Що робити, якщо в процесі вирішення завдання з ЄДІ або на вступному іспиті з математики ви отримали багаточлен, який не вдається розкласти на множники стандартними методами, якими ви навчилися у школі? У цій статті репетитор з математики розповість про один ефективний спосіб вивчення якого знаходиться за рамками шкільної програми, Але з допомогою якого розкласти многочлен на множники не складе особливих труднощів. Дочитайте цю статтю до кінця та перегляньте прикладений відеоурок. Знання, які ви отримаєте, допоможуть вам на іспиті.

Розкладання многочлена на множники шляхом розподілу

У тому випадку, якщо ви отримали багаточлен більше другого ступеня і змогли вгадати значення змінної, коли цей багаточлен стає рівним нулю (наприклад, це значення дорівнює ), знайте! Цей многочлен можна розділити на .

Наприклад, легко бачити, що багаточлен четвертого ступеня звертається в нуль при . Значить його без залишку можна розділити на , отримавши при цьому багаточлен третього ступеня (менше на одиницю). Тобто уявити у вигляді:

де A, B, Cі D- Деякі числа. Розкриємо дужки:

Оскільки коефіцієнти при однакових ступенях повинні бути однаковими, то отримуємо:

Отже, отримали:

Йдемо далі. Достатньо перебрати кілька невеликих цілих чисел, що побачити, що багаточлен третього ступеня знову поділяється на . При цьому виходить багаточлен другого ступеня (менше на одиницю). Тоді переходимо до нового запису:

де E, Fі G- Деякі числа. Знову розкриваємо дужки і приходимо до наступного виразу:

Знову з умови рівності коефіцієнтів при однакових ступенях отримуємо:

Тоді отримуємо:

Тобто вихідний багаточлен може бути розкладений на множники таким чином:

У принципі, за бажання, використовуючи формулу різниця квадратів, результат можна уявити також у такому вигляді:

Ось такий простий і ефективний спосіброзкладання багаточленів на множники. Запам'ятайте його, він може знадобитися вам на іспиті або олімпіаді з математики. Перевірте, чи ви навчилися користуватися цим методом. Спробуйте вирішити наступне завдання самостійно.

Розкладіть багаточлен на множники:

Свої відповіді пишіть у коментарях.

Матеріал підготував , Сергій Валерійович

Розкладання многочленів на множники – це тотожне перетворення, у результаті якого многочлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.

Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.

Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.

Це перетворення полягає в розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити в двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.

Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.

Рішення.

1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.

2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.

Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.

Рішення.

1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).

2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).

Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).

Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Рішення.

1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).

2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).

3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).

Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).

Закріпимо матеріал.

Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .

Рішення.

1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b2.

2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Винесемо за дужки загальні множники:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = а (а - 3b) - 4b (а - 3b).

4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3b) ∙ (а – 4b).

Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3b) ∙ (а – 4b).

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Калькулятор онлайн.
Виділення квадрата двочлена та розкладання на множники квадратного тричлена.

Тобто. задачі зводяться до знаходження чисел \(p, q \) та \(n, m \)

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й відображає процес вирішення.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного тричлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення квадратного багаточлена

Як змінна може виступати будь-яка латинська літера.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числаможна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах дробова частина від цілої може відокремлюватися як точкою, так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як числитель, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. В цьому випадку при вирішенні введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Приклад детального рішення

Виділення квадрата двочлену.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Відповідь:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Розкладання на множники.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Відповідь:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлено у чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводіть у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Небагато теорії.

Виділення квадрата двочлена із квадратного тричлена

Якщо квадратний тричлен aх 2 +bx+c представлений у вигляді a(х+p) 2 +q, де p і q - дійсні числа, то кажуть, що з квадратного тричлена виділено квадрат двочлена.

Виділимо з тричлена 2x2+12x+14 квадрат двочлена.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Для цього представимо 6х у вигляді твору 2*3*х, а потім додамо та віднімемо 3 2 . Отримаємо:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.ч. ми виділили квадрат двочлена із квадратного тричлена, і показали, що:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Розкладання на множники квадратного тричлена

Якщо квадратний тричлен aх 2 +bx+c представлений у вигляді a(х+n)(x+m), де n та m - дійсні числа, то кажуть, що виконано операцію розкладання на множники квадратного тричлена.

