Поняття "багаточлен" і "розкладання многочлена на множники" по алгебрі зустрічаються дуже часто, адже їх необхідно знати, щоб з легкістю проводити обчислення з великими багатозначними числами. У цій статті буде описано кілька способів розкладання. Всі вони досить прості у застосуванні, варто лише правильно підібрати потрібний у кожному конкретному випадку.
Поняття багаточлена
Багаточлен є сумою одночленів, тобто виразів, що містять лише операцію множення.
Наприклад, 2 * x * y - це одночлен, а ось 2 * x * y + 25 - багаточлен, який складається з 2 одночленів: 2 * x * y і 25. Такі багаточлени називає двочленами.
Іноді для зручності розв'язання прикладів з багатозначними значеннями вираз необхідно перетворити, наприклад, розкласти на кілька множників, тобто чисел або виразів, між якими виробляється дія множення. Є низка способів розкладання многочлена на множники. Варто розглянути їх починаючи з найпримітивнішого, який застосовують ще у початкових класах.
Угруповання (запис у загальному вигляді)
Формула розкладання багаточлена на множники способом угруповання в загальному виглядівиглядає таким чином:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Необхідно згрупувати одночлени так, щоб у кожній групі з'явився спільний множник. У першій дужці це множник, а в другій - d. Це потрібно зробити для того, щоб потім винести його за дужку, тим самим спростивши обчислення.
Алгоритм розкладання на конкретному прикладі
Найпростіший приклад розкладання багаточлена на множники способом угруповання наведено нижче:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)
У першу дужку потрібно взяти доданки з множником а, який буде загальним, а в другу - з множником b. Зверніть увагу на знаки + і – у готовому вираженні. Ми ставимо перед одночленом той знак, який був у початковому виразі. Тобто, потрібно працювати не з виразом 25а, а з виразом -25. Знак мінус як би «приклеїти» до виразу, що стоїть за ним, і завжди враховувати його при обчисленнях.
На наступному кроці слід винести множник, який є загальним, за дужку. Саме для цього і робиться угруповання. Винести за дужку - значить виписати перед дужкою (опускаючи знак множення) всі ті множники, які з точністю повторюються у всіх складових, що знаходяться у дужці. Якщо у дужці не 2, а 3 доданків і більше, загальний множник повинен утримуватися в кожному з них, інакше його не можна винести за дужку.
У нашому випадку – лише по 2 доданки у дужках. Загальний множник одразу видно. У першій дужці – це а, у другій – b. Тут слід звернути увагу на цифрові коефіцієнти. У першій дужці обидва коефіцієнти (10 і 25) кратні 5. Це означає, що можна винести за дужку не тільки а, а й 5а. Перед дужкою виписати 5а, а потім кожну з доданків у дужках поділити на загальний множник, який був винесений, а також записати приватне у дужках, не забуваючи про знаки + і - З другою дужкою вчинити також, винести 7b, так як і 14 і 35 кратно 7.
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Вийшло 2 доданків: 5а(2c - 5) та 7b(2c - 5). Кожне з них містить загальний множник (увесь вираз у дужках тут збігається, значить, є спільним множником): 2с - 5. Його теж потрібно винести за дужку, тобто в другій дужці залишаються доданки 5а та 7b:
5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).
Отже, повне вираження:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).
Таким чином, багаточлен 10ас + 14bc - 25a - 35b розкладається на 2 множники: (2c - 5) та (5а + 7b). Знак множення між ними під час запису можна опускати
Іноді зустрічаються вирази такого типу: 5а 2 + 50а 3 тут можна винести за дужку не тільки а або 5а, а навіть 5а 2 . Завжди потрібно намагатися винести максимально великий загальний множник за дужку. У нашому випадку, якщо розділити кожен доданок на загальний множник, то виходить:
5а 2/5а 2 = 1; 50а 3/5а 2 = 10а(при обчисленні частки кількох ступенів з рівними основами основа зберігається, а показник ступеня віднімається). Таким чином, у дужці залишається одиниця (у жодному разі не забувайте писати одиницю, якщо виносите за дужку цілком одне з доданків) і приватне від розподілу: 10а. Виходить що:
5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)
Формули квадратів
Для зручності обчислень було виведено кілька формул. Вони називаються формулами скороченого множення та використовуються досить часто. Ці формули допомагають розкласти на множники багаточлени, що містять ступеня. Це ще один дієвий спосіброзкладання на множники. Отож вони:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула, що отримала назву "квадрат суми", тому що в результаті розкладання в квадрат береться сума чисел, укладена в дужки, тобто значення цієї суми множиться саме на себе 2 рази, а отже, є множником.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Формула квадрата різниці, вона аналогічна попередньої. В результаті виходить різниця, укладена в дужки, що міститься у квадратному ступені.
