання, його гносеологічні проблеми. Побудова семантичної лінії. Парадокси брехуна та Мура. "Парадокс обличчя", що регулює механізми ввічливості.
реферат, доданий 27.01.2010
Основні шляхи виникнення логічних парадоксів, їх історичний розвиток та позитивний вплив на розвиток логіки та філософії. Типи парадоксів, їхня класифікація. Конкретні приклади: парадокс "Брехень", парадокси Рассела, Кантора, Рішара та інші теорії.
реферат, доданий 12.05.2014
Парадокс як невід'ємна частина будь-якої області наукового дослідження. Паралогізм як ненавмисна помилка в міркуванні. Софізм як помилки навмисні. Аналіз парадоксів у логіці. Парадокси в математиці та у фізиці. Роль парадоксів у розвитку науки.
реферат, доданий 28.05.2010
Виникнення софізмів у Стародавній Греції. Дискусія між софістами та Сократом про існування об'єктивної істини. Основні види софізмів. Відмінності софізмів та логічних парадоксів. Парадокс "сільського перукаря". Апорії – окрема група парадоксів.
контрольна робота , доданий 26.08.2015
Поняття софізму та його історичне походження. Софізми як позбавлена сенсу та мети гра з мовою. Збагачення мови з допомогою логічних прийомів. Приклади софізмів як інтелектуальних хитрощів і каверз. Поняття логічного феномена та апорії, їх приклади.
реферат, доданий 15.10.2014
Історія виникнення та подальшого розвиткулогіки як науки, а також аналіз її сучасного значення та змісту. Особливості становлення та Порівняльна характеристикасимволічної (математичної), індуктивної, діалектичної та формальної логіки.
контрольна робота , доданий 01.12.2010
Проблеми парадоксальності історія пізнання. Парадокси одноплощинного мислення у багатовимірному світі. Східна філософія дзен. Парадокси в науковому пізнанні, основні стратегії позбавлення парадоксів у теорії множин. Принцип багатовимірності мислення.
реферат, доданий 14.03.2010
Суперечка як зіткнення думок чи позицій, етапи та закономірності його протікання. Критерії класифікації та різновиду спору, їх відмітні ознаки. Основні цілі та завдання кожного типу спору, прийоми та методологія ведення процесу дискусії.
реферат, доданий 27.11.2009
Виникнення та етапи розвитку традиційної формальної логіки. Аристотель як основоположник логіки. Створення символічної логіки, види логічних обчислень, логіки алгебри. Метод формалізації. Становлення діалектичної логіки, роботи І. Канта, Г. Гегеля.
Вчені і мислителі з давніх-давен люблять розважати себе і колег постановкою нерозв'язних завдань і формулюванням різного роду парадоксів. Деякі з подібних уявних експериментів зберігають актуальність протягом тисяч років, що свідчить про недосконалість багатьох популярних наукових моделей і «дірках» у загальноприйнятих теоріях, які давно вважаються фундаментальними.
Пропонуємо вам поміркувати над найцікавішими та дивовижнішими парадоксами, які, як зараз висловлюються, «вибухнули мозок» не одному поколінню логіків, філософів та математиків.
1. Апорія «Ахіллес та черепаха»
Парадокс Ахіллеса та черепахи - одна з апорій (логічно вірних, але суперечливих висловлювань), сформульованих давньогрецьким філософомЗеноном Елейським у V-му столітті до нашої ери. Суть її в наступному: легендарний герой Ахіллес вирішив позмагатися у бігу з черепахою. Як відомо, черепахи не відрізняються прудкістю, тому Ахіллес дав супернику фору в 500 м. Коли черепаха долає цю дистанцію, герой пускається в погоню зі швидкістю в 10 разів більшою, тобто поки черепаха повзе 50 м, Ахіллес встигає пробігти дані . Потім бігун долає наступні 50 м, але черепаха в цей час відповзає ще на 5 м, здається, що Ахіллес ось-ось її наздожене, проте суперниця все ще попереду і поки він біжить 5 м, їй вдається просунутися на півметра і так далі. Дистанція між ними нескінченно скорочується, але, за ідеєю, герою так і не вдається наздогнати повільну черепаху, вона ненабагато, але завжди випереджає його.