Покажемо з прикладу як це перетворення робиться.

Розкладемо квадратний тричлен 2x2+4x-6 на множники.

Винесемо за дужки коефіцієнт a, тобто. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Перетворимо вираз у дужках.
Для цього представимо 2х у вигляді різниці 3x-1x, а -3 у вигляді -1*3. Отримаємо:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.ч. ми розклали на множники квадратний тричлен, і показали, що:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Зауважимо, що розкладання на множники квадратного тричлена можливе лише тоді, коли, квадратне рівняння, що відповідає цьому тричлену має коріння.
Тобто. у разі розкласти на множники трехчлен 2x 2 +4x-6 можливо, якщо квадратне рівняння 2x 2 +4x-6 =0 має коріння. У процесі розкладання множники ми встановили, що рівняння 2x 2 +4x-6 =0 має два корені 1 і -3, т.к. при цих значеннях рівняння 2(x-1)(x+3)=0 звертається до правильної рівності.

Що таке розкладання на множники?Це спосіб перетворення незручного та складного прикладу на простий і симпатичний.) Оч-ч-чень потужний прийом! Зустрічається на кожному кроці і в елементарній математиці, і у вищій.

Подібні перетворення математичною мовою називаються тотожними перетвореннями виразів. Хто не в темі – прогуляйтеся за посиланням. Там зовсім небагато, просто і корисно.) Сенс будь-якого тотожного перетворення - це запис висловлювання в іншому виглядііз збереженням його суті.

Сенс розкладання на множникигранично простий і зрозумілий. Прямо із самої назви. Чи можна забути (або не знати), що таке множник, але те, що це слово походить від слова "помножити" зрозуміти можна?) Розкласти на множники означає: уявити вираз у вигляді множення чогось на щось. Нехай вибачать мені математика та російська мова...) І все.

Наприклад, треба розкласти число 12. Можна сміливо записати:

Ось ми і представили число 12 у вигляді множення 3 на 4. Прошу зауважити, що циферки праворуч (3 та 4) зовсім інші, ніж ліворуч (1 та 2). Але ми чудово розуміємо, що 12 та 3·4 одне і теж.Суть числа 12 від перетворення не змінилась.

А чи можна розкласти 12 по-іншому? Легко!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Варіантів розкладання – нескінченна кількість.

Розкладання чисел на множники – штука корисна. Дуже допомагає, наприклад, при діях із корінням. Але розкладання на множники алгебраїчних виразів річ не те, що корисна, вона - необхідна!Чисто для прикладу:

Спростити:

Хто не вмієте розкладати вираз на множники, відпочиває осторонь. Хто вміє - спрощує та отримує:

Ефект приголомшливий, правда?) До речі, рішення досить просте. Нижче самі побачите. Або, наприклад, таке завдання:

Розв'язати рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Вирішується в умі, між іншим. За допомогою розкладання на множники. Нижче ми розв'яжемо цей приклад. Відповідь: x1=0; x 2 = 1.

Або, те саме, але для старшеньких):

Розв'язати рівняння:

На цих прикладах я показав основне призначеннярозкладання на множники: спрощення дробових виразів та розв'язання деяких типів рівнянь. Рекомендую запам'ятати практичне правило:

Якщо перед нами страшний дрібний вираз, можна спробувати розкласти на множники чисельник і знаменник. Дуже часто дроб скорочується та спрощується.

Якщо перед нами рівняння, де праворуч – нуль, а ліворуч – не зрозумій що, можна спробувати розкласти ліву частину на множники. Іноді допомагає).

Основні засоби розкладання на множники.

Ось вони, найпопулярніші способи:

4. Розкладання квадратного тричлену.

Ці методи треба запам'ятати. Саме так. Складні приклади перевіряються на все можливі способирозкладання.І краще вже перевіряти по порядку, щоб не заплутатися... От по порядочку і почнемо.

1. Винесення загального множника за дужки.

Простий та надійний спосіб. Від нього погано не буває! Бува або добре, або ніяк.) Тому він і стоїть першим. Розбираємось.

Усі знають (я вірю!)) правило:

a(b+c) = ab+ac

Або, більш загальному вигляді:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+.

Всі рівності працюють як ліворуч, так і навпаки, праворуч ліворуч. Можна записати:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Ось і вся суть винесення загального множника за дужки.