- a 2 - b 2 = (a + b) (а - b)- це формула різниці квадратів, так як спочатку багаточлен складається з 2 квадратів чисел або виразів, між якими виробляється віднімання. Мабуть, із трьох названих вона використовується найчастіше.
Приклади на обчислення за формулами квадратів
Обчислення з них виробляються досить легко. Наприклад:
- 25x2+20xy+4y 2 - Використовуємо формулу "квадрат суми".
- 25x2 є квадратом виразу 5х. 20ху - подвоєний твір 2 * (5х * 2у), а 4y 2 - це квадрат 2у.
- Таким чином, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у) (5x + 2у).Даний многочлен розкладається на 2 множники (множники однакові, тому записується у вигляді виразу з квадратним ступенем).
Дії за формулою квадрата різниці виробляються аналогічно цим. Залишається формула різниця квадратів. Приклади на цю формулу дуже легко визначити та знайти серед інших виразів. Наприклад:
- 25а 2 – 400 = (5а – 20) (5а + 20). Оскільки 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
- 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Оскільки 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
- з 2 - 169b2 = (с - 13b) (c + 13b). Оскільки 169b 2 = (13b) 2
Важливо, щоб кожен із доданків був квадратом будь-якого висловлювання. Тоді цей многочлен підлягає розкладанню на множники за формулою різниці квадратів. Для цього не обов'язково, щоб над числом стояв саме другий ступінь. Зустрічаються багаточлени, які мають великі ступеня, але однаково підходять до цих формул.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
У цьому прикладі а 8 можна як (a 4) 2 , тобто квадрат деякого выражения. 25 - це 5 2, а 10а 4 - це подвоєне твір доданків2 * a 4 * 5. Тобто цей вираз, незважаючи на наявність ступенів з великими показниками, можна розкласти на 2 множники, щоб працювати з ними.
Формули кубів
Такі ж формули існують для розкладання множники багаточленів, що містять куби. Вони трохи складніші за ті, що з квадратами:
- a 3 + b 3 = (а + b) (a 2 - ab + b 2)- цю формулу називають сумою кубів, тому що в початковому виглядібагаточлен є сумою двох виразів або чисел, укладених у куб.
- a 3 - b 3 = (а - b) (a 2 + ab + b 2) -формула, ідентична попередньої, позначена як різниця кубів.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суми, в результаті обчислень виходить сума чисел або виразів, укладена в дужки і помножена сама на себе 3 рази, тобто в кубі
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -Формула, складена за аналогією попередньої зі зміною лише деяких знаків математичних операцій (плюс та мінус), має назву "куб різниці".
Останні дві формули практично не використовуються з метою розкладання багаточлена на множники, тому що вони складні, і досить рідко зустрічаються багаточлени, що повністю відповідають саме такій будові, щоб їх можна було розкласти за цими формулами. Але їх все одно потрібно знати, тому що вони будуть потрібні при діях у зворотному напрямку - при розкритті дужок.
Приклади на формули кубів
Розглянемо приклад: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Тут взяті досить прості числа, тому відразу можна побачити, що 64а 3 – це (4а) 3 , а 8b 3 – це (2b) 3 . Таким чином, цей многочлен розкладається за формулою різниця кубів на 2 множники. Дії за формулою суми кубів провадяться за аналогією.
Важливо розуміти, що далеко не всі багаточлени підлягають розкладу хоча б одним із способів. Але є такі вирази, які містять більші ступені, ніж квадрат або куб, але їх також можна розкласти за формами скороченого множення. Наприклад: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
У цьому прикладі міститься аж 12 ступінь. Але навіть його можна розкласти на множники за формулою суми кубів. Для цього потрібно представити х 12 як (x 4) 3 тобто як куб якого-небудь виразу. Тепер у формулу замість а слід підставляти саме його. Ну а вираз 125у 3 – це куб 5у. Далі слід скласти твір за формулою та зробити обчислення.