© www.student31.ru
Звичайно, з погляду фізики парадокс не має сенсу – якщо Ахіллес рухається набагато швидше, він у будь-якому випадку вирветься вперед, проте Зенон, насамперед, хотів продемонструвати своїми міркуваннями, що ідеалізовані математичні поняття «точка простору» та «момент часу» не надто підходять для коректного застосування до реального руху. Апорія виявляє розбіжність між математично обгрунтованою ідеєю, що ненульові інтервали простору та часу можна ділити нескінченно (тому черепаха повинна завжди залишатися попереду) та реальністю, в якій герой, звичайно, виграє гонку.
2. Парадокс тимчасової петлі
«Нові мандрівники у часі» Девіда Тумі
Парадокси, що описують подорожі в часі, давно є джерелом натхнення для письменників-фантастів і творців науково-фантастичних фільмів і серіалів. Існує кілька варіантів парадоксів тимчасової петлі, один із найпростіших і наочних прикладів подібної проблеми навів у своїй книзі The New Time Travelers (Нові мандрівники в часі) Девід Тумі, професор з Університету Массачусетса.
Уявіть собі, що мандрівник у часі купив у книгарні екземпляр шекспірівського «Гамлета». Потім він вирушив до Англії часів Королеви-діви Єлизавети I і знайшовши Вільяма Шекспіра, вручив йому книгу. Той переписав її і видав як власний твір. Минають сотні років, «Гамлета» перекладають на десятки мов, нескінченно перевидають, і одна з копій опиняється в тому самому книгарні, де мандрівник у часі купує її і віддає Шекспіру, а той знімає копію тощо… Кого в такому разі треба вважати автором безсмертної трагедії?
3. Парадокс дівчинки та хлопчика
Мартін Гарднер / © www.post-gazette.com
Теоретично ймовірностей цей парадокс також називають «Діти містера Сміта» або «Проблеми місіс Сміт». Вперше він був сформульований американським математиком Мартіном Гарднером в одному з номерів журналу Scientific American. Вчені сперечаються над феноменом вже кілька десятиліть і є кілька методів його вирішення. Подумавши над проблемою, ви можете запропонувати свій власний варіант.
У сім'ї є двоє дітей і достеменно відомо, що один з них - хлопчик. Яка ймовірність того, що друга дитина теж має чоловічу стать? На перший погляд, відповідь цілком очевидна - 50 на 50, або вона дійсно хлопчик, або дівчинка, шанси мають бути рівними. Проблема в тому, що для дводітних сімей існує чотири можливі комбінації статей дітей – дві дівчинки, два хлопчики, старший хлопчик та молодша дівчинка і навпаки – дівчинка старшого віку та хлопчик молодшого. Першу можна виключити, тому що один з дітей абсолютно точно хлопчик, але в такому випадку залишаються три можливі варіанти, а не два і ймовірність того, що друге чадо теж хлопчик - один шанс із трьох.
4. Парадокс Журдена із карткою
Проблему, запропоновану британським логіком і математиком Філіпом Журденом на початку XX століття, можна вважати одним із різновидів знаменитого парадоксу брехуна.
Філіп Журден
Уявіть собі – ви тримаєте в руках листівку, на якій написано: «Твердження на зворотній сторонілистівки істинно». Перевернувши листівку, ви виявляєте фразу «Твердження з іншого боку хибно». Як ви розумієте, суперечність очевидна: якщо перше твердження правдиве, то друге теж відповідає дійсності, але в такому разі перше має виявитися хибним. Якщо ж перша сторона листівки брехлива, то фразу на другий також не можна вважати істинною, а це означає, що перше твердження знову-таки стає правдою... Ще цікавіший варіант парадоксу брехуна - у наступному пункті.
5. Софізм «Крокодил»
На березі річки стоять мати з дитиною, раптом до них підпливає крокодил і затягує дитину у воду. Невтішна мати просить повернути її чадо, потім крокодил відповідає, що згоден віддати його цілим і неушкодженим, якщо жінка правильно відповість з його запитання: «Чи поверне він її дитини?». Зрозуміло, що у жінки два варіанти відповіді – так чи ні. Якщо вона стверджує, що крокодил віддасть їй дитину, то все залежить від тварини - порахувавши відповідь правдою, викрадач відпустить дитину, якщо вона скаже, що мати помилилася, то дитини їй не бачити, згідно з усіма правилами договору.
© Коракс Сіракузький
Негативна відповідь жінки все значно ускладнює - якщо вона виявляється вірною, викрадач повинен виконати умови угоди і відпустити дитину, але таким чином відповідь матері не буде відповідати дійсності. Щоб забезпечити брехливість такої відповіді, крокодилові потрібно повернути дитину матері, але це суперечить договору, адже її помилка має залишити дитину у крокодила.