У лівій частині а - загальний множникдля всіх доданків. Множиться на все, що є). Справа це саме азнаходиться вже за дужками.

Практичне застосування методу розглянемо на прикладах. Спочатку варіант простий, навіть примітивний.) Але на цьому варіанті я відзначу ( зеленим кольором) дуже важливі моментидля будь-якого розкладання на множники.

Розкласти на множники:

ах+9х

Який загальниймножник сидить в обох доданків? Ікс, зрозуміло! Його й виноситимемо за дужки. Робимо так. Відразу пишемо ікс за дужками:

ах+9х=х(

А в дужках пишемо результат поділу кожного доданкана цей самий ікс. По порядку:

От і все. Звичайно, так докладно розписувати не потрібно, Це робиться в умі. Але розуміти, що до чого бажано). Фіксуємо у пам'яті:

Пишемо загальний множник за дужками. У дужках записуємо результати розподілу всіх доданків на цей загальний множник. По порядку.

Ось ми і розклали вираз ах+9хна множники. Перетворили його на множення ікса на (А+9).Зауважу, що у вихідному вираженні теж було множення, навіть два: ах і 9х.Але воно не було розкладено на множники!Тому що, крім множення, у цьому виразі було ще й додавання, знак "+"! А у виразі х(а+9) крім множення нічого немає!

Як так!? - чую обурений голос народу - А в дужках!?

Так, усередині дужок є додавання. Але фішка в тому, що поки що дужки не розкриті, ми розглядаємо їх як одну літеру.І всі дії з дужками робимо цілком, як із однією літерою.У цьому сенсі у вираженні х(а+9)крім множення нічого немає. У цьому суть розкладання на множники.

До речі, чи можна перевірити, чи все правильно ми зробили? Просто! Достатньо назад помножити те, що винесли (ікс) на дужки та подивитися – чи вийшло вихідневираз? Якщо вийшло, все тип-топ!

х(а+9)=ах+9х

Вийшло.)

У цьому примітивному прикладі проблем немає. Але якщо доданків кілька, та ще з різними знаками... Коротше, кожен третій учень косить). Тому:

При необхідності перевіряємо розкладання на множники зворотним множенням.

Розкласти на множники:

3ах+9х

Шукаємо спільний множник. Ну, з ікс все ясно, його можна винести. А чи є ще загальниймножник? Так! Це трійка. Можна ж записати вираз ось так:

3ах+3·3х

Тут одразу видно, що спільний множником буде 3х. Ось його й виносимо:

3ах+3·3х=3х(а+3)

Розклали.

А що буде, якщо винести тільки х?Та нічого особливого:

3ах+9х=х(3а+9)

Це також буде розкладання на множники. Але в цьому цікавому процесі прийнято розкладати все до упору, поки є можливість. Тут у дужках є можливість винести трійку. Вийде:

3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)

Те саме, тільки з однією зайвою дією.) Запам'ятовуємо:

При винесенні загального множника за дужки, намагаємося винести максимальнийзагальний множник.

Продовжуємо розвагу?)

Розкласти на множники вираз:

3ах+9х-8а-24

Що виноситимемо? Трійку, ікс? Не-е-е... Не можна. Нагадую, виносити можна лише загальниймножник, який є у всіхдоданків вирази. На те він і загальний.Тут такого множника нема... Що, можна не розкладати!? Ну так, зраділи, як же... Знайомтеся:

2. Угруповання.

Власне, угруповання важко назвати самостійним способом розкладання на множники. Це, швидше, спосіб викрутитися в складному прикладі.) Треба згрупувати доданки так, щоб все вийшло. Це лише на прикладі показати можна. Отже, перед нами вираз:

3ах+9х-8а-24

Видно, що якісь загальні літери та числа є. Але... Спільногомножника, щоб був у всіх доданків – ні. Не падаємо духом і розбиваємо вираз на шматочки.Групуємо. Так щоб у кожному шматочку був загальний множник, було чого винести. Як розбиваємо? Та просто ставимо дужки.