Спочатку або у випадку виниклих сумнівів, ви завжди можете провести перевірку зворотним множенням. Вам потрібно лише розкрити дужки в виразі і виконати дії з подібними доданками. Цей метод відноситься до всіх перерахованих способів скорочення: як до роботи із загальним множником та угруповання, так і до дій за формулами кубів та квадратних ступенів.
Розглянемо на конкретні прикладиЯк розкласти багаточлен на множники
Розкладання багаточленів будемо проводити відповідно до .
Розкласти багаточлени на множники:
Перевіряємо, чи немає спільного множника. є він дорівнює 7cd. Виносимо його за дужки:
Вираз у дужках і двох доданків. Спільного множника вже немає, формулою суми кубів вираз не є, отже, розкладання завершено.
Перевіряємо, чи немає спільного множника. Ні. Багаточлен складається з трьох доданків, тому перевіряємо, чи немає формули повного квадрата. Два доданки є квадратами виразів: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третій доданок дорівнює подвоєному добутку цих виразів:2∙5x∙3y=30xy. Отже, цей багаточлен є повним квадратом. Оскільки подвоєний твір зі знаком «мінус», то це:
Перевіряємо, чи не можна винести загальний множник за дужки. Загальний множник є, він дорівнює a. Виносимо його за дужки:
У дужках — два доданки. Перевіряємо, чи немає формули різниці квадратів чи різниці кубів. a² – квадрат a, 1=1². Отже, вираз у дужках можна розписати за формулою різниці квадратів:
Загальний множник є, він дорівнює 5. Виносимо його за дужки:
у дужках - три доданки. Перевіряємо, чи є вираз повним квадратом. Два доданки — квадрати: 16=4² і a² — квадрат a, третій доданок дорівнює подвоєному добутку 4 і a: 2∙4∙a=8a. Отже, це повний квадрат. Оскільки всі доданки зі знаком «+», вираз у дужках є повним квадратом суми:
Загальний множник -2x виносимо за дужки:
У дужках – сума двох доданків. Перевіряємо, чи є вираз сумою кубів. 64 = 4³, x³-куб x. Отже, двочлен можна розкласти за такою формулою:
Загальний множник є. Але, оскільки багаточлен складається з 4 членів, ми спочатку, а вже потім виносити за дужки загальний множник. Згрупуємо перше доданок з четвертим, у друге - з третім:
З перших дужок виносимо загальний множник 4a, з других - 8b:
Спільного множника поки що немає. Щоб його отримати, з других дужок винесемо за дужки «-«, причому кожен знак у дужках зміниться на протилежний:
Тепер загальний множник (1-3a) винесемо за дужки:
У других дужках є загальний множник 4 (цей той самий множник, який ми не стали виносити за дужки на початку прикладу):
Оскільки багаточлен складається з чотирьох доданків, виконуємо угруповання. Згрупуємо перше доданок з другим, третє - з четвертим:
У перших дужках загального множника немає, але є формула різниці квадратів, у других дужках загальний множник -5:
З'явився загальний множник (4m-3n). Виносимо його за дужки.
Частково використовувати розкладання на множники різницю ступенів ми вже вміємо - при вивченні теми «Різниця квадратів» і «Різниця кубів» ми навчилися представляти як добуток різницю виразів, які можна представити як квадрати або як куби деяких виразів чи чисел.
Формули скороченого множення
За формулами скороченого множення:
різницю квадратів можна представити як добуток різниці двох чисел або виразів на їх суму
Різницю кубів можна як твір різниці двох чисел на неповний квадрат суми
Перехід до різниці виразів 4 ступеня
Спираючись на формулу різниці квадратів, спробуємо розкласти на множники вираз $a^4-b^4$
Згадаймо, як зводиться ступінь у ступінь - для цього основа залишається незмінною, а показники перемножуються, тобто $((a^n))^m=a^(n*m)$
Тоді можна уявити:
$a^4=(((a)^2))^2$
$b^4=(((b)^2))^2$
Отже, наш вираз можна уявити, як $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$
Тепер у першій дужці ми знову отримали різницю чисел, отже знову можна розкласти на множники як добуток різниці двох чисел або виразів на їхню суму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.