Варто зазначити, що правочин, запропонований крокодилом, містить логічну суперечність, тому його обіцянка нездійсненна. Автором цього класичного софізму вважається оратор, мислитель і політичний діяч Коракс Сіракузький, який жив у V столітті до нашої ери.
6. Апорія «Дихотомія»
© www.student31.ru
Ще один парадокс від Зенона Елейського, який демонструє некоректність ідеалізованої математичної моделі руху. Проблему можна поставити так - скажімо, ви поставили собі за мету пройти якусь вулицю вашого міста від початку і до кінця. Для цього вам необхідно подолати першу її половину, потім половину половини, що залишилася, далі половину наступного відрізка і так далі. Інакше кажучи - ви проходите половину всієї відстані, потім чверть, одну восьму, одну шістнадцяту - кількість відрізків шляху, що зменшуються, прагне до нескінченності, тому що будь-яку частину, що залишилася, можна розділити надвоє, значить пройти весь шлях цілком неможливо. Формулюючи дещо надуманий на перший погляд парадокс, Зенон хотів показати, що математичні закони суперечать реальності, адже насправді ви можете легко пройти всю відстань без залишку.
7. Апорія «Летуча стріла»
Знаменитий феномен Зенона Елейського зачіпає глибокі протиріччя уявленнях вчених про природу руху та часу. Апорія сформульована так: стріла, випущена з лука, залишається нерухомою, так як у будь-який момент часу вона спочиває, не роблячи переміщення. Якщо в кожний момент часу стріла спочиває, значить вона завжди перебуває в стані спокою і не рухається взагалі, тому що немає моменту часу, в який стріла переміщається у просторі.
© www.academic.ru
Видатні уми людства століттями намагаються дозволити парадокс стріли, що летить, проте з логічного погляду він складений абсолютно правильно. Для його спростування потрібно пояснити, яким чином кінцевий часовий відрізок може складатися з нескінченного числа моментів часу - довести це не вдалося навіть Аристотелю, який переконливо критикував апорію Зенона. Аристотель справедливо вказував, що час не можна вважати сумою деяких неподільних ізольованих моментів, проте багато вчених вважають, що його підхід не відрізняється глибиною і спростовує наявність феномена. Варто зазначити, що постановкою проблеми стріли, що летить, Зенон прагнув не спростувати можливість руху, як таку, а виявити протиріччя в ідеалістичних математичних концепціях.
8. Парадокс Галілея
Галілео Галілей / © Wikimedia
У своїй праці «Бесіди та математичні докази, що стосуються двох нових галузей науки» Галілео Галілей запропонував парадокс, що демонструє цікаві властивості нескінченних множин. Вчений сформулював два судження, що суперечать один одному. Перше: є числа, що є квадратами інших цілих чисел, наприклад 1, 9, 16, 25, 36 і так далі. Існують і інші числа, які не мають цієї властивості - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 тощо. Таким чином, загальна кількість точних квадратів та звичайних чисел має бути більшою, ніж кількість тільки точних квадратів. Друга думка: для кожного натурального числа знайдеться його точний квадрат, а для кожного квадрата існує цілий квадратний корінь, тобто, кількість квадратів дорівнює кількості натуральних чисел.
На підставі цієї суперечності Галілей зробив висновок, що міркування про кількість елементів застосовані тільки до кінцевих множин, хоча пізніше математики ввели поняття, потужності множини - з його допомогою була доведена вірність другого судження Галілея і для нескінченних множин.
9. Парадокс мішка картоплі
© nieidealne-danie.blogspot.com
Припустимо, у якогось фермера є мішок картоплі вагою рівно 100 кг. Вивчивши його вміст, фермер виявляє, що мішок зберігався в вогкості - 99% його маси становить вода і 1% решта речовин, що містяться в картоплі. Він вирішує трохи висушити картоплю, щоб вміст води в ньому знизився до 98% і переносить мішок у сухе місце. Наступного дня виявляється, що один літр (1 кг) води дійсно випарувався, але вага мішка зменшилася зі 100 до 50 кг, як таке може бути? Давайте порахуємо - 99% від 100 кг це 99 кг, значить співвідношення маси сухого залишку і маси води спочатку було 1/99. Після сушіння вода налічує 98% загальної маси мішка, отже співвідношення маси сухого залишку до маси води тепер становить 1/49. Оскільки маса залишку не змінилася, вода, що залишилася, важить 49 кг.