Нагадаю, що дужки можна ставити будь-де і як завгодно. Аби суть прикладу не змінювалася.Наприклад, можна так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24))

Прошу звернути увагу на другі дужки! Перед ними стоїть знак мінус, а 8аі 24 стали позитивними! Якщо, для перевірки, назад розкрити дужки, знаки зміниться, і ми отримаємо вихідневираз. Тобто. суть висловлювання від дужок не змінилася.

Але якщо ви просто встромили дужки, не враховуючи зміну знака, наприклад, ось так:

3ах+9х-8а-24=(3ах+9х) -(8а-24) )

це буде помилка. Справа – вже іншевираз. Розкрийте дужки та все стане видно. Далі можна не вирішувати, так...)

Але повертаємось до розкладання на множники. Дивимося на перші дужки (3ах+9х)і розуміємо, чи можна чого винести? Ну, цей приклад ми вище вирішували, можна винести 3х:

(3ах+9х)=3х(а+3)

Вивчаємо другі дужки, там можна винести вісімку:

(8а+24)=8(а+3)

Весь наш вираз вийде:

(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)

Розклали на множники? Ні. В результаті розкладання має вийти тільки множення,а у нас знак мінус усе псує. Але... В обох доданків є спільний множник! Це (а+3). Я недаремно казав, що дужки цілком - це ніби одна літера. Отже, ці дужки можна винести за дужки. Так, саме так і звучить.

Робимо, як було розказано вище. Пишемо спільний множник (а+3), у других дужках записуємо результати поділу доданків на (а+3):

3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)

Усе! Праворуч крім множення нічого немає! Значить, розкладання на множники завершено успішно!) Ось воно:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Повторимо коротко суть угруповання.

Якщо у виразі немає спільногомножника для всіхдоданків, розбиваємо вираз дужками так, щоб усередині дужок загальний множник був.Виносимо його та дивимося, що вийшло. Якщо пощастило, і в дужках залишилися однакові висловлювання, виносимо ці дужки за дужки.

Додам, що угруповання – процес творчий). Не завжди з першого разу виходить. Нічого страшного. Іноді доводиться міняти доданки місцями, розглядати різні варіанти угруповання, доки знайдеться вдалий. Головне тут – не падати духом!)

приклади.

Зараз, збагатившись знаннями, можна й хитрі приклади вирішити.) Була на початку уроку трійка таких...

Спростити:

По суті цей приклад ми вже вирішили. Непомітно для себе.) Нагадую: якщо нам дано страшний дріб, пробуємо розкласти чисельник та знаменник на множники. Інших варіантів спрощення просто ні.

Ну, знаменник тут не розкладається, а чисельник... Чисельник ми вже розклали по ходу уроку! Ось так:

3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)

Пишемо результат розкладання в чисельник дробу:

За правилом скорочення дробів (основна властивість дробу), ми можемо розділити (одночасно!) чисельник і знаменник на те саме число, або вираз. Дроби від цього не змінюється.Ось і ділимо чисельник і знаменник на вираз (3х-8). І там і там отримаємо одинаки. Остаточний результат спрощення:

Особливо підкреслю: скорочення дробу можливе тоді і тільки тоді, коли в чисельнику та знаменнику крім множення виразів нічого немає.Саме тому перетворення суми (різниці) на множеннятак важливо задля спрощення. Звичайно, якщо вирази різні,то й не скоротиться нічого. Буве. Але розкладання на множники дає шанс.Цього шансу без розкладання просто немає.

Приклад із рівнянням:

Розв'язати рівняння:

х 5 - х 4 = 0

Виносимо спільний множник х 4за дужки. Отримуємо:

х 4 (x-1) = 0

Розуміємо, що добуток множників дорівнює нулю тоді і лише тоді,коли якийсь із них дорівнює нулю. Якщо сумніваєтеся, знайдіть мені пару ненульових чисел, які при множенні нуль дадуть.) Ось і пишемо, спочатку перший множник:

За такої рівності другий множник нас не хвилює. Будь-який може бути, все одно в результаті нуль вийде. А яке число четвертою мірою нуль дасть? Тільки нуль! І ніяке інше... Отже:

Із першим множником розібралися, один корінь знайшли. Розбираємось з другим множником. Тепер нас не хвилює вже перший множник.):

Ось і знайшли рішення: x1=0; x 2 = 1. Будь-яке з цих коренів підходить до нашого рівняння.