Тепер обчислимо твір другої та третьої дужок використовуючи правило твору багаточленів, - помножимо кожен член першого багаточлена на кожен член другого багаточлена та складемо результат. І тому спочатку перший член першого многочлена - $a$ - помножимо перший і другий член другого (на $a^2$ і $b^2$), тобто. отримаємо $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, потім другий член першого багаточлена -$b$- помножимо на перший і другий члени другого багаточлена (на $a^2$ і $b^2$), тобто. отримаємо $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ і складемо суму виразів, що вийшли
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Запишемо різницю одночленів 4 ступеня з урахуванням обчисленого твору:
$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Перехід до різниці виразів 6 ступеня
Спираючись на формулу різниці квадратів, спробуємо розкласти на множники вираз $a^6-b^6$
Згадаймо, як зводиться ступінь у ступінь - для цього основа залишається незмінною, а показники перемножуються, тобто $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$
Тоді можна уявити:
$a^6=(((a)^3))^2$
$b^6=(((b)^3))^2$
Отже, наш вираз можна уявити, як $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$
У першій дужці ми отримали різницю кубів одночленів, у другій суму кубів одночленів, тепер знову можна розкласти на множники різницю кубів одночленів як добуток різниці двох чисел на неповний квадрат суми $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$
Вихідний вираз набуває вигляду
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$
Обчислимо твір другої та третьої дужок використовуючи правило твору багаточленів, - помножимо кожен член першого багаточлена на кожен член другого багаточлена і складемо результат.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
Запишемо різницю одночленів 6 ступеня з урахуванням обчисленого твору:
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Розкладання на множники різниці ступенів
Проаналізуємо формули різниці кубів, різниці $4$ ступенів, різниці $6$ ступенів
Ми бачимо, що в кожному з цих розкладів є деяка аналогія, узагальнюючи яку отримаємо:
Приклад 1
Розкласти на множники $(32x)^(10)-(243y)^(15)$
Рішення:Спочатку представимо кожен одночлен як один одночлен в 5 ступеня:
\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]
Використовуємо формулу різниці ступенів
Малюнок 1.
Розкладання на множники рівняння – це процес знаходження таких членів чи виразів, які, будучи перемноженими, призводять до початкового рівняння. Розкладання на множники є корисною навичкою для вирішення основних алгебраїчних завдань, і стає практично необхідним при роботі з квадратними рівняннями та іншими багаточленами. Розкладання на множники використовується для спрощення рівнянь алгебри, щоб полегшити їх вирішення. Розкладання на множники може допомогти вам виключити певні можливі відповіді швидше, ніж ви зробите, вирішуючи рівняння вручну.
Кроки
Розкладання на множники чисел та основних алгебраїчних виразів
-
Розкладання на множники чисел.Концепція розкладання на множники проста, але практично розкладання на множники може бути непростим завданням (якщо дано складне рівняння). Тому для початку розглянемо концепцію розкладання на множники на прикладі чисел, продовжимо з простими рівняннями, а потім перейдемо до складних рівнянь. Множники цього числа - це числа, які при перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 12 є числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, оскільки 1 * 12 = 12, 2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12.
- Аналогічно, ви можете розглядати множники числа як дільники, тобто числа, на які ділиться дане число.
- Знайдіть усі множники числа 60. Ми часто використовуємо число 60 (наприклад, 60 хвилин у годині, 60 секунд у хвилині і т.д.) і у цього числа досить велика кількість множників.
- Множники 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 та 60.
-
Запам'ятайте:члени висловлювання, що містять коефіцієнт (число) і змінну, також можуть бути розкладені на множники. Для цього знайдіть множники коефіцієнта за змінної. Знаючи, як розкласти члени рівнянь на множники, можна легко спростити дане рівняння.
- Наприклад, член 12x може бути записаний у вигляді твору 12 та х. Ви також можете записати 12x як 3(4x), 2(6x) і т.д., розклавши число 12 на найбільш потрібні множники.
- Ви можете розкладати кілька разів поспіль 12x. Іншими словами, ви не повинні зупинятися на 3(4x) або 2(6x); продовжіть розкладання: 3(2(2x)) або 2(3(2x)) (очевидно, що 3(4x)=3(2(2x)) тощо)
- Наприклад, член 12x може бути записаний у вигляді твору 12 та х. Ви також можете записати 12x як 3(4x), 2(6x) і т.д., розклавши число 12 на найбільш потрібні множники.
-
Застосуйте розподільну властивість множення для розкладання на множники рівнянь алгебри.Знаючи, як розкласти на множники числа та члени виразу (коефіцієнти зі змінними), ви можете спростити нескладні рівняння алгебри, знайшовши загальний множник числа і члена виразу. Зазвичай для спрощення рівняння необхідно знайти найбільший спільний дільник (НД). Таке спрощення можливе завдяки розподільчій властивості множення: для будь-яких чисел а, b, вірна рівність a(b+c) = ab+ac.
- приклад. Розкладіть на множники рівняння 12х + 6. По-перше, знайдіть НОД 12x та 6. 6 є найбільшим числом, яке ділить і 12x, і 6, тому ви можете розкласти це рівняння на: 6(2x+1).
- Цей процес також вірний для рівнянь, у яких є негативні та дробові члени. Наприклад, х/2+4 може бути розкладено на 1/2(х+8); наприклад, -7x+(-21) може бути розкладено на -7(х+3).
Розкладання на множники квадратних рівнянь
-
Переконайтеся, що рівняння наведено у квадратичній формі (ax 2 + bx + c = 0).Квадратні рівняння мають вигляд: ax 2 + bx + c = 0, де а, b, с – числові коефіцієнти відмінні від 0. Якщо вам дано рівняння з однією змінною (х) і в цьому рівнянні є один або кілька членів із змінною другого порядку Ви можете перенести всі члени рівняння на один бік рівняння і прирівняти його до нуля.
- Наприклад, дано рівняння: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Воно може бути перетворене на рівняння x 2 + 6x + 9 = 0, яке є квадратним рівнянням.
- Рівняння зі змінною х великих порядків, наприклад, x 3 x 4 і т.д. є квадратними рівняннями. Це кубічні рівняння, рівняння четвертого порядку тощо (тільки якщо такі рівняння не можуть бути спрощені до квадратних рівнянь зі змінною х у ступені 2).
-
Квадратні рівняння, де а = 1, розкладаються на (x+d)(x+e), де d*е=с та d+е=b.Якщо це квадратне рівняння має вигляд: x 2 + bx + c = 0 (тобто коефіцієнт при x 2 дорівнює 1), то таке рівняння можна (але не гарантовано) розкласти на вищезгадані множники. Для цього потрібно знайти два числа, які при перемноженні дають "с", а при додаванні - "b". Як тільки ви знайдете такі два числа (d і е), підставте їх у наступний вираз: (x+d)(x+e), яке при розкритті дужок призводить до вихідного рівняння.
- Наприклад, дано квадратне рівняння x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 та 3+2=5, тому ви можете розкласти це рівняння на (х+3)(х+2).
- У разі негативних членів внесіть такі незначні зміни до процесу розкладання на множники:
- Якщо квадратне рівняння має вигляд x 2 -bx+c, воно розкладається на: (х-_)(х-_).
- Якщо квадратне рівняння має вигляд x 2 -bx-c, воно розкладається на: (х+_)(х-_).
- Примітка: пробіли можуть бути замінені на дроби чи десяткові числа. Наприклад, рівняння x 2 + (21/2) x + 5 = 0 розкладається на (х+10)(х+1/2).
-
Розкладання на множники методом спроб і помилок.Нескладні квадратні рівнянняможна розкласти на множники, просто підставляючи числа у можливі рішення доти, доки ви не знайдете правильного рішення. Якщо рівняння має вигляд ax 2 +bx+c де a>1, можливі рішення записуються у вигляді (dx +/- _)(ex +/- _), де d і е - числові коефіцієнти відмінні від нуля, які при перемноженні дають а. Або d, або e (або обидва коефіцієнти) можуть дорівнювати 1. Якщо обидва коефіцієнти рівні 1, то скористайтеся способом, описаним вище.
- Наприклад, дано рівняння 3x 2 - 8x + 4. Тут 3 має лише два множники (3 та 1), тому можливі рішення записуються у вигляді (3x +/- _)(х +/- _). У цьому випадку, підставивши замість пробілів -2, ви знайдете правильну відповідь: -2*3x=-6x та -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x та -2*-2=4, тобто таке розкладання при розкритті дужок призведе до членів вихідного рівняння.
Розкладання многочленів на множники – це тотожне перетворення, у результаті якого многочлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.
Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.
Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.
Це перетворення полягає в розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити в двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.
Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.
Рішення.
1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.
2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.
Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.
Рішення.
1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).
2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).
Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).
Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Рішення.
1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).
2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).
3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).
Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).
Закріпимо матеріал.
Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .
Рішення.
1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b2.
2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Винесемо за дужки загальні множники:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = а (а - 3b) - 4b (а - 3b).
4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3b) ∙ (а – 4b).
Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3b) ∙ (а – 4b).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.