Звичайно, уважний читач відразу виявить грубу математичну помилку в розрахунках - уявний жартівливий «парадокс мішка картоплі» можна вважати чудовим прикладом того, як за допомогою на перший погляд «логічних» і «науково підкріплених» міркувань можна буквально на порожньому місці побудувати теорію, суперечить сенсу.
10. Парадокс воронів
Карл Густав Гемпель / © Wikimedia
Проблема також відома як парадокс Гемпеля - другу назву вона отримала на честь німецького математика Карла Густава Гемпеля, автора її класичного варіанта. Проблема формулюється досить просто: кожний ворон має чорний колір. З цього випливає, що все, що не є чорного кольору, не може бути вороном. Цей закон називається логічна контрапозиція, тобто якщо якась посилка «А» має слідство «Б», то заперечення «Б» рівнозначне заперечення «А». Якщо людина бачить чорного ворона, це зміцнює його впевненість, що всі ворони мають чорне забарвлення, що цілком логічно, проте відповідно до контрапозиції та принципу індукції закономірно стверджувати, що спостереження предметів не чорного кольору (скажімо, червоних яблук) також доводить, що всі ворони забарвлені у чорний колір. Інакше кажучи - те, що людина живе у Санкт-Петербурзі доводить, що вона живе над Москві.
З погляду логіки парадокс виглядає бездоганно, проте він суперечить реального життя- червоні яблука аж ніяк не можуть підтверджувати той факт, що всі ворони чорного кольору.
Ось у нас вже з вами була добірка парадоксів -, а так само зокрема, і Оригінал статті знаходиться на сайті ІнфоГлаз.рфПосилання на статтю, з якою зроблено цю копію -
План:
I. Вступ
ІІ. Апорії Зенона
Ахілл та черепаха
Дихотомія
III . Парадокс брехуна
IV . Парадокс Рассела
I . Вступ.
Парадокс - це два протилежні, несумісні твердження, для кожного з яких є аргументи, що здаються переконливими. Найбільш різка форма парадоксу - антиномія,міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.
Особливою популярністю користуються парадокси у найсуворіших і найточніших науках - математиці та логіці. І це невипадково.
Логіка – абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичному значенні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить зрештою з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу мають синтетичний характер. Вони не є констатаціями будь-яких окремих процесів чи подій, які мала б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати спостереженням: завжди спостерігається конкретне явище.
Конструюючи нову теорію, вчений зазвичай вирушає від фактів, від цього можна спостерігати досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна зважати на одну неодмінну обставину: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з фактами, що до неї відносяться. Теорія, що розходиться з фактами та спостереженнями, є надуманою та цінності не має.
Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то фактори беруться до уваги під час створення нових логічних теорій?
Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксам у логіці, та та велика увага, якою вони в ній користуються.
Один із перших і, можливо, найкращих парадоксів був записаний Евбулідом, грецьким поетом і філософом, який жив на Криті в VI столітті до н. е. У цьому феномені критянин Епіменід стверджує, що всі критяни - брехуни. Якщо він каже правду, то він бреше. Якщо він бреше, він говорить правду. То хто ж Епіменід - брехун чи ні?
Інший грецький філософ Зенон Елейський склав серію парадоксів про нескінченність - так звані "апорії" Зенона.
Те, що сказав Платон, є брехня.
Сократ
Сократ каже лише правду.
Платон
ІІ. Апорії Зенона.
Великий внесок у розвиток теорії простору та часу, у дослідження проблем руху зробили елеати (жителі міста Елея у південній Італії). Філософія елеатів спиралася на висунуту Парменідом (вчителем Зенона) ідею неможливості небуття. Будь-яка думка, стверджував Парменід, завжди є думка про те, що існує. Тому неіснуючого немає. Немає й руху, оскільки світовий простір заповнено все, отже, світ єдиний, у ньому немає частин. Будь-яка безліч є обман почуттів. Із цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. За Парменідом ніщо немає і знищується. Цей філософ був першим, хто почав доводити положення мислителями положення
Елеати доводили свої припущення запереченням твердження, протилежного припущенню. Зенон пішов далі свого вчителя, що дало підставу Аристотелю бачити в Зеноні родоначальника "діалектики" - цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини у суперечці шляхом з'ясування протиріч у судженні противника та шляхом знищення цих протиріч.
Ахіл і черепаха.Почнемо розгляд зенонівських труднощів з апорій про рух “ Ахілл та черепаха”. Ахілл - герой і, як ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одна з найповільніших тварин. Тим не менш, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепаху змагання в бігу. Приймемо такі умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху – ½. Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить у 2 рази швидше за черепаху (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань ½, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок ¼ і, як і раніше, попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. д. Отже, щоразу, коли Ахілл долає відстань, що відокремлює його від черепахи, остання встигає повзтися від нього і як і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не наздожене черепаху. Почавши рух, Ахілл ніколи не зможе його завершити.
Обізнані математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд сходить до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з цього приводу Д. Гільберт та П. Бернайс:
“Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченної кількості цих часових інтервалів все-таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Однак це міркування абсолютно не торкається одного істотно парадоксального моменту, а саме парадоксу, що полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершуваність якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б у принципі) , насправді таки має завершитися”.
Принципова незавершеність даної послідовності у тому, що у ній відсутня останній елемент. Щоразу, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, що також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Г. Вейля:
Уявимо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за ½ хвилини, другу - за ¼ хвилини, третю - за ⅛ хвилини і т. д. Така машина могла б до кінця першої хвилини "перерахувати" весь натуральний ряд (написати, наприклад, лічильне число одиниць). Зрозуміло, робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка, "відрахувавши" лічильне безліч точок А 1, А 2, ..., А n, ...?
Дихотомія . Міркування дуже просте. Для того, щоб пройти весь шлях, тіло, що рухається, спочатку має пройти половину шляху, але щоб подолати цю половину, треба пройти половину половини і т. д. до нескінченності. Іншими словами, за тих же умов, що й у попередньому випадку, ми матимемо справу з перевернутим рядом точок: (½) n , ..., (½) 3 , (½) 2 , (½) 1 . Якщо у разі апорії Ахілл та черепахавідповідний ряд не мав останньої точки, то в Дихотоміїцей ряд немає першої точки. Отже, робить висновок Зенон, рух не може початися. А оскільки рух не тільки не може закінчитись, а й не може початися, руху немає. Існує легенда, про яку згадує А. С. Пушкін у вірші «Рух»:
Руху немає, сказав мудрець брадатий.
Другий замовк і став перед ним ходити.
Сильніше не міг би заперечити;
Хвалили всі відповідь хитромудру.
Але, панове, кумедний випадок цей
Інший приклад на згадку мені наводить:
Адже щодня перед нами сонце ходить,
Однак правий упертий Галілей.
Справді, згідно з легендою, один із філософів так і “заперечив” Зенону. Зенон наказав бити його палицями: він не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він говорив про нього немислимості, у тому, що суворий роздум про рух призводить до нерозв'язних протиріч. Тому, якщо ми хочемо позбутися апорій, сподіваючись, що це взагалі можливо (а Зенон якраз вважав, що неможливо), то ми повинні вдаватися до теоретичних аргументів, а не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, висунуте проти апорії Ахілл та черепаха .
“Уявімо, що дорогою в одному напрямку рухаються швидконогий Ахілл і дві черепахи, з яких Черепаха-1 дещо ближче до Ахілла, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл не зможе перегнати Черепаху-1, розмірковуємо так. За той час, як Ахілл пробіжить відстань, що розділяє їх спочатку, Черепаха-1 встигне вповзти кілька вперед, поки Ахілл пробігатиме цей новий відрізок, вона знову-таки просунеться далі, і таке становище нескінченно повторюватиметься. Ахілл все ближче і ближче наближатиметься до Черепахи-1, але ніколи не зможе її перегнати. Такий висновок, звичайно ж, суперечить нашому досвіду, але логічної суперечності в нас поки що немає.
Нехай, однак, Ахілл візьме наздоганяти більш далеку Черепаху-2, не звертаючи жодної уваги на ближню. Той же спосіб міркування дозволяє стверджувати, що Ахілл зуміє впритул наблизитися до Черепахи-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Тепер ми вже приходимо до логічного протиріччя”.
Тут важко щось заперечити, якщо залишатися в полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну суть справи, що дозволить перевести дискусію у русло суворих міркувань. Першу апорію можна звести до наступних трьох тверджень:
1. Який би не був відрізок, тіло, що рухається від А до В, повинно побувати у всіх точках відрізка.
2. Будь-який відрізок можна подати у вигляді нескінченної послідовності спадних по довжині відрізків ... .
3. Оскільки нескінченна послідовність а i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.
Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найбільш відома ілюстрація - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати найповільніше" - була розглянута вище. Але можна запропонувати більш радикальну картину, в якій Ахілл, що обливається потім (вийшов з пункту А), безуспішно намагається наздогнати черепаху, що спокійнісінько гріється на Сонці (у пункті В) і навіть не думає тікати. Суть апорії від цього змінюється. Ілюстрацією тоді стане куди гостріший вислів - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати нерухоме". Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то друга – тим паче.
Філософ Стівен Рід про парадокс брехуна, семантичні парадокси та їх прямий зв'язок з основами математики.
Розмову про логічні парадокси варто почати з невеликої історії, яку Сервантес розповідає у своїй книзі «Дон Кіхот». В одному місці в "Дон Кіхоті" він залишає Санчо Пансу губернатором на острові Бараторія, і, поки він на посаді губернатора, "піддані" його дурять. Одного ранку його розбудили і сказали: «До сніданку вам потрібно розсудити одну справу». А в Іспанії на той час було багато волоцюг, тож з людьми треба було бути дуже обережним. І ось в одного поміщика по землях протікає річка, через яку перекинутий міст, і, щоб переконатися, що всі перехожі заслуговують на довіру, цей поміщик поставив біля мосту шибениці та стражника, який вимагає у кожного перехожого пояснити, куди і навіщо він іде. Якщо перехожий каже правду, йому дозволяється перейти через міст, а якщо він бреше, то на нього чекає шибениця. І все було добре, це допомагало розрізнити, хто бродяга, а хто торговець, поки одного разу не прийшла людина, яка сказала: «Моя мета – бути повішеною на цій шибениці, і нічого більше». І стражника це вразило, бо він подумав: «Добре, якщо ми його повісимо, вийде, що він сказав правду, тоді нам треба було його пропустити, але якщо ми його пропустимо, то вийде, що він збрехав, тоді нам треба було його. повісити». «Отже, Санчо Пансо, як нам розсудити цю справу?» І у Санчо Панси якийсь час йде на те, щоб оцінити парадокс, але в результаті він виносить своє рішення: повісити ту половину людини, яка збрехала, і пропустити ту половину, яка сказала правду.
Це все звучить як розвага для розуму, але для людей, які хочуть розібратися у питаннях істини, аргументації, мови тощо, це вказує на щось дуже тривожне у природі мови. Здається, дуже просто потрапити в парадокс: ми просто не знаємо, чи було висловлювання тієї людини правдою чи ні, чи збрехав він чи ні. І це відсилає нас до початкового феномена брехуна, сформульованому Евбулидом в IV столітті до нашої ери. Він звів його до твору мистецтва, він сказав: «Подумайте про висловлювання Я брешу». Якщо я кажу: «Я брешу», я, звичайно, можу мати на увазі якесь інше своє висловлювання, але якщо використовувати гранично акуратні формулювання, то можна сказати: «Ні, я брешу в тій самій фразі, яку я говорю зараз, це мій вислів хибно». І знову, якщо ви подумаєте, ви скажете: «Якби це була істина, значить, якщо він каже, що його висловлювання хибне, слід, що воно має бути хибним, а не істинним, тобто воно не може бути істинним – воно повинно бути хибним. Але якщо воно хибне, тому що в ньому говориться, що воно хибне, що він брехав - воно має бути істинним». Отже, ми отримуємо парадокс, витончено укладений в одній пропозиції.
Таких парадоксів дуже багато, і легко зрозуміти, чому вони називаються логічними парадоксами: протиріччя, що міститься в них, розкривається за допомогою логіки. Дехто чув про Епіменіда: він був уродженцем Криту, і він був настільки розчарований у здібності своїх співвітчизників говорити правду, що одного разу сказав: «Всі критяни – брехуни». Якщо він мав рацію, якщо справді всі критяни були брехунами або інші критяни завжди брехали, тоді його власне висловлювання має бути парадоксальним. Адже якщо він каже: «Всі критяни - брехуни», то він каже, що і його власне висловлювання хибне, але в такому разі дійсно всі до єдиного крітяни були б брехунами, а отже, він говорив правду, коли сказав, що всі крітяни - брехуни. Вихід з парадоксу, зрозуміло, у тому, що якби деякі критяни говорили правду, то його висловлювання було б просто хибним, а не парадоксальним.
Отже, ми маємо величезну кількість таких парадоксів. Ось один парадокс, який мені особливо подобається: візьмемо картку, з одного боку якої написано: «Висловлювання на звороті цієї картки істинно». Ви її перевертаєте, а там написано: «Висловлювання на звороті цієї картки хибне». І якщо подумати, це просто парадоксально, тому що якщо вислів на першому боці істинний, то, значить, висловлювання на звороті теж істинний, тому що про це говорить перший вислів; але на другому боці написано, що перше висловлювання хибне, тобто, якщо перше висловлювання істинне, воно водночас хибне. Але це неможливо, отже, друге висловлювання має бути хибним; але в ньому написано, що перше висловлювання хибне, тоді перше висловлювання не може бути хибним - воно має бути істинним. Але ми вже бачили, що якщо перше висловлювання є істинним, то воно хибне, так що ми отримуємо чистий парадокс.
Деякі середньовічні мислителі воліли описувати цей феномен через Сократа і Платона чи інколи Платона і Аристотеля. Отже, Платон був учителем Арістотеля і вважав його своїм найкращим учнем, так що одного разу він сказав: "Все, що говорить Арістотель, - істина". Але Арістотель був не зразковим учнем у тому сенсі, що він хотів оскаржити вчення Платона, тому він сказав: «Все, що говорить Платон, хибно», і це дуже схоже на парадокс з карткою.
Все це були парадокси в галузі правди, брехні та мови. Але в XX столітті ми зіткнулися з парадоксами математики. коротка історіяпитання така: після появи математичного аналізу, а потім після роботи з нескінченними рядами у XVIII столітті основи математики виявилися нестійкими, люди запитували «Як нескінченні ряди працюють, не призводячи нас до суперечностей у математиці?». І в XIX столітті розгорнулося велике рух, метою якого був пошук стійких основ математики. Тоді такою основою стала теорія множин. Безліч - це сукупність об'єктів, що визначаються через якусь властивість: наприклад, може бути безліч усіх натуральних чисел, безліч парних чисел або навіть безліч рисових пудингів - можна брати різні множини. У математиці, звичайно ж, використовуються лише числові множини.
І все це виглядало чудово до кінця ХІХ століття. Фреге, Дедекінд і ще мислителі встановили математику чи те, що здавалося твердим основою теорії множин. Але потім Бертран Рассел, знаменитий британський філософ, читаючи роботи Фрег, подумав: «Можна задати безліч чисел, можна задати безліч множин; можна задати безліч множин, що включають себе, а можна задати безліч множин, що не включають самих себе ». А потім він подумав: «Почекайте-но, а якщо у нас є безліч множин, що не включають самих себе, це безліч буде включати себе чи ні?» Якби така множина включала саму себе, тоді вона не повинна містити сама себе, адже за умовою ми беремо тільки ті множини, які не включають самі себе. Так що краще б це безліч не включало само себе, але якщо воно не включає саме себе, тоді воно є безліччю, що не включає самого себе, і воно має бути частиною цієї множини. І, як я вже казав, всі ці парадокси спочатку виглядають як розвага для розуму, але тепер, на початку XX століття, ми знайшли парадокс, суперечність у самому серці того, що має бути основами математики. Як широко відомо, це був великий удар для Фреге: він ось-ось мав випустити другий том своєї роботи «Основні закони арифметики», і йому довелося додати додаток, в якому він писав: «Бертран Рассел вказав на слабке місце в моєму серці. теорії, але, гадаю, я можу вирішити цю проблему», і він запропонував рішення, але, як виявилося, воно не було коректним.
Я звернуся ще ненадовго до парадоксів у теорії множин, бо є ще один досить цікавий парадокс, який повертає нас до розмови про парадокси, пов'язані з істиною, або так званих семантичних парадоксів. Отже, приблизно через 40 років, близько 1940 року, американський математик і логік Хаскелл Б. Каррі обмірковував парадокс Рассела і сказав: «В основі парадоксу Рассела лежить заперечення - він говорить про безліч множин, що не включають себе». Чи можна отримати такий самий парадокс, не використовуючи заперечення? Чи є спосіб? І він сказав, що спосіб є. Візьмемо безліч усіх множин; якщо вони включають себе, то нуль дорівнює одиниці. За теорією множин це цілком припустиме безліч. Але якщо ми почнемо розглядати таку множину, якщо вона включатиме себе, то вона задовольнятиме умові, що якщо вона включає сама себе, то нуль дорівнює одиниці.
А ми припустили, що воно включає саме себе, отже нуль справді дорівнює одиниці. Але цілком очевидно, що нуль не може дорівнювати одиниці, так що ми відіграємо все назад і припускаємо, що безліч не може включати саму себе. Якщо воно не включає саме себе, негайно слідує, що воно не включає саме себе, або нуль дорівнює одиниці. Але це те саме, що сказати, що якщо воно включає себе, нуль дійсно дорівнює одиниці - це те саме, що сказати: або воно не включає себе, або нуль дорівнює одиниці. А це все одно що сказати, що якщо безліч включає себе, то воно не не включає самого себе, тоді нуль дорівнює одиниці. Але тоді воно включає себе, тобто ми довели, що воно включає саме себе, але якщо ми це довели, отже, нуль дорівнює одиниці. Врятуйте! Ми щойно довели, що нуль дорівнює одиниці! Тож у нас прямо в серці математики знову з'явився справжній жахливий парадокс.
І через кілька років цей парадокс був перетворений на один із семантичних парадоксів, про які я говорив раніше, і він отримав форму висловлювання: «Якщо цей вислів істинний, отже, нуль дорівнює одиниці». Або навіть: «Якщо цей вислів є істинним, то Бог існує». І тоді ми всього за кілька рядків можемо довести, що Бог існує чи що завгодно ще: нуль дорівнює одиниці, Бог існує, сьогодні в Москві йде дощ - ми можемо довести що завгодно з таким висловом. Люди дуже багато міркують про правду, тож це дуже небезпечно: невже правда справді така? Невже правда – суперечливе поняття?
І я закінчу тим, що коротко розповім про ще один парадокс, щоб показати, що парадокси всім цим не обмежуються. Ось вислів: "Ви не знаєте цього твердження" - ви не знаєте того самого твердження, яке я зараз вимовляю. Тепер припустимо, що ви знаєте його. Поняття знання та істини говорять нам, що ви можете знати тільки те, що істинно, так що, якщо ви його знаєте, воно істинне, якщо ви не знаєте його, тому що в ньому так говориться. Отже, якщо припустити, що ви його знаєте, то виходить, що ви його не знаєте. Виходить, що ми довели, що ви його не знаєте, але в ньому сказано, що ви його не знаєте, тому ми його довели. І звичайно ж, якщо ми щось довели, значить це істинно, значить, ми це знаємо, адже у нас є доказ. І виходить, що ми довели і те, що ви знаєте це твердження, і те, що ви його не знаєте, тож у нас знову виходить епістемічний парадокс.
Підведемо підсумки. Я описав кілька семантичних парадоксів, переважно пов'язаних з концепцією істини, а також показав, що вони дуже схожі на парадокси, пов'язані з теорією множин, що лежать у самому серці математики. Крім того, ми познайомилися з епістемічними парадоксами, які пов'язані не лише з поняттям істини, а й із поняттям знання. Отже, ми розібрали кілька семантичних парадоксів, таких як парадокс брехуна, парадокс Епіменіда і парадокс з карткою, які ґрунтуються на понятті правди (у них ми говоримо про брехню, неправду, істину і так далі), а потім ми розібрали кілька парадоксів, які виникають у математиці, - вони пов'язані з теорією множин. І наприкінці ми поговорили також про ще один тип парадоксів - епістемічні парадокси.
Відразу можна зрозуміти, наскільки важливо для нас знайти рішення цих парадоксів, якщо в них замішана математика, адже ми шукали міцні основи математики, щоб переконатися, що ми не робимо помилок – а тепер ми виявили у них протиріччя. Тож нам дійсно потрібне рішення, коли мова заходить про математичні парадокси, пов'язані з теорією множин, але й для семантичних парадоксів воно нам теж потрібне. Над поняттям правди розмірковує багато філософів, і вони хочуть зрозуміти природу істини, що таке справжнє висловлювання. Природно припустити, що вислів істинно, якщо все так, як воно говорить; а тепер подивіться на парадокс брехуна: це істинно, якщо я брешу - це ж парадоксально і веде до суперечності. Тож нам потрібно переосмислити поняття істини, дехто хоче переосмислити логіку, що лежить в його основі, та методи доказів, які привели нас до протиріччя. І дуже важливо, щоб ми це зробили, якщо хочемо отримати повне розуміння понять істини та знання.
gif: postnauka.ru/ Стівен Рід