Дуже важливе зауваження. Зверніть увагу, ми вирішували рівняння по шматочках!Кожен множник прирівнювали до нуля, не звертаючи уваги інші множники.До речі, якщо в подібному рівнянні буде не два множники, як у нас, а три, п'ять, скільки завгодно – вирішуватимемо так само.По шматочках. Наприклад:

(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0

Той, хто розкриє дужки, перемножить все, той назавжди зависне на цьому рівнянні. І почне (в умі!) прирівнювати до нуля всі дужки по порядку. І отримає (за 10 секунд!) вірне рішення: х 1 = 1; x 2 = -5; x3 = 3; х 4 = -2.

Здорово, правда?) Таке елегантне рішення можливе, якщо ліва частина рівняння розкладено на множники.Натяк зрозумілий?)

Ну і, останній приклад, для старших):

Розв'язати рівняння:

Чимось він схожий на попередній, не знаходите?) Звичайно. Саме час пригадати, що в алгебрі сьомого класу під літерами можуть ховатися і синуси, і логарифми, і все, що завгодно! Розкладання на множники працює у всій математиці.

Виносимо спільний множник lg 4xза дужки. Отримуємо:

lg 4 x=0

Це один корінь. Розбираємось з другим множником.

Ось і остаточна відповідь: х 1 = 1; x 2 = 10.

Сподіваюся, ви усвідомили всю міць розкладання на множники у спрощенні дробів та розв'язанні рівнянь.)

У цьому уроці ми познайомилися з винесенням загального множника та угрупуванням. Залишається розібратися з формулами скороченого множення та квадратним тричленом.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Розкладання многочлена на множники. Частина 2

У цій статті ми продовжимо розмову про те, як розкладати багаточлен на множники.Ми вже говорили про те, що розкладання на множники- це універсальний прийом, що допомагає вирішити складні рівняння та нерівності. Перша думка, яка повинна спасти на думку при вирішенні рівнянь і нерівностей, в яких у правій частині стоїть нуль - спробувати розкласти ліву частину на множники.

Перерахуємо основні способи розкладання многочлена на множники:

• винесення загального множника за дужку
• використання формул скороченого множення
• за формулою розкладання на множники квадратного тричлена
• спосіб угруповання
• розподіл багаточлена на двочлен
• метод невизначених коефіцієнтів.

Ми вже детально розглянули. У цій статті ми зупинимося на четвертому способі, спосіб угруповання.

Якщо кількість доданків у багаточлені перевищує три, то ми намагаємося застосувати спосіб угруповання. Він полягає в наступному:

1.Групуємо складові певним чином те щоб кожну групу можна було розкласти на множники якимось способом. Критерій того, що доданки згруповані правильно - наявність однакових множників у кожній групі.

2. Виносимо за дужку однакові множники.

Оскільки цей спосіб найчастіше застосовується, розберемо його на прикладах.

приклад 1.

Рішення. 1. Об'єднаємо складові в групи:

2. Винесемо з кожної групи загальний множник:

3. Винесемо множник, загальний для обох груп:

приклад 2.Розкласти на множники вираз:

1. Згрупуємо останні три доданки і розкладемо на множники за формулою квадрата різниці:

2. Розкладемо вираз на множники за формулою різниці квадратів:

Приклад 3.Розв'язати рівняння:

У лівій частині рівняння чотири доданки. Спробуємо розкласти ліву частину на множники за допомогою угруповання.

1. Щоб структура лівої частини рівняння була яснішою, введемо заміну змінної: ,

Отримаємо рівняння такого виду:

2. Розкладемо ліву частину на множники за допомогою угруповання:

Увага! Щоб не помилитися зі знаками, я рекомендую поєднувати доданки в групи "як є", тобто не змінюючи знаки коефіцієнтів, і наступною дією, якщо необхідно, виносити за дужку "мінус".

3. Отже, ми отримали рівняння:

4. Повернемося до вихідної змінної:

Розділимо обидві частини на . Отримаємо: . Звідси

Відповідь: 0

Приклад 4.Розв'язати рівняння:

Щоб структура рівняння стала "прозорішою", введемо заміну змінної:

Отримаємо рівняння:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Для цього згрупуємо перше і друге доданки і винесемо за дужку:

винесемо за дужку:

Повернемося до рівняння:

Звідси чи ,

Повернемося до вихідної змінної: